专项突破02 圆的综合问题-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019)

心专项突破02 圆的综合问题 题组圆的轨迹问题 1.(2025·辽宁沈阳高二月考)已知点M是圆 C:x2+y2=1上的动点，点N(2,0),则MW的 中点P的轨迹方程是 A.(x-1)2+y= B.(x-1)2+y2=1 2 C.(x+102+y2= D.(x+1)2+y2= 4 2.(2025·广东深圳高二月考)已知圆C:(x- 3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0) (m>0).若圆C上存在点P,使得∠APB= 90°，则m的最小值为 A.7 B.6 C.5 D.4 3.(2025·江西抚州高二月考)古希腊数学家 阿波罗尼斯写出了经典之作《圆锥曲线 论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众 多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两 定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨 迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯 圆.已知平面内有两点A(-1,0)和B(2,1), 且该平面内的点P满足IPAI=√2IPBI,若 点P的轨迹关于直线mx+心y-2=0(m,n> 0)对称，则2+5的最小值是 () 777 A.10 B.20 C.30 D.40 4.(2025·江苏常州高二月考)在平面直角坐 标系x0y中，已知点A(-4,0),点B是圆C: (x-2)2+y2=4上任意一点，点P为AB的中 点，若点M满足1MA12+1MO12=58,则线段 PM长度的最大值为 02黑白题数学1选择性必修第一册·BS 5.(2025·湖南邵阳高二月考)已知直线1： 2mx+(m+n)y+2n=0,点A(-1,2),B(3, 3),点A在直线1上的射影为H,则线段BH 长度的取值范围为 6.已知圆0：x2+y2=1,过平面区域D内的每 一个点均存在两条互相垂直的直线，它们 均与圆0相交，则区域D的面积 为 7.在平面直角坐标系xOy中，已知AB是圆O: x2+y2=1的直径，若直线l:x-y-3k+1=0 上存在点P,连接AP与圆O交于点Q,满足 BP∥OQ,则实数k的取值范围是 8.如图所示，等腰梯形ABCD的底边AB在 x轴上，顶点A与顶点B关于原点O对称， 且底边AB和CD的长分别为6和26，高 为3. (1)求等腰梯形ABCD的外接圆E的方程； (2)若点N的坐标为(5,2)，点M在圆E上 运动，求线段MN的中点P的轨迹方程. 题组马圆的定点、定值问题 9.已知点A为直线2x+y-10=0上任意一点， O为坐标原点.则以OA为直径的圆除过定 点(0,0)外还过定点 () A.(10,0) B.(0,10) C.(2,4) D.(4,2) 10.已知曲线C:x2+y2+2kx+(4k+10)y+10k+ 20=0,其中k≠-1，则曲线C过 定点 11.(2025·江西南昌高二月考)已知圆C:x2+ y2=4,点M(1,1),平面内一定点N(异于 点M),对于圆C上的任意动点A,都有 IAN为定值，定点N的坐标为 IAMI 12.(2025·广东广州高二期中)已知△ABC 的顶点A(-2,0),B(3,0),顶点C满足 3ICA|=2ICB1,记顶点C的轨迹为W. (1)求曲线W的方程 (2)过点A的直线1（斜率不为0）与曲线 W交于不同的两点P,Q,0为坐标原 点，试判断直线OP,OQ的斜率之积是 否为定值.若为定值，求出该定值：若 不是，说明理由. 题组目圆的对称与最值问题 13.(2025·山东济南高二期中)已知圆C:x2+ y2-2x+my+1=0(m∈R)关于直线x+2y+1 =0对称，则实数m= () A.1 B.2 C.3 D.4 14.(2025·山东临沂高二期中)若直线kx-y k+2=0与直线x+y-2k-3=0交于点P, 则P到坐标原点距离的最大值为() A.22 B.2W2+1 C.23 D.23+1 15.(2025·湖北黄冈高二期中)已知实数x,y 满足x2+y2-2x-8=0,则x2+y2的最小值为 A.2 B.4 C.6 D.8 16.若M,N为圆C:(x-2)2+(y-2)2=1上任 意两点，P为直线3x+4y-4=0上一个动 点，则∠MPN的最大值是 () A.45°B.60° C.90° D.120° 17.已知圆x2+y2=4与圆x2+y2-6x+2y+6=0 关于直线1对称，则直线1的方程 为 18.已知等腰三角形ABC中，D是腰AC的中 点，IBD川=√3，该三角形面积的最大 值为 19.已知点(x0,y0)是直线x+y=2k-1与圆x2+ y2=2+2k-3的公共点，则xy0的取值范 围是 20.点P是圆C:x2+y2=1上一动点，已知点 A(-1,2),B(2,0,则1PM1+1PB1的最 小值为 进阶突破·专项练3mu郎2品。4，m=8-(。4）小2 tan书 cp,=Cp,tm0=2m6-6,0p,=6-(P=2-12am8,0P-m0 0P3 品。2，n(侣。20）1品。2e4s 12 tan 0 c子故答案为（）】 7.A解析：由于直线x+my-m=0经过的定点坐标为(0,1)，所以A的 坐标为(0,1)，直线m-ym+3=0变形为m(x-1)-y+3=0,所以经 过定点(1,3)，故B的坐标为(1,3).因为1·m+m·(-1)=0,所以两 直线垂直.如图所示，因此△ABP为直角三角形，所以1PQ1= (第7题) (第9题) 8.C解析：将直线1方程整理为(3r+y-4)A+x+y-2■0，由 40得{直我/恒过点4（当PA上直线 (x+y-2=0. 点P到直线1的距离最大，显然A≠-1，否则PA1直线1不成立.从 导() -16M+2=3A+3与A=子故选C 9.A解析：由直线1：(+1)x-(2站-2)y+2k-6=0,变形可得(x 2+2+2-6=0.由仁-2+2=0解得=2可得直线1恒过定 x+2y-6=0. y=2. 5-2 2-0 点P八2.2)（知园），则2-1,02-0又直线1的斜率 为1L2 品宁品子，若直线1与线段B有公共点，则直线1斜 率的取值范周为[1，兮)儿（分小故选 专项突破02圆的综合问题 1.A解析：设线段MN中点P(x,y),则M(2-2,2M在圆C:x2+ 2=1上运动(2-22+(2y)2=1,即(-0242=故选 2.D解析：，∠APB=90°，.点P的轨迹是以AB为直径的圆0.又点 P在圆C上，故点P是圆O与圆C的交点，因此可得两圆的位置关系 是相切或相交，即1m-11≤√3+4≤m+1,解得4≤m≤6，m的最 小值为4.故选D. 3.B解析：设点P的坐标为(x,y),因为1PA1=√21PB1.则1PA2= 21PB12,即(x+1)22=2[(x-2)2+(y-1)2].所以点P的轨凌方程 为(x-5)2+(-2)2=20.因为点P的轨迹关于直线m+-2=0(m> 0,>0)对称，所以圆心(5,2)在此直线上，即5m+2=2.所以 M 宁s*2(层+）(m0）=0+宁 2侣西：m当组仅当会即m行=时，等号议 m n 立，所以2,5的最小值是20故选取 参考答案 4.7解析：设P(,y),由于A(-4.0),点P为AB的中点，故B的坐标 为(2x+4.2),将其代人C:(x-2)2+y2=4中.得(2x+2)2+4y2=4.化 简得(x+1)2+2■1，即点P在以(-1.0)为圆心，1为半径的圆上 设M(m,n),则(m+4)2+m2+m2+n2=58,整理得(m+2)2+n2=25,故 点M在圆(x+2)2+y2=25上，画出两同，可以看出当点M(-7.0), P(0.0)时.1PM1取得最大值.为7.故答案为7. 5.[3反-5,32+、5]解析：由直线方程2mx+(m+)y+2n=0可 知m(2x++n(+2)0,联立解得2，则该直线过定 (y+2=0, 点M(1,-2).因为点A在直线1上的射影为H,且A(-1,2),所以山 的轨迹为以AM为直径的圆.圆的方程为x2+y2=5.所以圆心为0(0. 0),F=√5，因为B(3,3),所以1B01=32,则1B01-r≤1BH1≤10川+ r,因此BH长度的取值范围为[32-5,32+5].故答案为[32- √5.32+5]. 6.2r解析：如图.过点P作圆0：x2+,2=1的两条切线PA.PB,切点分 别为A,B,此时PA⊥PB,则四边形PAOB是正方形，1OP1=2,那 么平面区域D就是以0为圆心，2为半径的圆内区域故区域D的 面积为T×(N2)2=2m. -54--20072 -5 (第6题) (第7题) 7.(片+）解折：如图所示，直线1：一+1=0直线1恒 过定点M(3,1).,AP与圆0交于点Q.BP∥0Q.且圆心0是AB中 点OQ是△MBP的中位线，BP=2OQ=2.点P在以B为圆 心，2为半径的圆周上又：B是圆0上任意一点，点P可以认为是 以0为圆心，3为半径的圆上一点，这个圆记为⊙0又…P是直线1 上的点.，要存在符合题意的点P.只能是直线1与圆O'有公共点， 过点M作圆0的切线11，（化上x轴）.设马的方程为y=(x-3)+1, 1-3k2+1 好+1 =3与=子直线1介于切线山之间的阴影K 城（子+）故答案为（子+）】 8.解：(1)设E(0.b),由已知可得A(-3.0),B(3.0).C(6.3), D(=6.3 由1EB1=1EC1得(3-0)2+(0-6)2=(6-0)+(3-0)2→6=1. ,圆E的圆心为E(0,1),半径r=10. 圆E的方程为x2+(r-1)2=10. (2)设P(,y),M(%%), 5+ =x, (x0=2x-5, P为线段MN的中点， 2+y 1y0=2y-2. =y 代人点W所在圆的方程得(2-5P4(3-3)2=10一(）广 黑白题121 六点P的销态方程为()广（之）” 9.D解析：设OB垂直于直线2x+y-10=0,垂足为B,则直线0B的方 程为y=了，由圆的性质可知，以01为直径的圆恒过点B,由 (2x+y-10=0, y2*, 得{，以01为直径的圆除过定点(0,0)外还过 定点(4,2).故选D. 10.(1,-3)解析：将x2+y2+2kx+(46+10)y+10k+20=0整理为(2x+ 4y+10)+(x2+y2+10+20)=0, ∴.2x+4y+10=0且x2+y2+10y+20=0 解得x=13=-3,∴，曲线C过定点(1，-3) 11.(2.2) 解桥：设(6.N(m,,且方+后=4， /《-m)+(U0-n (-2m)xo+(-2n)yn+m+n2+4 V(w-)2+(o-1)=√ 因为 (-2)x+(-2)0+6 为定值，设-2m。(-2aom2n+ LANI =A.化简得(2A (-2)x0+(-2)y0+6 2m)xn+(2A-2n)yo+m2+n2+4-6A=0.与点A位置无关，所以 2A-2m=0, 2A-2n=0, 解得m=n=1或m=n=2因为异于点M.所以定 m2+n2+4-6A=0. 点N为(2,2).故答案为(2,2). 12.解：(1)设C(x,y)(y+0).因为31CA1=21CB1,即91CM12= 41CB12,所以9(x+2)2+9y2=4(x-3)2+4,2.整理得x2+y2+12= 0,所以曲线罪的方程为x2+y2+12x=0(y≠0). (2)是定值设：x=四-2，P(x1,,),Q(2,2).联立方程组 x=my-2, 得(m2+1)y2+8my-20=0.所以1=64m2+80(m2+ x2+y2+12x=0, 1)>0,则1+2= m2+5-20 8m 司因为=(1-2· （m-2)=m-2m(+)+4=-20m2,16m2 4所 以kw·k0=上.2=-5，放直线Op,O0的斜率之积为定 x121 值，且定值为-5 18B每折：6e-2+1-0me风eG:1-(受） 学(meR).所以圆心为受 因为圆C关于直线+2y+1=0 对称，所以直线x+2+1=0经过圆心C,所以1+2×-2+1=0， 解得m=2,故选B. 14.B解析：两直线满足k·1+(-1)·k=0,所以两直线垂直，由g y-+2=0得k(x-1)-y+2=0.过定点A(1.2),由x+的-2k-3=0得 x-3+(y-2)=0,过定点B(3,2),故交点P在以AB为直径的圆C 上其中C(2,2).如图所示，则线段0P长度的量大值为101+1= 22+L.故选B. （第14题) (第16题) 15.B解析：将x2+y2-2x-8=0化为(x-1)2+y2=9,即同心为(1,0)， 选择性必修第一册·BS 半径为3，由x2+y2表示圆上点到原点距离的平方，而园心(1,0)到 原点的距离为L,又(0,0)在圆内，所以圆上点到原点距离范围为 [2.4].故x2+y2的取值范围是[4.16].故选B. 16.B解析：如图，设PA,PB为圆C的两切线，P为直线3x+4y-4=0 上一个点，所以∠MPN≤∠APB,当PM.PN为两切线时取等号. 叉LAPB=2LAPC,放只需求(sin LAPC)),sin LAPC=C- PCPC 又IPCl= 13×2+4×2-41 3+4正 2.(nLAP0)n=分，所以LAPc= 30°.所以∠APB=60°.故选B. 17.3x-y-5=0解析：由圆2+y2=4得圆心坐标为0八0,0)，圆x2+y2 6x+2+6=0的标准方程为(x-3)2+(y+1)2=4,可得圆心A(3 -).期04的中点坐标为(？，），且0A的斜率a1=了可 得所求直线1的斜水=3.所以直线1的方程为y-(） 3(）即3y5=0 18.2解析：如图所示，以中线D所在直线为 x轴.D为坐标原点，建立平而直角坐标系 x.得B(-3,0).设点A(,y),由题知， 1AB1=21AD1.六41AD12=1AB2.4(x2+ )=(x+3)2+y2,即2+y2 31=0,则 ()厂广+：三六点A的锁迹是同心为 (停）-半径为子号的.期△40s面积的装大值为5m-宁 3x23 =1.DB是△ABC的中线.一SaC=2SAm=2.放Sam 的最大值为2 19. [I1-6211+621 44 解析：：直线x+y=2-1与圆x2+y2=2+ 2北-3有公共点，4圆心(0,0)到直线的距离d=1-21≤ 2 公+2水可.解得2-号≤≤2+又：周2+=+2-3 2 k2+2k-330,解得kK-3或1一k的取值范调是2-号2≤k≤2+ 之曲。24-1， 3 +话=k2+2-3. 4 ,e1+6 .一xo。的取值范围是 「11-6/211+621 4 44 故答案 为["，"] 4 解折：设点P().则；PB1=号《x-2行 1 /x-2+。 4 =/4(x2+y2)-x+1. 由点P在圆上，可得2+子=1.则子1P阳1=√年+1 记点M号，0）.故PI,寸PB=1PI+PWI的儿何意文是圆C 上点P到A,M的距离之和，1PAI+IPMI≥1AMI= √号20√4号当组仅当4P三点共 9 线时取等号1P,PB的最小值为 黑白题122