精品解析：2026年山东省济南市中考数学试题

济南市2026年初中学业水平考试数学试题 满分150分，考试时间为120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5 mm黑色签字笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 的倒数是（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴的倒数是. 2. 如图是一个由数控车床制造的高精度零件，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定主视图的观察方向（正面），再分析该零件从正面观察得到的图形形状，匹配对应选项． 【详解】从正面看，顶部是一个三角形；中部是一个长方形；底部是一个长方形，且宽度比中部的长方形要窄．符合条件的只有B选项． 3. 在《城市综合发展指数报告（2025年）》中，济南位列宜居城市第二名，吸引了大量游客前来旅游．据统计，2026年5月1日当天，济南市某景点接待游客约183000人．数据183000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：数据183000用科学记数法表示为． 4. 下列地铁标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故符合题意； B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A．，选项运算正确； B．，选项运算错误； C．，选项运算错误； D．与不是同类项，不能合并，选项运算错误． 6. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的情况确定其判别式，即可求解． 【详解】解：∵ 方程有实数根， ∴ ， 即，解得． 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因为两个分式分母相同，所以直接根据同分母分式减法法则，将分子相减、分母保持不变．对合并后的分子进行因式分解，用完全平方公式处理分子的多项式．因为分子分母存在公因式，所以约分化为最简分式． 【详解】解：． 8. 经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，恰好有一人直行，另一人右拐的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用树状图法或列表法求概率，画出树状图，然后即可求解． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果数，其中恰有一人直行，另一人右拐的结果数为2， 所以恰好有一人直行，另一人右拐的概率为： ． 9. 如图，在平面直角坐标系中，，是轴上的两点，是函数图像上一动点，连接，．则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点P的坐标为，利用两点间距离公式可得，再代入中整理成顶点式，最后根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵，是轴上的两点， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的最小值为36，即选项B符合题意． 10. 如图，为半圆的直径，为半圆上一点，连接，，，垂足为点．以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点；以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点．设，，，，，有下列结论：①；②；③若，则；④是二次函数的图象与轴的一个交点；⑤若为的中点，则．以上结论正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】由圆周角定理可得，由勾股定理可得，由相似三角形的性质可得，，，再结合代数运算，逐项分析即可得出结果． 【详解】解：∵为半圆的直径， ∴， 在中，由勾股定理得，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ①∵对于正数，，有，则， ∴，故①正确； ②∵，， ∴，， ∵， ∴，故②错误； ③∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由作图过程可得，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴，， ∴，故③正确； ④当时， ， ∵，且， ∴， ∴， ∴是二次函数的图象与轴的一个交点，故④正确； ⑤∵为的中点， ∴， 由作图可得， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∵， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有①③④⑤，共个． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 27的立方根是________． 【答案】3 【解析】 【分析】找到立方等于27的数即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴的立方根是． 12. 如果小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑砖上的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】它最终停留在黑砖上的概率是黑色区域的面积与总面积的比值，解答即可． 【详解】解：设每块小正方形的面积为1，则总面积为12，黑砖的面积为6， 故它最终停留在黑砖上的概率是． 13. 如图，菱形的边长为4，，以点为圆心，以的长为半径作弧，则图中阴影部分的面积是________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作于点E，求出，再根据阴影部分的面积等于菱形的面积减去扇形的面积即可． 【详解】解：过点D作于点E， ∴， ∴． 14. 某学校组织七、八年级的学生“徒步母亲河—黄河”活动，两个年级匀速步行前进，七年级比八年级早出发，七年级经过抵达目的地．两个年级之间的距离（单位：）和七年级出发后的时间（单位：）之间的关系如图所示．则八年级从出发到抵达目的地所用的时间是________． 【答案】 【解析】 【分析】从函数图象可求出七年级的速度，进而可求出总路程，再根据当时，七年级已到达终点，两个年级之间的距离，且八年级走了，可求出八年级的速度，最后即可求出八年级所需的时间． 【详解】解：根据图象可知，七年级的速度为：， 总路程为：， 当时，七年级已到达终点，两个年级之间的距离， 且八年级走了， 则八年级的速度为：， 则八年级从出发到抵达目的地所用的时间是：． 15. 如图，平行四边形纸片中，，，，是上一点，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，点落在点处，折痕交于点，与交于点．若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】点M作，交的延长线于点K，设，则，根据勾股定理，求得，；继而就可以确定；过点E作于点H，证明，继而得到，解答即可． 【详解】解：如图，过点M作，交的延长线于点K，根据折叠的性质，得， 由平行四边形纸片中，，，， ，，， ， 设，则， ，， ， ， ， 根据勾股定理，得， 解得， ∴； ，， ， ； 过点E作于点H， ，，， 由平行四边形纸片中，， 则， 根据折叠的性质，得， ， ， ， ， ， ， 解得， ． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】计算三角函数，负整数幂，零指数幂，二次根式，绝对值，最后合并计算即可． 【详解】解： ． 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为，0，1，2 【解析】 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集是， 整数解为，0，1，2． 18. 已知：如图，，是平行四边形对角线上的两点，且．求证：． 【答案】证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ，即． 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质得到，，利用两直线平行内错角相等得到，利用证明，利用全等的性质得到，最后利用等量关系证得． 【详解】略 19. 小明学习了直角三角形的边角关系一章后，发现体质健康测试中坐位体前屈项目的成绩可以利用所学的知识进行估算．估算前，需要借助AI工具测量三条线段（手臂、上半身、腿近似看成线段）的长度以及两个角（手臂与上半身、上半身与腿的夹角）的度数．小明帮甲、乙两位同学测量相关数据，并绘制成如下表格，请根据下表提供的信息完成相关任务． 动作图片 任务和示意图 相关条件 （1）计算甲同学的成绩（线段的长度） ， ， ， ， ， （2）计算乙同学的成绩（线段的长度） ， ， ， ， ， ， （结果精确到，参考数据：，，；，） （1）计算甲同学的成绩 （2）计算乙同学的成绩 【答案】（1）甲同学的成绩是 （2）乙同学的成绩是 【解析】 【分析】（1）过点作，在中，根据三角函数的定义求出，再证，则可得，再证四边形是矩形，则可得，进而可得，即可得解． （2）过点作，垂足为点，交的延长线于点．在中，根据三角函数的定义求得．再证明四边形是矩形，则，．在中，根据三角函数的定义求得，由即可得解． 【小问1详解】 解：如图，过点作，垂足为点，则， 在中，，， ． ，， ， ， ． 又，即， 四边形是矩形， ， ． 答：甲同学的成绩是． 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为点，交的延长线于点， 在中，， ，， ． 又，则， 四边形是矩形，则，． 在中，，则． 又， ． 在中，， ，， ， ． 答：乙同学的成绩是． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，以及三角函数的定义．将不规则图形分割成规则图形是解题的关键． 20. 如图，是的直径，直线与相切于点，，垂足为点，交于点，连接，交弦于点． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， 直线与相切于点， ． ， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2） 【解析】 【分析】（1）利用切线性质得到，结合推出，由两直线平行内错角相等以及等边对等角即可证出平分； （2）过点作，先由两直线平行同位角相等得到，利用余弦定义表示出、的长度，再利用证明，得到；最后由两角对应相等得出，列出对应边成比例的关系式，约去半径即可求出长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为点，设的半径为， ， ， ， ， 在中，， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 21. 某校组织七年级学生进行济南特色文化相关知识测评（百分制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，数据分为五组： A：；B：；C：；D：；E：． 下面给出了部分信息： a．C组的数据：70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，77，77，77，78，79，79． b．不完整的学生成绩频数直方图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）求随机抽取的学生人数； （2）扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为_________度； （3）请补全频数直方图； （4）抽取的学生成绩的中位数是_________分； （5）该校七年级共600人参与了此次测评，请你估计该校七年级参与此次测评成绩达到80分及以上的学生人数． 【答案】（1）50人 （2）28.8 （3）如图所示即为所作 （4）79 （5）288人 【解析】 【分析】（1）求抽取总人数：因为已知B组占比为，且频数直方图中B组频数为6，所以用B组频数除以对应占比即可得到总抽取人数． （2）求A组对应圆心角：先计算A组人数占总人数的比例，再用该比例乘以得到圆心角度数． （3）补全频数直方图：先根据已知的A、B、C、E组人数，用总人数减去这四组人数得到D组的频数，再对应画出D组的直方条． （4）求中位数：先将所有成绩按从小到大排序，因为总人数为偶数，所以取中间两个数的平均数作为中位数． （5）估计80分及以上人数：先计算抽取样本中80分及以上人数的占比，再用该占比乘以七年级总人数600即可． 【小问1详解】 解：（人）， 答：随机抽取的学生人数为50人． 【小问2详解】 解：A组圆心角为 ． 【小问3详解】 解：D组频数： ． 在直方图中，对应“”的区间，绘制高度为10的长方形即可完成补全． 【小问4详解】 解：总共有50个数据，中位数是将成绩从小到大排序后，第25、26个数据的平均数． 累计各组频数：A组4人、B组6人、C组16人， 前3组累计共26人，说明第25、26个数据都在C组的末尾，分别是79和79， ∴中位数为 （分）． 【小问5详解】 解：（人） 答：估计该校七年级参与此次测评成绩达到80分及以上的学生人数有288人． 22. 为改善学生视力状况，某学校将课间时间延长至15分钟，倡导学生主动放松眼睛，还准备购买甲、乙两种型号的视力训练仪．已知购买2台甲型视力训练仪和3台乙型视力训练仪共需花费850元，购买3台甲型视力训练仪和4台乙型视力训练仪共需花费1200元． （1）求甲、乙两种型号视力训练仪的单价分别是多少元？ （2）学校准备购买甲、乙两种型号的视力训练仪共60台，购买甲型视力训练仪的数量不少于乙型视力训练仪数量的2倍，且商家给出了甲型视力训练仪打九折的优惠，请问购买甲型号的视力训练仪多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】（1）甲型视力训练仪的单价为200元，乙型视力训练仪的单价为150元 （2）购买甲型视力训练仪40台时花费最少，最少花费为10200元 【解析】 【分析】（1）设甲型视力训练仪的单价为元，乙型视力训练仪的单价为元，根据题意列出方程组计算即可； （2）设购买甲型视力训练仪台，根据题意列出不等式组，求出m的取值范围，再根据总价=单价×数量，结合折扣情况列出一次函数，根据一次函数的性质解题即可． 【小问1详解】 解：设甲型视力训练仪的单价为元，乙型视力训练仪的单价为元， 根据题意，得， 解得， 所以甲型视力训练仪的单价为200元，乙型视力训练仪的单价为150元； 【小问2详解】 设购买甲型视力训练仪台，则购买乙型视力训练仪台，购买甲型和乙型视力训练仪共花费元， 根据题意，得， 解得， ， ， ， ， ， 的值随值的增大而增大， 当时，取得最小值， 此时（元）， 所以购买甲型视力训练仪40台时花费最少，最少花费为10200元． 23. 在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，点的坐标为．反比例函数的图象经过的中点，与交于点． （1）求的值； （2）点是图象上一点． ①如图1，若点在矩形的内部，轴，垂足为点，连接，，若的面积为2，求点的坐标； ②如图2，作直线，连接，在上方作，过点作的垂线，交于点，当点落在直线上时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）①点的坐标为；②点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数综合（矩形性质、三角形面积、一次函数解析式、相似三角形判定与性质、坐标变换），解题的关键是利用中点求出点坐标确定反比例函数参数；借助铅垂高建立面积方程求解动点坐标；利用等角条件得到正切值相等构造相似三角形完成坐标转化，最后代入反比例函数列方程求解． （1）先根据矩形以及中点性质求出点D坐标，代入反比例函数解析式求得k的值； （2）①设出动点P坐标，确定铅垂高，由三角形面积公式列方程求解； ②先求出直线解析式，设点M坐标，由得到正切比值，证明，利用相似得到点P关于n的坐标表达式，再代入反比例函数解方程求出参数，舍去不合理解，得到点P坐标． 【小问1详解】 解：四边形是矩形，点的坐标为，点为的中点， 点的坐标为， 将点代入反比例函数，得， 反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：①设点的坐标为，轴，点在矩形的内部，在上， 则，边上的高为， ， ． 点的坐标为． ②如图，过点作轴，垂足为点，过点作轴，垂足为点． 设直线的表达式为， 将，代入，得，解得， 直线的表达式为． 由题意，设点的坐标为，， 则，． ， ，即． ，， ． 又， ， ， ，， 点的坐标为． 是反比例函数图象上一点， ， 解得（舍去），， 将代入， 得点的坐标为． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点右侧），点的坐标为，与轴交于点． （1）若点在该抛物线上． ①求该抛物线的表达式及点的坐标； ②如图，连接，为线段上一点，连接并延长，交抛物线于点，为第四象限内抛物线上一点，且点到轴的距离为，以，为边作平行四边形，若的面积为，求平行四边形面积的最大值； （2）作直线，是直线上一点，若使的点恰有两个，求的取值范围． 【答案】（1）①，点的坐标是；②平行四边形面积的最大值为 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合题（待定系数法求解析式、平行四边形面积最值、定角存在性问题），解题的关键是熟练运用待定系数法、坐标法求图形面积、构造辅助圆解决定角问题． （1）①利用已知点坐标代入解析式，解方程组求出函数表达式，再令解方程求出点B坐标；②由三角形面积关系证得，求出直线的解析式，联立抛物线方程求出点F坐标，设动点E坐标，以铅垂高法表示三角形面积，再由平行四边形面积是对应三角形面积的2倍，配方求最值； （2）由A点坐标得到b、c的关系式，构造以为斜边的等腰直角三角形对应的辅助圆，利用直线与圆的交点个数，求出参数的取值范围． 【小问1详解】 解：①抛物线与轴交于，点在该抛物线上， ，解得， 抛物线的表达式是， 令，即， 解得，， 点的坐标是． ②如图，连接，，过点作轴，交于点． 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 又点到轴的距离为， 又， ， ． 设直线的表达式为， 将，代入，得，解得， 直线的表达式为． ，可设直线的表达式为，将代入，得， 直线的表达式为． 联立，得， 解得，， 点的坐标为． 设点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 当时，取得最大值，最大值为， 平行四边形面积的最大值为． 【小问2详解】 解：抛物线与轴交于， 即， ， 令，得（舍去），， 点的坐标为，， 当时，，即点的坐标为， 可得直线的表达式为． 如图，以为斜边作等腰直角和等腰直角， 分别以，为圆心，以和的长为半径作，，与坐标轴的交点分别为，，，． 圆心角， 当点在优弧和优弧上（异于，）时，圆周角， 当直线与优弧和优弧共有两个交点（异于，）时，使的点恰有两个． ，， 当直线与相交时，符合题意． 直线过点或时恰好与相切， 将代入直线的表达式，得， 将代入直线的表达式，得， 的取值范围是或． ， 的取值范围是或． 25. 矩形中，，为对角线的中点，为边上一点，连接，过点作的垂线，交于点，连接． （1）如图1，当时，请完成填空：与的数量关系为____________________；用等式表示线段，，的数量关系为_________________； （2）如图2，当时， ①写出与的数量关系，并证明； ②用等式表示线段，，的数量关系，并证明； （3）如图3，当，时，连接，过点作，垂足为点，为上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，当平分时，求的最小值． 【答案】（1）； （2）①， 证明如下： 如图，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ，， ， 又∵点为中点，即， ，即为的中点，为的中位线， ， 同理可得：， ， ∵四边形为矩形， ∴ 又∵，， ∴四边形为矩形，即， ，， （当时，，） ， 又， ， ，即． ②， 证明如下： 如图，延长，交于点，连接， 四边形是矩形， ， ， 又，， ， ，， ，即垂直平分， ， ∵在中，由勾股定理得， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）过点作，，连接，证明即可得出；证明得出，，再在中，利用，即可得出； （2）①过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，先由三角形中位线性质得出，再证明，即可得出，即；②延长，交于点，连接，由得出，，进而得出，在中，由勾股定理得，通过等量代换即可得出； （3）当点与点重合时，点落在点的位置，连接，，证明，可得出点在过点并且垂直于的射线上运动，当点与点重合时，点落在点的位置，所以点的轨迹是线段，作关于的对称点，连接，过点作，交的延长线于点，所以当，，三点共线时，取最小值，即为的长度，求出的长度即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作，，连接， ∵， ∴，即此时矩形是正方形， 又∵为对角线的中点， ∴，， 又∵，， ∴为中点，为中点， ∴，， ∴， ∵，，矩形是正方形， ∴， ∵， ∴，， （当时，，） ∴， 在与中 ∴， ∴； ∵，， ∴，， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵在中，， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 由题意得，，，，． 平分，，， ，， 又∵， ∴， 设，． 在中，由勾股定理得，解得， 由（2）得：， ∴， ， ， 当点与点重合时，点落在点的位置， 此时，， ，， 连接，， ∵，， ，，， （当时，） 即． ， ， ， 点在过点并且垂直于的射线上运动，即， ∴， 当点与点重合时，点落在点的位置， 点的轨迹是线段， 作关于的对称点，连接，过点作，交的延长线于点， ∴，，， ∴当，，三点共线时，取最小值， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南市2026年初中学业水平考试数学试题 满分150分，考试时间为120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5 mm黑色签字笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 的倒数是（ ） A. 7 B. C. D. 2. 如图是一个由数控车床制造的高精度零件，其主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 在《城市综合发展指数报告（2025年）》中，济南位列宜居城市第二名，吸引了大量游客前来旅游．据统计，2026年5月1日当天，济南市某景点接待游客约183000人．数据183000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列地铁标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，恰好有一人直行，另一人右拐的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，，是轴上的两点，是函数图像上一动点，连接，．则的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，为半圆的直径，为半圆上一点，连接，，，垂足为点．以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点；以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点．设，，，，，有下列结论：①；②；③若，则；④是二次函数的图象与轴的一个交点；⑤若为的中点，则．以上结论正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 27的立方根是________． 12. 如果小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑砖上的概率是________． 13. 如图，菱形的边长为4，，以点为圆心，以的长为半径作弧，则图中阴影部分的面积是________（结果保留）． 14. 某学校组织七、八年级的学生“徒步母亲河—黄河”活动，两个年级匀速步行前进，七年级比八年级早出发，七年级经过抵达目的地．两个年级之间的距离（单位：）和七年级出发后的时间（单位：）之间的关系如图所示．则八年级从出发到抵达目的地所用的时间是________． 15. 如图，平行四边形纸片中，，，，是上一点，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，点落在点处，折痕交于点，与交于点．若，则________． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 18. 已知：如图，，是平行四边形对角线上的两点，且．求证：． 19. 小明学习了直角三角形的边角关系一章后，发现体质健康测试中坐位体前屈项目的成绩可以利用所学的知识进行估算．估算前，需要借助AI工具测量三条线段（手臂、上半身、腿近似看成线段）的长度以及两个角（手臂与上半身、上半身与腿的夹角）的度数．小明帮甲、乙两位同学测量相关数据，并绘制成如下表格，请根据下表提供的信息完成相关任务． 动作图片 任务和示意图 相关条件 （1）计算甲同学的成绩（线段的长度） ， ， ， ， ， （2）计算乙同学的成绩（线段的长度） ， ， ， ， ， ， （结果精确到，参考数据：，，；，） （1）计算甲同学的成绩 （2）计算乙同学的成绩 20. 如图，是的直径，直线与相切于点，，垂足为点，交于点，连接，交弦于点． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 21. 某校组织七年级学生进行济南特色文化相关知识测评（百分制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，数据分为五组： A：；B：；C：；D：；E：． 下面给出了部分信息： a．C组的数据：70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，77，77，77，78，79，79． b．不完整的学生成绩频数直方图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： （1）求随机抽取的学生人数； （2）扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为_________度； （3）请补全频数直方图； （4）抽取的学生成绩的中位数是_________分； （5）该校七年级共600人参与了此次测评，请你估计该校七年级参与此次测评成绩达到80分及以上的学生人数． 22. 为改善学生视力状况，某学校将课间时间延长至15分钟，倡导学生主动放松眼睛，还准备购买甲、乙两种型号的视力训练仪．已知购买2台甲型视力训练仪和3台乙型视力训练仪共需花费850元，购买3台甲型视力训练仪和4台乙型视力训练仪共需花费1200元． （1）求甲、乙两种型号视力训练仪的单价分别是多少元？ （2）学校准备购买甲、乙两种型号的视力训练仪共60台，购买甲型视力训练仪的数量不少于乙型视力训练仪数量的2倍，且商家给出了甲型视力训练仪打九折的优惠，请问购买甲型号的视力训练仪多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 23. 在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，点的坐标为．反比例函数的图象经过的中点，与交于点． （1）求的值； （2）点是图象上一点． ①如图1，若点在矩形的内部，轴，垂足为点，连接，，若的面积为2，求点的坐标； ②如图2，作直线，连接，在上方作，过点作的垂线，交于点，当点落在直线上时，求点的坐标． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点右侧），点的坐标为，与轴交于点． （1）若点在该抛物线上． ①求该抛物线的表达式及点的坐标； ②如图，连接，为线段上一点，连接并延长，交抛物线于点，为第四象限内抛物线上一点，且点到轴的距离为，以，为边作平行四边形，若的面积为，求平行四边形面积的最大值； （2）作直线，是直线上一点，若使的点恰有两个，求的取值范围． 25. 矩形中，，为对角线的中点，为边上一点，连接，过点作的垂线，交于点，连接． （1）如图1，当时，请完成填空：与的数量关系为____________________；用等式表示线段，，的数量关系为_________________； （2）如图2，当时， ①写出与的数量关系，并证明； ②用等式表示线段，，的数量关系，并证明； （3）如图3，当，时，连接，过点作，垂足为点，为上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，当平分时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $