辽宁省2026-2027学年高二数学上学期开学自编模拟试卷05

**基本信息** 覆盖人教B版必修三、四及选择性必修一内容，通过11道选择（58分）、3道填空（15分）、5道解答（77分）的梯度设计，融合向量共线、三角恒等变换、立体几何等核心知识，适配开学检测学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|向量共线、三角命题辨析、棱台体积|第2题多命题判断考查推理意识，第8题圆锥动态线线角发展空间观念| |填空题|3/15|三角函数命题判断、解三角形、折叠体积|14题折叠构三棱锥，综合空间想象与体积计算| |解答题|5/77|复数应用、三角图像与解三角形、立体几何证明|16题结合直角三角形锐角求值域体现应用意识，18题四棱锥动点证明发展创新意识|

辽宁省2026-2027学年高二数学上学期开学自编模拟试卷05 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修三+必修四+选择性必修第一册第一章第一节。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高一下·山东济南·期末）已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C． D．6 2．（2026高二·全国·专题练习）在以下命题中，正确的命题有（ ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D．已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得 3．（25-26高一下·湖北黄冈·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·湖北武汉·三模）已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·山东·期末）棱台上、下底面均为有一个内角为的菱形，上、下底面边长分别为和，体积为，则该棱台的高为（     ） A． B． C． D． 6．（2026高三·全国·专题练习）已知函数为的零点，为的对称轴，且在单调，则的最大值为（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 7．（25-26高一下·湖南长沙·期末）在正方体中，二面角的正切值为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·山西太原·期末）如图，圆锥的轴截面是等边三角形，是底面圆周上一动点，是的中点，则直线与所成角的余弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一下·辽宁大连·期末）在中，角的对边分别为，下列四个命题中正确的是（   ） A．若是钝角三角形，则 B．若是锐角三角形，则 C．若，则一定是等腰三角形 D．若，则是钝角三角形 10．（25-26高一下·广东广州·期末）已知球与圆台的上下底面和侧面都相切，若圆台的上下底面半径分别是1和6，则（    ） A．圆台侧面展开图扇环的圆心角为 B．圆台的体积为 C．球的体积为 D．过圆台两母线的截面面积最大值为 11．（25-26高二下·福建宁德·期末）已知正方体的棱长为2，点是线段上的动点，则（    ） A． B．平面内存在直线平行于平面 C．点到平面的距离为 D．与平面所成角的正弦值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026高三·全国·专题练习）阅读下列命题： ①若点为角终边上一点，则； ②同时满足的角有且只有一个； ③设且，则； ④设（为象限角），则在第一象限． 其中正确命题为______．（将正确命题的序号填在横线上） 13．（25-26高一下·辽宁鞍山·期末）在中，，，，是边上一点，是的角平分线，则的长为__________ 14．（25-26高一下·广西南宁·期末）如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将，，分别沿折起，使三点重合于点，则三棱锥的体积是___________，三棱锥的内切球的体积是___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一下·陕西西安·期末）已知复数，（为虚数单位）． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 16．（25-26高一下·江苏南京·期末）已知，，． (1)求函数的解析式； (2)若x是直角三角形的一个锐角，求的值域． (3)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 17．（25-26高一下·辽宁沈阳·期末）已知函数的最小正周期为． (1)求在上的单调性； (2)设是锐角三角形，，，是的内角，若，求的取值范围． 18．（25-26高一下·四川绵阳·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点． (1)若为线段上的动点，证明：平面平面； (2)若是上靠近的四等分点，求点到平面的距离． 19．（25-26高二下·广东广州·期末）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)若平面，直线与平面所成角的正弦值为，求四棱锥的体积． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省2026-2027学年高二数学上学期开学自编模拟试卷05 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修三+必修四+选择性必修第一册第一章第一节。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高一下·山东济南·期末）已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】根据向量共线的坐标表示求的值. 【详解】因为，且，， 所以，解得. 2．（2026高二·全国·专题练习）在以下命题中，正确的命题有（ ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D．已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得 【答案】C 【分析】利用向量共线的概念可判断A；利用与任意向量共线可判断B；利用共面定理可判断C；利用向量共面的性质可判断D. 【详解】对于A：当非零向量同向时，，共线，但，故A错误； 对于B：当，，满足，此时不存在实数，使，故B错误； 对于C：因为，满足，则由共面向量定理知四点共面，故C正确； 对于D: 若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立,故D错误. 3．（25-26高一下·湖北黄冈·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简得，再利用两角和的正切公式即可求解. 【详解】由题意得：，所以， 所以， 所以. 4．（2026·湖北武汉·三模）已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正弦定理边角互化，通过两角和差、三角形内角和关系及二倍角公式化简求值 【详解】由正弦定理得，， 代入，得，即， 所以，即， 因为，所以，所以， 所以，所以当，即时， 5．（25-26高一下·山东·期末）棱台上、下底面均为有一个内角为的菱形，上、下底面边长分别为和，体积为，则该棱台的高为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用台体体积公式直接求解即可. 【详解】上底面面积为，下底面面积为， 由， 得到，即，则 6．（2026高三·全国·专题练习）已知函数为的零点，为的对称轴，且在单调，则的最大值为（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】B 【分析】根据已知可得，为正奇数且.结合为的零点，为图像的对称轴，求出符合题意的解析式，并结合在上单调，可得的最大值. 【详解】因为为的零点，为图象的对称轴， 所以,即，所以,即为正奇数. 因为在上单调，则，即， 解得：，当时，, 因为，所以，此时. 当时，， 所以当时，单增；当时，单减， 即在不单调，不满足题意； 当时，, 因为，所以，此时. 当时，， 此时在单调递减，符合题意； 故的最大值为9. 7．（25-26高一下·湖南长沙·期末）在正方体中，二面角的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正方体的线面关系找出二面角的平面角计算即可. 【详解】如图，在正方体中，连接交于， 由为正方体，从而，， 又，平面， 平面，因为平面， 从而，从而为二面角的平面角， 设正方体的边长为，则，，， 从而. 即二面角的正切值为 8．（25-26高一下·山西太原·期末）如图，圆锥的轴截面是等边三角形，是底面圆周上一动点，是的中点，则直线与所成角的余弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法一：异面直线求夹角作平行线与已知直线相交，构成的夹角为异面直线所成角，通过解三角形计算取值范围；法二：通过建立空间直角坐标系，利用三角函数法对点设出坐标，将异面直线所成角转化为两条直线方向向量所成的角，进而计算取值范围． 【详解】法一：取底面圆心为，连接，，，作，垂足为，连接； 因为是的中点，为的中点，故； 则即为直线与所成角； 设底面半径为，则，，； 因为，，故； 由余弦定理可知 由， 因为是底面圆周上一动点，故，则； 代入可得； 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一下·辽宁大连·期末）在中，角的对边分别为，下列四个命题中正确的是（   ） A．若是钝角三角形，则 B．若是锐角三角形，则 C．若，则一定是等腰三角形 D．若，则是钝角三角形 【答案】ABD 【分析】对于A：由钝角的余弦值小于零，锐角的余弦值大于零可得；对于B：由锐角三角形得，再由正弦函数的单调性可得，同理得，进而可得选项的对错；对于C：直接由正弦定理得，进而可得或，从而可判断三角形的形状；对于D：先由正弦定理得，再由余弦定理得，进而可判断三角形形状. 【详解】选项A：钝角三角形中只有一个角为钝角，钝角的余弦值为负，其余两个锐角的余弦值为正， 因此三者乘积为负，即，故A正确； 选项B：因为锐角三角形中，则， 函数在上单调递增，因此， 同理可得，两式相加得，故B正确； 选项C：由正弦定理，代入得， 整理得，且，因此或，即或， 所以为等腰三角形或直角三角形，并非一定是等腰三角形，故C错误； 选项D：由正弦定理，代入， 化简整理得，即， 由余弦定理得，所以，因此是钝角三角形. 10．（25-26高一下·广东广州·期末）已知球与圆台的上下底面和侧面都相切，若圆台的上下底面半径分别是1和6，则（    ） A．圆台侧面展开图扇环的圆心角为 B．圆台的体积为 C．球的体积为 D．过圆台两母线的截面面积最大值为 【答案】BC 【分析】画出轴截面，延长交于，根据题意求得，，，设扇环的圆心角为，则，得到即可判断A；由台体体积公式及球的体积公式即可判断BC，过圆台两母线的截面面积最大值为轴截面，利用梯形面积公式即可判断D． 【详解】如图，轴截面如下：延长交于， 由相切的性质可得，则母线， （为内切球半径），解得， 又，则，即，解得，， 设扇环的圆心角为， ，解得，故A错误； 圆台的体积，故B正确； 球的体积为，故C正确； 过圆台两母线的截面面积最大值为，故D错误． 11．（25-26高二下·福建宁德·期末）已知正方体的棱长为2，点是线段上的动点，则（    ） A． B．平面内存在直线平行于平面 C．点到平面的距离为 D．与平面所成角的正弦值为 【答案】ABC 【分析】先画出正方体，平面，先证平面，即可判断A项；平面平面，且平面平面，故在平面内找到与平行的直线，即可判断B项；易证平面，利用等体积法即可求点到平面的距离，即点到平面的距离，进而判断C项；由线面角的定义即可求与平面所成角的正弦值，进而判断D项. 【详解】A项，如图所示，连接，则.在正方体中，易知， 因为，平面，所以平面. 又因为平面，所以.故A正确. B项，过作平面，垂足为，连接，则，， 所以四边形为平行四边形，所以. 又因为平面，平面，所以平面，即平面内存在直线平行于平面.故B正确. C项，在正方体中，易知，则平面， 则点到平面的距离等于点到平面的距离.易知是边长为的正三角形， 设点到平面的距离为，则. 又，所以，解得.故C正确. D项，由正方形的性质可知关于对称，结合C项分析可知点到平面的距离为， 设与平面的夹角为，则，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026高三·全国·专题练习）阅读下列命题： ①若点为角终边上一点，则； ②同时满足的角有且只有一个； ③设且，则； ④设（为象限角），则在第一象限． 其中正确命题为______．（将正确命题的序号填在横线上） 【答案】③ 【详解】命题①，点，，半径，则 ，当时，； 当时，，结果不唯一，故①错误； 命题②，满足的角为， 有无穷多个角，故②错误； 命题③，已知，且，即落在第三象限，， 由，可得，代入得， 位于第三象限取负值，则，故③正确； 命题④，，而，故，恒成立； 原式，等价于， 需满足，即， 则在一、四象限，故④错误． 13．（25-26高一下·辽宁鞍山·期末）在中，，，，是边上一点，是的角平分线，则的长为__________ 【答案】/ 【分析】利用角平分线性质得两个小三角形的顶角均为60°，通过等面积法，即的面积等于与的面积之和，列式计算的长度. 【详解】 因为为的角平分线，且，所以， 根据三角形面积的关系可得： ， 左边； 右边， 代入数值化简得： ， 联立左右两边等式： ， 解得 14．（25-26高一下·广西南宁·期末）如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将，，分别沿折起，使三点重合于点，则三棱锥的体积是___________，三棱锥的内切球的体积是___________ 【答案】 . . 【分析】折叠后、，两两垂直，将三棱锥放入长方体中，再利用等体积法求体积；设内切球的半径为，则球心到三棱锥的四个面的距离均为，球心把三棱锥的体积分为4个小三棱锥，且它们的体积之和为三棱锥的体积，即可求出，计算出内切球体积为. 【详解】由题意可得，折叠前，在中，， 在中，， 在中，， 折叠后，，， 在中，， 则、，两两互相垂直，将三棱锥放入长方体中，如图所示，. 设三棱锥内切球的半径为，球心为，则球心到三棱锥的四个面的距离均为， ，， ， 在中，由余弦定理得，， 所以，， 由得，，，解得， 则内切球的体积为. 【点睛】方法归纳： （1）题：翻折保留垂直关系，用等体积法计算棱锥体积. （2）题：结合内切球的球心到各切面距离相等，求出球心坐标. 易错归纳： （1）题：选用斜面作底面，计算繁琐易出错. （2）题：误将球心置于原点；点面距离选取错误. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一下·陕西西安·期末）已知复数，（为虚数单位）． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据虚数的概念求解即可. （2）根据复数的几何意义列不等式组求解即可. 【详解】（1）若为纯虚数，则，解得. （2）对应点位于第二象限，则， 解得，所以. 所以的取值范围为. 16．（25-26高一下·江苏南京·期末）已知，，． (1)求函数的解析式； (2)若x是直角三角形的一个锐角，求的值域． (3)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过数量积坐标运算公式表达出，再结合二倍角公式和辅助角公式化简得出的解析式； （2）利用整体法，再结合正弦函数的性质求解值域； （3）先求出内角，再结合余弦定理与基本不等式求出两边之和的最大值，进而得到三角形周长最大值. 【详解】（1）由，， 则 （2）当时，· 则当（即）时，取得的最大值为1；· 当（即）时，， 故的值域为． （3），，即， 为的内角，．故． ．则 又，由余弦定理， 得，即． 由均值不等式得：， 即，从而， 当且仅当时取等号，此时为等边三角形． 周长最大值：． 17．（25-26高一下·辽宁沈阳·期末）已知函数的最小正周期为． (1)求在上的单调性； (2)设是锐角三角形，，，是的内角，若，求的取值范围． 【答案】(1)函数在上单调递增，在上单调递减； (2) 【分析】（1）先根据诱导公式二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，根据周期求得的值，得到函数解析式，进而得到三角函数的单调性； （2）由题意可得，结合锐角三角形内角范围，可得的大小，进而表示，，再利用正弦定理变换结合三角形内角变换解得的取值范围. 【详解】（1） 因为函数的最小正周期为，所以，即， 因此函数 又，可得 当即时，单调递增，故单调递增； 当即时，单调递减，故单调递减； 所以函数在上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）可知，， 已知，可得，化简得 因为是锐角三角形内角，所以，故，得， 又，故， 因为三角形是锐角三角形，所以，解得 由正弦定理可得： 因为，所以，则，故 因此 18．（25-26高一下·四川绵阳·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点． (1)若为线段上的动点，证明：平面平面； (2)若是上靠近的四等分点，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明：因为底面，且底面所以， 因为为正方形，所以， 因为，又平面，所以平面， 因为平面，所以． 由为线段的中点，可知， 因为，且平面，所以平面． 又平面， 所以平面平面. (2) 【分析】（1）由面面垂直的判定定理证明； （2）由等体积法进行求解． 【详解】（1）略 （2）利用等体积法，设点到平面的距离为． 由（1）知平面，故平面，即点到平面的距离为． 在等腰中，，，， 故．因此，． 由（1）知平面，故，即为直角三角形． 又，，故． 由，得：，，解得． 19．（25-26高二下·广东广州·期末）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)若平面，直线与平面所成角的正弦值为，求四棱锥的体积． 【答案】(1) 取的中点为，连接，. 因为为的中点， 所以是的中位线，所以，， 因为与均为等腰直角三角形，且，， 所以，所以，所以， 且，所以，所以 ， 所以，所以是平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. (2)2 【分析】（1）根据线面平行的判定定理可知，需证明线线平行，取的中点，连接，可证明四边形是平行四边形，可证明； （2）根据线面垂直及线面平行，得出直线与平面所成角等于直线与平面所成角，进而得出那么. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 过做，因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 取的中点为，因为，所以是平行四边形， 所以平面，平面，所以平面， 所以A到平面的距离等于M到平面的距离， 又因为，所以是平行四边形，所以， 所以直线与平面所成角等于直线与平面所成角， 在中，设， 所以，所以，所以， 所以. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $