46 方法专题十四 “胡不归”与“阿氏圆”最值问题-【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省济南市中考数学全练本Word练习

模型1　“胡不归”最值问题 1.如图,△ABC中,AB=AC=15,tan A=2,BE⊥AC于点E,点D是线段BE上的一个动点,则CD+BD的最小值是 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.3 B.6 C.5 D.10 2.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(1,0),C(-3,0)两点,与y轴交于点B(0,3).若点P为y轴上一个动点,连接AP,则BP+AP的最小值为 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A. B.2 C.2 D.4 3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点D为△ABC内一动点,且满足CD=2,则AD+BD的最小值为　　　　.  4.如图,在△ABC中,AB=AC=3,∠CAB=30°,AD⊥BC,垂足为D,点P为线段AD上的一动点,连接PB,PC,则PA+2PB的最小值为　　　　.  5.(2025·眉山)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c关于直线x=-3对称,与x轴交于A(-1,0),B两点,与y轴交于点C. (1)求抛物线的表达式. (2)在线段OC上是否存在点Q,使2AQ+CQ存在最小值?若存在,请直接写出点Q的坐标及最小值;若不存在,请说明理由. 模型2　“阿氏圆”最值问题 6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CB=3,AC=9,以点C为圆心,3为半径作☉C,点P为☉C上一动点,连接AP,BP,则AP+BP的最小值为 (　　) A.1 B.2 C. D.4 7.如图所示的平面直角坐标系中,A(0,4),B(4,0),点P是第一象限内一动点,OP=2,连接AP,BP,则BP+AP的最小值是　　　　.  8.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点D,E分别是边BC,AC上的两个动点,且DE=4,点P是DE的中点,连接PA,PB,则PA+PB的最小值为　　　　.  第8题图 第9题图 9.如图,在边长为4的正方形中,内切圆记为☉O,点P为☉O上一动点,则PA+PB的最小值为　　　　.  10.如图,已知菱形ABCD的边长为8,∠B=60°,☉B的半径为4,点P是☉B上的一个动点,则PD-PC的最大值为　　　　.  11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,以点C为顶点的正方形CDEF(C,D,E,F四个顶点按逆时针方向排列)可以绕点C自由转动,且 CD=,连接AF,BD. (1)求证:△BDC≌△AFC. (2)在正方形CDEF旋转过程中,求 BD+AD的最小值. 方法专题十四 “胡不归”与“阿氏圆”最值问题 1.B　【解析】 如图,过点D作DH⊥AB于点H,过点C作CM⊥AB于点M. ∵BE⊥AC,∴∠AEB=90°. ∵tan A==2, ∴设AE=a,BE=2a,则152=a2+(2a)2, ∴a2=45, ∴a=3或-3(舍去),∴BE=2a=6. ∵AB=AC,BE⊥AC,CM⊥AB,∴CM=BE=6. ∵∠DBH=∠ABE,∠BHD=∠BEA, ∴sin∠DBH===,∴DH=BD, ∴CD+BD=CD+DH. ∵CD+DH≥CM, ∴当点H与点M重合,且C,D,H三点共线时,CD+DH的值最小, ∴CD+BD的最小值为线段CM的长, ∴CD+BD的最小值为6. 2.C　【解析】 如图,连接BC,过点P作PG⊥BC于点G,过点A作AH⊥BC于点H. ∵C(-3,0),B(0,3), ∴OC=OB, ∴∠OBC=45°,∴PG=BP, ∴BP+AP=PG+AP≥AH, ∴BP+AP的最小值为AH的长. ∵A(1,0),C(-3,0),∴AC=1-(-3)=4. 在Rt△ACH中,∠ACH=45°,AC=4, ∴AH=AC=2,∴BP+AP的最小值为2. 3.　【解析】 如图,在CB上取一点T,使得CT=,连接DT,AT. ∵CD=2,CT=,CB=3, ∴CD2=CT·CB,∴=. ∵∠DCT=∠BCD,∴△DCT∽△BCD, ∴==,∴DT=BD, ∴AD+BD=AD+DT≥AT. 在Rt△ACT中,AC=4,CT=, ∴AT===, ∴AD+BD≥, ∴AD+BD的最小值为. 4.3　【解析】 如图,在∠BAC的外部作∠CAE=15°,作BF⊥AE于点F,交AD于点P, ∴∠AFB=90°. ∵AB=AC,AD⊥BC,∠CAB=30°, ∴∠PAC=∠PAB=15°=∠CAE, ∴∠PAF=30°, ∴PF=PA, ∴PA+2PB=2PF+2PB=2(PF+PB)=2BF, 此时PA+2PB最小, 在Rt△ABF中,BF==, ∴PA+2PB的最小值为2BF=3. 5.解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c关于直线x=-3对称,与x轴交于点A(-1,0), ∴解得 ∴抛物线的表达式为y=x2+6x+5. (2)在线段OC上存在点Q(0,1),使2AQ+CQ存在最小值,最小值为6. 提示:过点C在y轴右侧作射线CM,使∠OCM=45°,过点A作AH⊥CM于点H,AH交y轴于点Q,如图. ∵∠OCM=45°,∠QHC=90°, ∴△QCH是等腰直角三角形, ∴QH=CQ,∠CQH=45°, ∴2AQ+CQ=2(AQ+CQ)=2(AQ+QH)=2AH. 由垂线段最短可知,此时2AQ+CQ的值最小,最小值为2AH, ∵∠AQO=∠CQH=45°,∠AOQ=90°, ∴△AQO是等腰直角三角形, ∴OQ=OA=1,AQ=OA=,∴Q(0,1). 在y=x2+6x+5中,令x=0得y=5,∴C(0,5), ∴CQ=OC-OQ=5-1=4, ∴QH=CQ=2,∴AH=AQ+QH=3, ∴2AQ+CQ的最小值为6. 6.C　【解析】 如图,在CA上截取CM,使得CM=1,连接PM,PC,BM. ∵PC=3,CM=1,AC=9, ∴PC2=CM·AC,即=. ∵∠PCM=∠ACP, ∴△PCM∽△ACP, ∴==,∴PM=AP, ∴AP+BP=MP+PB≥BM. 在Rt△BCM中,∠BCM=90°,CM=1,BC=3, ∴BM==, ∴AP+BP≥,∴AP+BP的最小值为. 7.　【解析】 如图,取点T(0,1),连接PT,BT. ∵T(0,1),A(0,4),B(4,0),∴OT=1,OA=4,OB=4. ∵OP=2,∴OP2=OT·OA,∴=. ∵∠POT=∠AOP,∴△POT∽△AOP, ∴==,∴PT=AP,∴PB+AP=PB+PT≥BT. ∵BT==,∴PB+PT≥, ∴BP+AP≥,∴BP+AP的最小值为. 8.　【解析】 如图,在CB上取一点F,使得CF=,连接PF,AF. ∵∠DCE=90°,DE=4,DP=PE, ∴PC=DE=2. ∵=,=, ∴=. ∵∠PCF=∠BCP,∴△PCF∽△BCP, ∴==,∴PF=PB,∴PA+PB=PA+PF. ∵PA+PF≥AF,AF===, ∴PA+PB≥,∴PA+PB的最小值为. 9.2　【解析】 如图,取OB的中点I,连接PI,AI,OP,OB. 设☉O的半径为r, 则OP=r=BC=2,OB=r=2, ∴OI=IB=. ∵==,==, ∴=. ∵∠BOP=∠POI,∴△BOP∽△POI, ∴==, ∴PI=PB,∴AP+PB=AP+PI, ∴当A,P,I三点在一条直线上时,AP+PB的值最小. 过点I作IE⊥AB于点E. ∵∠ABO=45°,∴IE=BE=BI=1,∴AE=AB-BE=3, ∴AI==, ∴AP+PB的最小值为. ∵PA+PB=(PA+PB), ∴PA+PB的最小值是AI=×=2. 10.2　【解析】 如图,连接PB,在BC上取一点G,使得BG=2,连接PG,DG,过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H. ∵PB=4,BG=2,BC=8, ∴PB2=BG·BC, ∴=. ∵∠PBG=∠CBP, ∴△PBG∽△CBP, ∴==,∴GP=PC. ∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,AB=CD=BC=8, ∴∠DCH=∠ABC=60°. 在Rt△CDH中, CH=CD·cos 60°=4,DH=CD·sin 60°=4, ∴GH=CG+CH=6+4=10, ∴DG===2. ∵PD-PC=PD-PG≤DG, ∴PD-PC≤2, ∴PD-PC的最大值为2. 11.(1)证明:∵四边形CDEF是正方形, ∴CF=CD,∠FCD=∠ACB=90°, ∴∠ACF=∠BCD. 在△BDC和△AFC中, ∴△BDC≌△AFC(SAS). (2)解:如图,取AC的中点M,连接DM,BM. ∵CD=,CA=2,CM=1, ∴CD2=CM·CA,∴=. ∵∠DCM=∠ACD, ∴△DCM∽△ACD, ∴==, ∴DM=AD, ∴BD+AD=BD+DM≥BM, ∴BD+AD的最小值为BM的长. ∵BM===, ∴BD+AD的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $