47 方法专题十五 “费马点”与“主从联动”最值问题-【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省济南市中考数学全练本Word练习

1.如图,矩形ABCD的边AB=,BC=3,E为AB上一点,且AE=1,点F为AD边(含A,D两点)上的一个动点,连接EF.若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG,EF=EG,连接CG,则CG的最小值为 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C.3 D.2 2.如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=5,点P在线段BC上运动(含B,C两点),连接AP,以点A为中心,将线段AP逆时针旋转60°到AQ,连接DQ,则线段DQ的最小值为　　 (　　) A. B.5 C. D.3 3.如图,已知∠BAC=60°,AB=4,AC=6,P在△ABC内,将△APC绕着点A逆时针方向旋转60°得到△AEF,则AE+PB+PC的最小值为 (　　) A.10 B.2 C.5 D.2 4.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,P为△ABC内一点,连接AP,BP,CP.若AB=4,BC=12,则2AP+BP+PC的最小值为　　　　.  5.在矩形ABCD中,=,E是线段BC边上一点,EF⊥AE于点E,且EF=AE. (1)如图1,当点F在线段CD上时,求. (2)如图2,点F在CD右侧,连接DF,若∠EFD=90°,连接DE,求证:DE=2CF. (3)若AB=6,请直接写出点F的路径长. 方法专题十五　“费马点”与“主从联动”最值问题 1.B　【解析】 如图,过点G作GH⊥AB于点H,过点G作MN∥AB. ∵四边形ABCD是矩形,AB=,BC=3, ∴∠B=90°,CD=,AD=3. ∵AE=1,∴BE=. ∵∠GHE=∠A=∠GEF=90°, ∴∠GEH+∠EGH=90°,∠GEH+∠FEA=90°, ∴∠EGH=∠FEA. 又∵GE=EF,∴△GEH≌△EFA(AAS), ∴GH=AE=1, ∴点G在平行于AB且到AB距离为1的直线MN上运动, ∴当点F与点D重合时,CG有最小值, 此时AF=EH=3, ∴CG的最小值==. 2.A　【解析】 如图,连接PQ,以AB为边向右作等边三角形ABF,作射线FQ交AD于点E,过点D作DH⊥QE于点H. ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABP=∠BAD=90°. 由旋转的性质知AP=AQ,∠PAQ=60°, ∴△APQ是等边三角形,PA=QA. ∵△ABF是等边三角形, ∴∠BAF=∠PAQ=60°, BA=FA,∴∠BAP=∠FAQ. 在△BAP和△FAQ中, ∴△BAP≌△FAQ(SAS),∴∠AFQ=∠ABP=90°. ∵∠FAE=90°-60°=30°,∴∠AEF=90°-30°=60°. ∵AF=AB=5,∴AE==. ∵AD=BC=5,∴DE=AD-AE=. ∵DH⊥EF,∠DEH=∠AEF=60°, ∴DH=DE·sin 60°=×=. 根据垂线段最短可知,当点Q与点H重合时,DQ的值最小,最小值为. 3.B　【解析】 如图,连接BF,过点B作BD⊥AF,交FA的延长线于点D, 则∠ADB=90°. ∵将△APC绕点A逆时针方向旋转60°得到△AEF, ∴∠PAE=∠CAF=60°,AP=AE, PC=EF,AC=AF=6, ∴△APE为等边三角形,∴AE=PE, ∴AE+PB+PC=PE+PB+EF. ∵PB+PE+EF≥BF, ∴当点B,P,E,F在同一条直线上时,PB+PE+EF取得最小值,最小值为BF的长. ∵∠BAC=60°=∠CAF, ∴∠BAD=60°,∴∠ABD=30°, ∴AD=AB=2,BD=AD=2, ∴DF=AD+AF=2+6=8. 在Rt△BDF中,BF===2, ∴AE+PB+PC的最小值为2. 4.4　【解析】 如图.将△APC绕点A逆时针旋转90°并扩大倍得到△AP'C',连接PP',C'C,BC',作C'F⊥AB交BA的延长线于点F. ∵∠B=90°,AB=4,BC=12,∴AC=8. ∵△APC∽△AP'C',∴AC'=AC=24. ∵P'A=AP,∠PAP'=90°, ∴PP'=2AP,P'C'=PC. ∵AB=4,BC=12, ∴tan∠BAC==, ∴∠BAC=60°. ∵∠CAC'=90°, ∴∠C'AF=30°, ∴C'F=12,AF=12, ∴BF=AF+AB=16, ∴BC'==4, ∴2AP+BP+PC=BP+PP'+P'C'≥BC'=4,当且仅当B,P,P',C'四点共线时值最小, 即2AP+BP+PC的最小值为4. 5.(1)解:如图. ∵=,∴设AB=3m,BC=4m. ∵四边形ABCD是矩形,EF⊥AE, ∴∠B=∠C=∠AEF=90°, ∴∠1=∠2=90°-∠3. ∵EF=AE,∴△ABE≌△ECF(AAS), ∴EC=AB=3m,∴BE=BC-CE=m,∴=. (2)证明:如图,延长DF,BC交于点G,取DE的中点O,连接OC,OF. 设AB=3a,BC=4a. ∵∠EFD=90°,∠AEF=90°, ∴∠EFD+∠AEF=180°,∴AE∥DF, ∴∠AEB=∠G. ∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=CD=3a,∠B=∠BCD=∠DCG=90°,BC=AD=4a,AD∥BC, ∴△ABE≌△DCG(AAS), ∴BE=CG,∴EG=BC=DA=4a, ∴四边形AEGD是平行四边形, ∴EG·CD=AE·EF=4a×3a=12a2, ∴AE=EF=2a, ∴sin∠AEB===, ∴∠AEB=60°,∴∠FEC=90°-∠AEB=30°. ∵∠DFE=∠DCE=90°, ∴D,F,C,E在以点O为圆心的圆上, ∴OC=OF,∠COF=2∠CEF=60°, ∴△OCF是等边三角形,∴OC=CF. ∵DE=2OC,∴DE=2CF. (3)解:8. 提示:如图,在BC上取点G,使得BG=BA=6,过点F作FH⊥BC,交BC的延长线于点H. ∵BA=6,=,∴BC=8. 同理可证明△ABE≌△EHF, ∴AB=EH=6. 设BE=HF=y,∴BH=BE+EH=y+6, ∴GH=BH-BG=y+6-6=FH, ∴△FHG为等腰直角三角形, ∴∠FGH=45°,∴点F的运动轨迹为线段GF. 当点E与点B重合时,点F与点G重合, 当点E与点C重合时,如图. 此时FG的长即为点F的路径长. ∵BE=FH=BC=8,∴FG==8, ∴点F的路径长为8. 学科网（北京）股份有限公司 $