辽宁省2026-2027学年高二数学上学期开学自编模拟试卷04

**基本信息** 以文化情境与空间几何为特色，覆盖向量、三角、立体几何等核心知识，梯度设计适配高二开学巩固需求，如圣·索菲亚教堂高度估算题融合解三角形与实际应用，秦九韶“三斜求积术”题体现文化传承。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|向量夹角、面面垂直、三棱锥最短路径、三角函数图像变换等|结合教堂建筑情境考查解三角形，三棱锥侧面展开培养空间观念| |填空题|3题/15分|旋转体表面积、秦九韶公式、点到平面距离|引用古代数学文化，旋转体问题强化几何直观| |解答题|5题/77分|向量化简、解三角形范围、三角函数零点、四棱锥存在性问题等|四棱锥证明与存在性探究考查推理能力，直四棱柱二面角计算提升空间想象|

辽宁省2026-2027学年高二数学上学期开学自编模拟试卷04 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修三+必修四+选择性必修第一册第一章第一节。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高一下·广西河池·期末）已知向量，满足，，，则向量与夹角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量垂直可得数量积为零，即可求解向量夹角的余弦值，再由即可求解. 【详解】设向量，夹角为，因为，，， 所以，即，解得， 因为，所以，所以向量与夹角的正弦值为. 2．（25-26高一下·广东肇庆·期末）如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆上异于、的任意一点，则图中互相垂直的平面有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】利用线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆周角定理及面面垂直的判定定理进行推导判断． 【详解】因为垂直于圆所在的平面，且平面，平面， 根据面面垂直的判定定理，可得平面平面，平面平面，这里有2对； 因为是圆的直径，为圆上异于，的任意一点，所以， 又因为平面，所以，所以平面， 又因为平面，根据面面垂直的判定定理，可得平面平面，这里有1对． 综上所述，图中互相垂直的平面共有3对，故选：B． 3．（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，三棱锥中，，为正三角形，，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先作出三棱锥的侧面展开图，利用平面图形中两点之间直线段最短可得最短路线的长. 【详解】因为，为正三角形，所以， 所以， 将三棱锥的侧面沿侧棱剪开，展开的平面图形如图所示， 则线段即为点B的最短路线的长， 因为 , 由余弦定理得到， 即， 所以，即点B的最短路线的长为. 4．（2026·河北沧州·一模）先将函数的最小正周期变为原来的倍，再把所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则、的值分别为（   ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】A 【分析】利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，结合题意可得出关于、的方程组，结合的取值范围可得结果. 【详解】函数的最小正周期变为原来的倍，即将函数图象上每点的横坐标伸长为原来的倍， 所得函数的解析式为， 再将所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象， 即， 所以，解得，， 又因为，故. 5．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·期中）圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶､教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣⋅索菲亚教堂的高度约为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出. 【详解】由题可得在直角中，，，所以， 在中，，， 所以， 所以由正弦定理可得，所以， 则在直角中，， 即圣.索菲亚教堂的高度约为. 故答案为：D. 6．（25-26高一下·甘肃嘉峪关·期末）已知函数，若在上的最大值为，最小值为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过三角恒等变换将函数化简为正弦型函数，再结合自变量区间求最值，最后计算最值之和. 【详解】依题意， 由，得，因此. 当时，取最大值，故； 当时，取最小值，故. 因此. 7．（25-26高一下·广东广州·期末）在正四棱锥中，，则该棱锥的外接球与内切球半径之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正四棱锥的性质确定外接球和内切球的球心位置，分别求出外接球半径和内切球半径，即可求解. 【详解】如图所示，正四棱锥中，正方形的对角线相交于点，则平面. 设正四棱锥外接球的球心为，在上，高， 连接，则. ，设，则，. 则在中，， 即，得. 在中，， 即，解得. 如图所示，设正四棱锥内切球的球心为，在上， 高，取中点，连接. ，设，则，. 则. 在中，，即. 设内切球与平面相切于点，与平面相切于点， 则，，. ，即，解得. . 8．（25-26高一下·山东济宁·期末）已知直三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，且．，，若球O的表面积为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过余弦定理判断形状后确定外接圆圆心位置，进一步判断球心位置，并通过数量积求解直线夹角余弦值. 【详解】   因为，，，所以， 解得，所以， 因此，外接圆圆心位于中点. 同理，外接圆圆心位于中点. 由此可知，外接球球心位于中点. 因为球表面积为，设外接球半径为， 所以，解得， 所以，. 以作为基底，分别记作，得，. 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一下·河南商丘·期末）已知复数，则（    ） A．在复平面内对应的点位于第四象限 B． C． D．是关于的方程的一个根 【答案】ACD 【分析】利用复数的几何意义判断A项，利用复数的乘方运算结果判断B项；根据复数的加减运算与模的运算判断C项；根据方程的根的定义计算判断D项. 【详解】对于A，复数对应的点位于第四象限，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，因，则，故C正确； 对于D，当时，， 故是关于的方程的一个根，即D正确. 10．（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）如图，在平行六面体中，与相交于点，记，，，为的重心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据空间向量的线性运算逐项计算即可判断. 【详解】由，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：BC 11．（25-26高二下·云南昆明·期末）如图，菱形边长为2，，点为的中点，将沿翻折至的位置，使得四棱锥的体积为，则（    ）    A．平面 B．平面 C． D．点到直线的距离是 【答案】ABD 【分析】对于A，根据线面平行的判定定理证明即可；对于B，根据棱锥的体积公式得到到平面的距离为1，结合，即可得证；对于C，根据线面垂直的判定定理及线面垂直的性质判断即可；对于D，根据余弦定理求解即可. 【详解】易知为等边三角形，因为点为的中点，所以，，. 菱形中，，则，四边形为直角梯形. 面积为. 则翻折后，，. 又，解得，即到平面的距离为1. 又，所以平面. 对于A，，平面，平面，所以平面，A正确. 对于B，因为平面，则平面，B正确. 对于C，因为，，，平面，， 所以平面，又平面，所以. 若，结合，且与是平面内的两条相交直线， 可得平面，与平面矛盾，故C错误. 对于D，连接，因为平面，平面，所以.    则即为点到直线的距离. 在中，，，， 由余弦定理得， 所以，故点到直线的距离是，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高一下·山西·期末）如图，已知直角梯形中，，以直角梯形的底边所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则所得几何体的表面积为_________. 【答案】 【分析】先判断旋转得到同底圆柱与圆锥的组合几何体，求出底面半径与圆锥母线长，分别算出圆柱侧面积、圆锥侧面积和外露底圆面积，相加得到组合体表面积. 【详解】旋转后所得几何体，如图所示：所得几何体为一个圆锥与一个同底的圆柱的组合体， 由题意得， 所以底面圆的周长为，底面圆的面积为， 所以圆锥的侧面积为，圆柱的侧面积为， 所以所得几何体的表面积为. 13．（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积．根据此公式，若，且，则的面积为______． 【答案】 【分析】首先根据正弦定理化简已知，求得，再根据余弦定理求，最后代入面积公式求解. 【详解】由正弦定理边角互化可知化简为 ， 即 ，, ，解得：， 根据面积公式可知 14．（25-26高一下·广东肇庆·期末）在长方体中，，，为的中点，则点到平面的距离为_________． 【答案】/ 【分析】根据等体积法，即可求解. 【详解】连接，，如图所示，设点到平面的距离为， 则， 又长方体中，，，为的中点， 所以，所以， 所以， 又长方体中，平面， 所以， 所以，解得， 即点到平面的距离为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，作图见解析 (2)，作图见解析 (3)，作图见解析 【分析】（1）（2）（3）根据空间向量的线性运算即可得到答案. 【详解】（1）， 向量如图所示.    （2）； 向量如图所示.    （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示.    16．（25-26高一下·河南郑州·期末）在中，角，，的对边分别为，面积为，且 (1)求周长的取值范围； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用面积公式和余弦定理得出，再利用余弦定理和不等式求解； （2）根据锐角三角形求出，再利用正弦定理和三角函数求范围. 【详解】（1）因为，所以， 则由余弦定理可得，得， 因为，所以， 因为，，所以， 得， 又，则， 所以周长的取值范围为； （2）因为为锐角三角形，所以，得， 则， 故由正弦定理得， 故的取值范围为. 17．（25-26高一下·陕西商洛·期中）已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象. (1)求的解析式及单调递增区间； (2)求在上的值域； (3)求函数在上的零点之和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先由两角和的正弦和二倍角的正弦对化简，然后由图象平移的性质得到，再整体代入求解单调区间可得； （2）由正弦函数的单调性可得； （3）先由诱导公式和三角恒等变化对化简，再由正弦函数的取值可得. 【详解】（1）因为， 又因为将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象， 所以， 由，得， 所以的单调递增区间为. （2）由，得. 由正弦函数性质可知，， 故在的值域为. （3） ， 由，得，得或， 即或， 因为，所以或或或， 故在上的零点之和为. 18．（25-26高一下·广东韶关·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，， ，. (1)求证：平面⊥平面； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为? 若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)取中点，连接、， 因为，所以，又，故， 所以 ， 因为底面是菱形，，，故是等边三角形， 又为中点，因此，， 在中，，则， 因为，，，平面， 故平面，又平面， 所以平面平面. (2)点到平面的距离为. (3)存在满足条件的点，且. 【分析】（1）取中点，先证明，，根据线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理证明结论； （2）利用，求点到平面的距离； （3）设在线段上存在一点满足条件，设，，设点到平面的距离为，点到平面的距离为，根据线面角的定义可得，结合关系列方程可求. 【详解】（1）略； （2）由（1）知平面，故到平面的距离为， 的面积 ， 因此， 在中，，，， 所以， 因为平面，平面， 所以，故为直角三角形， 在中，，，， 所以， 在中，，，， 所以，又， 所以， 所以 ， 设点到平面的距离为，因为， 所以，故 ， 所以点到平面的距离为； （3）设在线段上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 设，，直线与平面所成角为， 设点到平面的距离为，点到平面的距离为，则， 因为，平面，平面， 所以平面， 故点到平面的距离等于点到平面的距离，由（2）， 由线面角定义得，结合可得， 所以 ， 在中，，，， 所以， 在中，，，， 所以， 所以，即， 解得，因为，舍去大于的根，得，符合条件. 因此存在满足条件的点，且. 19．（25-26高一下·江苏镇江·期末）如图，直四棱柱的底面为平行四边形，点，分别在棱，上，且，． (1)证明：直线平面； (2)若． （ⅰ）当，点为棱上的动点时，求证：； （ⅱ）当，异面直线与所成角的大小为时，求平面与底面所成的锐二面角的正切值． 【答案】(1)在直四棱柱中，连接，连接， 则为的中点，由，得为的中点，得， 由，得为的中点，即， 因此，且，四边形为平行四边形，则， 又平面平面，所以平面. (2)（ⅰ）在直四棱柱中，连接， 在平行四边形中，由，， 为的中点，得，则， ，于是，而平面， 平面，则，又平面， 因此平面，由点为棱上的动点，得平面， 所以. （ⅱ） 【分析】（1）连接，利用平行四边形判定及性质，线面平行的判定推理得证. （2）（ⅰ）根据给定条件，利用线面垂直的判定及性质推理得证；（ⅱ）延长与延长线交于点，作出二面角的平面角，利用几何法求解. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）略 （ⅱ）延长与延长线交于点，连接，连接， 在直四棱柱中，由为的中点，得为中点，为中点， 而为的中点，则，是异面直线与所成的角或其补角， 由，得，而，则，， 因此，为正三角形，，， 于是是二面角的平面角，由平面，平面， 得，又，则，， 所以平面与底面所成的锐二面角的正切值为. 2 / 18 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省2026-2027学年高二数学上学期开学自编模拟试卷04 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修三+必修四+选择性必修第一册第一章第一节。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高一下·广西河池·期末）已知向量，满足，，，则向量与夹角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·广东肇庆·期末）如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆上异于、的任意一点，则图中互相垂直的平面有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 3．（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，三棱锥中，，为正三角形，，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 4．（2026·河北沧州·一模）先将函数的最小正周期变为原来的倍，再把所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则、的值分别为（   ） A．、 B．、 C．、 D．、 5．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·期中）圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶､教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣⋅索菲亚教堂的高度约为（    ）    A． B． C． D． 6．（25-26高一下·甘肃嘉峪关·期末）已知函数，若在上的最大值为，最小值为，则（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·广东广州·期末）在正四棱锥中，，则该棱锥的外接球与内切球半径之比为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·山东济宁·期末）已知直三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，且．，，若球O的表面积为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一下·河南商丘·期末）已知复数，则（    ） A．在复平面内对应的点位于第四象限 B． C． D．是关于的方程的一个根 10．（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）如图，在平行六面体中，与相交于点，记，，，为的重心，则（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·云南昆明·期末）如图，菱形边长为2，，点为的中点，将沿翻折至的位置，使得四棱锥的体积为，则（    ）    A．平面 B．平面 C． D．点到直线的距离是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高一下·山西·期末）如图，已知直角梯形中，，以直角梯形的底边所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则所得几何体的表面积为_________. 13．（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积．根据此公式，若，且，则的面积为______． 14．（25-26高一下·广东肇庆·期末）在长方体中，，，为的中点，则点到平面的距离为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 16．（25-26高一下·河南郑州·期末）在中，角，，的对边分别为，面积为，且 (1)求周长的取值范围； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 17．（25-26高一下·陕西商洛·期中）已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象. (1)求的解析式及单调递增区间； (2)求在上的值域； (3)求函数在上的零点之和. 18．（25-26高一下·广东韶关·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，， ，. (1)求证：平面⊥平面； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为? 若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 19．（25-26高一下·江苏镇江·期末）如图，直四棱柱的底面为平行四边形，点，分别在棱，上，且，． (1)证明：直线平面； (2)若． （ⅰ）当，点为棱上的动点时，求证：； （ⅱ）当，异面直线与所成角的大小为时，求平面与底面所成的锐二面角的正切值． 2 / 18 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $