第10章整式的加减单元测试卷 2026～2027学年沪教版（五四制）数学七年级上册

**基本信息** 沪教版五四制七年级上册整式的加减单元卷，24题120分，通过文化情境与分层设计，适配单元复习，考查抽象能力、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|同类项、整式次数、新定义运算|结合《大戴礼》幻方考数感，新运算培养创新意识| |填空|6/18|整式化简、数轴与绝对值、新定义“环数”|数轴化简考查几何直观，“和方数”体现应用意识| |解答|8/72|整体思想、规律探究、实际应用|日历“X”型框架培养推理意识，黑洞数字问题发展数学思维|

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 20262027年沪教版五四制新教材数学七年级上册 第10章整式的加减单元测试卷 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1.若多项式ax2-bx+1与多项式br2+bx-2的和是一个单项式，则a与b的关系是() A.a+b=0 B.a-b=0 C.ab=1 D.ab=-1 2.下列说法正确的是() 5π 5π A.-3πa2的次数是4 B.7x的系数是7 c.a-3a-5的一次项系数是3 D.-3xy-2xy+x 的次数是3 3.观察下列关于的单项式，探究其规律： x3x,5,7x,9,1山的，按照上述想律，第2025个单项式 是() A.4047x2025 B.4049x2025 C.4047x2024 D.4049x2024 4.现定义运算“△”，对于任意有理数a,b,都有aab=2-ab.例如：35=32-3×5=6，由此可知 (x-1)A0+)等于(） A.2x B.2x-2 C.-2x+2 D.-2x 5.已知整 M:a,x+a,++ax+a,其中n为自然数， ,4,4均为非负整数，且0为正整 数.如果 n+am+am-1+..+a=4 ，则下列说法： ①满足条件的整式M中，其次数最高为3； ②满足条件的整式M中，存在系数全为1的整式： ③满足条件的整式M中，单项式有7个. 其中正确的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 试卷第1页（共19页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 6.若多项 2r2+6+10x-y-1与am2-x+3y+ 的和与x的取值无关，则a-b=() A.-2 B.2 C.-3 D.3 7.在学习了整式的加减后，老师给出下面这道课堂练习题：选择的一个值，求 5a-(a2-3a+5a)+(2a-3a小2025的值学生甲、乙、丙、丁对此题说法错误的是：（） A.甲说：“当a=-1时，原式=-2026.” B.乙说：“当a=0时，原式=-2025.” C.丙说：“当a=1时，原式=-2024.” D.丁说：“当a取1或-1时，原式的值都是-2024.” 8.图1是长为a,宽为b(a>b)的小长方形纸片将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形 ABCD内，己知CD的长度固定不变，BC的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别 =4,b=2,S1-S2 表示为 若 的值是() S2 S 图1 图2 A.8 B.16 C.12 D.32 9.已k-引=0.写m为) A.64 .2 B.6 3 9 D.时 10.我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如图1），该“幻方”中，每个三角形 的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等.现有如图2所示的“幻方”，其 中有两个数1和2，则n-m)与0-)： 的乘积为() 试卷第2页（共19页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡装 ⑧ m 2) (4 (n) 图1 图2 A.-9 B.-27 c.9 D.256 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分) 11.若单项式-3a2"b与ab3"的和仍是一个单项式，则m-n的值是 12.当a=-1时，代数式(a+10a-2)-(a-2a+3)的值等于一 13.若多项式-2r2-n-1r+ 是关于x的三次多项式，则多项式-2m+3的值为 14.数a6、c在数轴上对应的位置如图所示，化简a+d-k- b 0 a 15.一个十位数字比百位数字大5的四位正整数M,各数位上的数字均不相等且都不为零，将其从百位、 m m 十位数字中间划分开，前两位数字组成的新数记为”，后两位数字组成的新数记为”，记 F(M)=2m+m2 5,若F(M)为整数，则称M为“环数”·若F(T)=20,则7= 一，若奇数S是 一个“环数”，且各数位上的数字之和能被5整除，则满足条件的S的最大值与最小值的平均数为 16.已知三位自然数N，若N的百位数字与个位数字的和是十位数字的平方，我们把这样的三位数叫做 “和方数”.例如：三位数123,1+3=22,123是“和方数”；例如：三位数649,6+9=15， 15≠4,649不是“和方数”：若*是“和方数”，且=10a+106+c15a≤9,1≤6≤4， ( 试卷第3页（共19页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 里危先乡笔 1≤c≤9a,b, 1》 是整数)，把的百位数字和个位数字交换（十位数字不变）得到一个数，规定 F(x)=x-y 11· (1)F(321)= (2)己知数*是“和方数”，若F)能被7整除，则所有满足条件的的值 的和是 三、解答题（共8小题，满分72分) 17.先化简，再求值： 己知V2x+6与y+2互为相反数，求代数式[(C+x-川-(-+2(-小4y的值。 A=2x2-xy,B=x2+x-6 18.已知：多项式 求： (1)4A-B: 1 (Q当x=2,y=-2时，求44-B的值. 19.小明在计算多项式A减多项式3a2+2a-2时，因一时疏忽忘了将两个多项式用括号括起来，计算成 了A-3a2+2a-2,得到的结果是a2+2a-5. (1)求多项式A: (2)求这两个多项式相减的正确结果，并求当a=-1时正确结果的值. 0有组整式2+3x,2+23-2包+2x-52+2x-72：③R子+扣 2、3 -3,-2x+4这三组整式都具有一些共同特征，我们把具有这种特征的等式组称为“和谐等式 组”. ①若其个“和诺等式组”中的第一个整式为+3x-2,第二个整式为m心+20m0 ①直接写出的值： ②求出这个“和谐等式组”的第三个整式： ②若a-5+ba≠0).2x2-8x+8+c,(-2m-2x+2m-5-8 (m为常数)是一个“和谐等式组”， 求b-c的值. 试卷第4页（共19页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 里危先鸟笔 21.阅读材料：代数式运算中： 6x-3x=(6-3)x=3x5x-3x+x=(5-3+1)x=3x 类似的，我们把 a+b看成一个整体，则5(a+b)-3(a+b)+(a+b)=5-3+1a+b)=3a+b).“整体思想”是中学数学 解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛. ①)把（a-b和x+刀各看成一个整体，对下列各式进行化简： o4(a-b°-7(a-b+(a-b. ②3(x+y-7x+y月+8(x++6(x+) ②已知r-3=-,求5+7)-1-(3x+y-0)的值 (3)已知a2+2ab=2,ab-2b=-1,求代数式2a2+3ab+2b2的值. 22.【知识回顾】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题，“代数式ar-y+6+3x-5y-l的值与x的取值无关，求a的值”， 通常的解题方法是把x,y看作字母，把α看作系数合并同类项.因为代数式的值与x的取值无关，所以 含x项的系数为0，即原式(a+3x-6y+5 其中a+3=0,则0=-3」 【知识应用】 (1)当m=一，n=时，关于x的多项式3x4-mx3+x2-5x2-x2不含x项和x2项. (2)已知A=-3x2+3y+3y+1,B=2x2+2y-w,且4-2B的值与y的取值无关，求a的值. 【知识拓展】 (3)元旦快到了，某商场计划购进甲、乙两种学习机共30台进行销售，甲种学习机每台进价600元，每 利润 台售价920元：乙种学习机每台进价400元，销售利润率为60%（利润率=进价100%）·购进学习机后， 商场决定：每售出一台甲种学习机，返还顾客现金b元，乙种学习机售价不变.设购进甲种学习机x台， 当销售完这30台学习机的利润与x的取值无关时，求出此时b的值及售完这30台学习机获得的利润. 23.在日历图中有许多奥秘，如图是某月的日历，请仔细观察并思考下列问题： 试卷第5页（共19页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 图危光鸟笑 日 三四五六 B 8 C D E 20 22 25 “X”字型 2627282930 31 ()我们用如图所示的“X'字型框架任意框住日历中的5个数（如图中的阴影部分），探究“X字型框架 中的五个数的和与C位上的数的关系， 例如图中“X”字型框架框住的五个数和为：2+4+10+16+18=一，5+7+13+19+21=一：不 难发现，“”字型框架中的五个数的和与C位上的数的关系为一· (2)设“X字型框架中位置C上的数为m,请利用所学知识对(1)中的规律加以证明； (3)如图的日历中，求“X”字型框架框住的5个数之和的最大值与最小值的差为 24.【问题情境】宇宙中存在一种神秘的黑洞天体，数学中也有一种神秘的“黑洞数字”·数学兴趣小 组在研究“黑洞数字”时，在0到9之间，任取三个不全相等的数字，将这三个数字从大到小排列得到最 大数，再从小到大排列得到最小数，然后用最大数减去最小数，得到一个新数，我们将这个操作叫“重 排求差”；将得到的新数再次进行“重排求差”，可一直重复这样的操作. 例如：取三个数字：0,1,2，进行如下操作： 第1次：数字0,1,2，则210-12=198： 第2次：数字1,9,8，则981-189=792： 第3次：数字7,9,2，则972-279=693： 第4次：数字6,9,3，则_· … (1)【问题探究】上述第4次“重排求差”的计算表达式为_： (②)【问题探究】①小组成员甲发现：任取三个不全相等的数字，经过有限次“重排求差”操作后，最终 会得到一个确定不变的“黑洞数字”，这个“黑洞数字”是_： ②小组成员乙发现：在上述“重排求差”操作中，最大数和最小数的差总能被99整除.你认为他发现的 结论是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，请举出反例。 ③)【探究应用1已知P、9是0到9之间的整数P<）,满足P+g=7,且P、9是关于x的一元二次方 程x2-mx+12=0的两个实数根，将P、9、7三个数字进行多次“重排求差”操作，发现第n次结果就 试卷第6页（共19页） 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 西危先乡笔 得到“黑洞数字”，请求出n的值， 试卷第7页（共19页）苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 · 2026~2027年沪教版五四制新教材数学七年级上册 · 第10章整式的加减单元测试卷 · 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．若多项式与多项式的和是一个单项式，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】整式的加减运算 【分析】此题考查了整式的加减运算，单项式的概念，解题的关键是掌握整式加减运算法则以及单项式的概念． 根据题意进行整式的加法即可求出答案． 【详解】解：由题意可得： ， ∵多项式与多项式的和是一个单项式， ∴， 故选：A． 2．下列说法正确的是（   ） A．的次数是4 B．的系数是 C．的一次项系数是3 D．的次数是3 【答案】B 【知识点】单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查单项式、多项式，根据单项式和多项式的有关概念逐项判断即可，注意是特定的数． 【详解】解：A、的次数是3，此选项说法错误，不符合题意； B、的系数是，此选项说法正确，符合题意； C、的一次项系数是，此选项说法错误，不符合题意； D、的最高次数是4，此选项说法错误，不符合题意． 故选：B． 3．观察下列关于的单项式，探究其规律：按照上述规律，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】单项式规律题 【分析】本题考查了单项式规律题，观察单项式的系数和次数规律，系数为连续的奇数，次数为项数对应的自然数，据此即可求解； 【详解】解： 系数规律：第1项系数为1，第2项为3，第3项为5， ∴第项的系数为： 次数规律：第项的次数为，即第项的次数为， ∴第个单项式为： 故选：B 4．现定义运算“”，对于任意有理数，都有．例如：，由此可知等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算、整式四则混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算，根据新定义代入，然后根据完全平方公式以及平方差公式展开，最后合并同类项即可． 【详解】解：根据题意可知： ， 故选：C 5．已知整式，其中n为自然数，均为非负整数，且为正整数．如果，则下列说法： ①满足条件的整式M中，其次数最高为3； ②满足条件的整式M中，存在系数全为1的整式； ③满足条件的整式M中，单项式有7个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用．通过分析n的可能取值及系数和条件，列举所有满足条件的整式M，从而判断各说法的正误． 【详解】解：①∵，且，其他系数，n为自然数， ∴， 即满足条件的整式M中，其次数最高为3，说法①正确； ②系数全为1， ， ，即， 解得： 为自然数， 不存在系数全为1的整式，说法②错误； ③单项式需其他系数为0， ，， ，或，或，或，，共4个，不是7个，说法③错误； ∴只有①正确， 故选：B． 6．若多项式与的和与的取值无关，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查整式的加减，代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据题意将两式相加，根据题意得出关于，的方程，解得，的值后代入中计算即可． 【详解】解： ， 多项式与的和与的取值无关， ，， 解得：，， 则， 故选：A． 7．在学习了整式的加减后，老师给出下面这道课堂练习题：选择的一个值，求的值.学生甲、乙、丙、丁对此题说法错误的是：（   ） A．甲说：“当时，原式．” B．乙说：“当时，原式．” C．丙说：“当时，原式．” D．丁说：“当取1或时，原式的值都是．” 【答案】A 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的加减运算和代数式求值，本题先将化简为，然后再逐一核对选项，即可求解． 【详解】解： ， A、甲说：“当时，原式”，错误，原式应该，符合题意； B、 乙说：“当时，原式”，正确，不符合题意； C、丙说：“当时，原式”， 正确，不符合题意； D、丁说：“当取1或时，原式的值都是”，正确，不符合题意； 故选：A． 8．图1是长为，宽为的小长方形纸片将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，若的值是（   ） A．8 B．16 C．12 D．32 【答案】B 【知识点】列代数式、整式加减的应用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查列代数式，整式化简和已知字母的值求代数式的值，设，先求出阴影的面积分别为，，即可得出面积的差为，将a和b的值代入即可． 【详解】解：由题可知， 设， 则，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 9．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】绝对值非负性、整式的加减中的化简求值 【分析】根据非负数的性质可以得到x和y的值，再把原式化简后将x和y的值代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式= =， 故选A． 【点睛】本题考查整式的化简与求值，根据非负数的性质求得x与y的值是解题关键． 10．我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如图1），该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，其中有两个数和2，则与的乘积为（   ） A． B． C．9 D．256 【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了代数式求值，根据题意可得每个三角形各顶点上数字之和相等，则，据此可得，由此可得答案． 【详解】解：∵每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴每个三角形各顶点上数字之和相等， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．若单项式与的和仍是一个单项式，则的值是__________． 【答案】 【知识点】合并同类项、已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查了同类项的定义，可以合并说明两式为同类项，根据同类项的字母相同及相同字母的指数相同可得出和的值，然后代入计算即可． 【详解】解：因为单项式 与的和仍是单项式， 所以它们是同类项． 对于字母，有，解得； 对于字母，有，解得． 所以． 故答案为：． 12．当a=-1时，代数式的值等于 _____ 【答案】6. 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】首先利用多项式与多项式的乘法法则计算，然后合并同类项即可化简，最后代入数值计算即可． 【详解】原式=a2-2a+a-2-(a2+3a-2a-6) =a2-2a+a-2-a2-3a+2a+6 =-2a+4， 当a=-1时，原式=-2×(-1)+4=2+4=6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，正确理解多项式与多项式相乘法则是关键． 13．若多项式是关于x的三次多项式，则多项式的值为________． 【答案】2或7． 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】根据多项式的次数为3，需要进行分类讨论，可得m的值，从而求出n的值，进而可得答案． 【详解】解：∵多项式是关于x的三次多项式， ①当时，即， 此时，； ∴， ∴； ∴三次多项式为：； ∴； ②当时，即， ∴， ∴， ∴， ∴三次多项式为：； ∴； 故答案为：2或7． 【点睛】此题主要考查了多项式的定义，解题的关键是掌握多项式的相关定义，正确求出m、n的值进行解题． 14．数a、b、c在数轴上对应的位置如图所示，化简______． 【答案】/ 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、整式的加减运算、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了整式的加减，掌握取绝对值与合并同类项是解题的关键． 根据数轴先取绝对值再合并同类项即可． 【详解】解：由数轴得，， ． 故答案为：． 15．一个十位数字比百位数字大5的四位正整数M，各数位上的数字均不相等且都不为零，将其从百位、十位数字中间划分开，前两位数字组成的新数记为，后两位数字组成的新数记为，记，若为整数，则称M为“环数”．若，则________，若奇数S是一个“环数”，且各数位上的数字之和能被5整除，则满足条件的S的最大值与最小值的平均数为________． 【答案】 【知识点】整式加减的应用、新定义下的实数运算 【分析】设四位数的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为，个位数字为d，根据题意得到，进而求解即可； 设四位数S为，得出或20或25，即或15或20，再根据是整数，得出或10，即可求出答案． 【详解】解：设四位数的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为，个位数字为d ∴ ∴ 根据题意得，，， ∴ ∵各数位上的数字均不相等且都不为零 ∴逐项代入求解可得，，，， ∴； 设四位数S为（，，，，且均不相等）， ∵S是一个“环数”， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 而a，b，d各不相等， ∴， ∵S的各数位数字之和能被5整除， ∴或20或25， ∴或15或20， ∵S是一个“环数”， ∴ 是整数， ∴是5的倍数， ∴或10或15， ∵S是奇数， ∴d是奇数， ∴或15， ∴， ∵， ∴，或，或，或，； ∴，，，或，，，或，，，或，，，； 即满足条件的所有S的值为5163或5271或5389或5497， ∴最大值为5497，最小值为5163 ∴满足条件的S的最大值与最小值的平均数为． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了新定义，整式的加减运算的应用，整除问题，得出或15或20是解本题的关键． 16．已知三位自然数，若的百位数字与个位数字的和是十位数字的平方，我们把这样的三位数叫做“和方数”．例如：三位数123，，123是“和方数”；例如：三位数649，，，649不是“和方数”；若是“和方数”，且（，，，是整数），把的百位数字和个位数字交换（十位数字不变）得到一个数，规定． （1）________．（2）已知数是“和方数”，若能被7整除，则所有满足条件的的值的和是________． 【答案】 18 2039 【知识点】整式加减的应用、新定义下的实数运算 【分析】此题考查了整式的加减的应用， （1）由根据题意表示出y，然后代入求解即可； （2）首先表示出 ，然后代入得到，得到，然后根据能被7整除结合a，b，c的取值范围分情况求解即可． 【详解】解：（1）； （2）根据题意，得， ∴， ∵能被7整除，，，，是整数， 当时，由“和方数”解得 则 ， 当时，，由“和方数”解得或  则或， 当时，，由“和方数”解得则 ， ， 故答案为：18；2039. 三、解答题（共8小题，满分72分） 17．先化简，再求值： 已知与互为相反数，求代数式的值． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、运用平方差公式进行运算、整式四则混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查整式的四则混合运算以及绝对值和二次根式的非负性问题，熟练掌握各个运算法则是解题关键．根据平方差，完全平方公式及整式的乘法先计算括号内的，然后再计算整式的除法，根据非负数的性质求出x、y的值，再代入进行计算即可得． 【详解】解：原式 ∵与互为相反数， ∴， ∴， 代入原式得 原式 18．已知：多项式，求： (1)； (2)当，时，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的加减－化简求值，一般先把所给整式去括号合并同类项，再把所给字母的值或代数式的值代入计算． （1）把代入，然后去括号合并同类项即可； （2）把，代入（1）化简的结果计算即可． 【详解】（1）解：把代入，得 ； （2）解：当，时， 原式． 19．小明在计算多项式A减多项式时，因一时疏忽忘了将两个多项式用括号括起来，计算成了，得到的结果是． (1)求多项式A； (2)求这两个多项式相减的正确结果，并求当时正确结果的值． 【答案】(1) (2)；2 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查整数的加减运算： （1）将错就错，用，进行求解即可； （2）先根据整式的加减运算法则进行计算，再代值计算即可。 【详解】（1）解：因为 所以 所以 ； （2）两个多项式相减的正确结果为： 当时， 原式． 20．有三组整式：①，，；②，，2；③，，这三组整式都具有一些共同特征，我们把具有这种特征的等式组称为“和谐等式组”． (1)若某个“和谐等式组”中的第一个整式为,第二个整式为． ①直接写出m的值：__________； ②求出这个“和谐等式组”的第三个整式； (2)若，，（m为常数）是一个“和谐等式组”，求的值． 【答案】(1)①，② (2) 【知识点】整式的加减运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了整式的加减： （1）观察得到式子的规律，根据规律可得到结果；和谐等式组的最后一个式子是由第一个式子减去第二个式子得到的； （2）根据和谐等式组的特点得到结果； 得到规律并能准确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：①通过观察可以得到“和谐等式组”第一个式子与第二个式子的二次项的系数一样，可得到， 故答案为：； ②通过观察可以得到“和谐等式组”第三个式子是由第一个式子减去第二个式子得到的， 即； （2）解：∵，（m为常数）是一个“和谐等式组”， ∴ 整理得： ∴ 解得 ∴ 整理得：． 21．阅读材料：代数式运算中：，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把和各看成一个整体，对下列各式进行化简： ①； ②． (2)已知，求的值； (3)已知，，求代数式的值． 【答案】(1)①② (2)7 (3)5 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、合并同类项 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，解题的关键在于能够熟练运用整体的思想进行求解． （1）①利用“整体思想”，把看成一个整体，然后合并即可得到答案； ②利用“整体思想”，把，看成一个整体，然后合并即可得到答案； （2）把变形为，再整体代入计算即可； （3）把代数式变形为，再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵，， ∴ ． 22．【知识回顾】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题，“代数式的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是把x，y看作字母，把a看作系数合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，其中，则． 【知识应用】 （1）当_____，_____时，关于x的多项式不含项和项． （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值． 【知识拓展】 （3）元旦快到了，某商场计划购进甲、乙两种学习机共30台进行销售，甲种学习机每台进价600元，每台售价920元；乙种学习机每台进价400元，销售利润率为（利润率=100%）．购进学习机后，商场决定：每售出一台甲种学习机，返还顾客现金b元，乙种学习机售价不变．设购进甲种学习机x台，当销售完这30台学习机的利润与x的取值无关时，求出此时b的值及售完这30台学习机获得的利润． 【答案】（1），1；（2）；（3），售完这30台学习机获得的利润为7200元 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查了整式加减运算，解一元一次方程，弄清题意是解本题的关键． （1）先合并同类项，再根据多项式不含项和项，列出方程解答即可； （2）先求，根据多项式的值与y的取值无关可知：化简后的多项式含有y的项的系数之和为0，列出方程解答即可； （3）先求出甲乙的每台利润，然后表示出总的利润，进行合并同类项，再根据利润与x的取值无关，得到关于b的一元一次方程，即可求解． 【详解】解：（1） ， ∵关于x的多项式不含项和项． ∴， 解得， 故答案为：，； （2）∵，， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得； （3）由题意得，乙的每台利润为：（元）， 甲的每台利润为：（元）， ∴总利润为： ， ∵利润与x的取值无关， ∴，解得，此时利润为元． 23．在日历图中有许多奥秘，如图是某月的日历，请仔细观察并思考下列问题： (1)我们用如图所示的“X”字型框架任意框住日历中的5个数（如图中的阴影部分），探究“X”字型框架中的五个数的和与位上的数的关系． 例如图中“”字型框架框住的五个数和为：______，______；不难发现，“X”字型框架中的五个数的和与位上的数的关系为______． (2)设“X”字型框架中位置上的数为，请利用所学知识对（1）中的规律加以证明； (3)如图的日历中，求“X”字型框架框住的5个数之和的最大值与最小值的差为______． 【答案】(1)50；65；“X”字型框架中的五个数的和等于位上的数的5倍 (2) 证明： 设“X”字型框架中位置上的数为， 则位置上的数为，位置上的数为， 位置上的数为，位置上的数为， ， “X”字型框架中的五个数的和等于位上的数的5倍； (3)70 【知识点】整式的加减运算、有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数加法计算，整式的加减计算： （1）先根据有理数加法计算法则求出两个式子的和，可以发现式子的和都是对应C位置上的数字的5倍； （2）设设“X”字型框架中位置上的数为，则位置上的数为，位置上的数为，位置上的数为，位置上的数为，再根据整式的加减计算法则求出这五个数字的和即可证明结论； （3）根据日历可得和的最大值时，，和取最小值为40时，，由此根据（2）的结论求出最大值和最小值得，进而求差． 【详解】（1）解： ，， “X”字型框架中的五个数的和等于位上的数的5倍； 故答案为：；；“X”字型框架中的五个数的和等于位上的数的5倍. （2）略 （3）当位上的数是24时，“X”字型框架中的五个数的和取最大值，和为， 当位上的数是9时，“X”字型框架中的五个数的和取最小值，和为， “X”字型框架框住的5个数之和的最大值与最小值的差为． 24．【问题情境】宇宙中存在一种神秘的黑洞天体，数学中也有一种神秘的“黑洞数字”．数学兴趣小组在研究“黑洞数字”时，在0到9之间，任取三个不全相等的数字，将这三个数字从大到小排列得到最大数，再从小到大排列得到最小数，然后用最大数减去最小数，得到一个新数，我们将这个操作叫“重排求差”；将得到的新数再次进行“重排求差”，可一直重复这样的操作． 例如：取三个数字：0，1，2，进行如下操作： 第1次：数字0，1，2，则； 第2次：数字1，9，8，则； 第3次：数字7，9，2，则； 第4次：数字6，9，3，则 ． …… (1)【问题探究】上述第4次“重排求差”的计算表达式为 ； (2)【问题探究】①小组成员甲发现：任取三个不全相等的数字，经过有限次“重排求差”操作后，最终会得到一个确定不变的“黑洞数字”，这个“黑洞数字”是 ； ②小组成员乙发现：在上述“重排求差”操作中，最大数和最小数的差总能被99整除．你认为他发现的结论是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，请举出反例． (3)【探究应用】已知、是0到9之间的整数，满足，且、是关于的一元二次方程的两个实数根，将、、7三个数字进行多次“重排求差”操作，发现第次结果就得到“黑洞数字”，请求出的值． 【答案】(1) (2)①495； ②成员乙发现的结论是正确的，理由如下： 设在0到9之间任取的三个整数分别为、、，其中最大，最小 则“重排”得到的最大数为，最小数为， “求差”为：， 、为0到9之间的整数，且， 为正整数， 则为99的倍数，所以最大数和最小数的差总能被99整除； (3) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、数字类规律探索 【分析】（1）根据题中方法计算求解； （2）①继续计算，找出规律； ②根据整式的运算法则列式计算；、 （3）先根据根与系数的关系得，即可求出m，再解方程求出p、q，再对三位数字进行“重排求差”操作，即可求解． 【详解】（1）解：第4组：数字6，9，3，则； （2）解：①第5组为：， 第6组为：， ……， ∴这个“黑洞数字”是495； ②略 （3）解：由已知得，即 原方程为：， 解得：，， ， ，， 将三位数3、4、7进行“重排求差”： 第1次：， 第2次：， 第3次：， 第4次：，本次“重排求差”与上一次“重排求差”完全一致， 结合（2）的探究可知“黑洞数字”为495，且． 试卷第12页（共19页） 试卷第19页（共19页） 学科网（北京）股份有限公司 $