专题一 一元二次方程的解法【（挑战压轴题）导图知识卡片+九大考点讲练+优选题训练 共42题】-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程的解法这一核心知识点，系统梳理直接开平方法、配方法及应用、因式分解法、公式法、换元法等九大题型，构建从基础解法到判别式应用、分式方程转化的学习支架，衔接知识脉络。 资料以思维导图整合知识体系，典例精讲结合变式训练，融入机车进货、梯子下滑等实际问题。通过分层题型培养运算能力与推理意识，用数学语言表达现实情境，课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固提升，查漏补缺。

2026-2027学年苏科版数学九年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题一 一元二次方程的解法 【思维导图+九大考点讲练+优选题训练 共42题〔原卷版〕】 目 录 题型一 解一元二次方程——直接开平方法 2 题型二 解一元二次方程——配方法 3 题型三 配方法的应用 4 题型四 因式分解法解一元二次方程 5 题型五 公式法解一元二次方程 5 题型六 换元法解一元二次方程 6 题型七 根据判别式判断一元二次方程根的情况 6 题型八 根据一元二次方程根的情况求参数 7 题型九 解分式方程(化为一元二次） 7 题型一 解一元二次方程——直接开平方法 【典例精讲】计算或解方程 (1)计算： (2)解方程： 【变式训练1】（2023·江苏徐州·模拟预测）已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25九年级上·全国·期末）解方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 题型二 解一元二次方程——配方法 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解方程： (1)． (2)． 【变式训练1】（26-27九年级上·全国·课堂例题）解方程：． 【变式训练2】（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）解方程： 题型三 配方法的应用 【典例精讲】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 【变式训练1】（25-26八年级下·山东济南·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，是“和谐数”，理由：因为，所以是“和谐数”． 【解决问题】 (1)判断是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”） 【探究问题】 (2)若可配方成（，为常数），则的值________． (3)已知（，是整数，是常数），要使为“和谐数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知实数，满足，当为多少时，能取得最小值，并求出最小值． 【变式训练2】求代数式的最大值． 题型四 因式分解法解一元二次方程 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解方程： (1)； (2)． 【变式训练1】解方程： (1) (2) 【变式训练2】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)已知是方程的一个解，求m的值． 题型五 公式法解一元二次方程 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程： (1)； (2)． 【变式训练1】用适当的方法解方程： (1) (2) 【变式训练2】如图，点A是反比例函数图象上一点，直线过点A且交x轴，y轴于点B，C，过点A作轴于点D，若，．则k的值为 _____． 题型六 换元法解一元二次方程 【典例精讲】已知，则方程的解集是_______； 【变式训练1】（25-26八年级下·北京·期末）解方程： (1)； (2)． 【变式训练2】（25-26九年级下·山东烟台·期末）已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 题型七 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例精讲】设二次方程有实数根，其中、都是素数，那么它的根一定是（     ） A．奇数 B．偶数 C．分数 D．无理数 【变式训练1】已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值． 【变式训练2】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2)如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值． 题型八 根据一元二次方程根的情况求参数 【典例精讲】（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，则的形状是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式训练1】（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26八年级下·山东烟台·期末）新运算：，例如：．若关于x的方程有两个不相等的实数根，解答下列各题： (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解此方程． 题型九 解分式方程(化为一元二次） 【典例精讲】（25-26八年级下·广东佛山·期末）年月举行的世界超级摩托车锦标赛（）葡萄牙站组别比赛中，中国品牌“张雪机车”斩获两连冠，掀起国内机车消费热潮．某代理商顺势购入一批该品牌机车，具体进货信息见下表： 型号 总费用 单价 数量 万元 每台型机车的进货价比型低万元 型机车数量是型的倍 万元 (1)两种机车的进货价分别是多少？ (2)市场热度远超预期，首批机车迅速售罄．该代理商再次花费万元，购进了若干辆上述两种型号的张雪机车．你能确定型机车购进多少台吗？说明理由． 【变式训练1】（2026·四川眉山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)将直线向下平移12个单位后交反比例函数的图象于，两点，交轴于点，连接，，求的面积． 