第4单元 模型归类专题(1) 中点之四大模型&模型归类专题(2) 利用角平分线构造等腰三角形或全等三角形解题-【名师学案】2026年中考数学复习堂堂清

为等边三角形，DA=EB=FC,∴.AD=DF=EB =EF=2,∠DEF=∠DFE=60°.∴.∠DBF ∠EPB=号∠DEF=30,∠AFB=∠EFB+ ∠DFE=90°，∠EFB=∠GFC=30°.作CH⊥ BG交BG的延长线于点H,CH=2CF=1, FH=√22-12=√3.∠AFB=∠H=90°，. AF/CH.△AGFn△CGH.带-器即 4 1 FG解得FG=青5，故答案为：30， √5-FG . 真题对练 6.C7.40 P 证明：BD为等 E 边△ABC的中线，.BD⊥AC,∠1=60°..∠3 =30°.：BD=DE,.∠E=∠3=30°.：∠2+ ∠E=∠1=60°，∴.∠E=∠2=30°.∴.CD=CE 9.C10.1211.√6 中考新动向 12.①③④ 导图内化目标 等角轴等边相等60°轴60°互余 斜边的一半 模型归类专题（一）“中点”之四大模型 1.23.94.B5.2.46 s号 9.2丽10.611.专2.3厄 模型归类专题（二）利用角平分线构造等腰 三角形或全等三角形解题 1.22.503.3或74.2.55.√2 6. 解：延长BC至点F,使得CF D =BC,连接DF,AB=2BC,.BF=BA.BD 平分∠ABC,∴.∠ABD=∠FBD.∴.△BDF≌ △BDA..DF=DA=5.E为BD的中点，. CE是△BDF的中位线.∴CE=子DF=号 模型归类专题（三）全等三角形之七大模型 1.(1)证明：.AD=BE,.AB=DE.又AC DF,BC=EF,.△ABC≌△DEF;(2)解： △ABC≌△DEF,.∠A=∠FDE=55°.∴.∠F =180°-∠FDE-∠E=180°-55°-45°=80° 2.解：(1)BE=BF,理由如下：，DE⊥AB,DF ⊥BC,BD是△ABC的角平分线，.DE=DF, ∠BED=∠BFD=90°.又BD=BD, ∴.Rt△BDE≌Rt△BDF.∴.BE=BF.(2)12 3.74.925.4 解：过点C作CP⊥ 0 OE B OA于P,CQ⊥OB于Q,则∠CPO=∠CQE= ∠CQO=90°=∠AOB.∴.四边形CPOQ是矩 形..OC平分∠AOB,点C是OC上一点，CP OA,CQ⊥OB,∴.PC=QC.又四边形PCQO是矩 形，.矩形PCQO是正方形.，∠DCE=90°= ∠DCQ+∠ECQ,∠PCQ=90°=∠PCD+ ∠DCQ,∴.∠PCD=∠ECQ.又∠CPD= ∠CQE,CP=CQ,∴.△PCD≌△QCE.∴ △S△PeD=S△arE..S四边形DCE=S四边形0DcQ十 SAOCE=S四边形OuCQ十S△PCD=SE方形Pa0=CQ= (CE·sin∠cEQr-(4x)-12. 6.√5-1 7.①②③8.①②④9.解：将△ABD绕点 A顺时针旋转90°至△ACF,连接EF,则CF= BD=2,∠ACF=∠B,∠FAC=∠BAD,AF= AD,∠BAC=90°，∠DAE=45°，.∠FAE ∠EAC+∠FAC=∠EAC+∠BAD=∠BAC ∠DAE=90°-45°=45°=∠DAE.,AE=AE, .△AFE≌△ADE(SAS).∴.FE=DE., ∠BAC=90°，AB=AC,∴.∠B=∠ACB=45 '.∠ECF=∠ECA+∠ACF=∠ECA+∠B= 90°.在Rt△ECF中，由勾股定理得EF=2√5， .DE=25. B 5 E 第9题图 第10题图 10.解：EF=BE+DF.证明：将△ABE绕点A 逆时针旋转至△ADG的位置，使AB与AD重 合.由旋转的性质得∠ADG=∠B,DG=BE,AG =AE,∠BAE=∠DAG,:∠B+∠ADC= 180°，∴.∠ADG+∠ADC=180°..C,D,G三点 共线.：∠FAD+∠DAG=∠FAD+∠BAE= ∠BAD-∠EAF=7∠BAD.·∠FAG= ∠EAF..AF=AF,∴.△AEF≌△AGF.∴.EF =FG..FG=DG+DF=BE +DF,.'.EF=BE +DF.模型归类专题（一） 一阶方法技巧突破练 模型一构造中位线 模型展示 如图，在△ABC中，点D是AB的中点. 情形1：已知点E是AC的中点，连接DE 情形2：过，点D作DE∥BC交AC于点E, 一A 结论：DE=BC;△ADEn△ABC. 对点训八练 1.如图，在△ABC中，AC=2√2，∠ACB= 120°，D是边AB的中点，E是边BC上一点， 若DE平分△ABC的周长，则DE的长为 ) 120 A号 B.②+1 D.√3 2 C.√2 【点拨】过点D作DF∥AC交BC于点F. 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC =4,点N是BC边上一点，点M为AB边上 的动点，点D,E分别为CN,MN的中点，则 DE的最小值是 M 第2题图 第3题图 3.如图，△ABC中，D为AC的中点，过点D作 DE⊥AC交CB的延长线于E,交AB于F, 若BF=3,F是DE的中点，则AF的长是 【点拨】过点D作DN∥BC交AB于点N. 87中考复习堂堂清·数学 “中点”之四大模型 模型二构造中线 模型展示 情形1：如图，在△ABC中，AB=AC,点D为BC的 中点. 连接AD B DC 结论：AD⊥BC;AD平分∠BAC. 情形2：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D为AB 的中点. 连接CL 结论：CD= AB 过点训练 4.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点 D在CG上，BC=1,CE=3,H是AF的中 点，那么CH的长是 () A.2.5 B.√5 c. D.2 G B M 第4题图 第5题图 5.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,点 M为BC的中点，MN⊥AC于点N,则MN 的长是 模型三构造垂直平分线 模型展示 ------ 如图，在△ABC中，ED垂直平分BC. 连接BE 结论：BE=CE;ED平分∠BEC;∠EBC=∠C, 对点/训练 6.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分 AB,分别交AB,BC于D,E两点，若BE=5, CE=3,则AC的长为 () A.2 B.3 C.4 D.5 ■ D C E 第6题图 第7题图 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6, AC=8,点D是AB的中点，过点D作DE⊥ AB交BC的延长线于点E,则CE的长为 模型四构造倍长中线或倍长类中线 模型展示 情形1：倍长中线 在△ABC中，AD是BC边的中线. 倍长中线 D 结论：△ACD≌△EBD. 情形2：倍长类中线 在△ABC中，D是边BC的中点，E是AB上一点，连 接DE. 倍长类中线 D 结论：△BDE≌△CDF, 用途：构造全等三角形，证明线段之间的数量关系 8.如图，已知AB=12,AD=5, BC=10,AB⊥BC于点B,AB ⊥AD于点A,若E是CD的 中点，则AE的长是 【点拨】延长AE交BC于F. 9.如图，在△ABC中，∠A=90°，点D是BC的 中点，点E是AB上一点，连接ED,过点D 作DF⊥DE交AC于点F,连接EF.若BE =3,CF=2√5，则EF= 【点拨】延长ED至G,使DG=ED,连接FG,CG. 二阶方法综合运用 10.如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AC=6,点D 是BC的中点，点E在AB上，∠BED= 30°，则DE的长是 B 11.如图，△ABC中，D是BC的中点，E是AC 上一点，连接DE并延长交BA的延长线于 F,若DE=EF,BF=4,则AF的长是 0 12.如图，在正方形ABCD中，BC=3,延长CD 至点E,使得DE=1,EF⊥CE,EF=CE,连 接AF,CF,若G为AF的中点，则CG的长 为 【点拔】连接AC,则AC=3√2，易证得∠ACF= 90°，CF=√2CE=4√2，.AF=√AC+CF= cG-A-5 2 引领学案备考新模式88 模型归类专题（二） 利用角平分线构造等腰三角形或全等三角形解题 一阶方法技巧突玻练 如图，OP是/MON的平分线，PA」OP于点P 模型一利用角平分线构造全等三角形 模型展示 延长AP,交ON于点B (1)如图，OP是∠MON的平分线，PA⊥OM于点A 01 0 B M M 结论：△AOB是等腰三角形 作PB⊥ON于点B 3.如图，点P是∠AOB的平分线OC上一点， PN⊥OB于点N,点M是线段ON上一点. 结论：PA=PB,△AOP≌△BOP 已知OM=3,ON=5,点D为OA上一点，若 满足PD=PM,则OD的长度为 (2)如图，OP是∠MON的平分线，A是射线OM上 任意一点。 M 在ON上截取 OB=OA,连接PB B BN 第3题图 第4题图 结论：△AOP≌△BOP 4.如图，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于 本质：“角平分线十截长补短法”构造等腰三角形 DAB=4,S-号则BD的长是 1.如图，∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一 二阶 方法综合运用 点，CP∥OB,交OA于点C,PD⊥OB,垂足 5.如图，在△ABC中，AD 为D,且PC=4,则PD等于 是∠BAC的平分线，DE ⊥AB于点E,∠B=B C 30°，∠C=45°，BE=√3，则CD的长是 D B 第1题图 第2题图 6.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于 2.如图，四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平 点D,E是BD的中点，若AB=2BC,AD= 分∠ABC,AB=8,BD=13,BC=12,则四边 5,求CE的长. 形ABCD的面积是 模型二利用角平分线构造等腰三角形 模型展示 (1)利用“角平分线十平行线”构造等腰三角形 已知：∠1=∠2，AC∥OB A 结论：△AOC是等腰三角形 B (2)利用“角平分线十垂直角平分线的垂线”构造等腰 三角形 89中考复习堂堂清·数学