2.2 基本不等式同步练习（三）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 2.2 基本不等式同步练习（三），建议时长45分钟，含单选6题、多选2题、填空2题、解答3题。分层覆盖基础应用到综合实践，梯度合理，助力知识巩固与数学思维培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一不等式求最值|单选1-4直接应用公式，如截正方形建模（数学眼光观察现实世界）| |能力提升|条件不等式与恒成立问题|多选7-8结合条件变形，填空9-10参数讨论（数学思维逻辑推理）| |综合应用|实际情境与多问综合|解答12几何应用、13多目标优化，需建模与论证（数学语言表达现实问题）|

2.2 基本不等式同步练习（三） 建议时长：45分钟 一、单选题：本大题共6小题.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．现有一块边长为1.5米的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个边长相等的小正方形，然后做成一个长方体形的无盖容器，为了使容器的容积最大，则截去的小正方形边长应为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．若，则的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 3．已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 4．若不等式对恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B． C．6 D． 5．已知，为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．设正实数满足，则（ ） A．的最大值是 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是 二、多选题：本题共2小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 7．设正实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 8．已知，为正实数，，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．的最小值为14 D．的最小值为 三、填空题：本题共2小题. 把答案填在填空处的横线上. 9．已知，且，则的最小值为_____． 10．已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 四、解答题：本大题共3小题.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 12．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 13．已知，都是正数，且． (1)求的最小值及此时x，y的取值； (2)不等式恒成立，求实数m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 《2.2 基本不等式同步练习（三）》参考答案 1．B 【解析】设截去的小正方形边长为米， 则长方体形的无盖容器的容积， 当且仅当，即时取等号，所以截去的小正方形边长应为米. 2．C 【分析】先代数变形得，再利用基本不等式即可求解. 【解析】由题意得：， ， 当，即时，等号成立. 3．A 【解析】因为不等式恒成立，，， 所以恒成立， 设，则 当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以m的最大值为5. 4．A 【解析】当时，，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 即恒成立，则，故， 故实数的最大值为.故选：A. 5．C 【解析】∵ 为正实数，令，，，， 联立得，解得，. ∵ 为正实数，∴ ，即，满足基本不等式使用条件. 所以. 则，当且仅当，即时取等号. 此时，，均为正实数，等号可取. ∴ 原式，即最大值为. 6．C 【解析】因为正实数满足. 对于选项A：因为，即，解得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值是，故A错误； 对于选项B：因为，即，可得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值为，故B错误； 对于选项C：因为， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 对于选项D：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是，故D错误. 7．ABC 【解析】对于A，由基本不等式，代入得，即， 当且仅当时等号成立，所以最大值为，故A正确； 对于B，，由基本不等式， 故，当且仅当时等号成立， 所以最小值为，故B正确； 对于C，，由选项A知， 故，即， 当且仅当时等号成立，所以最大值为，故C正确； 对于D，，由选项A知，故， 则， 即最小值为，不是，故D错误. 8．BC 【解析】由，可得， 对于A，令，，则，且，可得， 则， 当且仅当，即，，即，时，等号成立，所以A错误； 对于B，由，可得，则， 当且仅当时，取得最小值，所以B正确； 对于C，由，当且仅当时，即，，即，时，等号成立，所以C正确； 对于D，由，可得，当且仅当时， 即，时，等号成立，所以的最小值为，所以D错误． 9． 【解析】由，得：，即，则， 由且，可知、，因此、. 所以 当且仅当，即，结合， 解得，时取等号. 因此，的最小值为. 10． 【解析】因为正实数x，y满足，即， 则 当且仅当，即时，等号成立， 若恒成立，则， 所以实数的范围是. 11．【解析】（1）因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； （2）， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； （3）设，即， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，有最小值. 12．【解析】（1）由题意得，，所用篱笆总长为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小． （2）由题意得，，菜园面积为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． （3）由题意得，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． 13．【解析】（1）因为，都是正数，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时的最小值为． （2）由，得， 故， 又， 当且仅当，即，时等号成立，取得最小值， 故的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $