25.2.3因式分解法（分层作业，11大题型）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 本同步练以“因式分解法解一元二次方程”为核心，通过A、B、C三层递进设计，实现从基础方法掌握到综合问题解决的知识巩固，培养运算能力、模型意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|提公因式法、公式法、十字相乘法等基础方法|以选择、填空、解方程为主，强化单一知识点应用，夯实运算能力| |B组|参数求解、实际应用题、几何综合题|结合行程、工程等实际情境及三角形、矩形等几何图形，培养模型意识与推理能力| |C组|换元法、分式方程转化、含参数复杂综合题|通过“换元法降次”“分式方程整式化”等策略，提升抽象能力与创新意识|

分层作业 25.2.3 因式分解法 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 提公因式法因式分解解一元二次方程 题型02 公式法因式分解解一元二次方程 题型03 十字相乘法因式分解解一元二次方程 题型04 选择合适的方法解一元二次方程 题型05 需先整理化为一般形式再因式分解解方程 B组 能力进阶 题型01 已知方程的根，因式分解求参数 题型02 因式分解法解一元二次方程实际应用题 题型03 结合几何图形的方程综合题 C组 思维拔高 题型01 换元法解一元二次方程 题型02 解分式方程（化为一元二次方程 题型03 含参数复杂一元二次方程因式分解综合求解 提公因式法因式分解解一元二次方程题型01 1．一元二次方程x2﹣3x＝0的解为(    ) A．＝3，＝﹣3 B．＝﹣3，＝0 C．＝3，＝0 D．＝＝3 【答案】C 【分析】利用因式分解法解方程. 【详解】x(x﹣3)＝0， x＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝0，x2＝3. 故选C. 【点睛】此题考查解一元二次方程-因式分解法，解题关键在于掌握先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 2．已知k、b是一元二次方程的两个根，且k＞b，则函数的图像不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：∵k、b是一元二次方程的两个根，且k＞b， ∴，， ∴函数的图像不经过第二象限， 故选：B． 3．方程•＝0的解是_______． 【答案】1 【分析】首先根据二次根式有意义的条件，判定x的取值范围，然后方程两边同时平方，解一元二次方程即可得解. 【详解】根据题意，得 解得 将方程两边平方，得 解得 综上， 【点睛】此题主要考查二次根式有意义的条件以及一元二次方程的求解，熟练掌握，即可解题. 4．解方程：x2+5x﹣6=0． 【答案】x1=﹣6，x2=1． 【详解】试题分析：利用因式分解法解方程． 解：（x+6）（x﹣1）=0， x+6=0或x﹣1=0， 所以x1=﹣6，x2=1． 考点：解一元二次方程-因式分解法． 5．已知：关于x的方程x2+4x+（2-k）=0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）取一个k的负整数值，且求出这个一元二次方程的根． 【答案】（1）k＞﹣2；（2）x1=1，x2=3． 【分析】（1）因为方程有两个不相等的实数根，△＞0，由此可求k的取值范围； （2）在k的取值范围内，取负整数，代入方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵方程x2+4x+（2﹣k）=0有两个不相等的实数根， ∴42﹣4（2﹣k）＞0， 即4k+8＞0，解得k＞﹣2； （2）若k是负整数，k只能为﹣1； 如果k=﹣1，原方程为x2﹣4x+3=0， 解得：x1=1，x2=3． 公式法因式分解解一元二次方程题型02 1．解下列方程：（有指定方法必须用指定方法） (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)． (4)． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了配方法、公式法．因式分解法解一元二次方程．熟练掌握配方法、公式法．因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法进行求解即可； （2）利用公式法进行求解即可； （3）利用因式分解法进行求解即可； （4）整理到一般式后再利用因式分解法进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 解得，； （2）解：， ， ， 解得，，； （3）解：， ， 或， 解得，； （4）解：， 整理得，， ， 或， 解得，． 2．用指定的方法解方程： (1)（用配方法） (2)（用公式法） (3)（用因式分解法） (4)（用适当的方法） 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法解方程，先移项再配方，然后开方即可作答． （2）先化为一般式，再根据算出，以及代入进行化简，即可作答． （3）先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出的值，即可作答． （4）先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出的值，即可作答． 【详解】（1）解： 移项，得 配方，得，即 ∴ 解得，； （2）解： ∴ 解得； （3）解： 则 解得； （4）解： ∴ 解得． 3．（24-25九年级上·北京·月考）解方程： (1)（公式法） (2)．（配方法） (3)（选用适当方法） (4)（选用适当方法） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据公式法解一元二次方程； （2）根据配方法解一元二次方程； （3）根据直接开平方法解一元二次方程； （4）先化为一般形式，根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：， 化简得：， ， ， 解得： ； （2）解：， 移项得：， 配方得：， 即， 故， 解得：； （3）解：， 移项得：， 开方得：， 解得：  ； （4）解：， 化简得：， 因式分解得：， 即或， 解得：． 十字相乘法因式分解解一元二次方程题型03 1．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）解方程：． 【答案】或 【分析】本题考查了因式分解法求解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键 ． 先将给定的方程化为一般形式，然后通过因式分解将方程左边转化为两个一次因式的乘积，再根据若两个因式的乘积为0，则这两个因式至少有一个为0的原理，分别求解两个一次方程，从而得到原一元二次方程的解． 【详解】解： 移项得： 采用十字相乘法：分解为与，分解为与，交叉相乘再相加可得， 或， 解得：或． 2．（24-25八年级上·上海·期中）解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把看做一个整体，把原方程左边利用十字相乘法分解因式，进而解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得． 3．试用十字相乘法解下列方程 (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1 ）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案； （2 ）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案． 【详解】（1）解： 或 ∴； （2）解： 或 ∴． 选择合适的方法解一元二次方程题型04 1．下列方程中，不适合用因式分解法求解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把各方程整理乘右边等于0的形式，即可求解． 【详解】解：A、整理得：，适合运用因式分解法求解，故本选项不符合题意； B、整理得：，即，适合运用因式分解法求解，故本选项不符合题意； C、，不适合运用因式分解法求解，故本选项符合题意； D、整理得：，即，适合运用因式分解法求解，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握适合因式分解法解一元二次方程——把方程的右边化为0，左边能通过因式分解化为两个一次因式的积的形式的方程是解题的关键． 2．解下列方程：①；②；③；④．较简便的方法是（    ） A．①公式法，②配方法，③直接开平方法，④因式分解法 B．①因式分解法，②公式法，③配方法，④直接开平方法 C．①②直接开平方法，③公式法，④因式分解法 D．①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程的能力，直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 根据各方程的特点逐一判别即可． 【详解】①，适合③直接开平方法； ②，适合公式法； ③，适合因式分解法； ④，适合因式分解法． 故选：D． 3．选择适当方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)，； (3)，； (4)， 【分析】此题考查了解一元二次方程， （1）利用开平方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， 则， 解得； （2）， 由题意得，， 则， ∴， 即，； （3）， 由题意得，， 则， ∴， 即，； （4）， ∴， 则或， 解得，． 需先整理化为一般形式再因式分解解方程题型05 1．一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， 故选：D． 2．方程的根是_______________． 【答案】 【分析】移项后分解因式得出x（3x-1）=0，推出方程x=0，3x-1=0，求出方程的解即可． 【详解】解：3x2-x=0， x（3x-1）=0， x=0，3x-1=0， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解此题的关键是把一元二次方程转化成一元一次方程． 3．（25-26九年级上·福建厦门·月考）的解为_______________； （2）方程的解为_________________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）先移项，再根据因式分解法求解即可； （2）根据直接开平方法求解即可． 【详解】（1）， ， ， 或， ． 故答案为：； （2）， ， ， ． 故答案为：． 4．解方程：x（x-1）=2（x-1） 【答案】x1=1，x2=2 【详解】试题分析：先移项得到x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0，再把方程左边分解得到（x﹣1）（x﹣2）=0，则方程转化为x﹣1=0，x﹣2=0，然后解一次方程即可． 试题解析：解：x（x﹣1）=2（x﹣1）． x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0． （x﹣1）（x﹣2）=0，∴x﹣1=0，x﹣2=0，∴x1=1，x2=2． 点睛：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把一元二次方程化为一般式，然后把方程左边分解为两个一次式的积，从而可把一元二次方程化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程，得到一元二次方程的解． 5．解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程： （1）方程整理后运用公式法求解即可； （2）方程移项后运用因式分解法求解即可 【详解】（1）解： ∵ ∴， ∴； （2）解：， ， ， 解得， 已知方程的根，因式分解求参数题型01 1．（24-25九年级上·广东韶关·期中）关于的一元二次方程的一个根是1，则的值为（   ） A．1或 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程．把代入方程即可求解． 【详解】解：把代入一元二次方程得： ， 解得，， ∵， ∴的值为， 故选：． 2．对于实数，，定义运算“”：，例如：．根据此定义，则方程的根为______． 【答案】， 【分析】根据题意的新运算即可将改为关于x的一元二次方程，解出方程即可． 【详解】根据题意可知， ∴，即． ∴ ∴． 【点睛】本题考查新定义下的实数运算及解一元二次方程．理解题意是解答本题的关键． 3．已知关于x的方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)如果方程的一个根为，求k的值及方程的另一个根． 【答案】(1) 证明：∵是一元二次方程， ∴， 无论取何实数，总有，， ∴方程总有两个不相等的实数根． (2)，另一根为 【分析】（1）根据进行判断； （2）把代入方程即可求得，然后解这个方程即可； 本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根；还有方程根的意义等； 【详解】（1）略 （2）解：把代入方程， 有， 整理，得． 解得， 此时方程可化为． 解此方程，得，． ∴方程的另一根为． 4．（24-25九年级上·江西新余·期末）已知关于的方程． (1)求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为0，求的值及该方程的另一根． 【答案】(1) 证明：∵ ， ∴ 不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． (2)，该方程的另一根是 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，因式分解法求一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键． （1）运用根的判别式“，有两个不相等的实数根；，有两个相等的实数根；，无实数根；”即可求解； （2）将代入方程得到，再代入方程，运用因式分解法即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：将代入方程， 解得， ∴方程为， ， ∴另一根是． ∴，该方程的另一根是． 5．阅读与理解：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． 【答案】(1)是 (2)或 【分析】本题考查解一元二次方程，理解新定义，是解题的关键： （1）因式分解法求出方程的两个根，进行判断即可； （2）因式分解求出方程的两个根，根据新定义求出的值即可． 【详解】（1）解： ， 解得：， ∵， 故方程是“邻根方程”； （2）解： ， 解得：， ∵方程（是常数）是“邻根方程”， ∴，或． 因式分解法解一元二次方程实际应用题题型02 1．甲、乙两人同时分别从两地沿同一条公路骑自行车到地，已知两地的距离为千米，两地的距离为千米，甲骑自行车每小时比乙快千米，结果两人同时到达地，则乙骑自行车人速度为（   ） A．千米/小时 B．千米/小时 C．千米/小时 D．千米/小时 【答案】B 【分析】本题为行程类分式方程应用题，利用路程、速度、时间的关系，根据两人同时到达地即所用时间相等，列方程求解即可． 【详解】解：设乙骑自行车每小时行驶千米，则甲每小时行驶千米， ∵甲、乙两人同时分别从两地沿同一条公路骑自行车到地，两人同时到达地，即行驶时间相等， ∴可得方程， 方程两边同乘得：， 整理得，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴乙骑自行车每小时行驶千米． 2．某河的水流速度为每小时2千米，A，B两地相距36千米，一动力橡皮船从A地出发，逆流而上去B地，出航1小时，机器发生故障，橡皮船随水向下漂流，30分钟后机器修复，继续向B地开去，但船速比修复前每小时慢了1千米，到达B地比预定时间迟了54分钟，则橡皮船在静水中起初的速度为（    ）千米/时． A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】设橡皮船在静水中起初的速度为千米/时，根据预定总用时加上迟到时间等于第一阶段逆流航行时间加上第二阶段机器故障时漂流分钟加上第三阶段修复后逆流航行剩余路程的时间建立分式方程求解即可． 【详解】解：设橡皮船在静水中起初的速度为千米/时， 由题意得，， 解得，， 经检验，，都是原方程的解，符合题意，不符合题意， ∴原方程的解为， ∴橡皮船在静水中起初的速度为千米/时． 3．（25-26九年级下·上海·期中）无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积比人工每小时对茶园打药的作业面积多50亩，且对600亩茶园使用无人机打药的时间比人工打药的时间少50小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积． 【答案】60亩 【分析】设使用无人机每小时对茶园打药的作业面积为x亩，则人工每小时对茶园打药的作业面积为亩，根据题意列出分式方程，求解后舍去不符合实际的解即可得到结果． 【详解】解：设使用无人机每小时对茶园打药的作业面积为x亩，则人工每小时对茶园打药的作业面积为亩， 根据题意得， 解得，（舍去） 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：使用无人机每小时对茶园打药的作业面积为60亩． 4．（25-26八年级上·上海·期末）从上海到南京相距300千米，小王上午驾车以一定的速度从上海去南京，下午从南京赶回上海，在回来的路上按原来的速度行驶了1小时后由于汽车故障修理了20分钟，随后以比原来快20千米／时的速度行驶，结果用了和去时相同的时间赶到上海，问小王上午驾车的速度是多少？ 【答案】100千米/时 【分析】本题考查分式方程解决实际问题，设小王上午驾车的速度是x千米/时，则上午用时小时，下午用时小时，根据上午和下午的时间相同列出方程，求解即可． 【详解】解：设小王上午驾车的速度是x千米/时，根据题意，得 ， 去分母，整理，得 解得，， 经检验，，均为方程的解，但不合题意，舍去． 答：小王上午驾车的速度是100千米/时． 5．列方程解下列应用题： 成渝中线高速铁路是国家“八纵八横”高速铁路主通道之“沿江通道”沪渝蓉高铁的重要组成部分，于2022年11月28日正式动工，设计时速350千米，且大足石刻站至简州站段是全国首条预留400千米提速条件的高铁线路．在施工建设某隧道时，甲、乙两工程队使用智能台车掘进．已知甲队每天比乙队多掘进1米，且甲队掘进6天的长度比乙队掘进7天的长度少1米． (1)求甲、乙两工程队每天各掘进多少米？ (2)随着科技发展，甲、乙两工程队引进了新型智能台车．新型智能台车使得乙工程队每天掘进量比原来增加米，甲工程队每天掘进量比原来增加的数量是乙工程队每天掘进量比原来增加的数量的2倍，且新型台车使两工程队效率在增加后的基础上再提升．现需掘进两段长度均为210米的隧道，分别由甲、乙两工程队单独施工，结果乙工程队比甲工程队多用4天．若乙工程队每天增加的数量不超过3.2米，求的值． 【答案】(1)甲、乙两工程队每天各掘进米，米 (2)3 【分析】（1）设乙队每天掘进米，则甲队每天掘进米，根据“甲队掘进6天的长度比乙队掘进7天的长度少1米”建立方程求解； （2）分别表示甲乙两队的时间，然后由“结果乙工程队比甲工程队多用4天”建立分式方程求解． 【详解】（1）解：设乙队每天掘进米，则甲队每天掘进米 由题意得， 解得， 则 答：甲、乙两工程队每天各掘进米，米； （2）解：由题意得， 整理得， 解得， 经检验，，都是原方程的解，但，不符合题意， ∴原方程的解为 ∴的值为． 结合几何图形的方程综合题题型03 1．已知直角三角形的斜边长为，周长为，则这个三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理、用字母表示数以及一元二次方程的解，解题的关键在于根据熟练计算． 【详解】设直角三角形的一直角边为 则另一直角边为 因为是直角三角形，根据勾股定理可得： 整理得： 解得： 当时，另一直角边： 此时这个三角形的面积为： 当时，另一直角边： 此时这个三角形的面积为： 综上可知这个三角形的面积为： 故选：A． 2．已知一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底和腰，则△ABC的周长为（　　） A．10 B．10或8 C．9 D．8 【答案】A 【分析】先利用因式分解法解方程x2﹣6x+8＝0得到x1＝4，x2＝2，再根据三角形三边的关系得到这个等腰三角形的腰为4，底边为2，然后计算这个三角形的周长． 【详解】x2﹣6x+8＝0 （x﹣4）（x﹣2）＝0， x﹣4＝0或x﹣2＝0， 解得x1＝4，x2＝2， 因为2+2＝4， 所以这个等腰三角形的腰为4，底边为2， 所以这个三角形的周长为4+4+2＝10． 故选：A． 【点睛】考查了因式分解法解一元二次方程，解题关键是利用因式分解法求出方程的解． 3．（25-26九年级上·云南昭通·期中）如果等腰的两边长分别是方程的两个根，则的周长为（ ） A．12 B．9 C．12或9 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法及等腰三角形的定义，熟练掌握一元二次方程的解法及等腰三角形的定义是解题的关键；解方程得到两根为2和5，即为等腰三角形的两边长，分两种情况讨论：腰为2底为5或腰为5底为2，利用三角形三边关系检验，只有腰为5底为2成立，再计算周长即可 【详解】解：∵方程可化为， ∴两根为，， ∵等腰三角形两边长分别为2和5， ∴可能情况： ①腰为2，底为5：但，不满足三角形三边关系，不成立； ②腰为5，底为2：，，，均成立； ∴三角形边长为5、5、2，周长为； 故选：A 4．如图，在矩形中，，点E，F分别在边上（点E不与点A，B重合），连接，且，将沿直线翻折，点B的对应点恰好落在边上．若，则 _____α的代数式表示），的长为______． 【答案】 ## 【分析】由矩形的性质得，由得，即可求得；进而得，，过D作于H，由角平分线的性质得，证明，有；设，则，，在中，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 由折叠知， ∴， ∴， ∴， 如图，过D作于H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：， 解得：或， 当时，，则，此时点E与点A重合，不符合题意，舍去， ∴， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形与折叠问题，涉及矩形的性质、折叠性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握折叠性质是解答的关键． 5．（24-25八年级上·陕西西安·月考）如图，四边形是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐标系中，使得点O与坐标原点重合，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为，D的坐标为．现将纸片沿过D点的直线折叠，使顶点C落在线段上的点F处，折痕与y轴的交点记为E． (1)求点F的坐标； (2)在x轴上是否存在点Q，满足，若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P在直线上，且为直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)或 【分析】（1）由题意得，可得，根据勾股定理可得的值，进而可得点的坐标； （2）根据，可得，过点作，与轴交于点，与等底同高面积相等，点即为存在的点； （3）设，当时，当时，当时，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：， ， 由折叠可得， 在中，，， ， ； （2）解：存在，过点作于点， 设， ， ， ， ， ， 设直线解析式为：，将代入得， ， 解得：， 直线的解析式为：， ， 设，过点作轴交直线于点，则，， ， 或， 或， 或； （3）解：， ， 如图：连接， ∴， ∴， 点P不在直线上，不符合题意； 当时，如图： 设， 则，， 为直角三角形， ， 解得，或(舍去)， 时，，的坐标为； 当时，如图： ， ，解得∶ ， 当时，则，的坐标为， 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查了矩形，直角三角形，点的坐标，一次函数解析式等知识点，通过证明三角形全等，根据勾股定理求值，用解析式方法求点的存在性是解本题考查的关键，是一道经典的四边形综合题，综合性较强，难度较大． 换元法解一元二次方程题型01 1．若，则代数式的值为（    ） A．或 B．1或 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程；令，再解一元二次方程即可； 【详解】解：设，可知， 原方程可化为：， 解得：或， ∵， ∴ ∴， 故选： D． 2．（2026·上海·二模）解方程时，令，那么换元后去分母整理得到的整式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将原方程中对应部分用换元后的y替换，再对分式方程去分母整理得到整式方程即可解答． 【详解】解：∵令，可得 将其代入原方程得： 方程两边同乘（）去分母得：， 移项整理得：， 因此换元后整理得到的整式方程为． 3．已知a、b为实数，且满足，则代数式的值为（    ） A．3或－5 B．3 C．－3或5 D．5 【答案】B 【分析】设，则原方程换元为，可得，，即可求解． 【详解】解：设，则原方程换元为， ， 解得，（不合题意，舍去）， 的值为3． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键． 4．若，则代数式的值为______ 【答案】4 【分析】本题考查了解一元二次方程，设，则原方程换元为，可得，，即可求解． 【详解】解：设，则原方程换元为， ， 解得，（不合题意，舍去）， 的值为4． 故答案为：4． 5．（25-26八年级上·上海·期中）解方程： 【答案】或或或 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 通过换元法，设，将原方程转化为关于y的二次方程求解，然后代回解关于x的方程． 【详解】解：设， 则， 因式分解，， 解得或， 当时，即 移项得，， 因式分解得， 解得或， 当时，即 移项得，， 因式分解得， 解得或， 综上，原方程的解为或或或． 解分式方程（化为一元二次方程题型02 1．（25-26八年级下·河南周口·学情自测）分式方程 的正数解为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 方程两边同乘得：， 整理得：． 因式分解得：． 解得或， 检验：当时，， 当时，， ∴原方程的正数解为或． 2．（25-26八年级上·上海·月考）方程的根是______． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的求解，熟练掌握解分式方程的步骤是解决此题的关键，需先确定分母不为零，再通过分子相等求解，并排除增根即可． 【详解】解：由方程 ，分母 ，即 ， 两边同乘 ，得 ， 解得 或 ． 检验： 使分母为零，为增根，舍去； 满足条件， 故方程根为 ， 故答案为： ． 3．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键；方程两边都乘以得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， ∴， ∴， 即， ， ， ，， 检验：时，，是原分式方程的解， 时，，不是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为：． 4．（2025·上海·二模）已知分式方程．甲同学的解答过程如下： 解：（第①步）去分母，得：， （第②步）解这个整式方程，得：， （第③步）检验：当时，， （第④步）所以，原方程的根是． (1)甲同学的解答过程是从第　　步开始出现错误的，请简要说明错误的原因：_______ (2)请写出正确且完整的解答过程． 【答案】(1)①，方程右边的1没有乘； (2) 去分母，得：， 整理，得：， 解得：， 检验：当时，；当时，， 可知是增根，舍去. 所以，原方程的根是． 【分析】本题主要考查了分式方程的求解及解一元二次方程，熟练掌握分式方程求解的步骤是解题的关键． （1）依据分式方程求解的步骤进行判断即可； （2）利用分式方程求解的步骤求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 5．（24-25八年级下·江苏扬州·月考）； （2）用配方法解方程： 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，解题的关键在于正确掌握相关解题方法． （1）先去分母化为一元二次方程即可求解； （2）根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：（1） 去分母得：， ∴， ∴ 或， ∴，， 经检验：是方程的增根，是方程的根， ∴原方程的解为； （2） 解得：，． 含参数复杂一元二次方程因式分解综合求解题型03 1．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算，解分式方程．分和两种情况，将变形为分式方程，解分式方程即可． 【详解】解：当时，即时，， ， ， 去分母得：，即, 解得：，（舍去）， 经检验，是分式方程的解； 当时，即时，， ， ， 去分母得：，即, 解得：， 经检验，是分式方程的解； 综上可知，方程的解为或， 故选：D． 2．对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为______． 【答案】或1 【分析】此题考查了解分式方程，解一元二次方程，解分式方程的基本思想是转化思想，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分和，依据新定义列出关于的分式方程，化为一元二次方程，解方程并检验即可求解． 【详解】①若，即，则，即， 解得：或 负值舍去， 经检验：是原分式方程的解； ②若，即，则，即， 解得：， 经检验：是原分式方程的解； 综上，方程的解为或1． 故答案为：或1． 3．（25-26九年级上·吉林长春·月考）阅读下列例题的解答过程： 解方程：． 解：设，则原方程化为：， ，， ， ． 当时，，； 当时，，． 原方程的解为：． 请仿照上面的例题解决问题：若，求代数式的值． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元二次方程，能正确换元是解此题的关键．设，则原方程化为，求出，再求出即可． 【详解】解：， 设，则原方程化为：， 即， ∴， ∴， ∴， 当时，； 当时，， ∵两个数的平方和具有非负性， ∴，即代数式的值为3． 4．（24-25九年级上·江西南昌·质检）请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以， 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个关于y一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ； (2)已知方程，求一个关于y一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； (3)已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求关于y一元二次方程的两根． 【答案】(1) (2) (3)4； 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法． （1）利用题中解法，设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （2）设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （3），令，再与一元二次方程比较即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 化简，得， 则所求方程为； 故答案为：； （2）解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 化简，得， 则所求方程为； （3）一元二次方程， ∵令， ∴， 则方程的两根比两根大1， ∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为3，， 所以方程 的两根分别是4、． 5．（25-26八年级上·期末）我们把形如a，b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为， ， 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则________，________； (2)若“十字分式方程”的两个解分别为，，求代数式的值； (3)若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为，，其中，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查解分式方程、分式的化简求值，正确理解“十字分式方程”的定义是解题的关键． （1）根据“十字分式方程”的定义进行求解即可； （2）根据题意得，，，通过提公因式和完全平方公式进行化简计算即可； （3）关于x的“十字分式方程”转换为关于的 “十字分式方程”，再进行化简求值即可． 【详解】（1）解：可化为， 则， 故答案为：，； （2）解：根据题意得，的两个解分别为，， 则，，， 代入数值计算得： ； （3）解：可化为， 设，则原方程可化为， 即 令的解为，， 由于，，可得，， 且，， ， 因此，． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 25.2.3 因式分解法 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 提公因式法因式分解解一元二次方程 题型02 公式法因式分解解一元二次方程 题型03 十字相乘法因式分解解一元二次方程 题型04 选择合适的方法解一元二次方程 题型05 需先整理化为一般形式再因式分解解方程 B组 能力进阶 题型01 已知方程的根，因式分解求参数 题型02 因式分解法解一元二次方程实际应用题 题型03 结合几何图形的方程综合题 C组 思维拔高 题型01 换元法解一元二次方程 题型02 解分式方程（化为一元二次方程 题型03 含参数复杂一元二次方程因式分解综合求解 提公因式法因式分解解一元二次方程题型01 1．一元二次方程x2﹣3x＝0的解为(    ) A．＝3，＝﹣3 B．＝﹣3，＝0 C．＝3，＝0 D．＝＝3 2．已知k、b是一元二次方程的两个根，且k＞b，则函数的图像不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．方程•＝0的解是_______． 4．解方程：x2+5x﹣6=0． 5．已知：关于x的方程x2+4x+（2-k）=0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）取一个k的负整数值，且求出这个一元二次方程的根． 公式法因式分解解一元二次方程题型02 1．解下列方程：（有指定方法必须用指定方法） (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)． (4)． 2．用指定的方法解方程： (1)（用配方法） (2)（用公式法） (3)（用因式分解法） (4)（用适当的方法） 3．（24-25九年级上·北京·月考）解方程： (1)（公式法） (2)．（配方法） (3)（选用适当方法） (4)（选用适当方法） 十字相乘法因式分解解一元二次方程题型03 1．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）解方程：． 2．（24-25八年级上·上海·期中）解方程： 3．试用十字相乘法解下列方程 (1)； (2) 选择合适的方法解一元二次方程题型04 1．下列方程中，不适合用因式分解法求解的是（    ） A． B． C． D． 2．解下列方程：①；②；③；④．较简便的方法是（    ） A．①公式法，②配方法，③直接开平方法，④因式分解法 B．①因式分解法，②公式法，③配方法，④直接开平方法 C．①②直接开平方法，③公式法，④因式分解法 D．①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法 3．选择适当方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 需先整理化为一般形式再因式分解解方程题型05 1．一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 2．方程的根是_______________． 3．（25-26九年级上·福建厦门·月考）的解为_______________； （2）方程的解为_________________． 4．解方程：x（x-1）=2（x-1） 5．解下列方程： (1)． (2)． 已知方程的根，因式分解求参数题型01 1．（24-25九年级上·广东韶关·期中）关于的一元二次方程的一个根是1，则的值为（   ） A．1或 B． C．1 D． 2．对于实数，，定义运算“”：，例如：．根据此定义，则方程的根为______． 3．已知关于x的方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)如果方程的一个根为，求k的值及方程的另一个根． 4．（24-25九年级上·江西新余·期末）已知关于的方程． (1)求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为0，求的值及该方程的另一根． 5．阅读与理解：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． 因式分解法解一元二次方程实际应用题题型02 1．甲、乙两人同时分别从两地沿同一条公路骑自行车到地，已知两地的距离为千米，两地的距离为千米，甲骑自行车每小时比乙快千米，结果两人同时到达地，则乙骑自行车人速度为（   ） A．千米/小时 B．千米/小时 C．千米/小时 D．千米/小时 2．某河的水流速度为每小时2千米，A，B两地相距36千米，一动力橡皮船从A地出发，逆流而上去B地，出航1小时，机器发生故障，橡皮船随水向下漂流，30分钟后机器修复，继续向B地开去，但船速比修复前每小时慢了1千米，到达B地比预定时间迟了54分钟，则橡皮船在静水中起初的速度为（    ）千米/时． A．11 B．12 C．13 D．14 3．（25-26九年级下·上海·期中）无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积比人工每小时对茶园打药的作业面积多50亩，且对600亩茶园使用无人机打药的时间比人工打药的时间少50小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积． 4．（25-26八年级上·上海·期末）从上海到南京相距300千米，小王上午驾车以一定的速度从上海去南京，下午从南京赶回上海，在回来的路上按原来的速度行驶了1小时后由于汽车故障修理了20分钟，随后以比原来快20千米／时的速度行驶，结果用了和去时相同的时间赶到上海，问小王上午驾车的速度是多少？ 5．列方程解下列应用题： 成渝中线高速铁路是国家“八纵八横”高速铁路主通道之“沿江通道”沪渝蓉高铁的重要组成部分，于2022年11月28日正式动工，设计时速350千米，且大足石刻站至简州站段是全国首条预留400千米提速条件的高铁线路．在施工建设某隧道时，甲、乙两工程队使用智能台车掘进．已知甲队每天比乙队多掘进1米，且甲队掘进6天的长度比乙队掘进7天的长度少1米． (1)求甲、乙两工程队每天各掘进多少米？ (2)随着科技发展，甲、乙两工程队引进了新型智能台车．新型智能台车使得乙工程队每天掘进量比原来增加米，甲工程队每天掘进量比原来增加的数量是乙工程队每天掘进量比原来增加的数量的2倍，且新型台车使两工程队效率在增加后的基础上再提升．现需掘进两段长度均为210米的隧道，分别由甲、乙两工程队单独施工，结果乙工程队比甲工程队多用4天．若乙工程队每天增加的数量不超过3.2米，求的值． 结合几何图形的方程综合题题型03 1．已知直角三角形的斜边长为，周长为，则这个三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．已知一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底和腰，则△ABC的周长为（　　） A．10 B．10或8 C．9 D．8 3．（25-26九年级上·云南昭通·期中）如果等腰的两边长分别是方程的两个根，则的周长为（ ） A．12 B．9 C．12或9 D．10 4．如图，在矩形中，，点E，F分别在边上（点E不与点A，B重合），连接，且，将沿直线翻折，点B的对应点恰好落在边上．若，则 _____α的代数式表示），的长为______． 5．（24-25八年级上·陕西西安·月考）如图，四边形是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐标系中，使得点O与坐标原点重合，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为，D的坐标为．现将纸片沿过D点的直线折叠，使顶点C落在线段上的点F处，折痕与y轴的交点记为E． (1)求点F的坐标； (2)在x轴上是否存在点Q，满足，若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P在直线上，且为直角三角形，请直接写出点P的坐标． 换元法解一元二次方程题型01 1．若，则代数式的值为（    ） A．或 B．1或 C． D．3 2．（2026·上海·二模）解方程时，令，那么换元后去分母整理得到的整式方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知a、b为实数，且满足，则代数式的值为（    ） A．3或－5 B．3 C．－3或5 D．5 4．若，则代数式的值为______ 5．（25-26八年级上·上海·期中）解方程： 解分式方程（化为一元二次方程题型02 1．（25-26八年级下·河南周口·学情自测）分式方程 的正数解为 （    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海·月考）方程的根是______． 3．解方程：． 4．（2025·上海·二模）已知分式方程．甲同学的解答过程如下： 解：（第①步）去分母，得：， （第②步）解这个整式方程，得：， （第③步）检验：当时，， （第④步）所以，原方程的根是． (1)甲同学的解答过程是从第　　步开始出现错误的，请简要说明错误的原因：_______ (2)请写出正确且完整的解答过程． 5．（24-25八年级下·江苏扬州·月考）； （2）用配方法解方程： 含参数复杂一元二次方程因式分解综合求解题型03 1．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（ ） A． B． C．或 D．或 2．对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为______． 3．（25-26九年级上·吉林长春·月考）阅读下列例题的解答过程： 解方程：． 解：设，则原方程化为：， ，， ， ． 当时，，； 当时，，． 原方程的解为：． 请仿照上面的例题解决问题：若，求代数式的值． 4．（24-25九年级上·江西南昌·质检）请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以， 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个关于y一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ； (2)已知方程，求一个关于y一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； (3)已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求关于y一元二次方程的两根． 5．（25-26八年级上·期末）我们把形如a，b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为， ， 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则________，________； (2)若“十字分式方程”的两个解分别为，，求代数式的值； (3)若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为，，其中，求的值． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $