1.2 集合间的基本关系 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦集合间的基本关系，涵盖子集、真子集、集合相等及空集的概念与符号表示，通过复习元素与集合的属于关系，类比实数大小关系引出集合间关系，搭建前后知识的学习支架。 此资料以问题引导与类比探究为特色，借助Venn图直观呈现包含关系培养几何直观（数学眼光），通过有序写子集、双向判定集合相等发展推理意识（数学思维），符号规范与易错辨析提升数学语言表达。如例1按元素个数有序写子集，例3用Venn图示意关系，助力学生区分易混符号，教师教学重点突出、难点突破，提升课堂效率。

人教A版 1.2 集合间的基本关系 教学设计-2026-2027学年 必修第一册 数学 高一 一、教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 课题 集合间的基本关系 教材 人教A版 必修第一册 章节 第一章 1.2 课型 新授课 课时 1课时 授课对象 高一学生 教材分析 本节在集合语言基础上研究集合间的包含与相等关系，是后续集合运算与函数定义域学习的基础 学情分析 学生已掌握集合与元素的概念，但对集合间关系的符号体系尚属首次接触，易将 与 混淆 教学方法 问题引导与类比探究相结合，借助Venn图直观呈现包含关系 教学手段 板书推演与Venn图图示配合使用 教学准备 教材、教案、直尺与彩色粉笔 作业布置 教材课后练习第1至3题，分层选做第4题。作业答案：第1题，子集为 ，，，，真子集为 ，，；第2题，（i）真，（ii）假；第3题，，Venn图将 的曲线画在 的曲线内部 二、教学目标 （1）理解子集、集合相等、真子集与空集的概念，掌握 、、 及 的符号写法与读法，能用Venn图表达集合间的包含关系。 （2）能区分元素与集合的属于关系 同集合与集合的包含关系 ，会按元素个数有序写出给定集合的全部子集与真子集，初步体会双向包含判定集合相等及传递性的推证方法。 三、教学内容 （1）子集：一般地，对于两个集合 ，，如果集合 中任意一个元素都是集合 中的元素，就称集合 为集合 的子集，记作 （或 ），读作" 包含于 "（或 " 包含 "）。在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，它可直观呈现集合间的包含关系。 （2）集合相等：一般地，如果集合 的任何一个元素都是集合 的元素，同时集合 的任何一个元素都是集合 的元素，那么集合 与集合 相等，记作 。也就是说，若 ，且 ，则 。 （3）真子集：如果集合 ，但存在元素 ，且 ，就称集合 是集合 的真子集，记作 （或 ），读作" 真包含于 "（或 " 真包含 "）。 （4）空集与重要结论：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为 ，并规定：空集是任何集合的子集。由集合之间的基本关系可得：任何一个集合是它本身的子集，即 ；对于集合 ，，，如果 ，且 ，那么 。 （5）易错辨析：包含关系 表达的是集合与集合之间的关系，而属于关系 表达的是元素与集合之间的关系，二者不可混用。 四、教学重点 （1）重点：子集、真子集、空集的概念与符号表示，集合相等的双向包含判定方法，以及用Venn图形象表示集合间的包含关系。 （2）难点：元素与集合的属于关系 同集合与集合的包含关系 的区别，空集是任何集合的子集这一规定的理解，以及含参数集合关系中端点值的取舍讨论。 五、教学过程 （1）复习引入。教师引导学生回顾上节课所学内容：集合是描述研究对象的语言，元素与集合之间用属于关系 联结。教师追问：实数之间有大小关系，那么集合与集合之间是否也存在类似的关系？学生联想实数大小关系的类比，初步感知需要引入一种新的关系来刻画集合间的包含现象。设计意图是从已知的元素与集合关系过渡到集合与集合关系，为子集概念的引出做铺垫。 （2）概念建构——子集。教师给出具体实例：设 ，，提问集合 的每一个元素是否都是集合 的元素。学生观察后发现确实如此。教师据此给出子集定义：一般地，对于两个集合 ，，如果集合 中任意一个元素都是集合 中的元素，就称集合 为集合 的子集，记作 （或 ），读作" 包含于 "（或 " 包含 "。教师随后介绍Venn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。教师画出表示 的Venn图，将集合 的封闭曲线画在集合 的封闭曲线内部，帮助学生建立直观印象。 （3）概念建构——集合相等与真子集。教师提问：如果 同时 ，这两个集合是什么关系？学生思考后回答两个集合元素完全一样。教师给出集合相等定义：一般地，如果集合 的任何一个元素都是集合 的元素，同时集合 的任何一个元素都是集合 的元素，那么集合 与集合 相等，记作 。也就是说，若 ，且 ，则 。紧接着教师追问：在 的前提下，如果 中存在不属于 的元素，关系如何刻画？由此引出真子集定义：如果集合 ，但存在元素 ，且 ，就称集合 是集合 的真子集，记作 （或 ），读作" 真包含于 "（或 " 真包含 "。 （4）概念建构——空集与重要结论。教师提问：是否存在不含任何元素的集合？学生举例如方程 在实数范围内无解，其解集不含任何元素。教师给出空集定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为 ，并规定：空集是任何集合的子集。随后教师引导学生归纳重要结论：任何一个集合是它本身的子集，即 ；对于集合 ，，，如果 ，且 ，那么 。教师特别提醒：包含关系 与属于关系 的区别在于，前者是集合与集合的关系，后者是元素与集合的关系，不可混用。 （5）例题精讲。 例1 写出集合 的所有子集和真子集。 解：按元素个数从少到多有序写出。不含元素的子集为 ；含一个元素的子集为 ，；含两个元素的子集为 。因此集合 的所有子集为 ，，，。在子集中去掉集合 本身，得到所有真子集为 ，，。答案：子集为 ，，，；真子集为 ，，。 例2 判断下列各命题的真假：（i）；（ii）空集没有子集。 解：对于（i），空集是任何集合的子集，因此 成立，命题为真。对于（ii），空集是任何集合的子集，而空集本身也是集合，所以空集是空集本身的子集，即空集有子集，该命题为假。答案：（i）真；（ii）假。 例3 已知集合 ，，判断集合 与集合 的关系，并用Venn图示意。 解：集合 表示从 到 的所有实数，集合 表示从 到 的所有实数。由于 且 ，所以 中任意一个元素都是 中的元素，且 中存在不属于 的元素（例如 ），因此 。Venn图用两个封闭曲线表示，集合 的曲线画在集合 的曲线内部。答案：。 （6）巩固练习。 练习1 写出集合 的所有子集。解：按元素个数从少到多有序写出。不含元素的子集为 ；含一个元素的子集为 ，，；含两个元素的子集为 ，，；含三个元素的子集为 。答案：，，，，，，，。 练习2 判断下列关系是否正确：（i）；（ii）。解：对于（i）， 是集合， 也是集合，集合与集合之间应用包含关系 而非属于关系 ，因此（i）错误。对于（ii）， 的元素 是 的元素，所以 成立，（ii）正确。答案：（i）错误；（ii）正确。 练习3 已知集合 ，，判断 与 的关系。解：由于 时必有 ，所以 中任意一个元素都是 中的元素，且 中存在不属于 的元素（例如 ），因此 。答案：。 （7）课堂小结。教师引导学生回顾本节课所学的四个核心概念：子集记作 ，集合相等的双向包含判定即若 且 则 ，真子集记作 ，空集 是任何集合的子集。教师强调写子集时按元素个数从少到多有序写出， 和自身不可遗漏。教师最后提醒区分 与 。 （8）作业布置。必做题：教材课后练习第1题写出指定集合的所有子集与真子集，第2题判断给定集合关系的正确性，第3题用Venn图表示集合间的包含关系。选做题：教材课后练习第4题，探讨含参数集合关系中端点值的取舍问题。 学科网（北京）股份有限公司 $