广东深圳外国语学校2026-2027学年高三上学期第一次阶段性考试数学试题

绝密★启用前 深圳外国语学校2027届高三第一次阶段性考试 数学试题 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号码等信息填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集，集合，，则 A． B． C． D． 2．设，，为虚数单位，若，则 A．0 B．1 C．3 D．6 3．已知，，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的焦距为 A．2 B． C．4 D． 5．已知变量和变量的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为 A．2 B．1 C．-1 D．-2 6．设数列满足，则的前2026项之和为 A． B． C． D． 7．将一条长为18的线段截成9段，使其组成一个正三棱柱的框架，则该正三棱柱的外接球表面积的最小值为 A． B． C． D． 8．已知直线分别与曲线和切于点，，且与轴交于点，若，则 A．-2 B．-1 C．1 D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，为函数的最小正周期，则 A． B． C．为奇函数 D．在上单调递增 10．设函数，则 A．2是的极大值点 B．方程有3个不同的实数解 C．， D．， 11．2026年7月23日，中国数学家邓煜和王虹获得菲尔兹奖，王虹的获奖成果包括她与约书亚·扎尔在三维挂谷猜想问题上的突破．平面里的挂谷猜想主要是研究能通过连续旋转或平移覆盖所有方向的确定长线段的集合，该集合称为挂谷集，三尖内摆线及其围成的部分就是一种挂谷集，它被以它三个端点围成的三角形完全覆盖．如图所示，在平面直角坐标系中，三尖内摆线的方程为：，已知以原点为中心逆时针旋转后与原曲线重合，则 A．关于直线对称 B．与轴的交点坐标为和 C．与曲线有3个公共点 D．所围成的图形面积为，则，其中， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，，若，则__________． 13．一个不透明袋子中有大小和质地均相同的9个小球，分别标有号码1，2，3，…，9，不放回地先后摸出两个小球，记号码分别为，，则事件“”发生的概率为_________． 14．在一个数列的每相邻两项之间插入它们的等差中项，整个数列按照原来的顺序得到一个新数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．下面对数列1，3，7按照上述方法进行“扩展”，第1次“扩展”后得到数列1，2，3，5，7，第2次“扩展”后得到数列1，，2，，3，4，5，6，7．设第次“扩展”后得到的数列项数为，所有项的和为，记为不超过的最大整数，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 在中，，，分别是角，，的对边，若，且． （1）求； （2）若的面积为，求的周长． 16．（15分） 随着人工智能技术的快速发展，AI图像识别在工业质检、安防监控等领域得到广泛应用．某科技公司研发了一款面向工业质检的AI图像识别设备．为确保产品质量，公司对生产的设备进行抽样检测，每台设备的检测结果相互独立．已知每台设备的检测结果为优质品的概率为，为合格品的概率为，现从该公司生产的设备中随机抽取3台进行检测． （1）求至少2台是优质品的概率； （2）若每台优质品设备可获利5万元，每台合格品设备可获利3万元，记随机抽取的3台设备共可获利万元，求的分布列、数学期望以及方差． 17．（15分） 如图，在圆台中，，下底面圆的直径，点在圆上，点在圆上，直线，与底面所成角均为，圆台的体积为． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18．（17分） 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且其中一个焦点与抛物线：的焦点重合，为抛物线上除原点外一点，直线交椭圆于点，，的周长为8． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与抛物线交于另一点，设直线与的倾斜角分别为与． （ⅰ）证明：； （ⅱ）记与的面积分别为与，求的最小值． 19．（17分） 对于函数，若存在其定义域内的，使成立，则称为函数的不动点．已知函数，其不动点为． （1）判断与的大小关系并说明理由； （2）数列的递推公式为，，其前项和为，． （ⅰ）证明：数列，为递增数列； （ⅱ）证明：．（参考数据：） 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案及解析 深圳外国语学校2027届高三第一次阶段性考试 数学试题 参考答案 一、选择题：每小题5分，共40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B A D C D A A 二、选择题：每小题6分，共18分． 题号 9 10 11 答案 AD ABD ACD 说明：第9题全部选对得6分，选对一个得3分，有选错得0分；第10、11题全部选对得6分，选对一个得2分，有选错得0分． 一、填空题：每小题5分，共15分． 12．5； 13．； 14．2029． 15．（13分） 解：（1）由题意，，原式可化为， 由，得， 则原式可化为， 3分 由，所以，所以， 由正弦定理，得，又，所以，， 所以，由，得． 6分 （2）由题意及（1）得，，解得， 8分 由余弦定理得，，即， 10分 代入解得，因为，，解得， 12分 所以的周长为． 13分 16．（15分） 解：（1）记为优质品数目，则的所有可能取值为0，1，2，3，， 2分 ，， 4分 所以． 5分 （2）由（1），合格品有台，依题意，， 则的所有可能取值为9，11，13，15， 6分 则，， ，， 10分 所以的分布列为： 9 11 13 15 11分 由得，， 所以数学期望， 方差． 15分 17．（15分） 证明：（1）由题意，圆台体积， 得，解得或-3（舍）， 1分 由点到底面的距离为，所以． 2分 因为平面，所以，由勾股定理， 则，即，同理， 由，，平面，所以平面， 4分 设直线与平面交于点，因为上下底面平行，且分别与平面交于直线与，所以， 5分 即平面，因为平面，所以平面平面． 6分 解：（2）由（1）得，因为，所以点是线段的中点， 又，所以，所以，，两两垂直， 7分 以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系如图，因为平面，所以，即四边形为平行四边形， 所以，，， 8分 所以，，，，，为中点，即，，，， 9分 设平面与平面的法向量分别为和，两平面夹角为， 由，取得； 11分 由，取得， 13分 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为． 15分 18．（17分） 解：（1）因为抛物线：的焦点为， 1分 所以椭圆的右焦点为，即，又过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于，两点，根据椭圆的定义，的周长为，所以，可得，所以椭圆的标准方程为． 4分 （2）（ⅰ）由题意，不在原点，直线与均不与轴重合， 可设：，：，，，，， 联立与方程：，解得， 6分 因为在抛物线上，得，解得：，， 7分 当时，，，或，则成立； 8分 当时，，，则，所以， 即成立（）． 综上，成立． 10分 （ⅱ）联立与椭圆方程：，整理得：，，由韦达定理得，， 所以； 12分 联立与抛物线方程：，整理得：，， 由韦达定理得，， 所以； 14分 ， 设，则，则， 设，，对称轴为，则在上单调递减， 所以，即，时取得最小值． 17分 19．（17分） 解：（1）， 1分 理由如下：由题意，有，即． 记，，则， ，于是在上单调递增． 2分 而，， 由零点存在定理，得，所以． 4分 证明：（2）（ⅰ）由得，，当时，， 所以，． 5分 先证明时： 因为时，；时，， 又，，所以，，……，即，， 7分 要证数列递增，即证， 即证，即证，， 8分 令，，其中，满足即， ， 令，，则，即在上单调递增， 所以，即，所以在上单调递减， 10分 则， 即时，成立，所以数列为递增数列． 11分 （ⅱ）由（ⅰ）同理可得时， 下面证明，即证， 令，，，则在上单调递增， 又，所以，即成立， 12分 所以为偶数时，； 为奇数时，， 综上，不等式右侧恒成立． 14分 同理，因为，所以成立，即， 15分 所以为偶数时，； 为奇数时，， 其中时等号成立， 综上，不等式左侧恒成立． 则． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $