1.2 集合间的基本关系教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“集合间的基本关系”核心知识点，通过两组具体集合实例（如A={1,2,3}与B={1,2,3,4,5}）引导学生观察元素构成关系，衔接已学的集合概念与元素属于关系，搭建从具体到抽象的学习支架，逐步引出子集、真子集等概念。 这份资料以“数学眼光”借助Venn图直观展示集合包含关系，用“数学思维”在含参集合讨论（如例2中B⊆A的空集与端点分析）中培养逻辑推理，通过“数学语言”强化符号辨析（如区分∈与⊆）。特色教学方法助力学生发展抽象能力与理性思维，为教师提供清晰的概念建构路径和实例支撑。

教学设计-2026-2027学年 必修第一册 人教A版 高一 1.2 集合间的基本关系 数学 一、课型 课题 1.2 集合间的基本关系 课型 新授课 课时 1 二、学习目标 1. 理解集合之间包含与相等的含义，能准确识别给定集合间的子集与真子集关系，并正确使用符号⊆、⫋、=进行表示。 2. 了解空集的含义与规定，能借助Venn图直观表达集合间的包含关系，掌握集合包含关系的传递性及集合与自身的包含关系。 3. 能区分元素与集合的属于关系同集合与集合的包含关系，在含参集合关系讨论中做到不漏空集、准确取舍端点。 三、学情分析 学生已初步掌握集合的概念及元素与集合的属于关系，对列举法和描述法有了基本认识。然而，集合间的包含关系属于全新的代数结构关系，学生在符号认知上易将属于∈与包含于⊆混淆。此外，空集这一概念的抽象性及规定空集是任何集合子集的合理性，往往使学生难以迅速接受。在处理含参集合关系时，学生容易忽略空集情况，端点取舍也存在逻辑盲区。因此，教学应从具体实例入手，借助Venn图建立直观认知，再逐步过渡到符号化与形式化表达。 四、教学内容及教师活动设计 1. 导入环节。教师给出以下两组集合：A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5}；C={x|x是等边三角形}，D={x|x是等腰三角形}。要求学生观察每组中两个集合的元素构成关系。预设学生回答：集合A中的元素1、2、3都在集合B中；集合C中的元素都是等边三角形，必定也是等腰三角形，故都在集合D中。教师顺势引出：这两个例子共同反映了一个集合的所有元素都在另一个集合中，这正是本节课要研究的集合间的基本关系。 2. 概念建构。教师板书子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）。教师强调“任意一个”即全部元素均满足，并指出包含关系具有传递性：对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C。同时说明任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A。 3. Venn图与集合相等。教师介绍Venn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。教师绘制大椭圆内部包含小椭圆的图形，直观展示A⊆B。随后给出实例：E={x|(x−2)(x−3)=0}，F={2,3}。引导学生发现E中元素恰为2和3，F中元素也恰为2和3，两个集合元素完全一致。教师总结：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B。也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A=B。 4. 真子集与空集。教师提问：在A={1,2,3}与B={1,2,3,4,5}中，A⊆B，但B中是否存在不属于A的元素？预设学生回答：存在，如4和5。教师板书真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B（或B⫌A），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）。接着教师给出不含任何元素的集合实例：方程x²+1=0在实数范围内的解集。教师板书：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集。教师提醒：空集是任何非空集合的真子集。 5. 符号辨析。教师给出辨析练习：设A={1,2}，判断下列写法是否正确：①1⊆A；②{1}∈A；③{1}⊆A；④1∈A。师生共同分析：①错误，1是元素，与集合A之间应为属于关系；②错误，{1}是集合，与集合A之间应为包含关系；③正确，{1}的元素1在A中；④正确。教师强调：{a}⊆A是集合与集合的关系，a∈A是元素与集合的关系，二者不可混用。 6. 例题精讲。例1：写出集合M={a,b,c}的所有子集，并指出其真子集。教师引导学生按元素个数从少到多有序写出：零元子集∅；一元子集{a}、{b}、{c}；二元子集{a,b}、{a,c}、{b,c}；三元子集{a,b,c}。因此子集共8个，真子集为除{a,b,c}外的7个，即∅、{a}、{b}、{c}、{a,b}、{a,c}、{b,c}。教师总结：含有n个元素的集合共有2ⁿ个子集，(2ⁿ−1)个真子集，(2ⁿ−2)个非空真子集。 例2：已知集合A={x|1≤x≤3}，B={x|a−1≤x≤a+1}，若B⊆A，求实数a的取值范围。教师引导学生分析：B⊆A包含B=∅和B≠∅两种情况。当B=∅时，需a−1>a+1，即−1>1，无解，故此情况不成立。当B≠∅时，需满足端点条件：a−1≥1且a+1≤3。解得a≥2且a≤2，即a=2。所以实数a的取值范围为{2}。 7. 巩固练习。练习1：判断下列命题的真假：①空集没有子集；②任何一个集合至少有两个子集；③若A⫋B，则A⊆B。参考答案：①假，空集是自身的子集；②假，空集只有自身一个子集；③真，真子集首先是子集。练习2：设A={x|x²−3x+2=0}，B={1,2}，判断A与B的关系。参考答案：A={1,2}，故A=B。 五、板书设计 第一行：1.2 集合间的基本关系。一、子集：A⊆B；传递性：A⊆B且B⊆C⇒A⊆C；自身：A⊆A。二、集合相等：若A⊆B且B⊆A，则A=B。三、真子集：A⊆B且存在x∈B，x∉A⇒A⫋B。四、空集：不含任何元素的集合，∅⊆A。 第二行：例题区。例1：M={a,b,c}的子集按个数列举。例2：B⊆A含参讨论。辨析：{a}⊆A与a∈A的区别。 六、作业设计 1. 写出集合{p,q}的所有子集及真子集。参考答案：子集为∅、{p}、{q}、{p,q}；真子集为∅、{p}、{q}。 2. 设A={x|−2<x<5}，B={x|0≤x≤4}，判断B与A的关系，并用Venn图表示。参考答案：B⫋A，Venn图略，以大圈表示A、圈内小圈表示B。 3. 已知A={x|x²+x=0}，B={0,−1}，判断A与B的关系。参考答案：A={0,−1}，故A=B。 4. 设集合A={x|1≤x≤4}，B={x|m≤x≤m+2}，若B⊆A，求m的取值范围。参考答案：当B≠∅时，需m≥1且m+2≤4，解得1≤m≤2；当B=∅时m>m+2无解。故m的取值范围为{m|1≤m≤2}。 七、教学反思 本节课从具体实例切入，借助Venn图建立直观认知，再逐步抽象到符号化表达，整体路径较为顺畅。在子集与真子集概念的建构中，学生能较好地理解包含关系的本质。然而，在∈与⊆的辨析环节，部分学生仍存在符号混用现象，后续需加强专项对比练习。在例2含参讨论中，部分学生忽略了端点等号的取舍逻辑，反映出对数轴端点对应关系的理解尚不牢固，后续复习时应结合数轴图示强化端点验证意识。 学科网（北京）股份有限公司 $