1.1集合的概念课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合的含义，涵盖元素特性、集合与元素关系、常用数集及表示方法。课堂导入从生活“集合”及康托尔集合论入手，回顾初中学过的数集、点集，搭建新旧知识桥梁，引导学生自然过渡到数学集合概念。 其亮点在于以“数学眼光”观察生活与历史，用“数学思维”探究元素特性，通过对比列举法与描述法训练“数学语言”表达。如元素互异性例题、数集符号练习，结合达标检测和课堂小结，帮助学生构建知识体系，教师可高效开展概念教学，提升学生抽象能力与逻辑思维。

1.1 集合的概念 第1课时 集合的含义 2026/9/3 情景1：“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为:许多的人或物聚在一起. 　　在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言，我们怎样理解数学中的“集合”？ 康托尔（G.Cantor,1845-1918）.德国数学家，集合论创始人. 人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日. 情景导学 我们已经接触过一些集合： 1、将下列数字填入相应的集合： 自然数集合 有理数集合 2、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合. 初中学过的集合有： 1.数集： 实数集 有理数集 无理数集 整数集 分数集 正整数集 负整数集 零 自然数集 2.点集： （1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的集合: （2）到线段AB的两个端点距离相等的点的集合: 圆 线段AB的中垂线 (1)1～10之间的所有偶数； (2)立德中学今年入学的全体高一学生； (3)所有正方形； (4)到直线l的距离等于定长d的所有的点; (5)方程x2－3x＋2＝0的所有实数根； (6)地球上的四大洋。 探究 一、集合的定义 例1中，我们把1~10之间的每一个偶数作为元素，这些元素的全体就是一个集合；同样的，例2中，把立德中学今年入学的每一位高一学生作为元素，这些全体也是一个集合。 思考:上面的例3到例6也都能组成集合吗?它们的元素分别是什么？ 一般地， 我们把研究对象统称为元素. 通常用小写拉丁字母a,b,c,...来表示. 我们把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集). 通常用大写拉丁字母A,B,C,...来表示. 组成集合的元素一定是数吗？ 组成集合的元素可以是物、数、图、点等，它具备怎样的性质呢？ 问题： 归纳总结 1、确定性：指对于给定的集合，它的元素必须是确定的。也就是说，给定一个集合，那么一个元素在或不在这个集合中就确定了。 例： 1～20以内的所有素数； 较小的数； √ × 二、元素的特性 确定性、无序性、互异性 例1、2021年9月，我们踏入了心仪的高中校园，找到了自己的班级．则下列对象中能构成一个集合的是哪些？并说明你的理由． (1)你所在班级中的全体同学； (2)班级中比较高的同学； (3)班级中身高超过178 cm的同学； (4)班级中比较胖的同学； (5)班级中体重超过75 kg的同学； (6)学习成绩比较好的同学 √ × √ × × √ 2、无序性：集合中的各元素没有先后顺序 比如：1、2、3、4构成的集合与4、3、2、1构成的集合是同一集合 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。 二、元素的特性 确定性、无序性、互异性 3、互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的。也就是说，集合中的元素是不重复出现的。 二、元素的特性 例2、由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为(　　) A．2　　B．3 C．4 D．5 解析：选C.由“title”中的字母构成的集合中元素为t，i，l，e，共4个． 确定性、无序性、互异性 二、元素的特性 确定性：主要用来判断元素是否能够成集合； 无序性：主要用来判断两集合是否相等； 互异性：考察较多，主要用来求参数的值。 探究 三、集合与元素的关系 已知下面的两个实例： (1)用A表示高一(3)班全体学生组成的集合. (2)用a表示高一(3)班的一位同学，b表示高一(4)班的一位同学. a是集合A中的元素, b不是集合A中的元素. 思考：那么a，b与集合A分别有什么关系? 属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记为aA 不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记为aA 例：A表示“120以内的素数”， 3A 4A 三、集合与元素的关系 四、常用的数集及其记法： 非负整数集（自然数集）： 正整数集: 整数集: 有理数集: 实数集: N N*或N+ Z Q R Natural number Zahlen quotient Real number 学习集合与元素的概念后，为了方便书写，数学中规定了一些常用数集及其记法： ②③⑤⑥⑦⑧ 练习 1、下列关系中正确的有_________________ 【总结提升】求解此类问题必须要做到以下两点： ①熟记常见的数集的符号； ②正确理解元素与集合之间的“属于”关系. 练习 解：若a－3＝－3，则a＝0，此时A＝{－3,－1,－4}，满足元素的互异性; 若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A＝{－4,－3,－3}，不满足元素的互异性; 若a2－4＝－3，则a＝1或a＝－1(舍去)，当a＝1时，A＝{－2,1,－3}，满足元素的互异性; ∴a＝0或a＝1 2、已知集合A含有三个元素a－3，2a－1，a2－4，若－3∈A，求实数a. 探究 五、集合的表示方法 思考1：“地球上的四大洋”组成的集合如何表示？ 【提示】可以这样表示： {太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}. 思考2：“方程(x＋1)(x＋2)＝0的所有根组成的集合 又如何用列举法表示呢？ 【提示】 {－1，－2} 1、列举法 把集合的元素 出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 温馨提示：运用列举法表示集合，应注意： (1)元素间用“，”分隔，不能用其它符号代替； (2)元素不重复； (3)元素间无顺序； (4)“{　}”表示“所有”、“整体”的含义，不能省略. 一一列举 a与{a}有什么区别？ 