7.3 平行线的证明 课后同步练习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 分层覆盖平行线判定与性质，从基础应用到综合推理，适配新授课巩固与推理意识培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|平行线判定（同位角、内错角）、性质|单选1-4直接应用概念，填空9-10强化平行公理| |提升层|判定与性质综合、命题辨析|单选5-8多方法辨析，填空11-13结合几何动态问题| |拓展层|推理证明与实际应用|解答14-18含尺规作图、情境探究（如第17题人行道问题）|

7.3 平行线的证明 课后同步练习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．如图所示，以下条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．将一块含有的三角尺如图放置，点A、B分别在直线m、n上，下列条件中一定能判断的是（   ） A． B． C． D． 5．学习情境·推理论证如图所示，下列推理中正确的有（   ） ①，； ②，； ③，； ④，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．下列与垂直相交的说法： ①平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ②平面内，一条直线如果它与两条平行线中的一条垂直，那么它与另一条也垂直； ③平面内，一条直线不可能与两条相交直线都垂直． 其中说法错误的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．如图，直尺和三角板摆放在课桌面上，直尺的边缘，三角板中角的顶点在上，直角顶点在上，三角板与直尺边缘形成的，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，在和中，点A、E、F、C在同一直线上，，，再添加哪个条件不能证明和全等的是 ①；    ②；    ③；    ④ A．① B．② C．③ D．④ 二、填空题 9．已知直线AB和直线外一点P，过点P作直线与AB平行，这样的直线有_______条． 10．如图，（1）因为，所以_______；（2）因为_______，所以；（3）因为，所以_______． 11．有一个质量均匀的透明水晶球，过球心的截面如图所示，为直径，一单色光线从点P射入，折射光线从点B射出，出射光线．若与延长线的夹角，则入射光线所在直线与出射光线所在直线相交形成的的度数为______． 12．如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、，，，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间＝__________． 13．在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是______．（填“平行”或“垂直”） 三、解答题 14．用无刻度直尺和圆规作图，过直线外一点作直线l的平行线．（不写作法，保留作图底迹） 15．如图，已知，，、分别是和的角平分线，试完成下列填空：说明． 解：因为（已知）， 所以（1）（____________）， 因为（已知）， 所以， 所以， 因为、分别是和的角平分线（已知）， 所以，（2）（____________）， 所以（等式性质）， 因为（已知）， 所以（3）（____________）， 所以， 所以（4）（____________）． 16．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例． (1)两条直线被第三条直线所截，内错角相等． (2)如果，那么． (3)两个钝角的和一定大于180°． (4)异号两数相加和为零． 17．王欣同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达处的过程中，通过隔离带的空隙，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，∥，∥，，相交于点，点到直线，的距离，均为9m，．请根据上述信息求标语的长度． 18．在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，李老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，已知，，试说明与的位置关系． 小明同学写出下列推理过程，请填写推理依据，补充完整． 解：，理由如下： 因为，所以，依据是______； 又因为，所以； 由得，依据是_______． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，、、三个角的关系为：，请说明理由． (3)【迁移应用】路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，已知，请直接写出的度数之和． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C D A D A D 1．【答案】D 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，结合同位角相等，两直线平行，即，故，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，故该选项不符合题意； B、∵，∴不能证明，故该选项不符合题意； C、∵，∴不能证明，故该选项不符合题意； D、∵，∴，故该选项符合题意； 故选：D 2．【答案】B 【知识点】两直线平行同位角相等 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；因此此题可根据“两直线平行，同位角相等”进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选B． 3．【答案】C 【知识点】两直线平行同旁内角互补、根据平行线的性质求角的度数 【分析】此题考查了平行线的性质．根据两直线平行同旁内角互补即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 4．【答案】D 【知识点】内错角相等两直线平行、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定方法是关键． 如图所示，过点作，得到，，可判定D选项；当时，，此时，但与不一定相等，可判定A选项；同理可判定B选项，由平行线的判定方法得到当时，，可判定C选项，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴，则， ∴， ∴一定能判断，故D选项符合题意； 当时，，此时，但与不一定相等，故不一定能判断， ∴A选项不符合题意； ∵， ∴， 若，则，由A选项可得，B选项不符合题意； ∵， ∴当时，， ∵的度数不确定，故C选项不符合题意； 故选：D ． 5．【答案】A 【知识点】同旁内角互补两直线平行、内错角相等两直线平行 【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据平行线的判定可进行求解． 【详解】解：①∵， ∴，故错误； ②∵， ∴，故错误； ③∵， ∴，故错误； ④∵， ，故正确． 故选：A． 6．【答案】D 【知识点】平面内两直线的位置关系、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行、垂线的定义理解 【分析】本题考查了平行线、垂直的定义等知识， 根据平行线的判定，垂直的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解∶①平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故原说法正确； ②平面内，一条直线如果它与两条平行线中的一条垂直，那么它与另一条也垂直，故原说法正确； ③平面内，一条直线不可能与两条相交直线都垂直，故原说法正确， 故错误的个数有0个， 故选∶D． 7．【答案】A 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质求角的度数 【分析】此题主要考查了平行线的性质，平行公理推论，过点作，且点在点的右侧，则，进而得，，由此得，再根据，即可得出的度数，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，且点在点的右侧，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 8．【答案】D 【知识点】两直线平行内错角相等、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 利用全等三角形的判定方法对四个条件分别证明即可． 【详解】解：①添加， 在和中， ， ；故①不符合题意； ②添加， ， ， 在和中， ， ；故②不符合题意； ③添加， 在和中， ， ；故③不符合题意； ④添加， ， ， ，， 不能判定和全等，故④符合题意； 故选：D． 9．【答案】1 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题是对平行公理的考查，熟记公理是解题的关键． 根据平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，即可得到答案． 【详解】解：由平行公理可知，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. 故答案为：． 10．【答案】 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定． （1）根据内错角相等，两直线平行即可解答； （2）根据同位角相等，两直线平行即可解答； （3）根据同旁内角互补，两直线平行即可解答； 【详解】解：（1）因为，所以； （2）因为 ，所以； （3）因为，所以； 故答案为：；；． 11．【答案】/106度 【知识点】对顶角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题主要考查了对顶角相等、平行线的性质等知识，首先根据对顶角的性质可得，然后根据“两直线平行，同旁内角互补”，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 12．【答案】5秒或秒 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况． 分与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解； 旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解； 旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解． 【详解】解：，， ，． 分三种情况： 如图①，与在的两侧时， ，， 要使，则， 即． 解得； 旋转到与都在的右侧时， ，， 要使，则， 即， 解得； 旋转到与都在的左侧时， ，， 要使，则， 即， 解得． ∴此情况不存在． 综上所述，当时间t的值为5秒或秒时，与平行． 故答案为：5秒或秒． 13．【答案】平行 【知识点】平面内两直线的位置关系、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【分析】本题考查了平行线的性质，灵活运用“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此类问题的关键．如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直．再根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”，可知与的位置关系是平行． 【详解】解：∵， ，，… ∴，，…， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶平行． 14．【答案】直线即为所求； 【知识点】同位角相等两直线平行、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查尺规作图--角平分线，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． 利用同位角相等两直线平行作出图形即可． 【详解】解：如图，过点作直线交直线于一点，再作． 15．【答案】两直线平行，同旁内角互补；角平分线定义；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的性质与判定，角平分线的定义．熟悉平行线的性质与判定：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行，是解题的关键． 首先根据“两直线平行，同旁内角互补”，得到，，进而得到；再结合角平分线的定义，得到．再根据“两直线平行，内错角相等”和等量代换，得到，进而通过“同位角相等，两直线平行”判定． 【详解】解：因为（已知）， 所以（两直线平行，同旁内角互补）， 因为（已知）， 所以（两直线平行，同旁内角互补）， 所以（等式性质）， 因为、分别是和的角平分线（已知）， 所以，（角平分线定义）， 所以（等式性质）， 因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等）， 所以（等式性质）， 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；角平分线定义；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行． 16．【答案】(1)是假命题，两条相交直线被第三条直线所截，形成的内错角不一定相等． (2)是假命题，如，但． (3)是真命题 (4)是假命题，如和2异号，但． 【知识点】两直线平行内错角相等、举例说明假（真）命题、绝对值的几何意义、有理数加法运算 【分析】本题考查了平行线的性质，绝对值的意义，钝角的定义以及有理数的加法法则，分析题目是否为真命题，需要分别分析各题是否能推出结论，从而作出判断． （1）缺少“两直线平行”的前提条件； （2）绝对值表示一个数到原点的距离，当两个数绝对值相等时，它们可能相等，也可能互为相反数； （3）通过“钝角是大于小于的角”即可判断为真命题； （4）举出绝对值不等的异号两数相加的例子即可判断． 【详解】（1）略 （2）略 （3）是真命题．每一个钝角都大于，故两个钝角的和一定大于． （4）略 17．【答案】20m 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、平行公理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】根据AAS，证明△≌△，进而得出结论． 【详解】解：∵∥，∥ ∴∥ ∴， ∵点到直线，的距离，均为9m ∴ ∴△≌△(AAS) ∴m（全等三角形的对应边相等) ∴标语的长度是20m 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，平行公理的运用以及平行线的性质，熟练地掌握以上内容是解决问题的关键． 18．【答案】(1)两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行 (2) ，理由： 如图所示，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； (3) 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质证明、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质与判定； （1）根据两直线平行，同位角相等，即可得，根据等量代换可得，根据内错角相等两直线平行，即可得证； （2）过点作，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可求解； （3）根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 因为，所以，依据是两直线平行，同位角相等； 又因为，所以； 由得，依据是内错角相等，两直线平行． 故答案为：两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行 （2）略 （3）解：如图所示，的顶点分别为， 依题意，，作， ∴ ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $