专题04 直线与圆的方程中的最值与范围问题七类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 以距离、斜率、截距、轨迹为核心，通过“解题通法+七类题型+压轴挑战”构建直线与圆最值问题的系统性方法体系，强化几何直观与逻辑推理的融合。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|核心解法总结|四条底线原则（几何优先、范围检验、轨迹转化、变量限制）|统领四大核心要素（距离、斜率、截距、轨迹）| |题型归纳|7典例+21变式|每类题型特征+对应解法（如定点到动直线：找定点用两点距离求最值）|从基础距离到隐圆问题逐步深化| |压轴挑战|14道综合题|多方法综合应用（数形结合、轨迹转化等）|融合多题型方法提升综合解题能力|

专题04 直线与圆的方程中的最值与范围问题七类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、定点到动直线距离的最值与范围问题 题型二、两平行线间的距离的最值与范围 题型三、两点间距离的最值与范围问题 题型四、圆上一动点到定点（定直线）距离的最值与范围问题 题型五、利用数形结合思想解决几类代数式（斜率、截距、距离）的最值与范围问题 题型六、直线与圆相交或相切有关的最值或范围问题 题型七、“隐圆”中的最值与范围问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 直线与圆的方程中最值、范围问题是高中解析几何高频重难点，所有题型均围绕距离、斜率、截距、动点轨迹四大核心展开，解题贯穿四条底线原则：一是优先挖掘几何图形性质，能用几何法不硬算代数法，借助圆心、定点、切线、直径等几何特征快速锁定临界位置；二是求出结果后检验动点范围、直线与圆位置约束，防止出现解出来的点不在圆上、直线和圆无交点的增根；三是遇到带系数的距离最值，优先考虑阿氏圆等轨迹转化，不要盲目设点计算，优先完成线段转化再求最值；四是代数法求解时，一定要留意变量受圆方程带来的取值限制，联立方程后判别式、参数范围不可忽略。所有最值结果最终均需检验等号能否取到，确认对应的动点、直线真实存在. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、定点到动直线距离的最值与范围问题 典例1 已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 题型模版 1.特征：直线含有参数，直线位置不断变化，求解一个定点到这条动直线距离的最值或者取值范围. 2.方法：第一步找出动直线恒过的定点；定点、已知点两点连线距离就是距离最大值；最小值为 0（定点落在动直线上时可取到）. 变式1-1已知直线过定点，点到直线的距离的最大值为5，则实数（   ） A．0或6 B．或7 C．6 D．7 变式1-2已知直线，则原点到直线的距离的最大值等于___________. 变式1-3已知直线的方程为. (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 类型二、两平行线间的距离的最值与范围 典例2 已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：两条互相平行的直线，其中一条直线带有参数，求两条平行线之间距离最值、范围；或是已知距离范围反过来求参数. 2.方法：套用平行线距离公式写出距离表达式；结合直线与圆位置关系，找到参数的取值范围；再求函数值域，得到距离范围 变式2-1已知实数a，b，c，d满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式2-2已知实数满足，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式2-3已知两条平行直线，，当，之间的距离最大时，（    ） A． B． C． D．3 题型三、两点间距离的最值与范围问题 典例3 著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：一个动点在定直线或定圆上，求该动点与另一个（或两个）定点之间距离的最值 2.方法：定点向直线作垂线，垂线段长度为点到直线最短距离；求两条线段和最小可以使用对称点法，转化成两点之间线段最短求解 变式3-1若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 变式3-2已知、，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 变式3-3已知，则的最小值为____________. 题型四、圆上一动点到定点（定直线）距离的最值与范围问题 典例4 已知直线，圆，点在直线上运动，是圆上一动点，点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：动点在已知圆上，求圆上动点到圆外（或圆内）一个定点或直线上一动点距离的最值. 2.方法：算出圆心到定点之间的距离d；最大值等于d加上圆半径；最小值等于d减去圆半径；取值范围就是闭区间【dr，d+r】 变式4-1已知是直线上一点，M，N分别是圆和上的动点，则的最小值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 变式4-2已知点是矩形内的动点，且，，，点为边上的动点，则的最小值为________． ． 变式4-3已知直线恒过定点，点为圆上的动点：为坐标原点，则面积的最小值为__________. 题型五、利用数形结合思想解决几类代数式（斜率、截距、距离）的最值与范围问题 典例5 已知点在圆上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 题型模版 1.特征：已知点(x,y)在圆上，求解带有x、y代数式最值；代数式常可以解释为斜率、直线截距、两点距离平方（①形如，可以转化为过点和点的动直线斜率；②形如，可以转化为点和点的距离的平方；③形如，可以转化为动直线纵截距出具体根、两根相等、有一个根为0、有正/负根等条件，求参数具体值.） 2.方法：斜率型：看作圆上一点和定点连线斜率，利用切线找临界；截距型：令z等于目标式，平移直线，观察直线与圆相切得到z最值；距离型：转化为两点之间距离，套用定点到圆上点距离模型 变式5-1已知为圆上任意一点． （1）求的最大值； （2）求的最大值和最小值． 变式5-2已知实数满足，求以下各式的最小值. (1)； (2) ； (3) ． 变式5-3已知实数对满足. （1）求的最大值和最小值； （2）求的最小值； （3）求的最值 题型六、直线与圆相交或相切有关的最值或范围问题 典例6-1 若直线：与圆：相交于两点，，则的取值范围为________. 典例6-2已知直线和，若直线上存在点，上存在两点，使得，则的取值范围为________． 题型模版 1.特征：题干给出含参动直线 + 定圆，不直接给出距离，而是通过弦长范围、存在点张开定角这类几何约束条件，反向求直线参数（斜率k）的取值范围；核心纽带为圆心到动直线的距离d. 2.方法：①先将圆方程化为标准形式，求出圆心坐标与半径； ②利用点到直线距离公式，写出圆心到这条动直线的距离表达式； ③把题目给出的几何条件翻译成距离的不等式：弦长类条件：借助垂径定理，弦长越长，圆心到直线距离就越小，由此得到距离的不等关系；张角存在性条件：先算出满足夹角要求时点到圆心的临界距离；直线上只要存在符合条件的点，就等价于圆心到直线的距离不能超过这个临界距离； ④求解含参数的不等式，最终得出斜率的取值范围 变式6-1直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是______． 变式6-2直线与圆相交于M，N两点，若，则的取值范围是_________． 变式6-3已知点在直线上，若上存在点，使得，则实数的取值范围为______. 题型七、“隐圆”中的最值与范围问题 典例7-1 已知圆和两点，，若圆C上存在点P，使得，则m的最大值与最小值之和为（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 典例7-2 已知线段AB是圆O：的一条动弦，且若点P为直线上的任意一点，则的最小值为（ ） A．6 B．8 C．14 D．35 典例7-3 动直线与动直线相交于点，则的最小值为___________． 题型模版 1.特征：题干不会直接给出圆的标准方程，给出等式、几何条件，隐藏动点轨迹为圆（隐圆）；再求解距离最值问题. 2.方法：先对条件化简变形，求出隐圆圆心和半径；之后就转化为定点到圆上动点距离的最值模型求解 变式7-1已知直线，直线，，与的交点为P，已知点，，则的最小值为______． 变式7-2已知点A，B分别为x，y轴上的两个动点，且满足，点为线段AB的中点，已知，，则的最小值为_________． 变式7-3已知直线恒过定点A，圆O：上的两点，满足，则的最小值为________． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知，直线：，当变化时，点到直线的距离的最大值为，则（   ） A．3或7 B．3或8 C．2或7 D．2或8 2．已知实数满足，，则的最小值为（ ） A．1 B．4 C．9 D．16 3．已知点，设，分别是直线和圆上的动点，则的最小值为 A． B． C． D． 4．已知为直线上一点，过点作圆的切线（点为切点），为圆上一动点． 则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）已知动点满足，则（   ） A．点的轨迹长度为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 6．直线过定点___________，原点到直线l的距离的最大值为___________. 7．已知两条直线和都经过点，则两点，间的最短距离为__________. 8．已知直线：，：，直线垂直于，，且垂足分别为A，B，若，，则的最小值为__________． 9．已知圆的圆心为（0，0），半径为3，圆的圆心为（0，0），半径为6，定点，A、B分别在圆和圆上，满足，则线段AB的取值范围是__________． 10．已知实数x，y满足，则的最大值为_________，此时_________． 11．已知，，则的最小值为_____. 12．已知直线经过直线与的交点． (1)若点到直线的距离为1，求直线的方程； (2)求点到直线的距离的最大值及此时直线的方程． 13．已知，是实数，且． (1)求的最值； (2)求的取值范围； (3)求的最值． 14．已知直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，点是线段的中点，请求出的最小值， 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 直线与圆的方程中的最值与范围问题七类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、定点到动直线距离的最值与范围问题 题型二、两平行线间的距离的最值与范围 题型三、两点间距离的最值与范围问题 题型四、圆上一动点到定点（定直线）距离的最值与范围问题 题型五、利用数形结合思想解决几类代数式（斜率、截距、距离）的最值与范围问题 题型六、直线与圆相交或相切有关的最值或范围问题 题型七、“隐圆”中的最值与范围问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 直线与圆的方程中最值、范围问题是高中解析几何高频重难点，所有题型均围绕距离、斜率、截距、动点轨迹四大核心展开，解题贯穿四条底线原则：一是优先挖掘几何图形性质，能用几何法不硬算代数法，借助圆心、定点、切线、直径等几何特征快速锁定临界位置；二是求出结果后检验动点范围、直线与圆位置约束，防止出现解出来的点不在圆上、直线和圆无交点的增根；三是遇到带系数的距离最值，优先考虑阿氏圆等轨迹转化，不要盲目设点计算，优先完成线段转化再求最值；四是代数法求解时，一定要留意变量受圆方程带来的取值限制，联立方程后判别式、参数范围不可忽略。所有最值结果最终均需检验等号能否取到，确认对应的动点、直线真实存在. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、定点到动直线距离的最值与范围问题 典例1 已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 【答案】(1)证明：将直线的方程整理得， 令，解得所以直线恒过点． 则定点到直线的距离为． (2)， 【分析】（1）将直线的方程整理得，令，解出即可定点，由点到直线的距离公式即可求解； （2）由（1）可得直线过定点，设定点为，当时，点到直线的距离最大，且最大距离，由两点间的距离公式即可求最大距离，又由斜率公式即可求. 【详解】（1）略 （2）由（1）可得直线过定点，设定点为． 当时，点到直线的距离最大，且最大距离， 即点到直线的最大距离为． 此时，而直线的斜率， 所以，解得． 题型模版 1.特征：直线含有参数，直线位置不断变化，求解一个定点到这条动直线距离的最值或者取值范围. 2.方法：第一步找出动直线恒过的定点；定点、已知点两点连线距离就是距离最大值；最小值为 0（定点落在动直线上时可取到）. 变式1-1已知直线过定点，点到直线的距离的最大值为5，则实数（   ） A．0或6 B．或7 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据定点到动直线的距离最大值列式求解即可. 【详解】设定点，则点到直线的距离的最大值为， 解得或6. 故选：A. 变式1-2已知直线，则原点到直线的距离的最大值等于___________. 【答案】 【分析】根据题意,设原点到直线的距离为d,将直线变形分析可得直线经过定点(1,2),设M(1,2),分析可得，即可得答案. 【详解】根据题意，设原点到直线的距离为d. 直线,即则有,解得,即直线l恒过定点(1,2). 设M(1,2),则,即原点到直线l的距离的最大值等于. 故答案为: ． 变式1-3已知直线的方程为. (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 【答案】(1) 证明：将直线的方程整理得， 令，解得，所以直线l恒过点， 所以定点到直线的距离为. (2)，最大距离为 【分析】（1）将方程变形成，再由，即可求解出定点，再利用点到直线的距离公式，即可求解； （2）根据条件可得当时，点到直线的距离最大，再利用两点间的距离公式及斜率公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）可得直线过定点，设定点为， 当时，点到直线的距离最大，且最大距离， 即点到直线的最大距离为， 此时，而直线的斜率， 所以，解得． 类型二、两平行线间的距离的最值与范围 典例2 已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，将问题转化成求两平行直线，间的距离，即可求解. 【详解】由，得到，， 因为表示点到点间的距离， 又点在直线上，点在直线上， 易知直线与直线平行， 则两直线，间的距离为， 所以的最小值为． 题型模版 1.特征：两条互相平行的直线，其中一条直线带有参数，求两条平行线之间距离最值、范围；或是已知距离范围反过来求参数. 2.方法：套用平行线距离公式写出距离表达式；结合直线与圆位置关系，找到参数的取值范围；再求函数值域，得到距离范围 变式2-1已知实数a，b，c，d满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意确定点在直线上，点在直线上，将的最小值转化为两平行线间距离的平方，即可求得答案. 【详解】因为， 则， 即点在直线上，点在直线上， 而的几何意义为点和点之间的距离的平方， 故的最小值为两平行线和间距离的平方， 所以最小值为. 故选：A． 变式2-2已知实数满足，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为两条平行直线间距离的求解问题，利用公式即可求得结果. 【详解】的几何意义为直线上的点到直线上的点的距离的平方， 直线与直线平行， ，的最小值为. 故选：D. 变式2-3已知两条平行直线，，当，之间的距离最大时，（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】求出两直线所过定点，再分析出，之间的距离最大时的垂直情况，最后利用直线垂直于斜率的关系即可得到答案. 【详解】整理得， 令，解得，则直线过定点， 整理得， 令，解得，则直线过定点， 则当直线与均垂直时，，之间的距离最大， 而直线的斜率, 则直线的斜率为1，显然，则，解得. 故选：D． 题型三、两点间距离的最值与范围问题 典例3 著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将转化为轴上一点到点与到点的距离之差.再结合进行求解. 【详解】， 可转化为轴上一点到点与到点的距离之差.，当且仅当点是射线与轴的交点时取等号， 所以的最大值为. 故选：C． 题型模版 1.特征：一个动点在定直线或定圆上，求该动点与另一个（或两个）定点之间距离的最值 2.方法：定点向直线作垂线，垂线段长度为点到直线最短距离；求两条线段和最小可以使用对称点法，转化成两点之间线段最短求解 变式3-1若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 【答案】C 【分析】通过消元，将所求转化为，分析该式子的几何意义为轴上某动点到两定点的距离之和，利用的性质，即可得出所求最小值. 【详解】因为点在直线上运动，所以， 所以， 表示轴上一点到两定点的距离之和. 在轴两侧，因为中，两边之和大于第三边，所以， 当三点共线时，，此时最小值为， 即的最小值为. 故选：C． 变式3-2已知、，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记点、、、，，可得出，数形结合可得出所求代数式的最小值. 【详解】记点、、、，，如下图所示： 易知四边形是边长为的正方形， 所以，，，， 所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立， ， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 所以 ， 当且仅当点为线段、的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C． 变式3-3已知，则的最小值为____________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用各算术根的几何意义，结合几何图形求出最小值. 【详解】依题意，取点，顺次连接得矩形， 设，，显然点在矩形内， 因此 而，当且仅当点在线段上（除端点外）时取等号， ，当且仅当点在线段上（除端点外）时取等号， 因此，当且仅当是与的交点时取等号，此时， 所以当时，取得最小值. 故答案为： . 题型四、圆上一动点到定点（定直线）距离的最值与范围问题 典例4 已知直线，圆，点在直线上运动，是圆上一动点，点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先作出关于的对称点，然后根据结合三点共线求解出最小值. 【详解】圆的圆心，半径， 关于的对称点为， 所以， 当且仅当共线时且位于线段之间时取等号， 所以的最小值为， 故选：A. ． 题型模版 1.特征：动点在已知圆上，求圆上动点到圆外（或圆内）一个定点或直线上一动点距离的最值. 2.方法：算出圆心到定点之间的距离d；最大值等于d加上圆半径；最小值等于d减去圆半径；取值范围就是闭区间【dr，d+r】 变式4-1已知是直线上一点，M，N分别是圆和上的动点，则的最小值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】先由两圆的标准方程，求出圆心和半径，然后判断两圆与直线的位置关系，求出圆心关于直线的对称点，则当，，三点共线且经过两圆圆心时，取最小值，求解即可． 【详解】圆，则圆心， 圆，则圆心， 两圆心在直线的同侧.又圆心到直线的距离， 圆心到直线l的距离， 则两圆在直线l的同侧且与直线相离，如图所示，设圆心关于直线的对称点为，则，解得，所以， ， 当且仅当三点共线时等号成立；即的最小值为． 故选：D. 变式4-2已知点是矩形内的动点，且，，，点为边上的动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】建系后由距离关系得的轨迹为圆，在定直线上，将对称转化，问题化为圆上点到定点距离的最小值，再减去半径可得结果. 【详解】如图，以为原点，为轴，为轴建立直角坐标系， 则，，，，设动点， 由平方得整理配方得 ，即的轨迹是以为圆心，半径的圆在矩形内的部分. 在直线上，作关于的对称点，由对称性质得， 因此，对圆上动点，的最小值为定点到圆心的距离减去半径. 由于，故，即的最小值为. ． 变式4-3已知直线恒过定点，点为圆上的动点：为坐标原点，则面积的最小值为__________. 【答案】 【分析】先求定点，再求和直线的方程，利用点到直线的距离公式求圆上点到直线距离的最小值，最后利用三角形面积即可求解. 【详解】由，令，即，解得，即， 所以，， 所以直线的方程为：， 又圆的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离为：， 所以点到直线的距离的最小值为：， 所以面积的最小值为． 题型五、利用数形结合思想解决几类代数式（斜率、截距、距离）的最值与范围问题 典例5 已知点在圆上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）设，根据直线与圆的位置关系即可求出； （2）设，根据直线与圆的位置关系即可求出； （3）可视为圆上的点到原点的距离的平方，即可求得最值. 【详解】（1）设， 所以点既在直线上，也在圆上，即直线与圆有交点， 所以，，解得． 的最大值为，最小值为． （2）设，所以点既在直线上，也在圆上，即直线与圆有交点， 即，解得． 最大值为，最小值为． （3）可视为圆上的点到原点的距离的平方， ，． 题型模版 1.特征：已知点(x,y)在圆上，求解带有x、y代数式最值；代数式常可以解释为斜率、直线截距、两点距离平方（①形如，可以转化为过点和点的动直线斜率；②形如，可以转化为点和点的距离的平方；③形如，可以转化为动直线纵截距出具体根、两根相等、有一个根为0、有正/负根等条件，求参数具体值.） 2.方法：斜率型：看作圆上一点和定点连线斜率，利用切线找临界；截距型：令z等于目标式，平移直线，观察直线与圆相切得到z最值；距离型：转化为两点之间距离，套用定点到圆上点距离模型 变式5-1已知为圆上任意一点． （1）求的最大值； （2）求的最大值和最小值． 【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为． 【解析】（1）求出圆心，半径，设，将看成直线方程，利用圆心到直线的距离，即可得到所求的最大值． （2）记点，表示直线的斜率，直线的方程．直线与圆有公共点，列出不等式，求解即可． 【详解】解：（1）因为的圆心，半径， 设，将看成直线方程， 因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离， 解上式得，， 所以所求的最大值为． （2）记点，因为表示直线的斜率， 所以直线的方程为，即． 由直线与圆有公共点，得． 可得，所以的最大值为，最小值为． 变式5-2已知实数满足，求以下各式的最小值. (1)； (2) ； (3) ． 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】（1）根据所求式子，转化为直线斜率问题，利用圆与直线有公共点求解； （2）令，根据直线与圆有公共点，借助圆心到直线的距离求解即可； （3）配方后，转化为两个圆有公共点，利用圆心距离与半径关系求解即可. 【详解】（1）方程表示以为圆心，的圆，表示点与的连线的斜率， 设过点的直线的斜率为， 则，即， 所以圆心到直线的距离，解得， 所以 的最小值为； （2）令，即， 则圆心到直线的距离，解得，即， 故的最小值为； （3）=，表示圆上的点到的距离的平方，令圆上的点到的距离， 因为，所以，即， 所以， 故 的最小值为9． 变式5-3已知实数对满足. （1）求的最大值和最小值； （2）求的最小值； （3）求的最值 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）整理方程可知，方程表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆，设，进而根据圆心（2，0）到的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值； （2）设，仅当直线与圆切于第四象限时，纵轴截距取最小值，进而利用点到直线的距离等于半径求得的最小值； （3）是圆上点与原点距离之平方，故连接，与圆交于B点，并延长交圆于，进而可知的最大值和最小值分别为和，答案可得. 【详解】解：（1）方程，即 表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆. 设，即， 当圆心（2，0）到的距离为半径时直线与圆相切，此时斜率分别取得最大、最小值， 由， 解得， 所以； （2）设，则，仅当直线与圆切于第四象限时，纵轴截距取最小值. 由点到直线的距离公式，得，即或， 故； （3）是圆上点与原点距离之平方，故连接OC，与圆交于B点，并延长交圆于，可知B到原点的距离最近，点到原点的距离最大， 此时有， 则. 题型六、直线与圆相交或相切有关的最值或范围问题 典例6-1 若直线：与圆：相交于两点，，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心与半径，根据垂径定理列出不等式，求解即可. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为, 设到直线的距离为，则. 由垂径定理可得， 因为，所以， 即，即， 化简得，解得. 则的取值范围为. 故答案为:. 典例6-2已知直线和，若直线上存在点，上存在两点，使得，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】分析可知当过点作圆的两条切线,切点为P,Q时为临界条件,再根据圆心到直线的距离列出不等式求解即可. 【详解】直线化为：,过定点（－1,0）,上存在两点,使得, 当点A在圆上或圆内时,一定存在,当点A在圆外时,过A作圆的两条切线,切点为P,Q, PM＝r＝1,所以,AM≤2恒成立,则AM的最小值也必须小于或等于2, 所以,,得 故答案为： 题型模版 1.特征：题干给出含参动直线 + 定圆，不直接给出距离，而是通过弦长范围、存在点张开定角这类几何约束条件，反向求直线参数（斜率k）的取值范围；核心纽带为圆心到动直线的距离d. 2.方法：①先将圆方程化为标准形式，求出圆心坐标与半径； ②利用点到直线距离公式，写出圆心到这条动直线的距离表达式； ③把题目给出的几何条件翻译成距离的不等式：弦长类条件：借助垂径定理，弦长越长，圆心到直线距离就越小，由此得到距离的不等关系；张角存在性条件：先算出满足夹角要求时点到圆心的临界距离；直线上只要存在符合条件的点，就等价于圆心到直线的距离不能超过这个临界距离； ④求解含参数的不等式，最终得出斜率的取值范围 变式6-1直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据圆心到直线的距离和圆的半径以及弦长之间的关系，结合，可得到，即可求得答案. 【详解】设圆心到直线的距离为d，则， 由题意，因为，所以圆心到直线的距离， 即，求解可得， 故答案为：． 变式6-2直线与圆相交于M，N两点，若，则的取值范围是_________． 【答案】或 【分析】设圆心 到直线y=kx+3的距离为，根据弦长的范围求出d的范围，结合点到直线的距离公式列出不等式，即可求得答案. 【详解】由题意直线与圆相交于M，N两点， 设圆心 到直线y=kx+3的距离为，则， 由于，且，求得 ，∴ ， 即 ， 由求得或 ，由求得 ， 即k的取值范围是或， 故答案为：或． 变式6-3已知点在直线上，若上存在点，使得，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据圆的性质，将题中条件等价转化为点与原点的距离，进而转化为直线与圆有公共点时的取值范围. 【详解】当为圆的切线时，可取到最大值. 在中，，已知，若，则， 要使上存在点，使得，则只需即可； 点到直线的距离， 故，平方可得，即，解得或， 综上，的取值范围为. 题型七、“隐圆”中的最值与范围问题 典例7-1 已知圆和两点，，若圆C上存在点P，使得，则m的最大值与最小值之和为（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】C 【分析】根据两圆的位置关系求的范围即可. 【详解】设圆的半径为，原点为圆心，为半径的圆的半径为， . 要圆C上存在点P，使得， 则以原点为圆心，为半径的圆与圆存在交点. 作出图象如图所示， 当取最小时，两圆外切， 此时， 即， 当取最大时，两圆内切， 此时， 即. 则m的最大值与最小值之和为. 故选：C； 典例7-2 已知线段AB是圆O：的一条动弦，且若点P为直线上的任意一点，则的最小值为（ ） A．6 B．8 C．14 D．35 【答案】A 【分析】利用圆的性质求出弦中点的轨迹，再根据向量运算得到，最后结合点到直线的距离公式求出最小值. 【详解】设的中点为，根据圆的性质可得，如图所示. 则， 所以，点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，其方程为. 因为,所以，. 的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径2， 因为，所以. ； 典例7-3 动直线与动直线相交于点，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】根据动直线垂直且过定点得到交点轨迹为圆；把分式变形为斜率形式，将分式最值问题转化为圆上点到定点的斜率最值问题. 【详解】根据题意，动直线经过定点， 动直线经过定点,则有， 所以，又点是两条直线的交点，所以有， 所以点的轨迹方程为， 其轨迹是以为圆心，以为半径的圆，不含点. 又， 故只需求的最小值，令可看作点与点的斜率， 求出过点与圆相切的切线斜率即可， 设切线为，即. 根据切线条件构造方程，即，解得， 所以的最小值为，所以的最小值为． 题型模版 1.特征：题干不会直接给出圆的标准方程，给出等式、几何条件，隐藏动点轨迹为圆（隐圆）；再求解距离最值问题. 2.方法：先对条件化简变形，求出隐圆圆心和半径；之后就转化为定点到圆上动点距离的最值模型求解 变式7-1已知直线，直线，，与的交点为P，已知点，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】先求出两直线交点的轨迹方程，再根据轨迹方程分析的最小值. 【详解】直线可化为，所以直线过定点， 直线可化为，所以直线过定点， 又，所以. 所以与的交点P的轨迹为以AB为直径的圆， 圆心，半径，所以圆C的方程为， 在轴上取点，使得，设， 则，即， 化简整理得， 又，即， 所以，解得，则， 易知在圆C内，所以 （当且仅当P为线段EQ与圆C的交点时取得最小值）． 故答案为：． 变式7-2已知点A，B分别为x，y轴上的两个动点，且满足，点为线段AB的中点，已知，，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】由阿波罗尼斯圆的性质，转化为，利用三角形两边之和大于第三边的思想求折线最小值. 【详解】点A，B分别为x，y轴上的两个动点，且满足，点为线段AB的中点， 则点M的轨迹为圆，如图所示， 为使圆成为比例常数为的阿波罗尼斯圆，设点与点为反演点， 则有，所以，， 则圆上的点M满足： 所以. ． 变式7-3已知直线恒过定点A，圆O：上的两点，满足，则的最小值为________． 【答案】 【分析】先求出直线恒过的定点A，再找出弦的中点的轨迹方程，最后数形结合求出的最小值. 【详解】已知直线恒过定点A， 即对任意恒成立， 则，解得，所以定点A的坐标为. 由，可知P、A、Q三点共线， 设弦的中点为，连接，如图，则，即， 所以 ，由此可得E的轨迹方程为， 即的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设直线l为，则到l的最小距离为， 过P、E、Q分别作直线的垂线，垂足分别为M、R、N，则R是的中点， 所以 ，即， 则 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知，直线：，当变化时，点到直线的距离的最大值为，则（   ） A．3或7 B．3或8 C．2或7 D．2或8 【答案】D 【分析】根据题意，直线恒过点，所以点到直线的距离的最大值可转化为点到定点的距离，根据两点间的距离公式，求解即可. 【详解】当变化时，直线恒过定点，所以点到直线的距离的最大值为， 即，解得或. 故选：D． 2．已知实数满足，，则的最小值为（ ） A．1 B．4 C．9 D．16 【答案】B 【分析】由题意可得，是直线上的点，是直线上的点，利用两直线关系即可求解. 【详解】由题意可得，是直线上的点， 是直线上的点，则两直线平行， 的最小值是平行直线之间的距离的平方， 可得最小值为. 故选：B 3．已知点，设，分别是直线和圆上的动点，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】求出点A关于直线x+y+2=0的对称点，将已知问题转化为对称点到圆上的最小值问题，根据圆的几何条件，圆外的点到圆上的点的最小值等于该点到圆心的距离减去半径． 【详解】由于点关于直线x+y+2=0的对称点为A′(−2,−3)， 则|PA|+|PQ|=|PA′|+|PQ|≥|A′Q|， 圆圆心C（1，1），半径r=1， 又A′到圆上点Q的最短距离为|A′C|−r=， 故选：A 4．已知为直线上一点，过点作圆的切线（点为切点），为圆上一动点． 则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，可得，得到，结合直角三角形的性质和勾股定理，求得，，得到最小时，同时取得最小值，即可求解. 【详解】如图所示，连接，可得，且垂足为 要使得取得最小值， 即， 又由， ， 显然，当最小时，同时取得最小值， 所以，当时，且， 所以. 故选：B. 5．（多选）已知动点满足，则（   ） A．点的轨迹长度为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】易知动点的轨迹为圆.对于A，利用圆的周长公式即可判断；对于B，先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定点的最短距离即可判断；对于C，先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定点的连线所在直线的斜率最大值即可；对于D：先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定直线的最短距离即可判断. 【详解】可整理为，设，故点的轨迹为以为圆心，半径的圆. 对于A：点的轨迹长度即为圆的周长，，故A正确； 对于B：的几何意义为动点（即圆上一点）到点的距离. 易知，当点位于点与点的连线与圆的交点时，此时点到点的距离最短，最短距离， 即的最小值为，故的最小值为，故B错误； 对于C：的几何意义为动点（即圆上一点）与连线所在直线的斜率. 设，易知，当直线过点且与圆相切于轴上方时，动点与连线所在直线的斜率最大，即最大， 易知此时，又由相切可知，， 故，故，， 因此的最大值为，故C正确； 对于D：的几何意义是动点（即圆上一点）到直线的距离. 易知，动点到直线距离的最小值为圆心到直线的距离，再减半径，即， 因此的最小值为，故的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 6．直线过定点___________，原点到直线l的距离的最大值为___________. 【答案】 【分析】将化为可得直线所过定点； 由第一空答案结合图形，可得原点到直线l的距离的最大值. 【详解】由可得，则， 得，故l过定点；如图，设定点为A，当时，原点到直线l的距离的最大.理由如下：设为过A点的除l外的一条直线，其到原点距离如图为， 因为直角三角形，则.故当且仅当时，原点到直线l的距离的最大.此时最大距离为. 故答案为：；. ． 7．已知两条直线和都经过点，则两点，间的最短距离为__________. 【答案】 【分析】确定，分别在直线上，由平行线间距离即可求解. 【详解】因为两条直线和都经过点， 所以，， 所以，分别在直线上， 所以两点，间的最短距离为两平行线间距离，即， 故答案为：． 8．已知直线：，：，直线垂直于，，且垂足分别为A，B，若，，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】根据条件设出直线的方程为，求出点，坐标，用表示出，再借助几何意义即可计算得解． 【详解】由直线垂直于，，则设的方程为， 由，得，由，得， 由，，得， 表示动点到定点与的距离的和， 动点在直线上，点与在直线两侧， 则有， 当且仅当是直线与线段的交点，即原点时取“”，此时， 所以取最小值， 则的最小值为． 故答案为：． 9．已知圆的圆心为（0，0），半径为3，圆的圆心为（0，0），半径为6，定点，A、B分别在圆和圆上，满足，则线段AB的取值范围是__________． 【答案】 【详解】 设为的中点，连接、. 因为，所以 由在圆上，在圆上， 两边平方得 整理得 代入，，，得 即 设，，则 所以 整理得 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 点到圆心的距离为，则 因为，所以， 所以的范围为． 10．已知实数x，y满足，则的最大值为_________，此时_________． 【答案】 【分析】根据给定条件，确定方程表示的曲线，再利用目标函数的几何意义，结合圆上的点与定点距离最值求法求解. 【详解】曲线是以点为圆心，1为半径的圆 关于轴、原点及轴对称而得的圆、圆、圆与圆组合而成，如图： 是曲线上的点与定点的 距离平方并减去74的差的一半，由图知圆心离点最远，连接并延长交圆于点， 因此曲线上的点与点距离的最大值为， 的最大值为； 直线方程为，即，由， 由，得，则点的横坐标为， 所以的最大值为，此时． 11．已知，，则的最小值为_____. 【答案】 【分析】利用平面上两点间线段最短和两点间距离公式的几何意义即可求解. 【详解】 . 记点、点、点和点， 因为，， 所以的几何意义为：表示正方形内的点到点、点、点和点四点的距离之和. 因为的几何意义为：正方形内的点到点和点的距离之和. 所以当点在线段（不包含点和点）上时，点到点和点的距离之和最小，即取得最小值，为. 因为的几何意义为：正方形内的点到点和点的距离之和. 所以当点在线段（不包含点和点）上时，点到点和点的距离之和最小，即取得最小值，为. 综上可得：当点是线段与的交点时，和同时取得最小值，均为. 所以的最小值为. 故答案为：. 12．已知直线经过直线与的交点． (1)若点到直线的距离为1，求直线的方程； (2)求点到直线的距离的最大值及此时直线的方程． 【答案】(1)或. (2)； 【分析】（1）先联立方程组求出，分直线斜率存在和不存在，利用点到直线的距离公式求解； （2）根据题意可知点到直线的距离的最大值为，且直线与直线垂直，即可得解. 【详解】（1）解方程组得 即直线的交点为. 由题意得，当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 点到直线的距离为1，符合题意，所以直线的方程为. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则点到直线的距离为． 由题意，得，解得， 所以直线的方程为，化为一般式，得. 综上，直线的方程为或. （2）由（1）得直线过点，所以点到直线的距离的最大值为. 因为，所以. 当点到直线的距离最大时，直线与直线垂直. 直线的斜率为，所以直线的斜率为1， 所以直线的方程为，即． 13．已知，是实数，且． (1)求的最值； (2)求的取值范围； (3)求的最值． 【答案】(1)21 (2) (3)最小值为，最大值为 【分析】（1）首先设，利用直线与圆有交点，列式求的最值； （2）首先设，转化为直线与圆有交点，列不等式求的取值范围； （3）根据的几何意义，转化为圆上的点与原点距离的最值. 【详解】（1）设，化为， 可知直线与圆有交点，圆心，半径为2， 有，解得， 可得的最小值为1，最大值为21； （2）设，化为， 可知直线与圆有交点， 有，解得或， 故的取值范围为； （3）的几何意义为坐标原点到圆上任意一点的距离， 圆的圆心到坐标原点的距离为， 故的最小值为，最大值为． 14．已知直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，点是线段的中点，请求出的最小值， 【答案】 【分析】求出恒过的定点，求出恒过的定点，由题可得，进而可得点轨迹，根据圆的性质结合条件得到点的轨迹，求出，则，代入相应的数据得解. 【详解】整理为，设， 解得，即直线恒过点， 整理为，设， 解得，即直线恒过点， 当时，，，则， 当时，的斜率为，的斜率为，， 则， 直线与直线相交于点， 这条直线的斜率一定存在，此直线不可能为这条直线， 这条直线的斜率一定不为0，此直线不可能为这条直线， 直线与直线相交于点， 不可能为点， 直线与直线相交于点， 点是以，为直径端点的圆上的点， ，的中点为，， 点的轨迹方程为，去掉点， 线段是圆的一条动弦，点是线段的中点， ，， ，， 的轨迹是以为圆心，为半径的圆， ，， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $