22.3 相似三角形的判定 教学设计2026-2027学年沪科版（2024）数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦“直角三角形相似的判定”核心知识点，通过复习全等三角形HL判定及一般三角形相似判定方法，类比提出直角三角形相似是否有特殊判定的问题，构建从一般到特殊的知识支架，衔接前后学习内容。 资料亮点在于探究环节以问题链引导，先讨论等腰、等边三角形是否相似，再聚焦直角三角形，培养学生数学眼光中的抽象能力与几何直观，证明过程用代数设比例k结合勾股定理推导第三边关系，体现数学思维的推理能力，例题变式与分层练习设计提升应用意识，助力学生掌握判定方法，为教师提供清晰教学路径。

22.3 相似三角形的判定教学设计 学科 数学 年级 九 课型 新授课 单元 22 课题 22.3 相似三角形的判定 课时 1 教材分析 直角三角形相似判定是相似三角形判定的延伸内容，承接一般三角形相似的判定定理。本节课立足直角三角形特殊性，推导斜边、直角边判定定理，完善相似判定知识体系。既是前面知识的巩固，也为解直角三角形、圆等后续学习打下基础，在几何推理证明中有着重要应用价值。 学情 分析 学生已经掌握普通三角形相似的判定方法，熟悉直角三角形性质，具备初步的几何证明能力。但学生容易混淆直角三角形全等与相似的判定条件，对由勾股定理推导两边成比例证相似的思路不易理解。逻辑推理书写步骤容易疏漏，需要教师引导对比、分步探究，突破思维难点。 核心素养目标 1.掌握直角三角形相似的判定方法，并能利用其解决相关问题 2. 理解直角三角形相似的特殊判定方法的证明方法，在探究过程中让学生体会用代数方法解决几何问题 3. 经历从猜想到证明归纳的过程，培养学生的推理能力，渗透类比的数学思想方法 教学重点 掌握相似三角形的判定定理1-两角分别相等的两个三角形相似 教学难点 理解相似三角形判定定理1的推导过程，并能运用定理解决简单的有关问题 教学 准备 多媒体课件 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、温故 复习提问，温故孕新 1．全等三角形的判定方法有哪些？ SSS，SAS，AAS，ASA，HL 2．我们学过的相似三角形的判定有哪些？ ①平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交，所得三角形与原三角形相似； ②三边对应成比例两三角形相似； ③两边对应成比例并且夹角相等，两三角形相似； ④两角对应相等，两三角形相似． 学生回顾旧知，回答问题 通过复习重新巩固相似三角形的判定相关知识 二、引新 创设情境，引入课题 在判定两个直角三角形全等时，除根据一般三角形全等判定定理外，还有“HL”方法，类似地，要判定两个直角三角形相似，除了上面一般三角形相似的三个判定定理外，是否也有特殊方法呢？ 学生看图片，思考问题 通过问题，自然引入课题 二、探究 合作探究，活动领悟 思考: 两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？两个直角三角形呢？ 相似，根据“AA” 不相似 两个等腰三角形不一定相似 相似，根据“AA” 两个等边三角形相似 相似，根据“AA” 不相似 两个直角三角形不一定相似 已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A ′ B ′ C ′中，∠C=∠C ′=90°， =. 求证： Rt△ABC∽Rt△A ′ B ′ C ′. 证明:设=k,则AB=kA'B',AC=kA'C'. ∵BC== k=kB'C', ∴=k. ∴△ABC∽△A'B'C'. 归纳 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似. 几何语言 Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1. 如果= =k， 那么△ABC∽△A1B1C1. 教师引导学生自主思考，可以进行讨论交流 引导学生通过自主发现与协作交流，深入理解直角三角形的判定定理 三、变式 师生互动，变式深化 例、如图，在△ABC中∠ABC=90°，BC=a，AC=b. (1)以BC为斜边，向外作一个直角三角形，使它与Rt△ABC相似； (2)把上面作出的三角形的直角顶点记作D，求BD的长 解：(1)如图，以BC为一边，向外作∠BCD=∠A，∠CBD=∠ACB，CD与BD交于点D，得△CBD.由两角分别相等可知Rt△CDB∽Rt△ABC 在作两个角时，位置互换，即作∠CBD’=∠A，∠BCD’=∠ACB，BD’与CD’交于点D’，得△BD’C，由两角分别相等可知 Rt△BD’C∽Rt△ABC （2）由Rt△CDB∽Rt△ABC，可得,即,BD=. 由Rt△BD’C∽Rt△ABC，可得,即 BD’=. 因此，所求BD的长为或 同学们完成，有困难时可请小组同学帮助。 巩固本节课所学知识，激发学生学习热情。让学生感知数学来源于生活 四、尝试 尝试练习，巩固提高 1.已知一个直角三角形的一条直角边和斜边的长分别为1，3，另一个直角三角形 的一条直角边和斜边的长分别为3，9，则这两个直角三角形( A ). A.相似 B.不相似 C.不一定相似 D.全等 2.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，下列条件不能判断它们相似的(　D　) A. ∠A=∠B′ B. AC=BC，A′C′=B′C′ C. AB=3BC，A′B′=3B′C′ D. △ABC中有两边长为3、4，△A′B′C′中有两边长为6、8 3.如图6，在矩形 中，，，点 在 边上. 当 _ 时，. 4. 如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝，AD＝2. 当AB的长为____________时，Rt△ACD与Rt△ABC相似. 5.一个三角形的三边长分别为3 cm,4 cm,5 cm,另一个直角三角形的最长边长与最短边长分别为10 cm,6 cm,这两个三角形相似吗?为什么? 解:这两个三角形相似.理由如下: ∵32+42=52, ∴三边长分别为3 cm,4 cm,5 cm的三角形是直角三角形. 又∵,∴这两个三角形的直角边与斜边对应成比例. ∴这两个三角形相似. 独立完成基础练习，小组讨论难题。 巩固知识，提升应用能力，兼顾不同学习需求 五、提升 适时小结，兴趣延伸 回顾这节课你学到了什么？ 直角三角形相似判定定理 各小组思考，代表总结本节课内容 学生回顾所学知识并内化，熟练掌握。 板书设计 作业设计 1.现有下列说法:①所有的直角三角形都相似;②所有的等腰直角三角形都相似;③有一个锐角相等的两个直角三角形相似;④有两边成比例的两个直角三角形相似.其中正确的有 (　B　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，已知∠C＝∠AED＝90°，点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍然不能判定△ABC与△DAE相似的是(　D　) A．∠CAB＝∠D B．AD∥BC C. D. 3. 如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB中点，MN＝，线段MN的两端在BC，CD上滑动，当CM＝___1或2___时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似. 4.如图,,AB⊥BC,AC⊥CD,若AC2=AB·AD,则△ABC与△ACD相似　　　　(填“相似”或“不相似”).  5.如图，△ABC中，∠CAB＝90°，CB的中垂线交BC于点E，交CA的延长线于点D，交AB于点F.求证：AE2＝EF·ED. 证明：∵E是BC中点，AE是Rt△CAB斜边上的中线， ∴AE＝BC＝EC， ∴∠C＝∠EAC， ∵∠EAC＋∠EAF＝90°， ∴∠C＋∠D＝90°， ∴∠D＝∠EAF. ∵∠AEF＝∠DEA ∴△AEF∽△DEA， ∴， ∴AE2＝EF·ED. 教学反思 本节课通过对比全等 HL 引入直角三角形相似判定，学生参与度较好。但部分学生定理运用不够灵活，证明时忽略 “夹角为直角” 这一隐含条件。课堂练习时间偏少，对易混点辨析不够充分。后续教学可多设置对比习题，加强定理条件辨析，规范推理书写，提升学生几何解题严谨性。 学科网（北京）股份有限公司 $