2026年中考数学专题训练1 将军饮马最值问题

**基本信息** 聚焦将军饮马最值问题，通过24题系统覆盖8类几何背景，以题载法构建轴对称转化的完整解题逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形背景|3题|含等边、含特殊角、内心相关|从基础对称到角平分线性质迁移| |四边形背景|9题|菱形/矩形/正方形中两定一动、逆向问题|结合特殊四边形对称性深化转化| |圆与扇形|3题|直径、弧中点、阴影周长|运用圆的对称性突破动态边界| |坐标系与函数|3题|平移型、二次函数背景|坐标化思想实现几何代数融合| |综合创新|6题|造桥选址、隐形圆、十字架模型|多知识点交叉构建最值求解体系|

专题训练1 将军饮马最值问题(共24题） 【练习1】（等边三角形背景下的两动一定将军饮马问题）如图，是等边三角形，，N是的中点，是边上的中线，M是上的一个动点，连接，则的最小值是________． 【练习2】（网格背景下的两定一动将军饮马问题）如图，每个小正方形的边长都为1,点A,B,C 均在格点上. (1)只用无刻度的直尺在AC 上找一点D, 使得BD最短. (保留作图痕迹) (2)在(1)的基础上，在BC 边上找一点M, 使得MA+MD最小，最小值为 。 【练习3】（圆背景下的两定一动将军饮马问题）如图，⊙O 的直径AB=4,C为AB 中点，点D在BC上，,点P是AB上的一个动点，则△PCD周长的最小值是 。 【练习4】（菱形背景下的两定一动将军饮马问题）如图，在菱形ABCD 中，AB=4,对角线BD=,点 P是边CD的中点，点M是对角线 BD上的一个动点，连接PM 、CM.则 PM+CM的最小值是 。 【练习5】（三角形背景下的三动点将军饮马问题）如图，在△ABC中，∠A=45°,∠B=60°, AB=,点D 、E 、F 分别是边BC 、AB 、AC上的动点，则△DEF周长的最小值是 。 【练习6】垂线段最短问题(非将军饮马)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°,AB=6,BC=8. 点P 为边AC上异于A的一点，以PA,PB为邻边作平行四边形PAQB, 则线段PQ的最小值是 . 【练习7】（菱形背景下的逆向两定一动将军饮马问题）如图，在菱形ABCD中 ，AC=4,BD=2,E 为线段AC 上的动点，四边形 DAEF 为平行四边形，则BE+BF的最小值为 。 【练习8】（平面直角坐标系背景下两定一动将军饮马问题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A(3,0),B(0,2), 过点B作轴的垂线l,P为直线l上一动点，连接PO,PA, 则PO+PA的最小值为 。 【练习9】（菱形背景下的两定一动将军饮马问题）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，，，点是上一动点，点是的中点，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【练习10】（圆背景下的两定一动将军饮马问题）如图，AB 是⊙O 的直径，AD⊥AB于点A,OD 交⊙O于点C,AE⊥OD于点E,交⊙O于点F,F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD=4,则PE+PF 的最小值是 。 【练习11】（矩形与角平分线背景下两定一动将军饮马问题）如图，在矩形ABCD中，AB=8, BC=6,E,F分别是AD,AB的中点，∠ADC 的平分线交AB于点G, 点P 是线段DG上的一个动点，则△PEF的周长最小值为 。 【练习12】（角平分线与特殊角背景下两定一动将军饮马问题）如图，在△ABC中，∠ABC=60°, BC=8,E是BC边上一点，且BE=2, 点I是△ABC的内心，BI 的延长线交AC 于点D,P 是BD上一动点，连接PE、 PC,则PE+PC的最小值为 。 【练习13】（正方形与特殊位置关系背景下一定两动将军饮马问题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME, 点M 落在四边形ABCE 内 . 点N为线段CE上的动点，过点N作NP //EM 交MC于点P, 则MN+NP的最小值为 。 【练习14】（角背景下的将军饮马两定两动问题）如图，∠AOB=30°, 点M 、N 分别在边OA 、OB上，且OM=3,ON=5,点P 、Q 分别在边OB 、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是 。 【练习15】（矩形背景下的平移型将军饮马问题(将军饮马+造桥选址)如图，矩形ABCD 中 ，AB=4,BC=2,G是AD 的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF=1,则GE+CF的最小值为 . 【练习16】（矩形背景下的平移型将军饮马问题(造桥选址)）如图，矩形ABC D中 ，AB=6, AD=4,点E 、F分别是AB 、DC上的动点，EF//BC,则AF+CE的最小值是 。 【练习17】（正方形背景下一定两动将军饮马与隐形圆问题）如图，已知正方形ABCD的边长为6,点F是正方形内一点，连接CF,DF,且∠ADF=∠DCF, 点 E是AD 边上一动点，连接EB,EF,则EB+EF长度的最小值为 。 【练习18】（正方形背景下的将军饮马一定两动与隐形圆问题）如图，动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM,P是CD边上的一个动点， E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为 。 【练习19】（平面直角坐标系背景下的平移型将军饮马问题(将军+造桥)）如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A,C分别在 x 轴，y 轴上，B,D两点坐标分别为B(-4,6),D(0,4),线段EF在边OA上移动，保持EF=3, 当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为 。 【练习20】（扇形背景下两定一动将军饮马问题与阴影面积求值）如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°,OD平分∠BOC交BC于点D,点E为半径OB上一动点.若OB=2,则阴影部分周长的最小值为 。 【练习21】（特殊角内一定两动将军饮马问题）如图，∠AOB=60°,点P是∠AOB内的定点且OP=√3, 若点M 、N分别是射线OA 、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是 。 【练习22】（正方形中十字架可转化为将军饮马问题线段和最小问题）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E,F分别是边AB,BC上的动点，且满足AE=BF,AF与 DE 交于点O,点M 是DF的中点，G是边AB上的点，AG=2GB, 则 的最小值是 。 【练习23】（矩形中利用十字架构造将军饮马结合造桥选址求线段和最值）如图，在矩形ABCD中 ，AB=5,AD=10. 若点E是边AD上的一个动点，过点E作EF⊥AC且分别交对角线AC 、 直线BC于点O 、F, 则在点E移动的过 程中，AF+FE+EC的最小值为 。 【练习24】（二次函数背景下的平移型将军饮马问题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PE∥x轴，交AB于点E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值； （3）把抛物线平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题训练1 将军饮马最值问题(共24题） 【练习1】（等边三角形背景下的两动一定将军饮马问题）如图，是等边三角形，，N是的中点，是边上的中线，M是上的一个动点，连接，则的最小值是________． 答案：. 【练习2】（网格背景下的两定一动将军饮马问题）如图，每个小正方形的边长都为1,点A,B,C 均在格点上. (1)只用无刻度的直尺在AC 上找一点D, 使得BD最短. (保留作图痕迹) (2)在(1)的基础上，在BC 边上找一点M, 使得MA+MD最小，最小值为 。 答案：（1）图略 （2） 【练习3】（圆背景下的两定一动将军饮马问题）如图，⊙O 的直径AB=4,C为AB 中点，点D在BC上，,点P是AB上的一个动点，则△PCD周长的最小值是 。 答案： 【练习4】（菱形背景下的两定一动将军饮马问题）如图，在菱形ABCD 中，AB=4,对角线BD=,点 P是边CD的中点，点M是对角线 BD上的一个动点，连接PM 、CM.则 PM+CM的最小值是 。 答案： 【练习5】（三角形背景下的三动点将军饮马问题）如图，在△ABC中，∠A=45°,∠B=60°, AB=,点D 、E 、F 分别是边BC 、AB 、AC上的动点，则△DEF周长的最小值是 。 答案： 【练习6】垂线段最短问题(非将军饮马)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°,AB=6,BC=8. 点P 为边AC上异于A的一点，以PA,PB为邻边作平行四边形PAQB, 则线段PQ的最小值是 . 答案：4.8 【练习7】（菱形背景下的逆向两定一动将军饮马问题）如图，在菱形ABCD中 ，AC=4,BD=2,E 为线段AC 上的动点，四边形 DAEF 为平行四边形，则BE+BF的最小值为 。 答案： 【练习8】（平面直角坐标系背景下两定一动将军饮马问题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A(3,0),B(0,2), 过点B作轴的垂线l,P为直线l上一动点，连接PO,PA, 则PO+PA的最小值为 。 答案： 【练习9】（菱形背景下的两定一动将军饮马问题）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，，，点是上一动点，点是的中点，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 答案： 【练习10】（圆背景下的两定一动将军饮马问题）如图，AB 是⊙O 的直径，AD⊥AB于点A,OD 交⊙O于点C,AE⊥OD于点E,交⊙O于点F,F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD=4,则PE+PF 的最小值是 。 答案：6 【练习11】（矩形与角平分线背景下两定一动将军饮马问题）如图，在矩形ABCD中，AB=8, BC=6,E,F分别是AD,AB的中点，∠ADC 的平分线交AB于点G, 点P 是线段DG上的一个动点，则△PEF的周长最小值为 。 答案： 【练习12】（角平分线与特殊角背景下两定一动将军饮马问题）如图，在△ABC中，∠ABC=60°, BC=8,E是BC边上一点，且BE=2, 点I是△ABC的内心，BI 的延长线交AC 于点D,P 是BD上一动点，连接PE、 PC,则PE+PC的最小值为 。 答案： 【练习13】（正方形与特殊位置关系背景下一定两动将军饮马问题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME, 点M 落在四边形ABCE 内 . 点N为线段CE上的动点，过点N作NP //EM 交MC于点P, 则MN+NP的最小值为 。 答案： 【练习14】（角背景下的将军饮马两定两动问题）如图，∠AOB=30°, 点M 、N 分别在边OA 、OB上，且OM=3,ON=5,点P 、Q 分别在边OB 、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是 。 答案： 【练习15】（矩形背景下的平移型将军饮马问题(将军饮马+造桥选址)如图，矩形ABCD 中 ，AB=4,BC=2,G是AD 的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF=1,则GE+CF的最小值为 . 答案： 【练习16】（矩形背景下的平移型将军饮马问题(造桥选址)）如图，矩形ABC D中 ，AB=6, AD=4,点E 、F分别是AB 、DC上的动点，EF//BC,则AF+CE的最小值是 。 答案：10 【练习17】（正方形背景下一定两动将军饮马与隐形圆问题）如图，已知正方形ABCD的边长为6,点F是正方形内一点，连接CF,DF,且∠ADF=∠DCF, 点 E是AD 边上一动点，连接EB,EF,则EB+EF长度的最小值为 。 答案： 【练习18】（正方形背景下的将军饮马一定两动与隐形圆问题）如图，动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM,P是CD边上的一个动点， E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为 。 答案： 【练习19】（平面直角坐标系背景下的平移型将军饮马问题(将军+造桥)）如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A,C分别在 x 轴，y 轴上，B,D两点坐标分别为B(-4,6),D(0,4),线段EF在边OA上移动，保持EF=3, 当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为 。 答案： 【练习20】（扇形背景下两定一动将军饮马问题与阴影面积求值）如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°,OD平分∠BOC交BC于点D,点E为半径OB上一动点.若OB=2,则阴影部分周长的最小值为 。 答案： 【练习21】（特殊角内一定两动将军饮马问题）如图，∠AOB=60°,点P是∠AOB内的定点且OP=√3, 若点M 、N分别是射线OA 、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是 。 答案：3 【练习22】（正方形中十字架可转化为将军饮马问题线段和最小问题）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E,F分别是边AB,BC上的动点，且满足AE=BF,AF与 DE 交于点O,点M 是DF的中点，G是边AB上的点，AG=2GB, 则 的最小值是 。 答案：5 【练习23】（矩形中利用十字架构造将军饮马结合造桥选址求线段和最值）如图，在矩形ABCD中 ，AB=5,AD=10. 若点E是边AD上的一个动点，过点E作EF⊥AC且分别交对角线AC 、 直线BC于点O 、F, 则在点E移动的过 程中，AF+FE+EC的最小值为 。 答案： 【练习24】（二次函数背景下的平移型将军饮马问题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PE∥x轴，交AB于点E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值； （3）把抛物线平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来． 【详解】解（1）； （2）当t=2时，△PDE周长取得最大值，最大值为， 此时点P的坐标为（2，﹣4）， （3）如图所示，满足条件的点M的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）． 由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为，对称轴为直线． ①若AB是平行四边形的对角线，当MN与AB互相平分时，四边形ANBM是平行四边形， 即MN经过AB的中点C（2，0），∵点N的横坐标为2，∴点M的横坐标为2， ∴点M的坐标为（2，-4）； ②若AB是平行四边形的边， 1）MN∥AB时，四边形ABNM是平行四边形， ∵A（0，-1），B（4，1），点N的横坐标为2， ∴点M的横坐标为2﹣4=﹣2， ∴点M的坐标为（﹣2，12）； 2）当 NM∥AB时，四边形ABMN是平行四边形， ∵A（0，-1），B（4，1），点N的横坐标为2， ∴点M的横坐标为2+4=6， ∴点M的坐标为（6，12）， 综上，满足条件的点M的坐标有（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）． 学科网（北京）股份有限公司 $