1.2 集合间的基本关系课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合间的基本关系，涵盖子集、真子集、空集及集合相等，通过类比实数相等与大小关系导入，结合具体实例抽象出子集概念，再经性质、典例及练习构建知识支架，逐步过渡到参数范围求解。 其亮点在于以数学眼光观察（类比实数关系），用数学思维推理（数轴分析、分类讨论参数），借数学语言表达（符号、Venn图）。通过问题链引导概念形成，典例与变式结合培养逻辑推理，分层练习提升应用意识，助力学生构建知识体系，为教师提供完整教学资源。

1.2集合间的基本关系 第一章 集合与常用逻辑用语 一、子集 1 二、真子集 2 三、由集合间的关系求参数（范围） 3 课时作业（四）　集合间的基本关系 4 思考：实数有相等.大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等， 类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关 系呢？ 一、子集 问题：观察下面的例子，类比实数间的大小或相等关系，试说说每组的两个集合间有何关系? (1)A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}； (2)C为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合， D为立德中学高一(2)班全体学生组成的集合； 一、子集 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集. 记作： 读作：“A含于B” (或“B包含A”) 符号语言： A B A(B) 图形语言： 一、子集 （1）任何一个集合是它本身的子集，即 　A⊆A　； （2）对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C， 那么 　A⊆C 性质： A⊆A　 A⊆C　 一、子集 (3)E={x|x是有两边相等的三角形}，F={x|x是等腰三角形}； 问题：观察下面的例子，类比实数间的大小或相等关系，试说说每组的两个集合间有何关系? （3）中集合A中的元素和集合B中的元素相同． 一、子集 一般地，如果集合Ａ的任何一个元素都是集合Ｂ的元素，同时集合Ｂ任何一个元素都是集合Ａ的元素，我们就说集合Ａ与集合Ｂ相等，记作Ａ＝Ｂ。 符号语言： 若A⊆B，且B⊆A，则A=B. 一、子集 【典例1】　指出下列各组集合之间的关系： （1）A＝{x｜－1＜x＜4}，B＝{x｜x－5＜0}； [解]　（1）集合B＝{x｜x＜5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A⊆B. （2）A＝{x｜x是正方形}，B＝{x｜x是矩形}； [解]　（2）正方形是特殊的矩形，故A⊆B. （3）A＝{－1，1}，B＝{（－1，－1），（－1，1），（1，－1），（1，1）}； [解]　（3）集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系. （4）M＝{x｜x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x｜x＝2n＋1，n∈N*}. [解]　（4）M＝{正奇数}，N＝{不含1的正奇数}，故N⊆M. 一、子集 [解题感悟] 判断集合间关系的常用方法 一、子集 【练习1】　（1）已知A＝{x｜x是正数}，B＝{x｜x是正整数}，C＝{x｜x是实数}，那么A，B，C之间的关系是（　B　） A. A⊆B⊆C B. B⊆A⊆C C. C⊆A⊆B D. A＝B⊆C 解析：（1）集合A，B，C的关系如图. （2）已知集合M＝{x｜x＝3m－1，m∈Z}，集合N＝{x｜x＝3n＋2，n∈Z}，则M，N之间的关系为 　M＝N　. 解析：（2）由于N＝{x｜x＝3（n＋1）－1，n∈Z}，m，n∈Z，所以M＝N. B M＝N　 二、真子集 如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x A，并且A≠B,称集合A是集合B的真子集． A B 记作： 读作：“A真含于B（或“B真包含A”). 符号语言： 图形语言： 二、真子集 性质： （1）若A⫋B且B⫋C，则A⫋C； （2）若A⊆B且A≠B，则A⫋B； （3）在真子集的定义中，A⫋B首先要满足A⊆B， 其次至少有一个x∈B，但x∉A. 二、真子集（空集） 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为 ， 并规定：空集是任何集合的子集，即 ⊆A .。 二、真子集（空集） 注： 包含关系刻画的是集合与集合间的关系； 而属于关系刻画的是元素与集合间的关系. 二、真子集（空集） 思考：0，{0}，三者之间有什么关系? 例：在以下写法中，正确的个数为( ). ①0＝{0} ②0∈{0} ③0⊆{0}； ④0＝ ⑤0∈ ⑥0⊆； ⑦＝{0} ⑧∈{0} ⑨⊆{0}． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 二、真子集（空集） 【典例2】　填写下表，并回答问题. 原集合 子集 子集的个数 真子集的个数 ⌀ 　⌀ 　1 　0　 {a} ⌀，　 {a} 　2 　1 {a，b} ⌀，{a}，{b　　}，{a，b} 4 3 {a，b，c} ⌀，{a}，{b}，{c　}，{a，b}，{a，c}，{b，c} 　，{a，b，} 　8 　7 由此猜想，含n个元素的集合的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？ 含有n个元素的集合，所有子集有2n个，真子集有（2n－1）个，非空真子集有（2n－2）个. ⌀ 1 0 ⌀，{a} 2 1 ⌀，{a}，{b}，{a，b} 4 3 ⌀，{a}，{b}，{c}，{a，b}， {a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8 7 二、真子集（空集） 一般地，集合A含有n个元素，则 （1）A的子集共有 个， （2）A的真子集共有 个， （3）A的非空子集共有 个， （4）A的非空真子集共有 个， 2n 2n-1 2n-1 2n-2 练习（9页） ＝ ＝ 练习（9页） 注：连续数集借助数轴分析 二、真子集（空集） [解题感悟] 求集合的子集的两个关注点 （1）要注意两个特殊的子集：⌀和自身. （2）按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏. 【练习2】　写出满足{3，4}⫋P⊆{0，1，2，3，4}的所有集合P. 解：由题意知，集合P中一定含有元素3，4，并且是至少含有三个元素的集合，因此所有满足题意的集合P有{0，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{0，1，3，4}，{0，2，3，4}，{1，2，3，4}，{0，1，2，3，4}. 课堂小结 1．子集; 2．集合相等； 3．真子集； 4．空集。 习题1.2（9页） ＝ 习题1.2（9页） A B x 0 1 2 a 习题1.2（9页） 三、由集合间的关系求参数（范围） 【典例3】　已知集合A＝{x｜－3≤x≤4}，B＝{x｜1＜x＜m}（m＞1），且B⊆A，则实数m的取值范围是 　{m｜1＜m≤4}　. [解析]　∵m＞1，∴B＝{x｜1＜x＜m}不是空集，由于B⊆A，如图所示，结合数轴分析可知，m≤4，又m＞1，所以1＜m≤4. {m｜1＜m≤4}　 三、由集合间的关系求参数（范围） 【思维变式1】　（变条件）本典例若将“B＝{x｜1＜x＜m}（m＞1）”改为“B＝{x｜1＜x＜m}”，其他条件不变，则实数m的取值范围又是什么？ 解：若m≤1，则B＝⌀，满足B⊆A； 若m＞1，则由例题解析可知1＜m≤4. 综上可知m≤4. 【思维变式2】　（变条件）本典例若将“B＝{x｜1＜x＜m}（m＞1）”改为“B＝{x｜2m－1＜x＜m＋1}”，其他条件不变，则实数m的取值范围又是什么？ 解：因为B⊆A， ①当B＝⌀时，m＋1≤2m－1，解得m≥2；   解得－1≤m＜2.综上得m≥－1. 三、由集合间的关系求参数（范围） [解题感悟] 由集合间的包含关系求参数的方法 （1）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论. （2）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点. [注意]　①不能忽视集合为⌀的情形. ②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论. 三、由集合间的关系求参数（范围） 【练习3】　已知A＝{x｜x＜3}，B＝{x｜x＜a}. （1）若B⊆A，求a的取值范围； 解：（1）因为B⊆A，所以B是A的子集，由图1得a≤3.所以a的取值范围是{a｜a≤3}. （2）若A⊆B，求a的取值范围. 解：（2）因为A⊆B，所以A是B的子集，由图2得a≥3. 所以a的取值范围是{a｜a≥3}. 1. 下列集合中表示空集的是（　D　） A. {x∈R｜x＋5＝5} B. {x∈R｜x＋5＞5} C. {x∈R｜x2＝0} D. {x∈R｜x2＋x＋1＝0} 解析：∵A、B、C中分别表示的集合为{0}，{x｜x＞0}，{0}，∴不是空集；又∵x2＋x＋1＝0无实数解，∴{x∈R｜x2＋x＋1＝0}表示空集. D 快练　基本能力点 2. 已知集合M＝{x∈Z｜－1＜x＜3}，则（　B　） A. －1∈M B. {1}⊆M C. 2∉M D. {3}⊆M 解析：由题意可得M＝{x∈Z｜－1＜x＜3}＝{0，1，2}，所以－1∉M，{1}⊆M，2∈M，3∉M，即{3}不是集合M的子集，故B正确，A、C、D错误，故选B. 3. 已知集合A＝{0，1}，则集合A的真子集有（　A　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 解析：根据有n个元素的集合的真子集有（2n－1）个，集合A中有2个元素，得其真子集个数为22－1＝3，故选A. B A 4. 集合A＝{x｜1＜x＜6}，B＝{x｜x＜a}，若A⊆B，则a的取值范围为 　{a｜a≥6}　. 解析：∵A＝{x｜1＜x＜6}，B＝{x｜x＜a}，由A⊆B，结合数轴可知a≥6. {a｜ a≥6}　 第33页 课时作业（四）　集合间的基本关系 高中同步导学案·数学（RJA） ·必修第一册 [基础巩固] 1. 下列各组集合A和B，表示相等集合的是（　C　） A. A＝{π}，B＝{3.141 59} B. A＝{2，3}，B＝{（2，3）} C. A＝{1， ，π}，B＝{π，1，｜－ ｜} D. A＝{x｜－1＜x≤1，x∈N}，B＝{1} C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第页 高中同步导学案·数学（RJA） ·必修第一册 2. 下列四个集合中，是空集的是（　D　） A. {x｜x＋3＝3} B. {（x，y）｜y2＝－x2，x，y∈R} C. {x｜x2≤0} D. {x｜x2－x＋1＝0，x∈R} 解析：因为x2－x＋1＝0，Δ＝1－4＝－3＜0，方程无解，所以{x｜x2－x＋1＝0，x∈R}＝⌀，故选D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第页 高中同步导学案·数学（RJA） ·必修第一册 3. 已知集合A＝{x｜－1＜x＜6}，B＝{x｜2＜x＜3}，则（　D　） A. A∈B B. A⊆B C. A＝B D. B⊆A 解析：A，B两个数集之间应是包含关系不是属于关系，故选项A不正确.由条件可得B⊆A，且A≠B，所以选项B、C错误，选项D正确.故选D. 4. 满足{1}⊆A⫋{1，2，3}的集合A的个数为（　B　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 7 解析：因为{1}⊆A⫋{1，2，3}，所以A＝{1}，{1，2}，{1，3} 故选B. D B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第页 高中同步导学案·数学（RJA） ·必修第一册 5. （多选）已知集合A＝{1，2，3}，则下列表示方法正确的是（　AC　） A. ⌀⊆A B. {1，2}∈A C. A⊆N* D. 1⊆A 解析：因为集合A＝{1，2，3}，则⌀⊆A，故A正确；集合A中的元素都是正整数，则A⊆N*，故C正确；“∈”只能表示元素与集合之间的关系，故B错误；“⊆”只能表示集合之间的关系，故D错误. AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第页 高中同步导学案·数学（RJA） ·必修第一册 6. （多选）已知A⊆B，A⊆C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，则集合A可以是（　AC　） A. {1，8} B. {2，3} C. {1} D. {2} 解析：因为A⊆B，A⊆C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，所以集合A中一定含有集合B，C的公共元素，结合选项可知A、C满足题意. AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第页 高中同步导学案·数学（RJA） ·必修第一册 7. 已知集合M＝{x∈R｜ax2－1＝0}，若M为⌀，则实数a的取值范围是 　{a｜a≤0}　. 解析：当a＝0时，方程ax2－1＝0无解， 即M＝⌀； 当a≠0时，若方程ax2＝1无解，则a＜0. 综上，a≤0. 8. 设集合A＝{x∈R｜x2＋x－1＝0}，B＝{x∈R｜x2－x＋1＝0}，则集合A，B之间的关系是 　B⫋A　.   {a｜ a≤0}　 B⫋A　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第页 高中同步导学案·数学（RJA） ·必修第一册     {a｜a＜   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第页 高中同步导学案·数学（RJA） ·必修第一册 10. 已知A＝{x｜1＜x＜5}，B＝{x｜a－1＜x＜a}，a∈R. （1）当x∈N时，写出集合A的所有子集，共有多少个？ 解：（1）当x∈N时，A＝{2，3，4}，所以集合A的子集有⌀，{2}，{3}，{4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，{2，3，4}，所以共有8个子集. （2）若B⊆A，求实数a的取值范围.   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第页 高中同步导学案·数学（RJA） ·必修第一册 [更上层楼] 11. 已知非空集合A1，A2是集合A的子集，若同时满足两个条件：①若a∈A1，则a∉A2；②若a∈A2，则a∉A1.则称（A1，A2）是集合A的“互斥子集组”，并规定（A1，A2）与（A2，A1）为不同的“互斥子集组”，则集合A＝{1，2，3}的不同“互斥子集组”的个数是 　12　. 解析：①当集合A1中只有一个元素1时，集合A2是集合A中不含元素1的非空子集，此时共有22－1＝3（个）；同理，当A1中只有一个元素2或3时，集合A2也各有3个，因此共有9个. ②当集合A1中有两个元素1，2时，集合A2是集合A中不含元素1和2的非空子集，此时只有1个；同理，当A1中含有元素1，3或2，3时，集合A2也各有1个，因此共有3个. 综上，集合A＝{1，2，3}的不同“互斥子集组”的个数为9＋3＝12. 12　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第页 高中同步导学案·数学（RJA） ·必修第一册 12. 已知集合M＝{x｜x2＋2x－a＝0}. （1）若⌀⫋M，求实数a的取值范围； 解：（1）由题意得方程x2＋2x－a＝0有实数解，∴Δ＝22－4·（－a）≥0，得a≥－1，∴实数a的取值范围是{a｜a≥－1}. （2）若N＝{x｜x2＋x＝0}且M⊆N，求实数a的取值范围.   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第页 高中同步导学案·数学（RJA） ·必修第一册 $