7.2 认识证明 课时作业 2026-2027学年北师大版数学 八年级上册

**基本信息** 初中数学北师大版八年级上册第七章“认识证明”同步练，分2课时聚焦定义命题、证明格式，通过“梳理-基础-综合”分层设计，强化推理意识与规范表达，适配新授课知识巩固。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识梳理|定义、命题结构、基本事实等核心概念|结合易错警示（如假命题也是命题），夯实抽象基础| |基础应用|命题判断、结构改写、简单证明填空|选择填空聚焦单一考点（如反例举法），培养推理意识| |综合提升|命题改写、真假判断、完整证明过程|解答题融合多知识点（如补角性质证明），强化逻辑表达|

北师大版数学八年级上册 第七章　证明 2　认识证明　·　课时作业（含答案与解析） 班级：＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿　学号：＿＿＿＿＿＿　得分：＿＿＿＿＿＿ 【作业说明】本作业依据北师大版数学八年级上册第七章第 2 节「认识证明」编写，共设两个课时，全部内容不超出本节的教学要求。 第 1 课时　定义、命题与真假命题； 第 2 课时　基本事实、定理与证明的格式。 说明：本节学习「什么是命题」「怎样判断真假」「什么可以作为推理的依据」以及证明的规范写法。平行线的判定与性质的证明将在第 3 节完成，本作业中的证明题只用到七年级已经学过的图形性质（如对顶角、邻补角、角平分线）。 2　认识证明　　第 1 课时　定义、命题与真假命题 一、知识梳理 1．定义　对名称或术语的含义加以描述、作出明确规定的语句，叫做定义。 例如：「两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直」就是垂直的定义。 2．命题　判断一件事情的句子叫做命题。 （1）命题必须对一件事情作出判断（肯定或否定）； （2）疑问句、祈使句、单纯的式子都不是命题，如「 是质数吗？」「作一条直线」「」都不是命题。 3．命题的结构　每个命题都由条件（题设）和结论两部分组成，一般可以改写成 的形式。「如果」后面是条件，「那么」后面是结论。 例如「对顶角相等」可改写成「如果两个角是对顶角，那么这两个角相等」。 4．真命题与假命题 （1）条件成立时，结论一定成立的命题，叫做真命题； （2）条件成立时，结论不一定成立的命题，叫做假命题。 5．怎样判断真假 （1）说明一个命题是假命题：只需举出一个反例（满足条件但不满足结论的例子）； （2）说明一个命题是真命题：必须进行证明，举例是不够的。 【易错警示】 ① 判断一句话是不是命题，只看它有没有作出判断，不看它是对还是错——假命题也是命题。 ② 改写成「如果……那么……」时，要把省略的条件补充完整。如「三角形的内角和是 」应写成「如果一个图形是三角形，那么它的内角和是 」。 ③ 反例必须满足条件而不满足结论，两个要求缺一不可。 ④ 定义与命题不同：定义是「规定名称的含义」，命题是「作出判断」。 ⑤ 「相等的角是对顶角」与「对顶角相等」条件与结论互换了，真假可能完全不同。 二、基础训练 （一）选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1． 下列语句中，属于命题的是（　　） A．画一条线段　　B． 是质数吗　　C．两点确定一条直线　　D． 2． 命题「同角的补角相等」的条件是（　　） A．两个角相等　　　　　　　B．两个角是同一个角的补角 C．两个角互补　　　　　　　D．两个角是对顶角 3． 把命题「对顶角相等」改写成「如果……那么……」的形式，正确的是（　　） A．如果两个角相等，那么它们是对顶角　　B．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 C．如果两个角互补，那么它们相等　　　　D．对顶角一定相等 4． 下列命题中，是假命题的是（　　） A．对顶角相等　　　　　　　　B．两点之间线段最短 C．相等的两个角是对顶角　　　D．同角的余角相等 5． 要说明命题「若 ，则 」是假命题，可举的反例是（　　） A．，，　　　　B．，， C．，，　　　　D．，， （二）填空题（每小题 4 分，共 20 分） 6． 判断一件事情的句子叫做＿＿＿＿。 7． 每个命题都由＿＿＿＿和＿＿＿＿两部分组成。 8． 把命题「两直线平行，同位角相等」改写成「如果……那么……」的形式：如果＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，那么＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 9． 要说明一个命题是假命题，只需举出一个＿＿＿＿。 10． 命题「两个锐角的和一定是钝角」是＿＿＿＿命题（填「真」或「假」），反例是这两个角为＿＿＿＿和＿＿＿＿。 （三）解答题（共 60 分） 11．（14 分）指出下列语句中哪些是命题，哪些不是命题，并说明理由。 （1）两条直线相交只有一个交点；　　（2）作 的平分线； （3）如果 ，那么 ；　　（4） 与 的和是多少？ （5）相等的两个角是直角；　　　　　（6）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。 12．（16 分）把下列命题改写成「如果……那么……」的形式，并指出它们的条件与结论。 （1）同旁内角互补，两直线平行； （2）两个角是对顶角，则它们相等； （3） 的绝对值是非负数； （4）能被 整除的数是偶数。 13．（16 分）判断下列命题的真假。是真命题的说明理由，是假命题的举出反例。 （1）如果 ，那么 ； （2）两个负数的和一定是负数； （3）若 ，则 ； （4）同角的补角相等。 14．（14 分）已知命题：「如果两个角互为补角，那么这两个角一个是锐角、一个是钝角。」 （1）写出这个命题的条件与结论； （2）判断这个命题的真假； （3）若是假命题，请举出反例； （4）你能把它改成一个真命题吗？请写出来。 2　认识证明　　第 2 课时　基本事实、定理与证明的格式 一、知识梳理 1．基本事实（公理）　人们经过长期实践公认为正确、不需要再证明的命题，叫做基本事实。它们是推理的出发点。本章要用到的基本事实主要有： （1）两点确定一条直线； （2）两点之间线段最短； （3）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； （4）同位角相等，两直线平行； （5）两直线平行，同位角相等； （6）等式与不等式的基本性质。 2．定理　经过证明的真命题叫做定理。定理一旦被证明，就可以作为以后推理的依据。 例如「对顶角相等」「同角（或等角）的补角相等」都是定理。 3．证明　根据条件、定义、基本事实、已经学过的定理，经过有根有据的推理，判断一个命题正确，这个推理过程叫做证明。 4．证明的书写格式 （1）已知：把条件用图形中的字母写清楚； （2）求证：把结论用图形中的字母写清楚； （3）证明：一步一步写出推理过程，每一步都要注明理由（写在括号里）。 5．示例：证明「对顶角相等」 直线 与 相交于点 已知：如图，直线 与 相交于点 。 求证：。 证明：∵ 与 互为邻补角（邻补角的定义）， ∴ 。 同理 。 ∴ ，（等式的性质）。 ∴ （等量代换）。 【易错警示】 ① 证明中的每一步都要有理由，理由只能是已知条件、定义、基本事实或已学过的定理。 ② 「已知」「求证」都要结合图形，用字母表示，不能照抄文字命题。 ③ 不能把要证明的结论当作理由来用（这叫「循环论证」）。 ④ ∵ 表示「因为」，∴ 表示「所以」，书写时不要写反。 ⑤ 角的度数要写单位「」，如 。 二、基础训练 （一）选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1． 下列命题中，属于基本事实的是（　　） A．对顶角相等　　　　　　　　　　B．两点确定一条直线 C．同角的补角相等　　　　　　　　D．三角形的内角和是 2． 经过证明的真命题叫做（　　） A．定义　　B．基本事实　　C．定理　　D．反例 3． 在证明中，下列不能作为推理依据的是（　　） A．已知条件　　B．定义　　C．要证明的结论　　D．已学过的定理 4． 如图，直线 与 相交于点 ，若 ，则 的度数是（　　） 第 4 题图 A．　　B．　　C．　　D． 5． 上题中 的度数是（　　） A．　　B．　　C．　　D． （二）填空题（每小题 4 分，共 20 分） 6． 人们经过长期实践公认为正确、不需要证明的命题叫做＿＿＿＿＿＿。 7． 经过证明的真命题叫做＿＿＿＿。 8． 证明一个命题时，一般要先根据图形写出＿＿＿＿和＿＿＿＿，再写出证明过程。 9． 符号「∵」表示＿＿＿＿，符号「∴」表示＿＿＿＿。 10． 若 与 互为邻补角，且 ，则 ＿＿＿＿。 （三）解答题（共 60 分） 11．（14 分）填写下面证明中的空格。 如图，直线 与 相交于点 。 第 11 题图 求证：。 证明：∵ 与 互为邻补角， ∴ （＿＿＿＿＿＿＿＿）。 ∵ 与 互为邻补角， ∴ ＿＿＿＿。 ∴ ＿＿＿＿，＿＿＿＿。 ∴ （＿＿＿＿＿＿）。 12．（16 分）如图，直线 与 相交于点 ，射线 平分 。 第 12 题图 （1）若 ，求 的度数； （2）求 的度数，并说明理由； （3）若 ，求 的度数。 13．（16 分）已知命题：「同角的补角相等。」 （1）把它改写成「如果……那么……」的形式； （2）画出图形并写出已知、求证； （3）写出证明过程（每一步注明理由）。 14．（14 分）如图，在 中， 是一条线段，。 第 14 题图 （1）由 可知 是 的什么线？说明理由； （2）若 ，求 的度数； （3）若 ，求 的度数。 参考答案与解析 第 1 课时　定义、命题与真假命题 一、选择题 1．C　【解析】A 是祈使句，B 是疑问句，D 只是一个式子，都没有作出判断； C 对「两点」与「直线」的关系作出了判断，是命题。 2．B　【解析】改写成「如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等」，「如果」后面就是条件。 3．B　【解析】条件是「两个角是对顶角」，结论是「这两个角相等」，故选 B。 A 把条件与结论互换了，得到的是另一个（假）命题。 4．C　【解析】相等的两个角不一定是对顶角，例如角平分线分成的两个角相等，但不是对顶角，所以 C 是假命题； A、B、D 都是真命题。 5．B　【解析】反例要满足条件 而结论 不成立。 取 ，，：满足 ，但 ，，，结论不成立。 C 中 ，D 中 ，都不满足条件；A 中结论成立，不是反例。 二、填空题 6． 命题 7． 条件（题设）；　结论 8． 两条直线平行（被第三条直线所截）；　同位角相等 9． 反例 10． 假；　；　（答案不唯一，只要两个锐角的和不大于 即可） 【解析】，它是锐角而不是钝角，所以原命题是假命题。 三、解答题 11．（14 分） 是命题的：（1）（3）（5）（6）。它们都对一件事情作出了判断。 不是命题的：（2）（4）。 理由：（2）是祈使句，只提出一个作图要求，没有作出判断； （4）是疑问句，只是提出问题，也没有作出判断。 说明：（5）「相等的两个角是直角」虽然是假命题，但它作出了判断，仍然是命题。 【方法总结】判断是不是命题只看「有没有作出判断」，与命题的真假无关。 12．（16 分） （1）如果两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行。 条件：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；结论：这两条直线平行。 （2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。 条件：两个角是对顶角；结论：这两个角相等。 （3）如果一个数是 的绝对值，那么这个数是非负数。 条件：一个数是 的绝对值；结论：这个数是非负数。 （4）如果一个数能被 整除，那么这个数是偶数。 条件：一个数能被 整除；结论：这个数是偶数。 13．（16 分） （1）假命题。反例：取 ，，此时 ，但 。 （2）真命题。理由：两个负数相加，取原来的符号并把绝对值相加，结果仍然是负数。 （3）假命题。反例：取 ，，，则 ，，，不满足 。 （也可取 ，此时 。） （4）真命题。理由：设 与 都是 的补角， 则 ，，所以 。 14．（14 分） （1）条件：两个角互为补角；结论：这两个角一个是锐角、一个是钝角。 （2）这是一个假命题。 （3）反例：取 ，它们的和是 ，互为补角， 但两个角都是直角，既不是锐角也不是钝角。 （4）可以改成：「如果两个角互为补角，且其中一个是锐角，那么另一个一定是钝角。」 （答案不唯一，改后的命题是真命题即可。） 【学后反思】判断命题真假的方法非常「不对称」：否定只需一个反例，肯定必须严格证明。这正是下一课时要学习的内容。 第 2 课时　基本事实、定理与证明的格式 一、选择题 1．B　【解析】「两点确定一条直线」是公认为正确、不需要证明的基本事实； A、C 是经过证明的定理，D 也是定理。 2．C　【解析】经过证明的真命题叫做定理。 3．C　【解析】把要证明的结论当作理由，属于循环论证，是不允许的。 4．B　【解析】 与 是对顶角，由「对顶角相等」得 。 5．C　【解析】 与 互为邻补角，所以 。 二、填空题 6． 基本事实（公理） 7． 定理 8． 已知；　求证 9． 因为；　所以 10． 【解析】。 三、解答题 11．（14 分） 证明：∵ 与 互为邻补角， ∴ （邻补角的定义）。 ∵ 与 互为邻补角， ∴ 。 ∴ ， 。 ∴ （等量代换）。 【方法总结】这实际上又证明了一次「对顶角相等」。证明的每一步括号里都要写清依据。 12．（16 分） （1）∵ 平分 ，∴ （角平分线的定义）。 ∴ 。 （2）。 理由：∵ 直线 与 相交于点 ，∴ 与 是对顶角。 ∴ （对顶角相等）。 （3）∵ ，且 ，∴ 。 ∵ 与 互为邻补角， ∴ 。 13．（16 分） （1）如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等。 （2）已知：，。 求证：。 （作图时可画出一个角 ，再分别画出它的两个补角 与 。） （3）证明：∵ （已知）， ∴ （等式的性质）。 ∵ （已知）， ∴ （等式的性质）。 ∴ （等量代换）。 【方法总结】「同角（等角）的补角相等」「同角（等角）的余角相等」都是用等式的性质 等量代换证明的，思路完全一样。 14．（14 分） （1） 是 的平分线。 理由：∵ ，且射线 在 的内部， ∴ 把 分成了相等的两个角，即 平分 （角平分线的定义）。 （2）∵ ，∴ 。 （3）∵ ，∴ 。 【学后反思】本节把「说理」升级成了「证明」：基本事实是起点，定理是台阶，已知、求证、证明是格式。写证明时牢记一句话——每一步都要讲得出理由。 学科网（北京）股份有限公司 $