2.1认识实数同步练习 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级上册数学“2.1认识实数”同步练习，通过基础巩固、能力提升与拓展探究的分层设计，构建从实数概念识别到综合应用的知识巩固路径，适配新授课教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|实数概念与分类、基本性质|选择题1-2题直接考查无理数识别与实数分类，填空题9-10题结合数轴强化数与形的对应，培养抽象能力与几何直观| |提升|实数运算与应用|解答题15-16题通过数轴作图、绝对值运算深化性质理解，17-18题结合面积推导与数据比较发展推理意识，体现“概念-运算-应用”递进| |拓展|规律探究与新定义|附加题19-20题通过无限小数规律分析、“整数伙伴”新定义，培养创新意识与数学表达能力，适度拓展思维深度|

八年级上册数学 2.1 认识实数 同步练习 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 北师大版 · 满分 100 分 · 建议用时 45 分钟 一、选择题（每题 3 分，共 24 分） 1．下列各组数中，三个数都是无理数的是（　　） A．π，0.101001000100001…， B．−3.14，，π C．0.272727…（27循环），2−π， D．，，0.11010010001… 2．下列说法正确的是（　　） A．每一个实数不是有理数就是无理数，且二者不会同时成立 B．无限小数都是无理数 C．两个无理数的和一定是无理数 D．无理数一定是正数 3．如图，数轴上的点 M 位于 2 与 3 之间且更靠近 3。点 M 表示的数可能是（　　） A． B． C． D．π 4．若 x 是无理数，则下列各数中一定是无理数的是（　　） A．x+1 B．x−x C．x÷x D．x+(−x) 5．已知 ≈2.2360679，π≈3.1415926，下列不等式正确的是（　　） A．＞2.24 B．π＜3.1415 C．−π＜−3.14 D．2−＞0 6．若 a=3−π，b=π−4，则 |a|+|b| 的值为（　　） A．0 B．1 C．π D．7−2π 7．小数 x=0.101001000100001…中，相邻两个 1 之间的 0 的个数依次为 1，2，3，4，…。则小数点后第 2016 位数字是（　　） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 8．对任意实数 x，定义运算 F：当 x 为无理数时，F(x)=−x；当 x 为有理数时，F(x)=x+1。则 F(F(π))=（　　） A．π B．−π C．1−π D．π+1 二、填空题（每题 4 分，共 20 分） 9．如图，数轴上的 A、B、C、D 四点分别表示四个实数 −，−，，π。请按图中各点的位置填写： A=________________，B=________________，C=________________，D=________________。 10．数轴上点 A 表示 −，点 B 表示 1，则线段 AB 的长为________________。 11．若 a=π−3，b=3−π，则 |a|+b=________________。 12．如图，直径为 2 个单位长度的圆从数轴上表示 −1 的点 A 开始向右无滑动滚动一周，圆上原来与 A 重合的点到达 B，则点 B 表示的数为________________。 13．实数 3−π 的相反数与它的绝对值之和为________________。 三、解答题（共 56 分） 14．（10 分）已知 1.4＜＜1.5，2.2＜＜2.3，3.14＜π＜3.15。设 p=−，q=1−，r=，s=π−1。 （1）不用计算器，分别写出 p、q、r、s 各位于哪两个相邻整数之间； （2）将 p、q、r、s 按从小到大的顺序排列，并说明理由。 15．（10 分）如图，在数轴上，O 为原点，A 表示 2，过 A 作 AB⊥数轴，且 AB=1，连接 OB。以 O 为圆心、OB 为半径作弧，分别交数轴正、负半轴于 P、Q。 （1）写出点 P、Q 所表示的实数； （2）已知 2.2²＜5＜2.3²，判断 P、Q 分别位于哪两个相邻的十分位数之间，并求 PQ 的长。 16．（12 分）已知：若 r 是有理数，x 是无理数，则 x+r 与 x−r 都是无理数。 （1）判断 π− 和 3−π 是有理数还是无理数； （2）若 x 是无理数，且 x+y=4，判断 y 是有理数还是无理数，并说明理由； （3）“两个无理数的和、积一定是无理数”是否正确？请分别举一个反例说明。 17．（12 分）【操作探究】如图，把两个边长为 1 的正方形经过剪、拼，得到一个面积为 2 的新正方形，设新正方形的边长为 a。计算器显示 a=1.414213562…，且该小数无限不循环。 （1）a 属于哪一类实数？写出 a 与 1.41、1.42 的大小关系； （2）不用计算器，利用 1.4²=1.96，1.5²=2.25，说明 1.4＜a＜1.5； （3）若把长为 a 的线段用圆规转移到数轴上，可以得到表示 a 的点。这个事实说明无理数与数轴有什么关系？进一步写出实数与数轴上点的关系。 18．（12 分）下表给出了四个实数的信息： 代号 实数 信息 A 0.625 有限小数 B 0.181818… 18循环 C 0.101001000100001… 相邻两个 1 之间的 0 的个数依次增加 D π−3 π≈3.1415926 （1）分别判断 A、B、C、D 是有理数还是无理数，并按从小到大的顺序排列； （2）小林把 D 取近似值 0.142 后说：“0.142 是有理数，所以 D 也是有理数。”请指出他的错误，并说明理由。 四、附加拓展题（选做，不计入总分） 19．【规律探究】设 x=0.1101001000100001…，相邻两个 1 之间的 0 的个数依次为 0，1，2，3，…。 （1）说明 x 是无理数； （2）求小数点后第 2017 位数字。 20．【新定义】若两个实数 x、y 的和为整数，则称 x 与 y 互为“整数伙伴”。 （1）写出一个在 0 与 1 之间、且与 π 互为“整数伙伴”的数； （2）证明：若 x 是无理数，且 y 与 x 互为“整数伙伴”，则 y 一定是无理数。 参考答案与详细解答 一、选择题 1．答案：A A 中 π、0.101001000100001…、 都是无理数。B 中 −3.14 是有限小数，为有理数；C 中 0.272727…是无限循环小数，为有理数；D 中 是分数，为有理数。 2．答案：A实数分为有理数和无理数，两类互不重合。无限循环小数属于有理数；两个无理数相加可能得到有理数；无理数既有正数也有负数。 3．答案：C 由图可知 2＜M＜3，且 M 更靠近 3。≈2.646，符合图中位置；≈1.732，=2.5，π≈3.142，均不符合。 4．答案：A 若 x+1 是有理数，则 x=(x+1)−1 也应为有理数，与 x 是无理数矛盾，所以 x+1 一定是无理数。其余三项分别等于 0、1、0，都是有理数。 5．答案：C 由已知近似值可得 ＜2.24，π＞3.1415，且 π＞3.14，所以 −π＜−3.14；又 ＞2，因此 2−＜0。 6．答案：B 因为 3−π＜0，π−4＜0，所以 |a|=π−3，|b|=4−π。于是 |a|+|b|=(π−3)+(4−π)=1。 7．答案：B 小数点后“1”出现的位置依次为 1，3，6，10，15，…，即第 n 个 1 在第 n(n+1)÷2 位。因为 63×64÷2=2016，所以第 2016 位数字是 1。 8．答案：A π 是无理数，所以 F(π)=−π；−π 仍是无理数，所以 F(−π)=π。因此 F(F(π))=π。 二、填空题 9．答案：A=−，B=−，C=，D=π。解析：−≈−2.236，−=−0.5，≈1.414，π≈3.142，与图中 A、B、C、D 的位置依次对应。 10．答案：1+。解析：AB=|1−(−)|=1+。 11．答案：0。解析：π−3＞0，所以 |a|=π−3，而 b=3−π，故 |a|+b=0。 12．答案：2π−1。解析：圆的直径为 2，周长为 2π。无滑动滚动一周，向右移动的距离等于一个圆周长，因此 B 表示 −1+2π=2π−1。 13．答案：2π−6。解析：因为 3−π＜0，它的相反数为 π−3，绝对值也为 π−3，两者之和为 2π−6。 三、解答题 14．解： （1）由 2.2＜＜2.3，取相反数得 −2.3＜−＜−2.2，所以 −3＜p＜−2；由 1.4＜＜1.5，得 −0.5＜1−＜−0.4，所以 −1＜q＜0；又 1＜r＜2；由 3.14＜π＜3.15，得 2.14＜π−1＜2.15，所以 2＜s＜3。 （2）由（1）可知 p 位于（−3，−2），q 位于（−1，0），r 位于（1，2），s 位于（2，3），因此 p＜q＜r＜s。 15．解： （1）在直角三角形 OAB 中，OA=2，AB=1，所以 OB²=2²+1²=5，OB=。因此 P 表示 ，Q 表示 −。 （2）由 2.2²＜5＜2.3²，且各数均为正数，可得 2.2＜＜2.3。故 P 位于 2.2 与 2.3 之间；取相反数后 −2.3＜−＜−2.2，所以 Q 位于 −2.3 与 −2.2 之间。PQ=−(−)=2。 16．解： （1）π 是无理数， 和 3 都是有理数。根据题给结论，无理数减去有理数仍为无理数，所以 π− 是无理数；3−π=−(π−3)，也为无理数。 （2）由 x+y=4 得 y=4−x。若 y 是有理数，则 x=4−y 是两个有理数的差，应为有理数，与 x 是无理数矛盾。因此 y 是无理数。 （3）不正确。和的反例：π 与 4−π 都是无理数，但 π+(4−π)=4，是有理数。积的反例： 与 都是无理数，但 ×=2，是有理数。因此两个无理数的和、积都不一定是无理数。 17．解： （1）a=1.414213562…是无限不循环小数，所以 a 是无理数。由小数展开直接可知 1.41＜a＜1.42。 （2）新正方形面积为 2，所以 a²=2。因为 1.4²=1.96＜2＜2.25=1.5²，且 a、1.4、1.5 都为正数，所以 1.4＜a＜1.5。 （3）把长为 a 的线段转移到数轴，可以得到唯一的点表示无理数 a，这说明无理数也能在数轴上准确表示。进一步地，每一个实数都对应数轴上的唯一一点，数轴上的每一点也表示唯一的实数，即实数与数轴上的点一一对应。 18．解： （1）A=0.625 是有限小数，为有理数；B=0.181818…是无限循环小数，为有理数；C 的小数位数无限且不存在固定循环节，为无理数；D=π−3 是无理数。数值上 C≈0.101001…，D≈0.1415926，B≈0.181818…，A=0.625，所以 C＜D＜B＜A。 （2）小林把“近似值”和“原数”混淆了。0.142 只是 D=π−3 的一个有限小数近似值，并不等于 D。有限小数 0.142 是有理数，不能据此改变 D 的数的类别；D 的准确值是 π−3，仍然是无理数。 四、附加拓展题 19．解： （1）相邻两个 1 之间的 0 的个数依次增加，因此小数部分不可能出现固定循环节；同时小数位数无限，所以 x 是无限不循环小数，即无理数。 （2）从第 1 个 1 开始，各个 1 所在的位置依次为 1，2，4，7，11，…，相邻位置之差依次为 1，2，3，4，…。第 n 个 1 的位置为 1+n(n−1)÷2。令 n=64，得 1+64×63÷2=2017，因此小数点后第 2017 位数字是 1。 20．解： （1）例如 4−π。因为 3＜π＜4，所以 0＜4−π＜1；并且 π+(4−π)=4，是整数，故 4−π 与 π 互为“整数伙伴”。 （2）设 x+y=n，其中 n 为整数。若 y 是有理数，则 x=n−y 是两个有理数的差，也应为有理数，这与 x 是无理数矛盾。因此 y 一定是无理数。 汪老师编写 · 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $