第四章 相似三角形 知识点单元复习 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 浙教版九年级数学上册第四章“相似三角形”单元复习卷，全面覆盖比例性质、黄金分割、相似判定与性质等核心知识点，通过基础题与综合应用题结合，适配单元复习巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|20题|比例基本性质（题1-3）、相似判定（题12-14）|结合网格图（题13-14）考查几何直观，体现数学眼光| |填空题|10题|黄金分割（题7）、位似坐标（题27）|设置开放性问题（题39），培养推理意识| |解答题|19题|相似应用（题20-22）、综合探究（题47-48）|第47题以加工零件为情境，融合相似与二次函数求最值，体现数学思维；第48题测量旗杆高度，强化数学语言表达现实世界的应用意识|

第四章 相似三角形 知识点单元复习 2026-2027学年浙教版九年级数学上册 一、比例的基本性质 1．已知a，c，b，d 是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，则线段d的长为(　　) A．1 cm B．4 cm C．9 cm D．16 cm 2．已知线段a=4，b=9，则a，b的比例中项线段等于（　　) A．-6 B．6 C．18 D．36 3． 已知2x=3y (y≠0)， 则下列结论成立的是 (　　) A． B． C． D． 4．若，则　 　． 5．已知线段a=3cm，b=12cm. （1）若线段a，b，c，d满足求线段d的长度； （2）若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长度. 二、黄金分割 6．已知P为线段AB的黄金分割点，且AP<PB，则(　　) A． B． C． D． 7．已知点C是线段AB的黄金分割点， AB=20，且AC>BC，则AC=　 　； 8． 如图， 在△ABC中， AB=AC=2， ∠A=36°， BD平分∠ABC交AC于点D. （1）求证：点D 是线段AC 的黄金分割点； （2） 求线段 BC 的长. 三、平行线分线段成比例 9．如图，已知△ABC，直线l1与边AB， AC分别交于点 D， E，直线l2与边AB， AC分别交于点 M，N，l1∥l2∥BC，下列比例式一定正确的是（ ) A． B． C． D． 10．如图，在中，点，分别在边，上，，点在边上（不与点，重合），连接交于点，则下列比例式一定正确的是（　　）． A． B． C． D． 11．如图，已知，若，，，则线段的长为　 　． 四、相似三角形的判定及性质 12． 如图，在△ABC中， ∠A=78°，AB=6，AC=9. 将△ABC沿图示中的虚线剪开， 剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(　　) A． B． C． D． 13．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是(　　) A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④ 14．如图，在 6×6方格中，点 A，B，C，D，E 均在格点上，若△ABC 与△DEP；(i=1，2，3，4)相似，则符合条件的格点 P；是(　　) A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 15．如图，在，点F、D、E分别是边、、上的点，且、、相交于点O，若点O是的重心，则以下结论：①线段、、是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有2个；④；⑤．其中一定正确结论有（　　） A．②③ B．①③④ C．②④⑤ D．②③④ 16．如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB 上的点. AE=1.5，AC=2，BC=3，且 求DE 的长. 17．如图，在△ABC和△ADE中， ∠BAD=25°，求∠CAE 的度数. 18．如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B 是线段AD上的一点，且CB⊥BE，求证：△ABC∽△DEB. 19． 如图， 在△ABC中，AB=AC， 点D、B、C、E在同一条直线上， 且∠D=∠CAE. （1） 求证： △ABD∽△ECA； （2） 若AC=6， CE=4，求BD的长度. 五、相似三角形的应用 20．如图，九年级（1）班课外活动小组利用平面镜测量学校旗杆的高度，在观测员与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记E，当观测到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测得观测员的眼睛到地面的高度为，观测员到标记E的距离为，旗杆底部到标记E的距离为，则旗杆的高度约是（　　） A． B． C． D． 21．中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像的示意图，其对应的数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是　 　． 22．小明家的客厅有一张直径为1.4m，高0.8 m的圆桌 BC ，在距地面2.4m 的A 处有一盏灯，圆桌的影子为DE.如图，根据题意，以1m为1个单位长度建立平面直角坐标系，其中点 D 的坐标为(2，0)，则点 E 的坐标是　 　. 六、相似多边形 23．如图，四边形四边形EFGH．若，，则它们的面积之比为（　　） A． B． C． D．无法确定 24．如图，复印纸型号多样，大小不一，但各型号复印纸之间存在一定的关系，将其中一型号纸张(如A3纸)沿较长边中点的连线对折，就能得到下一型号(A4纸)的纸张，且对折得到的两个矩形和原来的矩形相似(即A3纸与 A4纸相似)，则这些型号的复印纸长与宽之比为　 　. 25．如图，已知四边形ABCD 与四边形EFGH 是相似图形，点A 与点E，点 B 与点F，点C与点G，点D 与点H 分别是对应顶点. AB=3.6，AD=1.8，EH=1.2，FG=2.8. （1）求四边形ABCD 与四边形EFGH 的相似比； （2）求边 BC，EF 的长度. 七、位似图形 26．如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，．以点O为位似中心，在第三象限内将按相似比缩小，得到，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 27．已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点A（2，1）、点B（2，0）、点O（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为　 　. 八、练习 28．已知 那么下列等式中，不一定正确的是(　　) A．5x=3y B．x+y=8 C． D． 29．比值为（约0.618）的比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割比，我们中国的国旗宽与长之比就非常接近这个比例，如果某面国旗长为2米，则其宽约为（　　） A．1.5米 B．1.2米 C．1.0米 D．0.8米 30．下列各组中的四条线段成比例的是(　　) A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 31．如图，，补充下列条件之一，不一定能判定和相似的是（　　） A． B． C． D． 32．已知三边长是2，4，5，与相似的三角形三边长可能是（　　） A．6，12，15 B．4，8，5 C．3，5，6 D．3，4，5 33． 已知△ABC 与△DEF 相似，且相似比为1： 3，则△ABC 与△DEF 的周长之比是(　　) A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9 34．如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 35．如图，这是某平台销售的折叠椅子的示意图，CD与地面AB平行，已知OF＝30 cm，GF＝50 cm，若AB＝40 cm，则CD的长是(　　) A．30 cm B．cm C．20 cm D．cm 36．如图，在中，对角线 交于点是的中点，连结交于点F．若的面积为36，则的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 37．已知：，且，则的值等于　 　． 38．如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C，D之间的距离为　 　. 39．如图，D是△ABC的边AB上的一点， 当∠1=　 　， ∠2=　 　时，或 　 　时， △ADC∽△ACB. 40．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O(0，0)，C(6，0)，B(6，4)，A(0，4)．已知矩形OA'B'C'与矩形OABC位似，位似中心是原点O，且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的，则点B'的坐标是　 　． 41．如图，已知：G是的重心，，那么　 　． 42． 如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若点P、Q分别从点A、B同时出发，问经过　 　秒钟，与相似． 43．已知线段a，b，c满足，且． （1）求线段a，b，c的长； （2）若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长． 44．如图，在平面直角坐标系中，△FCD与△OAB是以点P为位似中心的位似图形。 （1）指出点P的位置并写出点P的坐标； （2）以点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的另一个位似△OA1B1，使它与△OAB的相似比为2：1。 （3）设点M(a，b)为AB边上一点，则依上述变换后点M在CD边的对应点M1的坐标是　 　。 45． 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O. （1）找出图中的相似三角形并证明； （2） 若AB=7， CD=3， BD=5， 求OD. 46．如图，一块矩形绸布的长AB=am，AD=1m，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的长与宽的比与原绸布的长与宽的比相同，即 那么a的值应当是多少? 47． 一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件， 如图①，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上． （1）求证：△AEF∽△ABC； （2）如果把它加工成矩形零件，如图②，当EG为多少时，矩形EGHF有最大面积？最大面积是多少？ 48．综合与实践 【主题】测量旗杆的高度． 【工具】伸缩杆，平面镜，卷尺． 【步骤】 步骤1：小明在旗杆前的处放置了一根垂直于地面的伸缩杆，将伸缩杆的高度调整为米，这时地面上的点、伸缩杆的顶端和旗杆的顶端正好在同一直线上，测得米； 步骤：小明从点出发沿着方向前进米，到达点； 步骤：小明在点处放置一平面镜，小亮站在处时，恰好在平面镜中看到旗杆的顶端的像，此时测得小亮的眼睛到地面的距离为米，米． 【问题解决】 已知点、、、与旗杆的底端在同一直线上，，，，请你根据以上测量过程与数据（平面镜大小忽略不计）． （1）求证：； （2）求该旗杆的高度． 49．【知识情境】在研学实践活动中，小安同学认识了一种特殊的长方形——黄金矩形.它比例和谐，外形美观，宽与长的比值为 矩形是我们即将学习的内容，下面运用已学的二次根式知识，对黄金矩形的比例进行解释. 如图，黄金矩形 ABCD按如下方式构造： 1.作正方形 ABEF，边长AB=1； 2.取 AF的中点 M； 3.以 M为圆心，ME为半径画弧，交 AF延长线于点 D； 4.过点 D作 AD的垂线，交 BE延长线于点 C. 经计算，该黄金矩形的宽与长的比值为： 【知识回顾】素材1： 素材2： 【解决问题】 （1）化简： （2）根据计算可知【知识情境】中的长方形 EFDC也是黄金矩形，请通过计算说明理由. 参考答案 1．B 2．B 3．D 4． 5．（1）解：∵，， ∴， 解得：； （2）解：依题意，， ∴. 6．C 7． 8．（1）证明： ∵AB= AC=2， ∠A =36°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD =∠CBD=36°， 在△ABC和△BDC中， ∠A =∠CBD， ∠C =∠C， ∴△ABC∽△BDC； ∴BD：AC=CD：BC， ∵∠ABD=∠CBD=36°， ∠C =72°， ∴∠BDC =180°-∠CBD-∠C= 180°-36°-72°= 72°， ∴BC = BD， 又∵∠A =36°， ∠ABD =36°， ∴∠A =∠ABD， ∴点D是线段AC的黄金分割点； （2）解：设AD=x，则CD=AC-AD=2-x 由 (1) 可知：AD：AC=CD：AD， 整理得： 解得： 舍去负值. 9．B 10．C 11．15 12．D 13．C 14．C 15．D 16．解：∵AE=1.5， AC=2， 且∠EAD=∠CAB， ∴△AED∽△ACB， 即 解得 17．解：， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，即∠BAD=∠CAE. ∵∠BAD=25°，∴∠CAE=25°. 18．证明：∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE， ∴∠A＝∠D＝∠CBE＝90°， ∴∠C＋∠ABC＝∠ABC＋∠DBE＝90°， ∴∠C＝∠DBE，∴△ABC∽△DEB. 19．（1）证明：， ， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， ， ，即4BD=36， ∴ BD = 9. 20．D 21． 22．（4.1，0） 23．C 24．∶1 25．（1）解：∵四边形ABCD与四边形EFGH是相似图形，点A与点E，点D与点H分别是对应顶点，AD＝1.8，EH＝1.2， ∴四边形ABCD与四边形EFGH的相似比为AD∶EH＝1.8∶1.2＝3∶2. （2）解：∵四边形ABCD与四边形EFGH是相似图形，点A与点E，点B与点F，点C与点G，点D与点H分别是对应顶点， ∴＝＝. ∵AB＝3.6，AD＝1.8，EH＝1.2，FG＝2.8， ∴＝＝， ∴BC＝＝4.2，EF＝＝2.4. 26．D 27．（4，2）或（－4，－2） 28．B 29．B 30．B 31．D 32．A 33．B 34．A 35．B 36．B 37．-15 38． 39．∠B；∠ACB； 40．(3，2)或(－3，－2) 41． 42．2或5 43．（1）解：设，则，，， 又∵， ∴， 解得， ∴，，； （2）解：∵线段k是线段a，b的比例中项， ∴， 解得或（舍去）， ∴线段． 44．（1）如图所示，连接FO，DB并延长，交于点P， 点P即为位似中心，点P的坐标是（－5，－1）. （2）如图所示，延长AO到A1，使OA1∶OA＝2∶1， 延长BO到B1，使OB1∶OB＝2∶1， 连接A1B1，得到△OA1B1，△OA1B1即为所求. （3）（2a＋5，2b＋1） 45．（1）解：△OCD∽△OAB，理由为： ∵AB∥CD， ∴∠CDO=∠OBA，∠DCO=∠BAO， ∴△OCD∽△OAB； （2）解：∵△OCD∽△OAB， ∴， ∴，即， 解得. 46．解：根据题意可知， ， 由 ，得 ， 即 . ， 解得 或 （不合题意，舍去）. 47．（1）证明：∵正方形EGHF， ∴EF∥BC， ， ∴△AEF∽△ABC； （2）解：设EG＝a， ∵矩形EGHF， ∴EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴， ∴， ∴EF＝120a， ∴矩形面积S＝a（120a）a2+120a（a﹣40）2+2400， 当a＝40时，此时矩形面积最大，最大面积是2400mm2， 即：当EG＝40时，此时矩形面积最大，最大面积是2400mm2． 48．（1）证明：∵，，∴， ∴； （2）解：设米，∵米， ∴米， ∵， ∴， ∵米，米， ∴， ∴米 ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴米， 答：旗杆的高度为米． 49．（1）解： （2）解：根据作图可知， EF=AB=1， 在 RtΔMEF中， ∴长方形 EFDC 也是黄金矩形 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $