第5单元 微专题(2) 十字模型-【名师学案】2026年中考数学复习堂堂清

微专题（二） 类型一正方形中的“十字模型” 模型展示 已知：正方形ABCD,点E,F分别在 CD,AD上，AE与BF交于点G. 结论1：若AE⊥BF,则AE=BF. 结论2：若AE=BF,则AE⊥BF FD 已知：正方形ABCD,点E,F,G分别 在CD,AD,BC上. 结论3：若AE⊥FG,则AE=FG. HD 已知：正方形ABCD,点E,F,G,H 分别在AB,CD,BC,AD上. G 结论4：若EFGH,则EF=GH 对点训人练 1.如图，正方形ABCD中，点E,F分别在边 AD,CD上，DE=CF,AF与BE相交于点 G. (1)求证：BE=AF; (2)若AB=4,DE=1,求AG的长， D 十字模型 【变式1】如图，在正方形ABCD中，点E,F 分别在BC,CD的延长线上，连接AE,BF交 于点G,若AE⊥BF,求证：AE=BF 【变式2】如图，在正方形ABCD中，AB=4, 点E为BC的中点，点F在AD上，且DF= 3AF,连接EF,点O是EF上一点，过点O作 HG⊥EF,交CD于点G,交AB于点H,求 HG的长. 引领学案备考新模式110 类型二矩形中的“十字模型” 模型展示 已知：矩形ABCD,点E,F分别在 CD,AD上，AE与BF交于点G. 结论1：若AE1BF,则AE-AD BEAB 结论2：若AE-AD BE FAB,则AELBF. 已知：矩形ABCD,点E,F,G分别 在CD,AD,BC上 站论3：若AELPG.别能- 已知：矩形ABCD,点E,F,G,H 分别在AB,CD,BC,AD上. 结论4：若EFLGH,则EF-AD GH AB 过点训练 2.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点 E,F分别在边AD,BC上，EF⊥BD,则EF 的长为 第2题图 第3题图 111中考复习堂堂清·教学 3.如图，在矩形ABCD中，AB=9,AD=15,点 E为AB上一点，将△ADE沿DE折叠得到 △FDE,点F恰好落在边BC上，则折痕DE 的长为 4.如图所示，在四边形ABCD中，E,F分别是 AB,BC上的点，连接CE,DF,CE⊥DF. (1)如图1，若四边形ABCD是矩形，AB= .8c-则25 (2)如图2，若BC=CD,∠B=90°，∠BCD= 60求E的值， 图1 F图2平行直角相等相等垂直对角相等 相等垂直相等菱形矩形 微专题（一）矩形的折叠问题 第11题图 第12题图 1.C 12.(1)证明：如图，在△ABC中，点D是AC的 2.5E3解：AD/BC.∠2=∠3. 中点，.AD=DC.:AF∥BC,∴∠FAD= △BCD与△BCD关于直线BD对称，∴∠1 ∠ECD,∠AFD=∠CED.∴.△AFD≌△CED =∠2..∠1=∠3.EB=ED.设EB=x,则 (AAS).∴.AF=EC.∴四边形AECF是平行四 ED=x,AE=AD-ED=8-x.在Rt△ABE 边形.又EF⊥AC,点D是AC的中点，即EF垂 中，AB2+AE=BE2..42+(8-x)2=x2.∴.x 直平分AC,.平行四边形AECF是菱形：(2) =5.DE=5.SAMED= 解：如图，过点A作AG⊥BC于点G,由(1)知四 2DE·AB=2×5× 边形AECF是菱形，又CF=2,∠FAC=30°，∴ 4=10. 4.A 5.C 6 AF∥EC,AE=CF=2,∠FAE=2∠FAC=60°. ∴.∠AEB=∠FAE=60°..AG⊥BC,.∠AGB =∠AGE=90.∠GAE=30.∴GE=2AE (1)证明：由翻折和正方形的性质可得，∠EMP =∠EBC=90°，EM=EB.∴.∠EMB=∠EBM. =1,AG=√3GE=V3.∠B=45°，.∠GAB= .∠EMP-∠EMB=∠EBC-∠EBM,即 ∠B=45°..BG=AG=√3..AB=√2BG=√6. ∠BMP=∠MBC.,'四边形ABCD是正方形， 13.解：(1)四边形BPCO为平行四边形.理 .AD∥BC..∠AMB=∠MBC.∴.∠AMB= 由：，四边形ABCD为平行四边形，.OC=OA ∠BMP;(2)解：如图，延长MN,BC交于点Q. =号AC,OB=OD=BD.以点B,C为圆心 .AD∥BC,∴.△DMP∽△CQP.又DP=1,正 合AC,号BD长为半径画弧，两狐交于点卫， 方形ABCD边长为3CP-2÷0架-部 OB=CP,BP=OC..四边形BPCO为平行四 8S-台÷ac-2WD.QP-2MP.设MD- 边形；(2)当AC⊥BD,AC=BD时，四边形BP 则QC=2x,.BQ=3十2x.,∠BMP= CO为正方形..AC⊥BD,.∠BOC=90°..四 ∠MBC,即∠BMQ=∠MBQ,∴.MQ=BQ=3+ 边形BPCO是矩形.：AC=BD,OB=号BD, 2MP=号MQ=32.在R△DMP中. 3 OC=号AC.OB=OC.矩形BPC0为正方 MD+Dp=Mp,∴+1=(32).解得 形. 中考新动向 =0(舍长MD号 14.(1)证明：AB=AC,D是BC的中点，.AD 微专题（二）十字模型 ⊥BC,即∠ADC=∠ADB=90°..CE∥AD,. 1.(1)证明：.四边形ABCD是正方形，∴.AB= ∠ECD=∠ADB=90°.：AE⊥AD,∴.∠EAD AD=CD,∠BAE=∠ADF=90°..DE=CF. =90°.∴.∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°.∴.四 ∴.AD-DE=CD-CF,即AE=DF.在△ABE 边形ADCE是矩形；(2)解：，AB=AC,D是 (AB=DA, BC的中点，BC=4,∴BD=CD=号BC=2.由 和△DAF中，∠BAE=∠ADF,∴.△ABE≌ AE-DF, (1)可知，四边形ADCE是矩形，.AE=CD= △DAF(SAS).∴.BE=AF;(2)解：.AB=4, 2,∠AEC=90°.在Rt△AEC中，AE=2,CE= DE=1,∴.AE=4-1=3.∴.BE=√AB+AE 3,由勾股定理，得AC=√AE十CE=√13.. =5.由(1)知∠EBA=∠FAD,∴.∠FAD+ EF⊥AC,由三角形的面积公式，得S△=2 ∠AEB=∠EBA+∠AEB=90°.即∠AGE= AC·EF=)AE·CE∴EF=AECE_2X3 ∠BAE=90.△AG△BAE÷折能， AC /13 =6V13 即4G-多解得AG-号【变式1】证明：四 13 边形ABCD是正方形，∴.∠ABC=∠BCD= 导图内化目标 : 90°.AB=BC.AE⊥BF,.∠AGB=90°. 29 ∠BAE+∠ABG=90°.，∠CBF+∠ABG= 平分平分垂直 圆心垂直平分弧 90°，∴.∠BAE=∠CBF.在△BAE和△CBF中， 知识点三 I∠BAE=∠CBF, 1.相等相等 2.相等 AB=BC, ∴.△BAE≌△CBF(ASA). 知识点四 ∠ABE=∠BCF, 1.相等 一半 2.直角 直径 .'.AE=BF. 【变式2】解：过点F 知识点五 1.互补 核心考点解读 典例精析 BM E 作FM⊥BC于点M,过点G作GN⊥AB于点 【例】 (1)证明：.∠ACB= N,.HG⊥EF,FM⊥GN,∴.∠MFE=∠NGH. :四边形ABCD是正方形：∴AB=AD.∴FM =GN.∴.△MFE≌△NGH(ASA).∴.EF= HG.DF-3AF.AF-AD-1AB-1. ∠AOB.∠BAC=)∠B0C,∠ACB=2∠BAC, 1 E是BC的中点，BE=2BC=号AB=2.: ∴.∠AOB=2∠BOC.(2)解：过点O作半径OD EM=BE-BM=BE-AF=1.X FM=AB-4 ⊥AB于点E,连接DBAE=BE=2AB=2. .EF=√FM+EM=√I7.∴.HG=EF= 17. 2号 ∠AOB=2∠BOC,∠DOB=2∠AOB, 3.5√/10 4.(1) n ∠DOB=∠BOC.∴.BD=BC=√5..BE=2, 解：(2)过点D作DH⊥AB交BA BD=√5，在Rt△BDE中，DE=√BD-BE= 1.在Rt△OEB中，OB2=(OB-1)2+EB2即r2 =(-1)P+2,解得r=号⊙0的半径为3 的延长线于点H,作CG⊥DH交HD的延长线 真题对练 于点G.如图所示，则四边形BCGH为矩形根据 6.D7.B8.2或149.D10.B11.C 矩形的十字模型，易证-品（证明过程略） 12.45°或135°13.（1)证明：由题意可得， ∠ADF为⊙O内接四边形ABCD的一个外角， Bc=cm.∴器- .:∠BCD=60°， .∠ADF=∠ABC..点I是△ABC的内心， ∠CBD=∠DBF.DG是∠ADF的平分线， ∴.∠DCG=90°-60°=30°.在Rt△DCG中， -cs30°=S.DpFg ∠ADG=∠GDF.∴∠ADG=∠CBD. :cos∠DCG=CC ∠DAC=∠CBD,∴.∠ADG=∠DAC..DG∥ 2…CE 2 CA;(2)证明：，点I是△ABC的内心，∴.∠BAI 第六单元圆 =∠CAI.:∠CBD=∠DBF=∠CAD, 第21讲圆的有关概念和性质 ∠DBF+∠BAI=∠CAD+∠CAI,即∠DIA= 教材知识梳理 ∠DAI..AD=ID;(3)解：∠ADE=∠BDA, 基础对练 ∠DAE=∠DBA,∴.△DAEc∽△DBA..DE= 1.(1)AC,BC,AB (2)AB OA,OB,OC,OD (3)AC,BC.AD,BD,CD (4)BC.BAC (5) 4BE=5BD=9船-品即品P ∠BOC∠BAC(6)直径AB所在的直线（答 AD=6(负值已舍去).由(2)得，DI=AD=6. .BI=BD-DI=9-6=3. 案不唯一)2.(1)3ADBD(2)⊥AD 中考新动向 BC(3)⊥33.(1)66°(2)32°(3)4 4. 14.7.5 (1)90°(2)36°54°5.115°659 导图内化目标 知识梳理 1.不一定2.不一定4.轴中心1.平分 知识点一 弧一半相等直角(90°)直径 1.线段圆心长弧半圆 圆心 圆上 第22讲与圆有关的位置关系 相交中心圆心 教材知识梳理 知识点二 基础对练 30