是一个元素 是一个集合 题型探究 类型一 用列举法表示集合 例1、用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有自然数组成的集合； (2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合； 解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A， 那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. (2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B， 那么B＝{0,1}. 【总结提升】由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此集合可以有不同的列举方法. 例如， 例1(1)可以表示为 A＝{9,8,7,6,5,4,3,2,1,0} 探究 五、集合的表示方法 思考3：能否用列举法表示不等式 x－3＜7的解集？ 该集合中的元素有什么性质？ 思考4：所有奇数的集合，偶数的集合怎样表示？ 不等式x－3＜7的解是x＜10，由于满足x＜10的实数有无穷多个，而且无法一一列举出来， 因此这个集合不能用列举法表示． 但是可以看出，这个集合中的元素有共同特征： ①集合中的元素都小于10. ②集合中的元素都是实数． 这个集合可以通过描述元素的共同特征的方法来表示， 写作: {x|x＜10，x∈R} 2、描述法 一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有_________P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法 共同特征 描述法表示集合时的3个关注点(1)写清楚集合中元素的符号．如数或点等．(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等．(3)不能出现未被说明的字母． 代表元素 取值范围 共同特征 我们可以把奇数集合表示为{x∈Z|x＝2k＋1，k∈Z} 还可以把奇数集合表示为{x|x＝2k＋1，k∈Z} 所有偶数的集合可以表示为{ x∈Z|x＝2k，k∈Z} 探究 五、集合的表示方法 思考5：有理数集怎么表示呢？ 注意：如果从上下文的关系来看， x∈R ，x∈Z 是明确的，那么x∈R ，x∈Z 可以省略，只写元素x. 例如 {x∈R|x＜10} ＝{x|x＜10} {x∈Z|x＝2k，k∈Z} ＝{x|x＝2k，k∈Z} 题型探究 类型二 用描述法表示集合 例2、试分别用列举法和描述法表示下列集合. (1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合. 方程x2－2＝0有两个实数根为 ，因此，用列举法表示为A＝{ }. 解：(1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}. 题型探究 类型二 用描述法表示集合 例2、试分别用列举法和描述法表示下列集合. (1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合A；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合B. 大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17, 18,19，因此，用列举法表示为 B＝{11,12,13,14,15,16,17,18,19}. 解：(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10＜x＜20，因此，用描述法表示为 B＝{x∈Z∣10＜x＜20}. 归纳总结 思考：你能说出列举法和描述法的优缺点吗？ 优点 缺点 列举法 直观、明了 不易看出元素所具有的属性，且有些集合不能用列举法表示 描述法 把集合中元素所具有的性质描述出来，具有抽象性、概括性、普遍性的特点 不易看出集合的具体元素 达标检测 1、下列对象不能构成集合的是(　　) ①我国近代著名的数学家；②所有的欧盟成员国；③空气中密度大的气体． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【解析】研究一组对象能否构成集合的问题，首先要考查集合中元素的确定性．①中的“著名”没有明确的界限；②中的研究对象显然符合确定性；③中“密度大”没有明确的界限．故选D. D 华罗庚（1910-1985）;陈省身（1911-2004）;陈景润（1933-1996）;丘成桐（1949-）;王元（1930-2021） 达标检测 2、下列三个关系式：① ∈R；② ∉Q；③0∈Z.其中正确的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 【解析】①正确；②因为 ∈Q，错误；③0∈Z，正确． B 华罗庚（1910-1985）;陈省身（1911-2004）;陈景润（1933-1996）;丘成桐（1949-）;王元（1930-2021） 达标检测 3、a，b，c，d为集合A的四个元素，那么以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是(　　) A．矩形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形 【解析】由于集合中的元素具有“互异性”，故a，b，c，d四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等. D 华罗庚（1910-1985）;陈省身（1911-2004）;陈景润（1933-1996）;丘成桐（1949-）;王元（1930-2021） 达标检测 4、设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，则集合A用列举法表示为________. 【解析】∵4∈A，∴16－12＋a＝0， ∴a＝－4，∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1,4}． {－1，4} 华罗庚（1910-1985）;陈省身（1911-2004）;陈景润（1933-1996）;丘成桐（1949-）;王元（1930-2021） 达标检测 5、用适当的方法表示下列集合： (1)方程组 的解集； (2)所有的正方形； (3)抛物线y＝x2上的所有点组成的集合． 解：(1)解方程组 得 故解集为{(4，－2)}． (2)集合用描述法表示为{x|x是正方形}，简写为{正方形}． (3)集合用描述法表示为{(x，y)|y＝x2}． 华罗庚（1910-1985）;陈省身（1911-2004）;陈景润（1933-1996）;丘成桐（1949-）;王元（1930-2021） 31 1．集合的概念; 2．集合元素的性质：确定性，互异性，无序性； 3．数集及有关符号； 4．集合的表示方法； 5．元素与集合的关系. 课堂小结 $