第四章 相似三角形 单元练习 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 浙教版九年级数学九上第四章相似三角形单元卷，覆盖相似判定、性质、位似等核心知识，通过基础题与综合题结合，培养抽象能力、推理能力及应用意识，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|比例性质（第1题）、相似判定（第2题）、位似周长比（第6题）|结合小孔成像（第8题）、赵爽弦图（第10题），体现文化传承与实际应用| |填空题|6|相似条件补充（第11题）、黄金分割（第14题）、矩形相似（第15题）|融入鹦鹉螺黄金分割（第14题），强化几何直观与符号意识| |解答题|7|位似作图（第18题）、动点相似（第20题）、加工零件应用（第21题）|分层设计，从基础计算到综合探究（第23题），培养推理能力与创新意识|

浙教版九年级数学单元练习九上第四章相似三角形 一、选择题 1．已知 那么下列等式中，不一定正确的是(　　) A．5x=3y B．x+y=8 C． D． 2． 如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，已知ABCDEF，若AC＝6，CE＝2，BD＝3，则BF的长为（　　） A．6 B．5.5 C．4 D．4.5 4．在中，，，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，若△OAB∽△OCD，OA：OC=3：2，△OAB 与△OCD 的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是(　　). A． B． C． D． 6．如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则四边形与四边形的周长之比是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在 6×6方格中，点 A，B，C，D，E 均在格点上，若△ABC 与△DEP；(i=1，2，3，4)相似，则符合条件的格点 P；是(　　) A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 8．我国学者墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（　　） A． B． C． D． 9． 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点D在边AC上且BD平分△ABC 的周长，则BD的长是(　　) A． B． C． D． 10．如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形ABCD和小正方形EFGH，连接BD交CH于点P.若BP＝BC，则的值是(　　) A．－1 B．2－ C． D． 二、填空题 11．如图，在△ABC和△ADE中，∠1=∠2，添加一个条件：　 　(写出一个即可)，可使△ABC∽△ADE. 12．在比例尺为1∶1 000 000的地图上，测得A，B两城市的距离是3.5 cm，则A，B两城市的实际距离是　 　km. 13．两个相似三角形的最长边分别是10 cm和6 cm，并且它们的周长之和为 48 cm，那么较小三角形的周长是　 　. 14．黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为　 　．（结果保留根号） 15．如图，复印纸型号多样，大小不一，但各型号复印纸之间存在一定的关系，将其中一型号纸张(如A3纸)沿较长边中点的连线对折，就能得到下一型号(A4纸)的纸张，且对折得到的两个矩形和原来的矩形相似(即A3纸与 A4纸相似)，则这些型号的复印纸长与宽之比为　 　. 16．如图，在正方形ABCD中， AB=3，点E为边 CD上一点，且CE=2DE，连接BE．若点 G为点 D 关于 BE 的对称点，连接DG并延长交BC延长线于点 F，连接BG，则FG=　 　． 三、解答题 17．已知线段a，b，c满足，且． （1）求线段a，b，c的长； （2）若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长． 18．如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC(顶点均在正方形网格的格点上)，已知点 A 的坐标为(2，3). （1）画出△ABC 关于y轴对称的△A1B1C1； （2）以点O 为位似中心，在给定的网格中画出. ，使△A2B2C2与 位似，并且点A2的坐标为(4，-6)； （3）△A1B1C1与△A2B2C2的相似比是　 　. 19．如图，矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF⊥AE 于点F. （1）证明：△ABE∽△DFA； （2）若AB=3，AD=6，BE=4，求DF 的长. 20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，AC＝8 cm.动点N从点C出发，以每秒1 cm 的速度沿CB向终点B移动；同时，动点M从点B出发，以每秒2 cm的速度沿BA向终点A移动．两个动点中有一个到达终点即同时停止移动．连接MN，设移动时间为t(单位：s)． （1）当△BMN的面积为 cm2时，求t的值； （2）若以B，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值． 21． 一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件， 如图①，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上． （1）求证：△AEF∽△ABC； （2）如果把它加工成矩形零件，如图②，当EG为多少时，矩形EGHF有最大面积？最大面积是多少？ 22．如图，AC 是▱ABCD 的对角线，在AD 边上取一点F，连接BF 交AC 于点E，并延长BF 交CD 的延长线于点G. （1）若∠ABF=∠ACF，求证：△ECF∽△EGC； （2）若DG=DC，BE=6，求 EF 的长； （3）在（2）的条件下，若△AEF=3，求 23．将两个全等的含45°角的直角三角板按照如图所示的方式放置，已知∠BAC=∠AED=90°，AD，AE分别交BC边于点F，G(不与顶点重合)，。 （1）求证：； （2）求证：△ABG∽△FCA； （3）设BG=x，CF=y，求y与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围； （4）当BF=CG时，求△AFG的面积. 参考答案 1．B 2．C 3．C 4．B 5．A 6．A 7．C 8．A 9．C 10．A 11．∠B＝∠D（或∠C＝∠E或＝） 12．35 13．18 cm 14． 15．∶1 16． 17．（1）解：设，则，，， 又∵， ∴， 解得， ∴，，； （2）解：∵线段k是线段a，b的比例中项， ∴， 解得或（舍去）， ∴线段． 18．（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求. （2）解：如图所示，△A2B2C2即为所求. （3）1∶2 19．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠AEB＝∠DAE. ∵DF⊥AE， ∴∠DAF＋∠ADF＝∠DAF＋∠EAB＝90°， ∴∠ADF＝∠EAB，∴△ABE∽△DFA. （2）解：∵AB＝3，BE＝4， ∴由勾股定理得AE＝5. ∵△ABE∽△DFA， ∴＝，即＝，∴DF＝3.6. 20．（1）解：如图，过点M作MD⊥BC于点D.根据题意得BM＝2t cm，NC＝t cm.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，AC＝8 cm，∴BC＝＝＝6(cm)．∴BN＝(6－t)cm.∵∠C＝90°，MD⊥BC，∴∠MDB＝∠ACB＝90°，即 解得 ，解得MD＝t cm.∵S△BMN＝BN·MD，∴(6－t)×t＝，解得t1＝t2＝3，∴t的值为3. （2）分两种情况讨论： ①当 MN⊥BC 时， Rt△MBN∽Rt△ABC， 此时 即 解得 ②当 MN⊥AB 时， Rt△NBM∽Rt△ABC， 此时 即 解得 综上所述，t的值为 或 21．（1）证明：∵正方形EGHF， ∴EF∥BC， ， ∴△AEF∽△ABC； （2）解：设EG＝a， ∵矩形EGHF， ∴EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴， ∴， ∴EF＝120a， ∴矩形面积S＝a（120a）a2+120a（a﹣40）2+2400， 当a＝40时，此时矩形面积最大，最大面积是2400mm2， 即：当EG＝40时，此时矩形面积最大，最大面积是2400mm2． 22．（1）证明：在▱ABCD中，∵AB∥CD，∴AB∥CG， ∴∠ABF＝∠G. 又∠ABF＝∠ACF，∴∠ECF＝∠G. 又∠CEF＝∠CEG，∴△ECF∽△EGC. （2）解：在▱ABCD中，∵AB＝CD，DG＝DC， ∴AB＝CD＝DG，∴AB＝CG. ∵AB∥CG，∴△ABE∽△CGE， ∴＝＝，即＝，∴EG＝12， ∴BG＝BE＋GE＝18. ∵AB∥CG，AB＝DG，∴△ABF≌△DGF， ∴BF＝BG＝9， ∴EF＝BF－BE＝9－6＝3. （3）解：如图，过点A作AH⊥BF于点H. 由（2）知BE＝6，EF＝3. ∵S△AEF＝EF·AH＝3，∴AH＝2， ∴S△ABE＝BE·AH＝6. ∵△ABF≌△DGF，∴AF＝DF. ∵AD∥BC，∴△AEF∽△CEB，∴＝，∴＝，∴S△CEB＝12，∴S△ABC＝S△CEB＋S△ABE＝18. ∵S△ACD＝S△AEF＋S四边形CDFE＝18，∴S四边形CDFE＝15. 23．（1）证明：由题意可知，∠FAG＝∠ABG＝45°， ∵∠AGF＝∠BGA， ∴△ABG∽△FAG， ∴＝， ∴AG2＝BG•FG （2）证明：由题意可知，∠FAG＝∠FCA＝45°，∠C＝∠B＝45°. ∵∠AGF＝∠C＋∠CAG＝45°＋∠CAG， ∠CAF＝∠CAG＋∠FAG＝∠CAG＋45°， ∴∠AGF＝∠CAF. ∵∠B＝∠C， ∴△ABG∽△FCA （3）解：在Rt△ABC中，AB2＋AC2＝BC2. ∵AB＝AC，BC＝5， ∴AB＝AC＝5. ∵△ABG∽△FCA， ∴＝，即＝， ∴y＝， 当点G是BC的中点时，BG＝BC＝； 当点G与点C重合时，BG＝BC＝5. ∴x的取值范围为＜x＜5， ∴y＝，x的取值范围为＜x＜5 （4）解：设点A到BC的距离为h， 根据等面积法可知，h＝＝. ∵BF＝CG， ∴BG＝CF. 由（3）得，y＝， ∴x＝y＝5， 即BG＝CF＝5， ∴FG＝10－5， ∴S△AFG＝FG•h＝×（10－5）×＝ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $