求函数解析式的四种方法专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦求函数解析式的待定系数法、换元法、配凑法、方程组法四大方法，通过分层题型系统训练函数概念应用，培养推理能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |待定系数法|10题（含一次/二次函数）|选择/填空/解答递进，结合图像与最值条件|从已知函数类型（一次/二次）出发，通过设解析式求系数，体现模型意识| |换元法|10题|以复合函数为主，选择填空侧重基础变形|通过变量替换转化函数形式，培养数学抽象与转化思维| |配凑法|10题|代数式变形训练，含定义域限制|直接通过式子配凑构建解析式，强化运算能力与逻辑推理| |方程组法|10题|函数方程关系题，含对称条件|联立函数方程求解，体现方程思想与数学思维的严谨性|

求函数解析式的四种常见训练题 【1】待定系数法求函数解析式 一、单选题 1．已知是一次函数，且满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据待定系数法计算求解即可. 【详解】由题意可设， 因为满足， 所以， 即，解得， 所以. 二、填空题 2．若是一次函数，且，则______． 【答案】或 【分析】设，利用待定系数法求出即可. 【详解】设， 则， 故，解得或， 故或． 3．设二次函数满足，且其图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，则的解析式为______. 【答案】 【分析】根据题意设二次函数的解析式，由得，由得以及，即可得出解析式. 【详解】设. 由， 得得①. 设的根为， 则， 所以②， 又由已知得③， 由①②③解得， 所以. 4．已知二次函数满足，，且的最大值是8，则的解析式为______． 【答案】 【分析】）使用待定系数法，分别设二次函数不同的表达式并代入已知条件即可求解， 【详解】（法一(利用一般式)：设． 由题意得解得． ∴所求二次函数的解析式为． 法二(利用顶点式)：设． ∵，∴抛物线的对称轴为．∴． 又根据题意函数有最大值8，∴．∴． ∵，∴，解得， ∴． 法三(利用零点式)：由已知两根为，， 故可设，即． 又函数有最大值，即．解得或(舍)． ∴所求函数的解析式为． 三、解答题 5．根据如图所示的函数的图象，写出函数的解析式． 【答案】. 【详解】当时，函数的图象是一条线段， 故可设， 将点代入，解得, 故; 当时，函数的图象是一条平行于轴的线段， 即； 当时，同理可得. 综上可知，. 6．已知二次函数满足． 求的解析式； 【答案】 【分析】设二次函数，结合题干条件，利用待定系数法即可求解； 【详解】不妨设二次函数， 由，可得，所以； 由，可得， 即，即，解得，故. 7．已知是二次函数，且，，求的解析式； 【答案】； 【分析】借助待定系数法，设，结合题目所给条件计算即可得； 【详解】设， 由，知，， 又由， 得， 即， 所以，解得， 所以； 8．已知二次函数满足条件，且. 求函数的解析式； 【答案】(1) 【分析】利用待定系数法进行求解即可； 【详解】已知是二次函数，设，因 解得，故. 9．已知二次函数满足，且的最小值为5. (1)求的解析式； 【答案】 【分析】设出解析式，根据条件得到方程组，求出解析式； 【详解】设， 由，得， 即， 所以，解得， 所以，当时，取到最小值. 又的最小值为5，所以，解得. 所以. 10．若二次函数，满足对称轴为，且．求的解析式； 【答案】 【分析】根据对称轴和已知函数值求二次函数解析式；（2）不等式恒成立参变分离转化为的最小值. 【详解】二次函数，，则， 对称轴为，，则， 所以. 【2】换元法求函数解析式 一、单选题 1．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，令，则，因为，则， 则， 所以. 2．若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据换元法求解即可. 【详解】令，，则， . . 3．若函数，则的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则． 因为，所以， 所以 ，所以的值域为． 4．已知函数，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法求解函数解析式即可. 【详解】令，可得，由题意得，则， 因为，所以， 则，故D正确. 故选：D 5．若函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用换元法求函数解析式即可. 【详解】令，则， 则有， 故. 故选：B. 二、填空题 6．已知 ，则函数的解析式为_________. 【答案】， 【分析】使用换元法求解即可，设，那么，再代入即可求得函数的解析式. 【详解】设，那么，则 ， 所以，. 7．已知，求函数的解析式___________． 【答案】 【分析】利用换元法令，进而求函数的解析式，注意函数的定义域. 【详解】令，则， 可得， 所以. 8．已知，则______． 【答案】 【分析】利用换元法，得，从而求出答案． 【详解】令，得， 且由题意知，则 故， ∴． 故答案为： 9．已知函数满足，则__________. 【答案】 【分析】利用换元法，令，再用表示,代入即可得出答案. 【详解】采用换元法，令，则,所以，故. 故答案为： 三、解答题 10．已知，求的解析式； 【答案】 【分析】根据题意利用换元法运算求解，注意变量的范围； 【详解】由，令，则， 所以， 故的解析式为. 【3】配凑法求函数解析式 一、单选题 1．若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接通过配凑法即可得结果. 【详解】， ， 所以. 2．若则当，且时，（ ） A． B． C． D．－1 【答案】B 【分析】利用配凑法即求得结果. 【详解】∵＝， ∴. 3．已知，则函数的解析式为（   ） A． B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【分析】通过配凑，得，进而求得函数的解析式，要注意的影响. 【详解】因为， 设，则 所以. 所以函数的解析式为（）. 故选：D. 4．已知，则的解析式是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用配凑法求函数解析式． 【详解】因为， 所以，则. 故选：C 二、填空题 5．已知函数，则的解析式为______. 【答案】. 【分析】用配凑法求函数解析式，注意的取值范围. 【详解】因为函数，且， 所以. 故答案为：. 6．，且，则实数的值为_________． 【答案】或 【分析】根据条件，利用配凑法求出的解析式，再代入，即可求解. 【详解】因为， 令，则， 当时，，当且仅当，即时取等号， 当时，，当且仅当，即时取等号， 综上，或，又，所以，解得或， 故答案为：或. 7．已知，则的解析式是__________. 【答案】， 【分析】把看成一个整体，用配凑方法化简即可得出结果，再利用基本不等式求出定义域范围即可. 【详解】因为，则， 当时，，当且仅当时等号成立， 当时，，当且仅当时等号成立， 所以，. 故答案为：，. 8．若，则函数______． 【答案】 【分析】利用配凑法求解函数的解析式即可. 【详解】函数，又的值域为. 所以， 故答案为：. 9．已知则的解析式为______________________. 【答案】. 【分析】利用配凑法，，即可得到. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 三、解答题 10．已知函数满足，求函数的解析式． 【答案】 【分析】利用配凑法可求得函数的解析式. 【详解】因为． 故． 【4】方程组法求函数解析式 一、单选题 1．已知函数的定义域为，且，则函数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】用代替得到，联立即可得，再通过换元，得到结合对勾函数单调性即可求解. 【详解】因为，① 所以用代替得．② ①②得． 设．当时，； 当时，可转化为函数． 又因为在单调递减，在单调递增，当时，得到最小值2， 所以当时，，则， 因为在单调递减，在单调递增，当时，得到最大值， 当时，，则， 综上，当时，取得最大值，为． 所以当时，取得最大值，为． 故选：A． 2．已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在条件式中以替代，得，代入原条件式，再令，求得答案. 【详解】由，代替,得， ， 令，得，解得. 故选：B. 二、填空题 3．若，满足，且，则_______． 【答案】8 【分析】利用解方程组法求得，，再根据求得，进而代值计算即可. 【详解】由，得， 联立上述两式解得，，即， 而， 则，即， 所以. 4．已知函数对任意的都有，则________． 【答案】 【分析】将原式中的替换为得到新方程，联立两个方程组成方程组，消去求解． 【详解】∵，① ∴，② 由得 解得：． 故答案为：． 5．若函数满足，则__________. 【答案】 【分析】分别令和，构造方程组，解方程组可得的值. 【详解】令得：①； 令得：②. ①②得： . 故答案为： 6．已知定义在上的函数满足对任意，，有，，则__________. 【答案】 【分析】根据所给关系式利用赋值法求出，推得和 ，联立计算即得. 【详解】因为， 令得，所以； 当时， 令得，则 ①， 又②， 用替换可得 ③， 由②③，可得， 将①式代入，可得， 又 ，两式相加，整理得 ， 显然当时也成立， 所以. 故答案为： 7．函数 _____ _____ 【答案】 【分析】赋值解方程组即可求，令每个式子有意义则可求定义域. 【详解】由于①， 则，整理得②， 则，整理得③， 得， 设，则，则④， 则，即⑤， 得，则，即. ，，有意义可得， 则定义域为. 故答案为：；. 8．已知函数满足，则__________. 【答案】 【分析】将式子中的所有换成，即可得到与的方程组，解得即可. 【详解】因为， 所以， 即，解得. 故答案为： 三、解答题 9．已知且，求函数的解析式． 【答案】且 【分析】利用解方程组法，分别用，代换题设式子中的，得到方程组求解即可. 【详解】，① 将①中的用代换得② 再将①中的用代换得③ 则由得且． 10．已知函数满足，其中且，求函数的解析式. 【答案】. 【分析】根据给定条件，利用方程组法及换元法求出解析式. 【详解】由， 用替换得， 则， 两式联立消去，得， 令，即，， 则，即， 所以函数的解析式为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 求函数解析式的四种常见训练题 【1】待定系数法求函数解析式 一、单选题 1．已知是一次函数，且满足，则（     ） A． B． C． D． 二、填空题 2．若是一次函数，且，则______． 3．设二次函数满足，且其图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，则的解析式为______. 4．已知二次函数满足，，且的最大值是8，则的解析式为______． 三、解答题 5．根据如图所示的函数的图象，写出函数的解析式． 6．已知二次函数满足． 求的解析式； 7．已知是二次函数，且，，求的解析式； 8．已知二次函数满足条件，且. 求函数的解析式； 9．已知二次函数满足，且的最小值为5. (1)求的解析式； 10．若二次函数，满足对称轴为，且．求的解析式； 【2】换元法求函数解析式 一、单选题 1．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2．若函数，则（    ） A． B． C． D． 3．若函数，则的值域是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 5．若函数，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．已知 ，则函数的解析式为_________. 7．已知，求函数的解析式___________． 8．已知，则______． 9．已知函数满足，则__________. 三、解答题 10．已知，求的解析式； 【3】配凑法求函数解析式 一、单选题 1．若函数，则（    ） A． B． C． D． 2．若则当，且时，（ ） A． B． C． D．－1 3．已知，则函数的解析式为（   ） A． B．（） C．（） D．（） 4．已知，则的解析式是（   ）. A． B． C． D． 二、填空题 5．已知函数，则的解析式为______. 6．，且，则实数的值为_________． 7．已知，则的解析式是__________. 8．若，则函数______． 9．已知则的解析式为______________________. 三、解答题 10．已知函数满足，求函数的解析式． 【4】方程组法求函数解析式 一、单选题 1．已知函数的定义域为，且，则函数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 2．已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．若，满足，且，则_______． 4．已知函数对任意的都有，则________． 5．若函数满足，则__________. 6．已知定义在上的函数满足对任意，，有，，则__________. 7．函数 _____ _____ 8．已知函数满足，则__________. 三、解答题 9．已知且，求函数的解析式． 10．已知函数满足，其中且，求函数的解析式. 学科网（北京）股份有限公司 $