7.2 认识证明 课后同步练习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦命题概念与证明逻辑，分层设计从基础概念到综合推理，梯度清晰，助力新授课后知识巩固与推理能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|命题定义、组成、真假判断|单选1-6直接考查命题识别与结构，填空9-12强化概念表述，夯实基础| |提升层|命题应用与简单推理|单选7-8结合规律探索与情境分析，填空13通过密码推理深化逻辑，培养推理意识| |拓展层|证明与综合论证|解答15-18涉及三角形全等证明、筝形性质探究及实际情境论证，发展逻辑推理与应用意识|

7.2 认识证明 课后同步练习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列句子中，不是命题的是（     ） A．三角形的内角和等于180度 B．过一点作已知直线的平行线 C．两点确定一条直线 D．两个互补的角一定是邻补角 2．命题“同位角相等，两直线平行”的题设是（   ） A．两直线平行 B．同位角相等 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 3．下列命题不是公理的是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．同角的补角相等 D．同位角相等，两直线平行 4．下列命题中是真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 5．能说明命题“如果，那么”是假命题的一个的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 6．为说明“若，则”是假命题，可举反例（     ） A．， B．， C．， D．， 7．如图A、B、C是固定在桌面上的三根小棒，其中A上有5个大小不同的圆片，从上到下，圆片的直径依次增大．现要将这5个圆片移动到B上，要求：①每次只能移动一个圆片；②圆片只能在A、B、C之间移动；③大圆片不能放在小圆片上面．那么完成这件事情最少要移动圆片（    ）    A．31次 B．33次 C．17次 D．25次 8．某校举行“定向越野比赛”，将参赛人员分成若干小组，每组四人，四人需完成各自对应的挑战任务．比赛规则如下： ①出发规则：每次需两名队员从起点同时出发，沿路线完成挑战任务到达终点，耗时以两人中较慢者的挑战完成时间为准(例如甲完成他的挑战需1分钟，乙完成他的挑战需2分钟，则两人同时出发耗时2分钟)； ②返程规则：到达终点后，一人留在终点，另一人必须立即返回起点(返程也需完成对应的挑战任务，耗时与原挑战时间相同，即甲返程仍需1分钟)； ③重复规则：已到达终点的队友可多次参与后续往返； ④结束规则：当四人全部到达终点时，比赛结束． 某组的甲、乙、丙、丁四位队员完成单程挑战任务所需时间(单位：分钟)分别为1，2，3，5，则该组队员完成比赛所需的最短时间为(    ) A．12分钟 B．13分钟 C．14分钟 D．15分钟 二、填空题 9．一个命题是由______两部分组成． 10．判断命题“如果，那么”是假命题可以举出一个反例，则的值可以为___________．（写出一个即可） 11．命题“绝对值相等的两个数互为相反数”的条件是________，结论是________，它是一个________（填“真”或“假”）命题． 12．把命题“三条边都相等的三角形是等边三角形”写成“如果……，那么……”的形式是______． 13．某教室的储物柜密码由三个不同的数字组成，婷婷、乐乐、香香三人都开过，但都记不清了．婷婷记得：有个数字是2，但不是最后一个数字；乐乐记得：有两个数是5和8，并且它们的位置相邻；香香记得：中间的数字不是8．根据以上信息，可以确定密码是__________． 三、解答题 14．下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？ (1)正数大于一切负数吗？ (2)两点之间线段最短． (3)不是无理数． (4)作一条直线和已知直线垂直． 15．我们知道几何命题的证明一般需要经历以下步骤： 按题意画出图形并标记； 分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论； 分析并证明，写出推理过程． 请同学们尝试证明命题：“两边分别相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等．” 已知：如图，在和中，，，____________． 求证：_____________． 证明： 16．桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“”、“”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从变化为． (1)当时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或，则最少______次操作后所有纸牌全部正面向上； (2)当时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是______，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由． 17．春天是放风筝的季节，清朝诗人高鼎在《村居》中用两句诗描绘了春天放风筝的场景：“草长莺飞二月天”，“忙趁东风放纸鸢”．我们研究的四边形中有一种叫筝形，如图1所示． 【筝形的定义】 两组邻边分别相等的四边形．即：若四边形满足且，则四边形为筝形． （）【任务】如图2是由小正方形组成的网格图，在网格中仅用无刻度的直尺和笔，画出一个顶点在格点的筝形； 【任务】某数学活动小组在探究筝形的角、对角线的性质过程中，得出以下命题： 命题：筝形有一组对角相等． 命题：筝形一条对角线垂直平分另一条对角线． 命题：筝形的每一条对角线平分一组对角． （）以上命题是真命题的有______个． （）选择其中的一个真命题，结合图1写出已知求证并对这个命题进行证明． 18．某岛上共有10个人，其中有些是说真话的老实人，另一些是说假话的骗子．他们每个人都想好了一个实数，然后第一个人说“我的数大于1”，第二个人说“我的数大于2”，……，第十个人说“我的数大于10”，此后，这10个人按某种顺序重新排列，依次说“我的数小于1”，“我的数小于2”，……，“我的数小于10”，那么这些人中最多有多少个老实人？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B C C D B A A 1．【答案】B 【知识点】判断是否是命题 【分析】命题的定义是：能对一件事情作出判断的语句叫做命题． 【详解】解：A、C、D选项都对事件作出了判断，都是命题； B选项只是描述作图操作，没有对事件作出判断，不是命题． 2．【答案】B 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】本题考查命题的组成，命题由题设和结论两部分构成，题设是命题中的已知条件，结论是由已知条件推出的结果，掌握命题题设与结论的区分方法是解题关键． 【详解】解：命题“同位角相等，两直线平行”可改写为“如果同位角相等，那么两直线平行”． ∴该命题的题设是“同位角相等”． 3．【答案】C 【知识点】定理与证明 【分析】本题考查公理与定理的区分．公理是不需要证明的基本命题，而定理是通过公理推导出的命题，据此可得答案． 【详解】解：A、B、D三个选项中的命题都是公理， C选项中的命题需要证明，即该命题不是公理， 如则， 故选：C． 4．【答案】C 【知识点】垂线段最短、垂线的定义理解、对顶角相等、判断命题真假 【分析】根据对顶角定义，垂直的性质，垂线段的性质，平行公理，逐一判断各命题的真假即可． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，例如角平分线分得的两个角相等，但不是对顶角，命题不成立，故选项A是假命题，不符合题意； B、只有在同一平面内，过一点才有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题缺少条件，命题不成立，故选项B是假命题，不符合题意； C、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，该命题是几何基本性质，成立，故选项C是真命题，符合题意； D、只有过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，不存在这样的直线，原命题缺少条件，命题不成立，故选项D是假命题，不符合题意． 5．【答案】D 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】找出满足但的的值即可． 【详解】解：A、，满足，且，符合命题结论，不能说明命题是假命题； B、，满足，且，符合命题结论，不能说明命题是假命题； C、，满足，且，符合命题结论，不能说明命题是假命题； D、，满足，且，不满足，可以说明该命题是假命题． 6．【答案】B 【知识点】举反例 【分析】要说明原命题是假命题，只需找出满足条件，但不满足结论的反例，逐个验证选项即可． 【详解】解：选项A．，，且，符合原命题，不是反例． 选项B．，，且，满足条件，但不满足结论，是原命题的反例． 选项C．，，不满足命题条件，不是反例． 选项D．，，不满足命题条件，不是反例． 7．【答案】A 【知识点】数字类规律探索、以代数为背景的推理与论证 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，逻辑推理的应用，由题意，一个圆片至少要移动一次，两个圆片至少要移动3次，三个圆片至少要移动7次，从而归纳出五个圆片至少要移动的数量． 【详解】解：移动一个圆片，至少移动1次，而， 移动两个圆片，至少要移动3次，而， 移动三个圆片，至少要移动7次，而， ∴移动五个圆片，至少要移动（次）， 故选：A． 8．【答案】A 【知识点】逻辑推理与论证 【分析】本题考查了推理，有理数的计算，通常在这种问题中，最优策略是让最快的两个人(甲和乙)多次往返，以减少返程时间．具体策略先让最快的两人(甲和乙)一起出发，然后让最快的(甲)返回．然后让最慢的两人(丙和丁)一起出发，让次快的(乙)返回．最后让最快的两人(甲和乙)一起出发．结合题意求得最短时间，即可求解． 【详解】解：∵甲、乙、丙、丁四位队员完成单程挑战任务所需时间(单位：分钟)分别为1，2，3，5， 要使得该组队员完成比赛所需的最短时间， ∴让最快的两个人(甲和乙)多次往返，以减少返程时间， 第一次出发：甲(1)和乙(2)一起出发．耗时：分钟． 第一次返程：甲(1)返回．总时间：2 + 1 = 3分钟 第二次出发：丙(3)和丁(5)一起出发．耗时：分钟． 总时间：分钟 第二次返程：乙(2)返回．耗时：2分钟． 总时间：分钟 第三次出发：甲(1)和乙(2)一起出发．耗时：分钟． 总时间：分钟 总计：分钟． 故选：A． 9．【答案】题设（或条件）和结论 【知识点】判断是否是命题 【分析】此题考查了命题的组成．命题有两部分组成，即题设（或条件）和结论．据此回答即可． 【详解】解：一个命题由题设（或条件）和结论两部分组成． 故答案为：题设（或条件）和结论 10．【答案】（答案不唯一，即可） 【知识点】举反例 【详解】解：当时，，满足条件， ，不满足命题结论， ∴命题“如果，那么”是假命题． 11．【答案】 两个数的绝对值相等 这两个数互为相反数 假 【知识点】判断命题真假、写出命题的题设与结论 【分析】根据判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项；正确的命题是真命题进行分析即可． 【详解】解：命题“绝对值相等的两个数互为相反数”的条件是两个数的绝对值相等，结论是这两个数互为相反数，这是一个假命题， 故答案为：两个数的绝对值相等，这两个数互为相反数，假． 【点睛】本题主要考查了命题与定理，根据学过的性质准确找出命题的条件和结论是正确改写的关键． 12．【答案】如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形是等边三角形 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】本题考查命题的改写，把命题的条件写成如果……的形式，把命题的结论写成那么……的形式即可． 【详解】解：如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形是等边三角形； 故答案为：如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形是等边三角形． 13．【答案】258 【知识点】以代数为背景的推理与论证 【分析】本题主要考查推理与论证；先列出所有可能的排列，再根据题意逐一排除即可求出结果． 【详解】解：根据题意，列出所有可能的排列： 密码由2、5、8组成，共有6种排列： 258，285，528，582，825，852 根据婷婷的条件：2不在末位； 排除末位为2的排列： ∴剩余候选：258，285，528，825， 应用乐乐的条件：5和8相邻， ∴剩余候选：258，285 应用香香的条件：中间位不是8， 最终剩余：258； 故答案为：258． 14．【答案】(1)不是命题 (2)是命题 (3)是命题 (4)不是命题 【知识点】判断是否是命题 【分析】根据命题的定义进行逐一判断即可． 【详解】（1）解：正数大于一切负数吗？不是命题； （2）解：两点之间线段最短，是命题 （3）解：不是无理数，是命题 （4）解：作一条直线和已知直线垂直，不是命题． 【点睛】本题主要考查了命题的定义，一般地，在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 15．【答案】，，证明： 因为点，分别是，的中点， 所以，， 因为， 所以． 在与中， 因为， 所以， 所以， 在与中， 因为， 所以． 【知识点】写出命题的题设与结论、全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了命题与定理，全等三角形的判定和性质，由条件画出图形，然后证明，所以，再证明即可得到答案，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：已知：如图，在和中，，，点，分别是，的中点，且． 求证：． 证明略． 16．【答案】(1)7 (2)14 【知识点】以代数为背景的推理与论证、有理数乘法的实际应用 【分析】（1）根据翻转的操作方法即可得出答案； （2）根据三种情况进行分析，进而得出答案． 【详解】（1）解：总变化量：， 次数（至少）：， 故答案为：7； （2）解：①两张由反到正，变化：； ②两张由正到反，变化：； ③一正一反变一反一正，变化， 要使所有纸牌正面向上，则总变化量仍为14， ∵14无法由4，，0相加得到， ∴不能全正，故不能所有纸牌全正； 故答案为：14． 【点睛】此题主要考查了推理与论证，此题解题的关键是要明确：只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的正面向上，根据“奇数奇数偶数，偶数奇数奇数”进行解答即可． 17．【答案】（）画图见解析（答案不唯一）； （）； （）选择命题． 已知：如图①，筝形中，，； 求证：； 证明：如图①，连接， 在和中， ， ∴， ∴； 选择命题． 已知：如图②，筝形中，，，对角线相交于点； 求证：且． 证明：在和中， ， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴且． 【知识点】格点作图题、判断命题真假、写出一个命题的已知、求证及证明过程、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了筝形的定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （）根据筝形的定义画图即可； （）根据筝形的特征判断即可求解； （）根据全等三角形的判定和性质即可求证； 【详解】（）解：如图所示，四边形即为所求；（答案不唯一） （）解：命题：筝形有一组对角相等，是真命题； 命题：筝形一条对角线垂直平分另一条对角线，是真命题； 命题：筝形的每一条对角线平分一组对角，是假命题； ∴以上命题是真命题的有个， 故答案为：； （）略 18．【答案】9个 【知识点】逻辑推理与论证 【分析】本题主要考查了简单的逻辑推理与论证，假设这10个人都是老实人，那么第一轮报数中，所有人的数都大于1，这与第二轮报数中，存在一人所报的数小于1矛盾，则老实人最多有9人，对于（且k为整数），第一轮报数中，第k人变动为第二轮的第人，而第10人变动为第二轮报数的第一人，那么只要满足第k个人报的数只要大于k且小于，就可推出第k个人没有说谎，据此可得答案． 【详解】解：假设这10个人都是老实人，那么第一轮报数中，所有人的数都大于1，这与第二轮报数中，存在一人所报的数小于1矛盾， ∴老实人最多有9人， 理由如下：在第一轮报数中，前面9个人都是老实人，最后一人为骗子，对于（且k为整数），第一轮报数中，第k人变动为第二轮的第人，而第10人变动为第二轮报数的第一人，故第k个人报的数只要大于k且小于，那么他们就没有说谎，而最后一人说谎； 综上所述，这些人中最多有9个老实人 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $