7.3 平行线的证明 课后巩固卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦平行线判定与性质，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从单一知识点到实际问题解决的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|平行线判定公理与性质|单选直接考查（如第1题同位角判定平行）| |能力提升|性质与判定综合应用|填空结合图形变换（如第8题折叠求角）| |综合应用|实际问题与逻辑推理|解答题含尺规作图与命题证明（如第17题）|

7.3 平行线的证明 课后巩固卷2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．如图，直线，被直线所截，，下列条件中可以判定的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线，被直线所截，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．将一块含有的三角尺如图放置，点A、B分别在直线m、n上，下列条件中一定能判断的是（   ） A． B． C． D． 4．劳动人民具有无穷无尽的智慧．如图，这是艺术灯安装师傅安装灯管时使用的工具，利用这个工具既能保证灯管间的距离相等，又能保证灯管相互平行，灯管相互平行的依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 5．在同一平面内，若，，则与的关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 6．如图，，直线与、分别交于点、，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．如图，直尺和三角板摆放在课桌面上，直尺的边缘，三角板中角的顶点在上，直角顶点在上，三角板与直尺边缘形成的，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，将长方形沿折叠，点，分别落在，的位置，的延长线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如果ab，bc，那么ac，这个推理的依据是______． 10．如图，若，则a//b．请你用语言描述这一现象：____________________． 11．如图，是的外角，射线在的内部，添加一个条件_______，使得．（写出一种情况即可） 12．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为，则．如图2，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为______． 13．如图，点E，F分别在，上，，垂足为O，．若，，则点F到直线的距离为__________．    三、解答题 14．用无刻度直尺和圆规作图，过直线外一点作直线l的平行线．（不写作法，保留作图底迹） 15．完成下面证明． 如图，三角形，，为上一点，，，点、分别在、上，且． 求证：． 证明：，， _________．（依据：___________） ， _________°． ， _________． ．（依据：_______________） 16．有一座锥形小山，如图． (1)要测量锥形小山两端的距离，先在平地上取一个可以直接到达和的点，连接并延长到，使，连接并延长到，使，连接，量出的长度，就能得出锥形小山两端的距离，请说明其中的道理． (2)为加快开山修路的进度，施工队要在两点同时施工，师傅在（1）的基础上，过A作，过作，沿方向开工就能使在同一条直线上．请运用相关知识说明其中的道理． 17．已知命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对内错角的平分线互相平行．” (1)写出命题的题设和结论； (2)画出符合命题的几何图形； (3)用几何语言叙述这个命题； (4)说明这个命题是真命题的理由． 18．在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，李老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，已知，，试说明与的位置关系． 小明同学写出下列推理过程，请填写推理依据，补充完整． 解：，理由如下： 因为，所以，依据是______； 又因为，所以； 由得，依据是_______． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，、、三个角的关系为：，请说明理由． (3)【迁移应用】路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，已知，请直接写出的度数之和． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D C D B A B 1．【答案】A 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了对顶角相等，平行线的判定，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 先标注，根据同位角相等，两直线平行判断即可． 【详解】如图所示， 根据题意可知，，和是一对同位角， 根据同位角相等两直线平行可得，当时，． 故选：A． 2．【答案】B 【知识点】两直线平行同位角相等、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查平行的性质，熟练掌握平行的性质是解题的关键． 根据“两直线平行，同位角相等”即可解得的大小． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 3．【答案】D 【知识点】内错角相等两直线平行、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定方法是关键． 如图所示，过点作，得到，，可判定D选项；当时，，此时，但与不一定相等，可判定A选项；同理可判定B选项，由平行线的判定方法得到当时，，可判定C选项，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴，则， ∴， ∴一定能判断，故D选项符合题意； 当时，，此时，但与不一定相等，故不一定能判断， ∴A选项不符合题意； ∵， ∴， 若，则，由A选项可得，B选项不符合题意； ∵， ∴当时，， ∵的度数不确定，故C选项不符合题意； 故选：D ． 4．【答案】C 【知识点】同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出结果． 【详解】解：∵工具的两个同旁内角均为， ∴两个角的和为180度， ∴两直线平行； 故选C． 5．【答案】D 【知识点】平面内两直线的位置关系、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行、垂线的定义理解 【分析】本题考查了平面内的两直线的位置关系，熟练掌握垂直和平行线的判定是解题关键．根据垂直的定义、平行线的判定即可得． 【详解】解：在同一平面内，若，则； 在同一平面内，若与相交但不垂直，则与相交但不垂直； 在同一平面内，若，则； 综上，在同一平面内，与的关系可能平行，也可能相交，还可能垂直， 故选：D． 6．【答案】B 【知识点】两直线平行同旁内角互补、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，角平分线定义解答即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7．【答案】A 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质求角的度数 【分析】此题主要考查了平行线的性质，平行公理推论，过点作，且点在点的右侧，则，进而得，，由此得，再根据，即可得出的度数，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，且点在点的右侧，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 8．【答案】B 【知识点】两直线平行内错角相等、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及折叠的性质，注意掌握折叠前后图形的对应关系是解题的关键． 由折叠可得，，，可得，根据可得，过点作，则，可得，则可得． 【详解】解：如图，过点作， ∵四边形是长方形， ∴，， ∴， 由折叠可得，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 9．【答案】平行于同一条直线的两条直线平行 【知识点】平行公理的应用 【解析】略 10．【答案】同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【分析】根据平行线的判定可直接进行求解． 【详解】解：若，则a//b，用语言描述这一现象是同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； 故答案为：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 【点睛】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 11．【答案】或或（答案不唯一，填一个即可） 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行解答即可． 【详解】解：∵， ∴（同位角相等，两直线平行）； ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：或或（答案不唯一，填一个即可）． 12．【答案】 【知识点】两直线平行同旁内角互补、根据平行线判定与性质求角度、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 由题意得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：由题意得，，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、点到直线的距离、根据平行线判定与性质证明 【分析】首先证明，再证明，利用勾股定理求出，最后运用面积法可求出点到直线的距离． 【详解】解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 设点到直线的距离为，且，，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质及点到直线的距离，勾股定理，熟练应用平行线的判定与性质和点到直线的距离计算方法进行计算是解决本题的关键． 14．【答案】直线即为所求； 【知识点】同位角相等两直线平行、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查尺规作图--角平分线，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． 利用同位角相等两直线平行作出图形即可． 【详解】解：如图，过点作直线交直线于一点，再作． 15．【答案】证明：，， ．（两直线平行，内错角相等） ， ． ， ． ．（同位角相等，两直线平行） 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】根据平行线的性质得出，利用角的和差关系求出，即可得出，根据平行线的判定定理即可得出答案． 【详解】略 16．【答案】(1) 解：∵在和中， ∴， ∴； (2) 解：∵， ∴， ∴， ∵，， 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴在同一条直线上． 【知识点】对顶角相等、平行公理的应用、内错角相等两直线平行、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据证明即可； （2）根据全等三角形性质得出，根据平行线的性质得出，根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，得出在同一条直线上． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，平行公理的应用，解题的关键是证明． 17．【答案】(1) 题设：两条平行线被第三条直线所截，结论：一对内错角的平分线互相平行； (2) 如下图所示： (3) 如上图，已知ABCD，GH、MN分别平分∠BGF和∠EMC， 求证：GHMN； (4) 真命题，理由： ∵ABCD， ∴∠BGM=∠CMG， 又∵GH、MN分别平分∠BGF和∠EMC， ∴∠HGM=∠BGM，∠NMG=∠CMG， ∴∠HGM=∠NMG， ∴GHMN． 【知识点】用直尺、三角板画平行线、内错角相等两直线平行、两直线平行内错角相等、写出命题的题设与结论 【分析】（1）根据命题写成“如果…，那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论，即可得答案； （2）先画ABCD，再画GH、MN分别平分∠BGF和∠EMC即可； （3）根据图形用字母表示叙述即可； （4）根据平行线的性质得∠BGM=∠CMG，再由GH、MN分别平分∠BGF和∠EMC，可得∠HGM=∠NMG，即可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 【点睛】本题考查了命题、作图、平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质并灵活运用． 18．【答案】(1)两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行 (2) ，理由： 如图所示，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； (3) 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质证明、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质与判定； （1）根据两直线平行，同位角相等，即可得，根据等量代换可得，根据内错角相等两直线平行，即可得证； （2）过点作，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可求解； （3）根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 因为，所以，依据是两直线平行，同位角相等； 又因为，所以； 由得，依据是内错角相等，两直线平行． 故答案为：两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行 （2）略 （3）解：如图所示，的顶点分别为， 依题意，，作， ∴ ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $