2026年中考数学专题2 瓜豆原理

**基本信息** 瓜豆原理专项训练通过16道题系统覆盖圆与直线轨迹类型，结合多种几何背景，强化轨迹分析与最值求解，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆轨迹型|8题（练习1/3/5/8/9/13/14/15）|含直角三角形、正方形等背景，涉及定点定长旋转|旋转性质→轨迹圆心半径确定→圆上动点最值，体现从图形变换到轨迹生成的逻辑链| |直线轨迹型|8题（练习2/4/6/7/10/11/12/16）|涵盖坐标系、等边三角形等场景，含定角旋转|旋转相似→轨迹直线方程推导→直线上动点路径，构建从变换规律到轨迹方程的推理过程|

专题训练3 瓜豆原理（共16题） 【练习1】(直角三角形背景下定点定长圆轨迹型瓜豆原理）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, , BC=2,AD=1, 线 段AD 绕点A 旋转，点P为CD的中点，则BP的最大值是 。 答案： 【练习2】(坐标系下旋转直线轨迹型瓜豆原理）如图，在平面直角坐标系xOy中 ，Rt△ABC的顶点C,A分别在x轴，y 轴正半轴上，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=2. 以BC为边作等边△BCD，连接OD,则OD的最大值为 。 答案： 【练习3】（正方形背景下定点定长圆轨迹型瓜豆原理）如图，M是正方形ABCD 边CD 的中点，P是正方形内一点，连接BP,MP, 线段BP以B为中心逆时针旋转90°得到线段BQ,连接MQ. 若AB=4,MP=1,则MQ的最小值为 。 答案： 【练习4】(等边三角形旋转背景下直线轨迹型瓜豆原理）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE 是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F.如图，若点D 在△ABC 内，∠DBC=20°，则∠BAF= °;现将△DCE 绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是 。 答案：80； 【练习5】（正方形背景下旋转圆轨迹型瓜豆原理）如图，M 是正方形 ABCD 边 CD 的中点，P 是正方形内一点，连接BP，线段BP 以B 为中心逆时针旋转 90° 得到线段BQ，连接MQ ．若AB = 4，MP = 1，则MQ 的最小值为 ． 答案： 【练习6】(等腰三角形折叠与120°定角直线型瓜豆原理最值）如图，等腰三角形ABC 中 ，AB=AC,BC=6, , 点P 在边 AC上运动(可与点A,C重合),将线段BP 绕点P 逆时针旋转120°,得到线段DP, 连接BD,则BD 长的最大值为 。 答案： 【练习7】(坐标系背景下直线轨迹型瓜豆原理）如图，线段 OA、OB(OA< OB) 的长是方程 x2 - 6x + 8 = 0 的两根，点P 是 y 轴正半轴上一点，连接PA，以点P 为中心，将线段PA 顺时针旋转 90° 得到线段PQ，连接BQ，当线段BQ 取最小值时点P 的坐标是 ，此时线段BQ 的最小值为 ． 答案：（0，1）； 【练习8】(圆弧背景下定点定长圆轨迹型瓜豆原理）如图，已知AB 的半径为5,所对的弦AB 长为8,点P是AB 的中点，将AB绕点A 逆时针旋转120°后得到AB',则在该旋转过程中，点P 的运动路径长是 。 B 答案： 【练习9】（矩形背景下定点定长圆轨迹型瓜豆原理）如图，已知在矩形ABCD 中 ，AB=1,BC=√3,点P是AD 边上的一个动 点，连接BP,点C关于直线BP的对称点为C₁,当点P运动时，点C₁ 也随之运动. 若点P从点A 运动到点D,则线段CC₁ 扫过的域的面积是 。 C 答案：Π+ 【练习10】（矩形背景下旋转直线轨迹型瓜豆原理）如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=5√3, 点P在线段BC 上运动(含B、C 两点),连接AP,以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ, 连接DQ, 则线段DQ的最小值为 。 答案： 【练习11】(直角三角形背景下瓜豆原理）在 RtΔABC 中，斜边 AB = 2，∠A = 30° ,点 D 是 AC 边上的一个动点，连接 BD，将线段 BD 绕点B顺时针旋转 60° 得到BE，连接 CE，则BE + CE 的最小值为 ． 答案： 【练习12】(正方形背景下旋转直线轨迹型瓜豆原理）如图，正方形ABCD 的边长为4, E 为BC 上一点，且BE=1,F为AB 边上 的一个动点，连接EF, 以EF为边向右侧作等边△EFG, 连接CG,则CG的最小值为 。 答案： 【练习13】(圆背景下定角定弦圆轨迹型瓜豆原理）如图，CD 为⊙O 直径，AB⊥CD且过半径OD 的中点H, 过点A的切线交 CD的延长线于G, 且GH=6,点 E为⊙O上一动点，OF⊥AE于点F, 当点E 从点B 出发逆时针运动到点C 时，点F经过的路径长是 。 答案： 【练习14】（坐标系与圆背景下圆轨迹型中位线瓜豆原理）如图，在平面直角坐标系中，B(0,4),A(3,0),⊙A 的半径为2, P为⊙A 上任意一点，C是BP的中点，则OC的最大值是 。 答案：3.5 【练习15】（半圆背景下圆轨迹型瓜豆原理）在RtΔABC 中，∠C = 90° , AC =，BC = 2，若P 是以 AB 为直径所作半圆上由 A 沿着半圆向B运动的一点，连接 CP，过P 向下作PM ⊥ CP，且有PM = 0.5CP，如图所示，求点P 运动过程中，点M 的运动路径长是 ． 答案： 【练习16】(等边三角形背景下旋转直线轨迹型瓜豆原理）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动． (1)ΔABC 是边长为 3 的等边三角形，E 是边AC 上的一点，且AE = 1，小亮以BE 为边作等边三角形BEF，如图 1 ．求 CF 的长； (2)ΔABC 是边长为 3 的等边三角形，E 是边AC 上的一个动点，小亮以BE 为边作等边三角形BEF，如图 2 ．在点E 从点 C 到点A 的运动过程中，求点F 所经过的路径长； (3）ΔABC 是边长为 3 的等边三角形，M是高 CD 上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，如图 3 ．在点M从点 C 到点D 的运动过程中，求点N所经过的路径长； (4)正方形ABCD 的边长为 3，E 是边 CB 上的一个动点，在点E 从点 C 到点B 的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形BFGH，其中点F、G 都在直线AE 上，如图4 ．当点E 到达点B 时，点F、G、H 与点B重合．则点H 所经过的路径长为 ，点 G 所经过的路径长为 。 答案：（1）1；（2）3；（3）；（4）； 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题训练3 瓜豆原理（共16题） 【练习1】(直角三角形背景下定点定长圆轨迹型瓜豆原理）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, , BC=2,AD=1, 线 段AD 绕点A 旋转，点P为CD的中点，则BP的最大值是 。 答案： 【练习2】(坐标系下旋转直线轨迹型瓜豆原理）如图，在平面直角坐标系xOy中 ，Rt△ABC的顶点C,A分别在x轴，y 轴正半轴上，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=2. 以BC为边作等边△BCD，连接OD,则OD的最大值为 。 答案： 【练习3】（正方形背景下定点定长圆轨迹型瓜豆原理）如图，M是正方形ABCD 边CD 的中点，P是正方形内一点，连接BP,MP, 线段BP以B为中心逆时针旋转90°得到线段BQ,连接MQ. 若AB=4,MP=1,则MQ的最小值为 。 答案： 【练习4】(等边三角形旋转背景下直线轨迹型瓜豆原理）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE 是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F.如图，若点D 在△ABC 内，∠DBC=20°，则∠BAF= °;现将△DCE 绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是 。 答案：80； 【练习5】（正方形背景下旋转圆轨迹型瓜豆原理）如图，M 是正方形 ABCD 边 CD 的中点，P 是正方形内一点，连接BP，线段BP 以B 为中心逆时针旋转 90° 得到线段BQ，连接MQ ．若AB = 4，MP = 1，则MQ 的最小值为 ． 答案： 【练习6】(等腰三角形折叠与120°定角直线型瓜豆原理最值）如图，等腰三角形ABC 中 ，AB=AC,BC=6, , 点P 在边 AC上运动(可与点A,C重合),将线段BP 绕点P 逆时针旋转120°,得到线段DP, 连接BD,则BD 长的最大值为 。 答案： 【练习7】(坐标系背景下直线轨迹型瓜豆原理）如图，线段 OA、OB(OA< OB) 的长是方程 x2 - 6x + 8 = 0 的两根，点P 是 y 轴正半轴上一点，连接PA，以点P 为中心，将线段PA 顺时针旋转 90° 得到线段PQ，连接BQ，当线段BQ 取最小值时点P 的坐标是 ，此时线段BQ 的最小值为 ． 答案：（0，1）； 【练习8】(圆弧背景下定点定长圆轨迹型瓜豆原理）如图，已知AB 的半径为5,所对的弦AB 长为8,点P是AB 的中点，将AB绕点A 逆时针旋转120°后得到AB',则在该旋转过程中，点P 的运动路径长是 。 B 答案： 【练习9】（矩形背景下定点定长圆轨迹型瓜豆原理）如图，已知在矩形ABCD 中 ，AB=1,BC=√3,点P是AD 边上的一个动 点，连接BP,点C关于直线BP的对称点为C₁,当点P运动时，点C₁ 也随之运动. 若点P从点A 运动到点D,则线段CC₁ 扫过的域的面积是 。 C 答案：Π+ 【练习10】（矩形背景下旋转直线轨迹型瓜豆原理）如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=5√3, 点P在线段BC 上运动(含B、C 两点),连接AP,以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ, 连接DQ, 则线段DQ的最小值为 。 答案： 【练习11】(直角三角形背景下瓜豆原理）在 RtΔABC 中，斜边 AB = 2，∠A = 30° ,点 D 是 AC 边上的一个动点，连接 BD，将线段 BD 绕点B顺时针旋转 60° 得到BE，连接 CE，则BE + CE 的最小值为 ． 答案： 【练习12】(正方形背景下旋转直线轨迹型瓜豆原理）如图，正方形ABCD 的边长为4, E 为BC 上一点，且BE=1,F为AB 边上 的一个动点，连接EF, 以EF为边向右侧作等边△EFG, 连接CG,则CG的最小值为 。 答案： 【练习13】(圆背景下定角定弦圆轨迹型瓜豆原理）如图，CD 为⊙O 直径，AB⊥CD且过半径OD 的中点H, 过点A的切线交 CD的延长线于G, 且GH=6,点 E为⊙O上一动点，OF⊥AE于点F, 当点E 从点B 出发逆时针运动到点C 时，点F经过的路径长是 。 答案： 【练习14】（坐标系与圆背景下圆轨迹型中位线瓜豆原理）如图，在平面直角坐标系中，B(0,4),A(3,0),⊙A 的半径为2, P为⊙A 上任意一点，C是BP的中点，则OC的最大值是 。 答案：3.5 【练习15】（半圆背景下圆轨迹型瓜豆原理）在RtΔABC 中，∠C = 90° , AC =，BC = 2，若P 是以 AB 为直径所作半圆上由 A 沿着半圆向B运动的一点，连接 CP，过P 向下作PM ⊥ CP，且有PM = 0.5CP，如图所示，求点P 运动过程中，点M 的运动路径长是 ． 答案： 【练习16】(等边三角形背景下旋转直线轨迹型瓜豆原理）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动． (1)ΔABC 是边长为 3 的等边三角形，E 是边AC 上的一点，且AE = 1，小亮以BE 为边作等边三角形BEF，如图 1 ．求 CF 的长； (2)ΔABC 是边长为 3 的等边三角形，E 是边AC 上的一个动点，小亮以BE 为边作等边三角形BEF，如图 2 ．在点E 从点 C 到点A 的运动过程中，求点F 所经过的路径长； (3）ΔABC 是边长为 3 的等边三角形，M是高 CD 上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，如图 3 ．在点M从点 C 到点D 的运动过程中，求点N所经过的路径长； (4)正方形ABCD 的边长为 3，E 是边 CB 上的一个动点，在点E 从点 C 到点B 的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形BFGH，其中点F、G 都在直线AE 上，如图4 ．当点E 到达点B 时，点F、G、H 与点B重合．则点H 所经过的路径长为 ，点 G 所经过的路径长为 。 答案：（1）1；（2）3；（3）；（4）； 学科网（北京）股份有限公司 $