【变式训练2】（2026·广东茂名·二模）对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）方程的根是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江台州·期末）若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河北张家口·期末）嘉琪在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 4．（25-26八年级下·山东烟台·期末）等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于的一元二次方程的两实根，则的值为（     ） A．12 B．16 C．2或4 D．12或16 5．（25-26八年级下·山东东营·期末）已知关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 6．（26-27九年级上·北京·开学考试）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 7．（2026·安徽蚌埠·三模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是______． 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知一元二次方程． （1）若方程的两个根恰好是等腰三角形的底边长和腰长，则的周长为_________． （2）若方程的两个根恰好是的两边长，则的面积为_________． 9．（25-26八年级下·浙江舟山·期末）小若利用欧几里得的一元二次方程图解法解方程的过程如下：将方程配方得，以和为两直角边作（如图），再在斜边及其延长线上截取，发现方程的解，．若，则的值为__________． 10．（25-26八年级下·山东泰安·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为____________________． 11．（26-27九年级上·北京·开学考试）解方程 (1) (2) 12．（23-24九年级上·河北邢台·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程不含的一次项，求的值和方程的解； (2)当时，求方程的解． 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）根据多项式乘法可知，从而我们可得利用十字相乘法进行因式分解的公式，比如：．据此回答下列问题： (1)将二次三项式分解因式； (2)解一元二次方程； (3)某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程．如：，方程左边分解为，从而可以快速求出方程的解． 请你利用此方法尝试解方程． 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）实践与探索：一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？ (1)请将解答过程补充完整： 解：设点B将向外移动x米，即，则，，．而，在中，由，得方程________，解方程得________，________．所以点B将向外移动________米． (2)探索： ①将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？ ②梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？ 15．（26-27九年级上·全国·课后作业）阅读下列解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：…① …② …③ 或…④ ，…⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤________（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null 2026-2027学年苏科版数学九年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题一 一元二次方程的解法 【思维导图+九大考点讲练+优选题训练 共42题〔解析版〕】 目 录 题型一 解一元二次方程——直接开平方法 2 题型二 解一元二次方程——配方法 5 题型三 配方法的应用 6 题型四 因式分解法解一元二次方程 9 题型五 公式法解一元二次方程 10 题型六 换元法解一元二次方程 13 题型七 根据判别式判断一元二次方程根的情况 15 题型八 根据一元二次方程根的情况求参数 18 题型九 解分式方程(化为一元二次） 19 题型一 解一元二次方程——直接开平方法 【典例精讲】计算或解方程 (1)计算： (2)解方程： 【答案】(1)6 (2)， 【分析】（1）先化简原式中的、，再根据平方差公式计算即可得答案. （2）把题目原方程常数项移项到右边，再利用直接开方法开方后得两个一元一次方程，分别解出即可得答案. 【详解】（1） （2） 移项得： 开平方得： ∴或 ∴， 【变式训练1】（2023·江苏徐州·模拟预测）已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用一元二次方程根的性质求出，再将代入新方程即可求解． 【详解】解：由题意，关于x的一元二次方程有解， 解方程得， ∵一元二次方程（）的解是，， ∴，， ∴， 将，代入原方程得， 对于方程， 整理得：， 代入得 ， 解得，． 【变式训练2】（24-25九年级上·全国·期末）解方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，灵活选择方法是解题的关键． （1）整理后，运用直接开平方法求解即可； （2）整理后，运用直接开平方法求解即可； （3）运用直接开平方法求解即可； （4）整理后，运用直接开平方法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得，； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得，； （3）解：， ∴， ∴或， 解得，； （4）解：， ∴， ∴或， 解得，． 题型二 解一元二次方程——配方法 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解： 移项，得． 配方，得， ． 由此可得， ，； （2）解： 移项，得． 配方，得， ． 由此可得， ，． 【变式训练1】（26-27九年级上·全国·课堂例题）解方程：． 【答案】， 【分析】通过移项、配方、两边开平方进行求解即可． 【详解】解：移项，得． 配方，得，即． 两边开平方，得， ，． 【变式训练2】（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）解方程： 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得． 题型三 配方法的应用 【典例精讲】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 【答案】(1) (2)常数的值为或 (3)最大值为 【分析】（1）把所求式子变形为，再仿照例题求解即可； （2）把多项式变形为，根据多项式的最小值为得到方程，解方程即可得到答案； （3）根据题意可推出，再仿照例题求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 的最小值是． （2）解： ， ， ， 关于的二次多项式的最小值为， 关于的二次多项式（为常数）有最小值为， ， ，即， 解得，， 常数的值为或； （3）解：， ， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为． 【变式训练1】（25-26八年级下·山东济南·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，是“和谐数”，理由：因为，所以是“和谐数”． 【解决问题】 (1)判断是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”） 【探究问题】 (2)若可配方成（，为常数），则的值________． (3)已知（，是整数，是常数），要使为“和谐数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知实数，满足，当为多少时，能取得最小值，并求出最小值． 【答案】(1)是 (2) (3)符合条件的一个k值为9，理由如下： 对M配方： ， 当时，， ∴， ∵，是整数， ∴和都是整数， ∴M是两个整数的平方和，即M为“和谐数”； (4)当时，的最小值为 【分析】（1）根据“和谐数”的定义，判断40能否写成两个整数的平方和即可； （2）利用配方法对代数式变形，对比得到，的值，即可计算； （3）对M进行配方，将其整理为两个平方和的形式，即可得到符合条件的k值； （4）先写出的表达式，再利用配方法结合非负数的性质，即可求出最小值． 【详解】（1）解：∵，且6，2都是整数， ∴40是“和谐数”； （2）解：， 对比得，， ∴； （3）解： 略 （4）解：， ∵对于任意实数x，都有， ∴当，即时，取得最小值，最小值为． 【变式训练2】求代数式的最大值． 【答案】 【分析】本题考查配方法的应用，通过配方将变形为，即可求解． 【详解】解：． 当时，有最大值，最大值是． 题型四 因式分解法解一元二次方程 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 ，； （2）解： 或 ，． 【变式训练1】解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 移项，得：， 配方，得： ， 即：， 开平方，得：， 解得：，； （2）解：， 移项，得：， 因式分解，得：， ∴或， 解得：，． 【变式训练2】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)已知是方程的一个解，求m的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）根据根的判别式求解即可； （2）将代入，求解关于的一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得：； （2）解：将代入得， 即， ∴， ∴或， 解得：． ∵均满足， ∴m的值是或． 题型五 公式法解一元二次方程 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先找出，，并判断的正负，再代入公式求解即可； （2）先找出，，并判断的正负，再代入公式求解即可． 【详解】（1）解：，，，且， ∴，即，． （2）解：∵，，，且， ，即，． 【变式训练1】用适当的方法解方程： (1) (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）先移项，再直接开方可得解； （2）先求出，再根据求根公式求出解． 【详解】（1）解：移项，得， 开方，得， 解得， ∴，； （2）解：， 由题意，得，，． ∵， ∴， ∴，． 【变式训练2】如图，点A是反比例函数图象上一点，直线过点A且交x轴，y轴于点B，C，过点A作轴于点D，若，．则k的值为 _____． 【答案】/ 【分析】设，求出，，，由得，由得，化简后得，即可解答． 【详解】解：设，由图可知， ∴， ∵轴于点D， ∴，， ∵直线过点A， ∴，即， 将代入得，， 解得, ∴，即， 将代入得，， ∴，即， 由图可知，B在x轴负半轴，C在y轴负半轴， ∴，， ∵，B在x轴负半轴， ∴， 整理得，即， ∴，， ∵， ∴，即，得， ∵ ∴ ∴ ，即， 将代入 得 解得 ∵， ∴． 题型六 换元法解一元二次方程 【典例精讲】已知，则方程的解集是_______； 【答案】 【分析】利用换元法将原方程转化为整式方程，整理后换元求解，结合的范围舍去增根，检验后得到原方程的解集． 【详解】设，由得， 原方程可化为， 因为，方程两边均为正数，两边同时平方得：展开整理得：， 因为，方程两边同时除以得：整理得： ， 由，令，代入得：整理得一元二次方程， 解得或， 因为 ，所以，舍去，得即， 两边同乘得， 解得，由， 得检验：将代入原方程，左边，右边，左边等于右边， 是原方程的解． 【变式训练1】（25-26八年级下·北京·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程无实数根 (2)， 【分析】（1）求得判别式，进而可得原方程无解； （2）设，则解方程，得到t值，再解关于x的一元二次方程即可． 【详解】（1）解：对于方程，，，， ∴， ∴原方程无实数根； （2）解：设，则原方程化为，即， 解得，， 当时，，即， ∵， ∴此方程无实数根； 当时，，即， ， ∴， ∴，． 【变式训练2】（25-26九年级下·山东烟台·期末）已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 【答案】，/， 【分析】利用换元思路，将所求方程整理为与原方程形式相同的一元二次方程，根据原方程的根得到对应关系式，即可求解． 【详解】解：将所求方程移项变形得 ， ∵一元二次方程的两根分别为，， ∴可得或， 解得，， ∴一元二次方程的两根分别为，． 题型七 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例精讲】设二次方程有实数根，其中、都是素数，那么它的根一定是（     ） A．奇数 B．偶数 C．分数 D．无理数 【答案】D 【分析】先利用一元二次方程根的判别式得到p和q的关系，结合p、q均为素数的性质，推导得到根的属性． 【详解】∵一元二次方程有实数根， ∴，即， ， ∵均为素数，素数中唯一的偶数是2，其余均为奇数， 当均为奇素数时， 为奇数，且不可能是完全平方数， 一定是无理数， 当，为奇素数时，即， ， 不存在这相的奇素数， 当，为奇素数时，即， ， 设（k为非负整数），即， 均为非负整数， 或， 解得或，均不符， 不可能是完全平方数， 一定是无理数， 当且仅当时，， 综上所述，原方程的根一定是无理数． 【变式训练1】已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值． 【答案】(1)证明：，，， ， ∴方程总有两个实数根． (2)或或 【分析】（1）先计算判别式的值，然后根据平方的非负性判断方程总有两个实数根； （2）利用公式法求出，，再根据方程的两个实数根都是整数，即可求出正整数的值． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得：， ∴， ∴，， ∵方程的两个实数根都是整数， ∴为整数， 为正整数， ∴为4的正约数， 或或． 【变式训练2】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2)如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值． 【答案】(1)证明： ∵ = ∴无论k取何值， 方程都有两个不相等的实数根． (2)整数k的所有可能的值为，，，，，. 【分析】（1）计算判别式的值，然后根据判别式的意义得到结论； （2）先利用因式分解法得出方程的两个根，再结合k与都为整数，得出k的值. 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∴或， ∴，或，， 当，时， ∵k与都为整数， ∴为整数，则或或或， 当，时， ， ∵k与都为整数， ∴为整数，则或． ∴整数k的所有可能的值为，，，，，. 题型八 根据一元二次方程根的情况求参数 【典例精讲】（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，则的形状是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的判别式可得一个关于的等式，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， ∴， ∴， 又∵与不一定相等， ∴是直角三角形，不一定是等腰直角三角形． 【变式训练1】（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得判别式为正数，得关于m的一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：将原方程整理为一般形式，得， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【变式训练2】（25-26八年级下·山东烟台·期末）新运算：，例如：．若关于x的方程有两个不相等的实数根，解答下列各题： (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解此方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据新定义将方程化成一般式，再根据根的判别式列不等式求解即可； （2）先将原方程化成再利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程整理为：，即，     ∵此方程有两个不相等的实数根， ，解得：， 的取值范围为． （2）解：当时，方程整理为：，即， ， ， ， ． 题型九 解分式方程(化为一元二次） 【典例精讲】（25-26八年级下·广东佛山·期末）年月举行的世界超级摩托车锦标赛（）葡萄牙站组别比赛中，中国品牌“张雪机车”斩获两连冠，掀起国内机车消费热潮．某代理商顺势购入一批该品牌机车，具体进货信息见下表： 型号 总费用 单价 数量 万元 每台型机车的进货价比型低万元 型机车数量是型的倍 万元 (1)两种机车的进货价分别是多少？ (2)市场热度远超预期，首批机车迅速售罄．该代理商再次花费万元，购进了若干辆上述两种型号的张雪机车．你能确定型机车购进多少台吗？说明理由． 【答案】(1) 型机车进货价为万元/台，型机车进货价为万元/台 (2) 解：能确定，理由如下： 设购进型机车台，型机车台，其中均为非负整数， 由题意可得：， ∴， ∵均为非负整数， ∴； 故能确定型机车购进台. 【分析】 （1）设出未知数，根据两种型号机车的数量关系列分式方程求解，检验根的有效性即可得到结果； （2）设出两种型号的进货台数，根据总费用列出二元一次方程，结合台数为非负整数的限制，即可求出唯一符合条件的解. 【详解】（1）解：设型机车的进货价为万元/台，则型机车的进货价为万元/台， 由题意可得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意； ， 答：型机车进货价为万元/台，型机车进货价为万元/台； （2）略 【变式训练1】（2026·四川眉山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)将直线向下平移12个单位后交反比例函数的图象于，两点，交轴于点，连接，，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)24 【分析】（1）根据题目所给信息设解析式代入求解即可； （2）结合图像与不等式的几何意义判断即可； （3）先求出移动后直线解析式，设与轴交于点，与轴交于点，再分别求出点，，、，然后利用求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过，两点， ∴，， ∴，， ∴，， 将，代入一次函数，可得： ， 解得， ∴一次函数的表达式为． （2）解：∵不等式的几何意义是：一次函数图象在反比例函数图象上方（或重合）的范围， ∴不等式的解集是一次函数图象在反比例函数图象上方（或重合）的范围， ∵反比例函数的自变量取值范围为， 当时， ∵反比例函数的图象与一次函数的图像交于， ∴当时，根据图像一次函数图象在反比例函数图象上方， 当时， ∵反比例函数的图象与一次函数的图像交于， ∴当时，根据图像一次函数图象在反比例函数图象上方， 综上，不等式的解集为或． （3）解：∵直线向下平移12个单位后交反比例函数的图象于，两点，且直线所在一次函数的表达式为， ∴直线所在一次函数的表达式为， 如图，设与轴交于点，与轴交于点， ∴将代入得， 解得， ∴， 将代入得， 解得， ∴， ∴， ∵直线交轴于点， ∴将代入， ∴， 联立平移后直线与反比例函数，得：， ∴，即， 解得或， ∵点在第一象限， ∴，， ∴， ∵直线平移得到直线，直线和直线平行， ∴． 【变式训练2】（2026·广东茂名·二模）对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 【答案】或 【分析】根据新定义运算得到关于的分式方程，去分母转化为一元二次方程求解，检验后得到的值，进行解答，即可． 【详解】解：由题意得， 方程两边同乘最简公分母，得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得，， 经检验，当和时，且，均为原方程的解． 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）方程的根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后提取公因式，用因式分解法求解． 【详解】解：移项，得， 提取公因式，得， 或， 解得． 2．（25-26八年级下·浙江台州·期末）若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解两个一元二次方程，利用两个方程解相同的条件，计算与的和，得到二者的数量关系． 【详解】解：对于方程， ， 对于方程， 变形得 ， 直接开方得 ， 整理得 ， 两个方程的解相同， ， 即． 3．（25-26八年级下·河北张家口·期末）嘉琪在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设丢掉的常数项为，利用一元二次方程根的判别式得到的取值范围，找出选项中符合条件的最大值即可． 【详解】解：设丢掉的常数项为，则原方程为， ∵这个一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解得， 结合选项可知，符合条件的最大值为． 4．（25-26八年级下·山东烟台·期末）等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于的一元二次方程的两实根，则的值为（     ） A．12 B．16 C．2或4 D．12或16 【答案】B 【分析】分两种情况讨论：已知边长2为等腰三角形的腰长，或已知边长2为等腰三角形的底边长，分别计算k的值，再用三角形三边关系验证，得到符合条件的结果． 【详解】解：∵等腰三角形一边长为2，另外两边长是方程的两个实根， ∴分两种情况讨论： ①当边长2为腰长时，方程有一个根为， 把代入方程得， 解得， 此时方程为， ∴， 解得， ∴另一根为，三角形三边长为， ∵ ，不满足三角形三边关系，此情况舍去； ②当边长2为底边长时，两腰是方程的两个实根，即方程有两个相等实根， ∴， 解得， 此时方程的根为，三角形三边长为， ∵，满足三角形三边关系，符合题意； 综上，的值为16． 5．（25-26八年级下·山东东营·期末）已知关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】方程有两个实数根，说明方程为一元二次方程，因此二次项系数不为0，同时根据一元二次方程根的判别式非负列不等式求解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴，， ∴的取值范围是且． 6．（26-27九年级上·北京·开学考试）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 【答案】3 【分析】将原方程通过移项、配方化为的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解： ， 移项得， 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比，可得，， 因此． 7．（2026·安徽蚌埠·三模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，求出，再根据判别式与根的关系进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，且， 即且， ∴． ∴原一元二次方程可化为， ∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴． ∴． 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知一元二次方程． （1）若方程的两个根恰好是等腰三角形的底边长和腰长，则的周长为_________． （2）若方程的两个根恰好是的两边长，则的面积为_________． 【答案】 10 4或 【分析】（1）先利用直接开平方法求解方程求出，再分两种情况解答即可． （2）分两种情况并结合勾股定理计算解答即可. 【详解】解：（1）， 解得． ①当底边长和腰长分别为4和2时，，此时不能构成三角形； ②当底边长和腰长分别是2和4时，符合题意， 的周长为． （2）由（1）知，方程的两个根为． ①若2，4是的两条直角边的长，则， ②若2，4分别是Rt的一条直角边长和斜边长， 则另一条直角边长为， ． 的面积为4或． 9．（25-26八年级下·浙江舟山·期末）小若利用欧几里得的一元二次方程图解法解方程的过程如下：将方程配方得，以和为两直角边作（如图），再在斜边及其延长线上截取，发现方程的解，．若，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据勾股定理和已知条件求出的长，利用已知条件，即可求出，求出的值，再根据，求出和的关系，即可知道的值，从而求出的值． 【详解】解：由题意可得，，， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ． 10．（25-26八年级下·山东泰安·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为____________________． 【答案】且 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程 ∴． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴．其中，，， 代入得：， 展开得， 化简得， 解得． 综上，k的取值范围为且． 11．（26-27九年级上·北京·开学考试）解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ， ∴或， ∴，． 12．（23-24九年级上·河北邢台·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程不含的一次项，求的值和方程的解； (2)当时，求方程的解． 【答案】(1)，方程的解为， (2)方程的解为， 【分析】（1）先根据已知求得m的值，再解一元二次方程即可； （2）将m值代入方程中，然后利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：由得， ∵方程不含的一次项， ∴，解得， ∴，则， ∴，； （2）解：当时，方程为 移项，得 配方，得 即 开方，得 ∴，． 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）根据多项式乘法可知，从而我们可得利用十字相乘法进行因式分解的公式，比如：．据此回答下列问题： (1)将二次三项式分解因式； (2)解一元二次方程； (3)某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程．如：，方程左边分解为，从而可以快速求出方程的解． 请你利用此方法尝试解方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用十字相乘法进行分解即可； （2）把方程左边利用十字相乘法进行因式分解，将原方程化为两个一次方程即可求解； （3）把方程左边利用十字相乘法进行因式分解，将原方程化为两个一次方程即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：， 或 ，； （3）解：， ， 或， ，． 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）实践与探索：一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？ (1)请将解答过程补充完整： 解：设点B将向外移动x米，即，则，，．而，在中，由，得方程________，解方程得________，________．所以点B将向外移动________米． (2)探索： ①将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？ ②梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？ 【答案】(1)；0.8；（舍去）；0.8 (2)解：①不会是0.9米，理由如下： 若米， 则（米），（米）． ∵，， ∴， ∴该题的答案不会是0.9米； ②有可能，理由如下： 设梯子顶端从处下滑米，点向外也移动米， 则，，， 则有，即， 即，则， 解得，（舍去）， 梯子顶端从处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等． 【分析】（1）根据，，，代入中，可得方程，再根据一元二次方程的解法求解，舍去负值即可得． （2）①假设米，得到，构不成直角三角形，由此判断即可； ②设梯子顶端从处下滑米，点向外也移动米，利用勾股定理列式求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， 由可得，， 则有，即， 可得， 解得，（舍去）， 所以点B将向外移动0.8米． 15．（26-27九年级上·全国·课后作业）阅读下列解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：…① …② …③ 或…④ ，…⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤________（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)解：配方，得 ， 即， 移项，得 ， 两边开平方，得 ， 即，或， ∴，． 【分析】（1）步骤②中，等式左边加了1，没有同时减1，导致等式不成立； （2）按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年苏科版数学九年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题一一元二次方程的解法 【思维导图+九大考点讲练+优选题训练共42题〔原卷版)】 目录 【思维导图技巧点拨】 【压轴题型变式讲练】 题型一解一元二次方程—直接开平方法.. …2 题型二解一元二次方程—配方法.· …3 题型三配方法的应用. 题型四因式分解法解一元二次方程.· …5 题型五公式法解一元二次方程.… ……5 题型六换元法解一元二次方程..... …6 题型七根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型八根据一元二次方程根的情况求参数.· ……7 题型九解分式方程（化为一元二次） 【思维拓展能力训练】 第1页共11页 【思维导图技巧点拨】 ★一、概念与一般形式 目五、配方法 (元 ,且未知数的最高次数是2的整式方程 步骤： 般形式 )化二次项系数为1：若a≠1，方程两边除以a: 项 半的平方，配成完全平方 (4)用直接开平方法求解 立二、方程的解与解法思想 配方结果：2+px+g=红+=号+g 夜右两边相等约未起的有斗方程粉牌。 注开装锅动时资致*的平方 解法思短： 利用等式的性质，通过变形，因式分解成配方 挑战压轴题专题01 目六、公式法 直接出未知数的值 两个一元一次方程， 一元二次方程的解法 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根： ☑三、直接开平方法 x=-b±y=ac(6-4c≥0. 2a 根的判别式△=b2-4ac: x=Va △>0，有两个不相等的实数根： (1)x2=a(a>0),x=±Va 巾八、方法总结与比较 △■0。有两个相等的实数根： 0ala>0无数 x=0: A<0。没有实数根 方法 适用类型优点缺点 (2)(-m)2■a(a>0),x-m=±a,x=m±V 适用范围：当a≠0且b2-4ac≥0时使用公式法， 直接开平方法x2=a,(化-m护=a等简单直接通用范圈窄 否则先研究判别式。 因式分解法 易分解因式的方程 计算量小 不易分解时图建 净四、因式分解法 配方法 量资质丹货量 Q七、一元二次方程根的情况与求解策略 通用性较强 步骤较多 判别式△=b2-4ac 的情况 求解方法建议 步磨：将方程的左边分解因式，得A(x)·B(x)=0, 公式法 通用性最强 计草量较大 4>0 两个不相等的实数根 因式分解法或公式法 A=0 西个细等的粉报因成牛极法。已右法成公式法 常用因式分解： 4<0 没有实数根 无实数根，注意实际间题的意义 (1)提公因式法；(2)公式法：平方差、完全平方 (⊙九、常见压轴题考点与技巧 求解策略（压输题技巧） (3)十字相乘法： (4)分组分解法 1.与几何图形结合：将图形面积，周长，边长等实际问题转化为方程求解 ·先观察方程特征，选择最简便的方法： 2.与函数结合：利用抛物线与x辅的交点坐标即为方程的根 ·若能分解因式，优先用因式分解法，计算量小： 意压轴题锦善 3与不等式结合：通过根的情况，求参数范围，注意△的分类讨论： ·二次项系数为1，且常数项易配成完全平方，优先用配方法： ·系数复杂或难以分解时，判断△，再考患公式法： 日瓷有-次项系数一半价分 4.与整式运算结合：通过配方或因式分解简化复杂方程： 5根与系数的关系：若方程ax2+br+c=0的两根为1，， ,涉及参数问盟，先讨论△的符号，再分类讨论根的情况： 注意方程的实际意义，會去不符合条件的根， = 【压轴题型变式讲练】 题型一解一元二次方程一 直接开平方法 【典例精讲】计算或解方程 (1)计算：(3W2-V12(W18+23 (2)解方程：(2x+1)2-9=0 第2页共11页 【变式训练1】(2023·江苏徐州·模拟预测)已知关于x的一元二次方程m(x一五)-k=0(m,h,k 均为常数且m≠0)的解是x1=2,x2=5,则关于x的一元二次方程m(x+乃+1)=k的解是() A.x1=-2,x2=-5 B.X1=-4,X2=-1 C.x1=1,x2=4 D.x1=-3,X2=-6 【变式训练2】(24-25九年级上·全国·期末)解方程： (1)2(x-3)2=72. (2)12(2-x)2-9=0. (3)(x-2)2=(2x+3)2. (4)x2-6x+9=25. 题型二解一元二次方程—配方法 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业)用配方法解方程： (1)x2-4x-3=0. (2)x2-2x-5=0. 【变式训练1】(26-27九年级上·全国·课堂例题)解方程：x2-4x+1=0. 【变式训练2】(25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测)解方程：x2-8x+1=0 第3页共11页 题型三配方法的应用 【典例精讲】(25-26八年级下·浙江宁波·期末)配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式 子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数式的变 形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题. 例：求代数式y2+4y+6的最小值 解：y2+4y+6=y2+4y+4+2=y+2)2+2. 因为(y+2)2≥0，所以y+2)2+2≥2，所以y2+4y+6的最小值是2. (1)代数式x2-4x+3的最小值为_ (2)关于x的二次多项式x2-4ax+2a2+a-6(a为常数)有最小值为-9，求常数a的值. (3)已知实数x,y满足-x2+x+y-3=0,求x-2y的最大值. 【变式训练1】(25-26八年级下·山东济南·期末)配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根 据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题.我们规定：一个整数能 表示成a2+b2(a,b是整数)的形式，则称这个数为“和谐数”.例如，10是“和谐数”，理由：因为10=32+12， 所以10是“和谐数”. 【解决问题】 (1)判断40是否为“和谐数” (填“是”或“否”) 【探究问题】 (2)若a2-8a+25可配方成(a-m)2+n2(m,n为常数)，则mm的值 (3)已知M=a2+4ab+5b2-6b+k(a,b是整数，k是常数)，要使M为“和谐数”，试求出符合条件的 一个k值，并说明理由， 【拓展应用】 (4)已知实数x,y满足y=x2-5x+10,当x为多少时，y-x能取得最小值，并求出最小值. 第4页共11页 【变式训练2】求代数式-3x2+6x-4的最大值. 题型四因式分解法解一元二次方程 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)用因式分解法解方程： (1)x2-2x-8=0: (2)(x+4)2=5(x+4). 【变式训练1】解方程： (1)x2-6x-4=0 (2)3x(x-2)=2(2-x) 【变式训练2】关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围： (2)已知x=2是方程的一个解，求m的值. 题型五公式法解一元二次方程 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)用公式法解方程： (1)3x2-4x-8=0: (2)x2+2x-4=0. 第5页共11页 【变式训练1】用适当的方法解方程： (1)(x+2)2-25=0 (2)2x2-7x+3=0 【变式训练2】如图，点A是反比例函数y=(x<0)图象上一点，直线y=x+b(a≠0)过点A且交x轴， y轴于点B,C,过点A作AD1y轴于点D,若S△BoD=2,S△ABD:S△Boc=1:2.则k的值为一一· C 题型六换元法解一元二次方程 【典例精讲】已知x≥0，则方程(2+x)√1+(1+x)=2V2(1+x)的解集是一一一； 【变式训练1】(25-26八年级下·北京·期末)解方程： (1)2x2-x+1=0: (2)2(x2+x)2-(x2+x)-3=0. 【变式训练2】(25-26九年级下·山东烟台·期末)已知一元二次方程a(x+m)2=n(a≠0)的两根分 别为-3、1，则一元二次方程a(x+m-2)2-n=0(a≠0)的两根分别为 题型七根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例精讲】设二次方程x2+2px+2q=0有实数根，其中p、q都是素数，那么它的根一定是( A.奇数 B.偶数 C.分数 D.无理数 【变式训练1】已知关于x的方程kx2-(k+4)x+4=0(k≠0). (1)求证：方程总有两个实数根： (2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数k的值. 第6页共11页 【变式训练2】已知关于x的一元二次方程x2一(2k+1)x+k2+k=0. (1)求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根。 (②)如果方程的两个实数根为x1:x2:且k与都为整数，求k所有可能的值. 题型八根据一元二次方程根的情况求参数 【典例精讲】(25-26九年级上河北邯郸开学考试)已知关于x的一元二次方程(a+b)x2+2cx+(a-b)= 0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长.如果方程有两个相等的实数根，则△ABC的形状是( A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 【变式训练1】(25-26八年级下·陕西西安·期末)已知一元二次方程x2-4x+m=1有两个不相等的 实数根，则m的取值范围为( A.m<5 B.m<4 C.m>-4 D.m>-5 【变式训练2】(25-26八年级下山东烟台·期末)新运算：a*b=a2-2a-3b,例如：3*5=32-2×3- 3×5=-12.若关于x的方程x*m=5有两个不相等的实数根，解答下列各题： (1)求m的取值范围： (2)当m=7时，用配方法解此方程. 题型九解分式方程（化为一元二次） 【典例精讲】(25-26八年级下·广东佛山·期末)2026年3月举行的世界超级摩托车锦标赛(WSBK) 葡萄牙站SSP组别比赛中，中国品牌“张雪机车”斩获两连冠，掀起国内机车消费热潮.某代理商顺势购 入一批该品牌机车，具体进货信息见下表： 型号 总费用 单价 数量 第7页共11页 60万 500RR 500RR型机车数量是820RR型的2 元 每台500RR型机车的进货价比820RR型低1.3 倍 43万 万元 820RR 元 (1)两种机车的进货价分别是多少？ (2)市场热度远超预期，首批机车迅速售罄.该代理商再次花费200万元，购进了若干辆上述两种型号的张 雪机车.你能确定500RR型机车购进多少台吗？说明理由 【变式训练1】(2026·四川眉山·中考真题)如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=8的图象 交于A(m,8),B(-4n)两点. (1)求一次函数的表达式： (2)观察图象，直接写出不等式kx+b≥的解集； 2 (3)将直线AB向下平移12个单位后交反比例函数的图象于C,D两点，交y轴于点E,连接AC,AE,求△ACE 的面积. 第8页共11页 【变式训练2】(2026·广东茂名二模)对于非零的两个实数a,b,规定a⑧b=号-甚若x83x-1)=2, 则x的值为 【思维拓展能力训练】 1.(26-27九年级上·全国·单元复习)方程x(x-5)=x-5的根是( ) A.x1=x2=5 B.X1=0,x2=5 C.x1=1,x2=5 D.X1=0,x2=-5 2.(25-26八年级下·浙江台州·期末)若关于x的一元二次方程(x-m)(x-n)=0的解也是a(x-3)2=b (a≠0)的解，则m与n满足的数量关系为( A.m+n=3 B.m+n=6 C.m+n=6a D.m+n=6b 3.(25-26八年级下·河北张家口·期末)嘉琪在解一元二次方程：x2-4x+■=0时，不小心把常数项 丢掉了，己知这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是( ) A.1 B.3 C.4 D.5 4.(25-26八年级下·山东烟台·期末)等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于x的一元二次方程 x2一8x+k=0的两实根，则k的值为( A.12 B.16 C.2或4 D.12或16 5.(25-26八年级下·山东东营·期末)已知关于x的方程ax2+4x-2=0有两个实数根，则a的取值范 围是( ) A.a≥-2 B.a>-2 C.a≥-2且a≠0 D.a≤2且a≠0 6.（26-27九年级上·北京·开学考试)用配方法解一元二次方程x2-6x+3=0时，将它化为(x+m)2=n 的形式，则m+n= 7.(2026·安徽蚌埠·三模)若关于x的一元二次方程(m-1)xm2+1-2x+c=0有两个相等的实数根， 则c的值是 8.(25-26九年级上·全国·课后作业)已知一元二次方程(x-3)2=1. (1)若方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为 (2)若方程的两个根恰好是Rt△DEF的两边长，则Rt△DEF的面积为 9.(25-26八年级下浙江舟山期末)小若利用欧几里得的一元二次方程图解法解方程x2+6ax=16a2(a> 0)的过程如下：将方程配方得(x+3a)2=(4a)2+(3a)2,以3a和4a为两直角边作Rt△ABC(如图)，再 在斜边AB及其延长线上截取BD=BE=BC,发现方程的解x1=AD,x2=-AE.若x1=AD=8,则x2的 第9页共11页 值为 Aa/ 3a y D B 10.(25-26八年级下·山东泰安·期末)若关于x的一元二次方程kx2-(2k+1)x+k=0有两个不相等 的实数根，则k的取值范围为 11.（26-27九年级上·北京·开学考试)解方程 (1)x2-2x-6=0 (2)3x(x-1)=2x-2 12.(23-24九年级上·河北邢台·期末)己知关于x的一元二次方程x2+mx-3x-9=0. (1)若方程不含x的一次项，求m的值和方程的解： (2)当m=-3时，求方程的解. 13.(26-27九年级上·全国·课后作业)根据多项式乘法可知(x+p)(x+q)=x2+p+q)x+pq,从而 我们可得利用十字相乘法进行因式分解的公式x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q),比如：x2-5x-6= x2+(-6+1)x+(-6×1)=(x-6)(x+1).据此回答下列问题： (1)将二次三项式x2+2x-3分解因式： (2)解一元二次方程x2-4x+3=0: (3)某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程.如：3x2+x-2=0, 方程左边分解为(x+1)(3x-2)=0,从而可以快速求出方程的解. 请你利用此方法尝试解方程5x2+7x-6=0. 第10页共11页 14.(26-27九年级上·全国·课后作业)实践与探索：一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这 时B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？ B//B (1)请将解答过程补充完整： 解：设点B将向外移动x米，即BB1=x,则B1C=x+0.7,AC=V2.52-0.77=2.4,A1C=AC-AA1=2.4- 0.4=2.而A1B1=2.5,在Rt△A1B1C中，由B1C2+A1C2=A1B,得方程 ,解方程得x1=一一一-， X2= 所以点B将向外移动米 (2)探索： ①将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？ ②梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？ 15.（26-27九年级上·全国·课后作业)阅读下列解方程：x2-2x-9=0的解题过程，解决下列问题. 解：x2-2X-9=0…① x2-2x+1-9=0…② (x-1)2-9=0…③ x-1=3或x-1=-3…④ x1=4,x2=-2…⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤 (填序号)； (2)请你写出正确的解答过程. 第11页共11页