1.2 一定是直角三角形吗 新课预习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学北师大版八年级上册“1.2一定是直角三角形吗”新授课同步练，以“基础巩固-规律探索-综合应用”分层设计，通过梯度化题型培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|勾股数定义、直角三角形判定|单选题1-5直接考查概念，填空题9-11强化基础运算，培养数感与符号意识| |提升|网格直角三角形、规律探究|单选题6-8结合图形情境，填空题12-13探索勾股数规律，发展空间观念与推理能力| |综合|实际应用与多知识点融合|解答题16-17整合网格对称、最短路径，体现模型意识，衔接日常教学与综合测评|

1.2 一定是直角三角形吗 新课预习2026-2027学年 北师大版八年级数学上册 一、单选题 1．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图，四边形中，，，，，．则（    ） A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．不确定大小 3．下列长度的三条线段，首尾相接能构成直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．4，5，6 C．6，8，8 D．5，12，13 4．如图，在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个正方形网格中不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 5．下列说法错误的是（　　） A．直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方 B．在直角三角形中，斜边大于直角边 C．如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形 D．将直角三角形的各边增加1后首尾顺次连接而成的三角形是直角三角形 6．如图，一个三角形与一个正方形有一条公共边，正方形面积为5cm2，三角形的另两条边(非公共边)长分别为2cm，1cm，则三角形为（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定其形状 7．如图是一个的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，的顶点都是图中的格点，其中点、点的位置如图所示，则点可能的位置共有（    ）． A．10个 B．9个 C．7个 D．6个 8．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（　　）    A． B． C． D． 二、填空题 9．观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；根据上面的规律，写出第8组勾股数：_____________． 10．如图，在的正方形网格中标出了和，则_____． 11．已知一个三角形三边之比为，周长为，则最长边上的高为___________ 12．在中，，如果满足，则的形状是_______． 13．在探索勾股定理的实践课上，同学们发现勾股定理本身就是一个关于的方程，满足这个方程的正整数解，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，…，分析上面勾股数组可以发现，，，第6个勾股数组为 _______________． 三、解答题 14．如图，在四边形中，，，，连接． (1)找出图中的所有直角三角形； (2)求证：． 15．甲、乙、丙三人分别在操场上的点，，处，其两两之间的距离如图所示．若乙在甲的西偏北方向，则丙在甲的什么方向？    16．如图，在正方形网格上有一个． （1）发现与的数量关系是　　，位置关系是　　． （2）画关于直线的对称图形（不写画法）； （3）若网格上的每个小正方形的边长为1，则的面积为 ． （4）在直线MN上找一点P，使PA＋PB最短． 17．当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且，所以3，4，5是勾股数．观察下列各勾股数有哪些规律； 3，4，5； 9，40，41； 5，12，13； ……； 7，24，25； ，，． (1)当时，求，的值 (2)判断10，24，26是否为一组勾股数？若是，请说明理由． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B D C D C B C 1．【答案】B 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查的知识点是勾股数的定义，解题关键是熟练掌握勾股数的定义． 勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数．根据该定义即可得解． 【详解】解：选项，，不是勾股数，不符合题意，选项错误； 选项，，是勾股数，符合题意，选项正确； 选项，、不是正整数，不是勾股数，不符合题意，选项错误； 选项，，不是勾股数，不符合题意，选项错误． 故选：． 2．【答案】B 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 直接利用勾股定理可得的长；再根据勾股定理逆定理判定即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B 3．【答案】D 【知识点】构成三角形的条件、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 先判断三条线段能否构成三角形，再验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、 ，无法构成三角形，故选项A不符合题意； B、 ，， ，不是直角三角形，故选项B不符合题意； C、，，，不是直角三角形，故选项C不符合题意； D、，，，且，能构成直角三角形，故选项D符合题意． 故选D． 4．【答案】C 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】先判断A选项中的三角形，再计算其余每个选项中三角形的边长后，利用勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】解：由观察可知，A选项中的三角形是直角三角形； B选项中的三角形三边长分别为，符合， 因此B选项中的三角形是直角三角形； C选项中的三角形三边长分别为，不满足有两边的平方和等于第三边的平方， 因此C选项中的三角形不是直角三角形； D选项中的三角形三边长分别为，符合， 因此D选项中的三角形是直角三角形； 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题关键是掌握如果一个三角形有两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 5．【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，大边对大角．根据相关定理逐个判断即可． 【详解】解：将直角三角形的各边缩小或扩大相同的倍数后首尾顺次连接而成的三角形是直角三角形，故D错误，符合题意； A、B、C均正确，不符合题意； 故选：D． 6．【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】根据正方形的面积可以求出三角形的第三边长的平方，结合勾股定理的逆定理，进行判断即可． 【详解】解：设三角形的三边长分别为a、b、c，如图所示： 根据题意可知，，，， ∵， ∴三角形为直角三角形，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形． 7．【答案】B 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查了网格中判断直角三角形，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据网格的特点求得的长为，分为直角边和斜边两种情况讨论，进而确定点的位置． 【详解】由于每个小正方形的边长为1，则， 如图， ①当为斜边时， 可以作出，，三个直角三角形 当为直角边时， 可以作出，两个直角三角形， 将上述三角以为对称轴翻折，可得出4个直角三角形， 综上所述，一共有9个直角三角形． 故选：B． 8．【答案】C 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可． 【详解】解：连接，    ∵ ∴， ∵， ∴为直角三角形，且， ∴． 故选：C． 9．【答案】17，144，145 【知识点】数字类规律探索、勾股树（数）问题 【分析】观察得出规律：第组勾股数的第一个数为，第二个数为，第三个数为，即可解决问题．本题考查了勾股数的运用以及数字规律． 【详解】解：①；；． ②；；． ③；；． ④；；． 则第组勾股数的第一个数为：， 第二个数为：， 第三个数为：， 第8组勾股数为：17，144，145， 故答案为：17，144，145． 10．【答案】 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质．根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理的逆定理即可解答本题． 【详解】解：如图所示，作，连接，    则， 设每个小正方形的边长为， 则，，， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， 故答案为：． 11．【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分别算出每条边的长度，又因为，得出这个三角形是直角三角形，结合等面积法进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一个三角形三边之比为，周长为， ∴，，， ∵， ∴这个三角形是直角三角形， ∴这个三角形的面积， 则最长边上的高， ∴这个三角形的最长边上的高为， 故答案为： 12．【答案】直角三角形 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．由，推出，根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 【详解】解：， ， 即， 是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 13．【答案】 【知识点】数字类规律探索、勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理逆定理，找出数据之间的关系是解题的关键．由勾股数组：，…，分析变化规律，即可获得答案． 【详解】解：由勾股数组：，…， ∴第4组勾股数中间的数为，即勾股数组为， 第5组勾股数中间的数为：，即勾股数组， 第6组勾股数中间的数为：，即勾股数组． 故答案为：． 14．【答案】(1)； (2)答案见解析． 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系、判断三边能否构成直角三角形 【分析】（1）根据直角三角形的判定解答即可； （2）根据边之间的关系以及勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是直角三角形， ∵， ∴是直角三角形； （2）∵，， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】此题考查了勾股定理以及它的逆定理，熟练掌握直角三角形的判定方法是解答此题的关键． 15．【答案】丙在甲的西偏南（或南偏西）方向 【知识点】方向角的表示、与方向角有关的计算题、判断三边能否构成直角三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查方位角，涉及勾股定理的逆定理，由题中所给的线段长，利用勾股定理的逆定理判定是直角三角形，且，再结合题中所给方位角即可得到答案，熟记方位角定义及勾股定理的逆定理的运用是解决问题的关键． 【详解】解：，，， ，，， ， 是直角三角形，且， ， 丙在甲的西偏南（或南偏西）方向． 16．【答案】（1）；；（2）见解析；（3）8.5；（4）见解析 【知识点】在网格中判断直角三角形、画轴对称图形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理解答即可； （2）先找出点、、关于的对称点、、的位置，然后顺次连接、、即可； （3）利用所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解； （4）根据两点之间线段最短以及轴对称的性质连接，交MN于点P，则该点P即为所求． 【详解】解：（1）由勾股定理可得：，，， ，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 故答案为：；； （2）关于直线的对称图形如图所示； （3）的面积， ， ； （4）如图，点P即为所求． 【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，轴对称-最短路线问题，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 17．【答案】(1)， (2) 10，24，26是勾股数． ∵． 又∵10，24，26都是正整数 根据勾股数的定义，可知10，24，26是勾股数． 【知识点】数字类规律探索、勾股树（数）问题 【分析】（1）先观察已有的勾股数，得到，再利用勾股定理进行求解即可； （2）利用勾股数的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：观察已有的勾股数可得， ∴， 把代入， 解得， ∴； （2）略 【点睛】本题考查勾股数．熟练掌握勾股数的定义，是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $