47 方法专题十五 “费马点”与“主从联动”最值问题-【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省济南市中考数学全练本Word练习

 

 

 

1.如图,矩形ABCD的边AB=,BC=3,E为AB上一点,且AE=1,点F为AD边(含A,D两点)上的一个动点,连接EF.若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG,EF=EG,连接CG,则CG的最小值为              (　　)

　　　　　　　　　　　　　　　

A. B. C.3 D.2

2.如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=5,点P在线段BC上运动(含B,C两点),连接AP,以点A为中心,将线段AP逆时针旋转60°到AQ,连接DQ,则线段DQ的最小值为　　              (　　)

A. B.5 C. D.3

3.如图,已知∠BAC=60°,AB=4,AC=6,P在△ABC内,将△APC绕着点A逆时针方向旋转60°得到△AEF,则AE+PB+PC的最小值为              (　　)

A.10 B.2 C.5 D.2

4.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,P为△ABC内一点,连接AP,BP,CP.若AB=4,BC=12,则2AP+BP+PC的最小值为　　　　. 

5.在矩形ABCD中,=,E是线段BC边上一点,EF⊥AE于点E,且EF=AE.

(1)如图1,当点F在线段CD上时,求.

(2)如图2,点F在CD右侧,连接DF,若∠EFD=90°,连接DE,求证:DE=2CF.

(3)若AB=6,请直接写出点F的路径长.

方法专题十五　“费马点”与“主从联动”最值问题

1.B　【解析】 如图,过点G作GH⊥AB于点H,过点G作MN∥AB.

∵四边形ABCD是矩形,AB=,BC=3,

∴∠B=90°,CD=,AD=3.

∵AE=1,∴BE=.

∵∠GHE=∠A=∠GEF=90°,

∴∠GEH+∠EGH=90°,∠GEH+∠FEA=90°,

∴∠EGH=∠FEA.

又∵GE=EF,∴△GEH≌△EFA(AAS),

∴GH=AE=1,

∴点G在平行于AB且到AB距离为1的直线MN上运动,

∴当点F与点D重合时,CG有最小值,

此时AF=EH=3,

∴CG的最小值==.

2.A　【解析】 如图,连接PQ,以AB为边向右作等边三角形ABF,作射线FQ交AD于点E,过点D作DH⊥QE于点H.

∵四边形ABCD是矩形,

∴∠ABP=∠BAD=90°.

由旋转的性质知AP=AQ,∠PAQ=60°,

∴△APQ是等边三角形,PA=QA.

∵△ABF是等边三角形,

∴∠BAF=∠PAQ=60°,

BA=FA,∴∠BAP=∠FAQ.

在△BAP和△FAQ中,

∴△BAP≌△FAQ(SAS),∴∠AFQ=∠ABP=90°.

∵∠FAE=90°-60°=30°,∴∠AEF=90°-30°=60°.