专题12认识相似三角形、两个三角形相似的判定同步培优讲义 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本讲义聚焦相似三角形核心知识点，系统梳理概念、性质、相似比及与全等三角形的关系，层层推进五种判定方法（预备定理、AA、SAS、SSS、HL），通过类比全等三角形构建知识支架，帮助学生形成完整认知体系。 资料以分层学习目标为导向，涵盖8类题型精讲与课堂小练，注重培养数学思维（如类比推理）和几何直观（识别“A型”“X型”模型），课中助力教师系统授课，课后通过实例应用（如实际测量问题）强化知识，有效提升学生逻辑推理与问题解决能力。

专题12认识相似三角形、两个三角形相似的判定同步培优讲义 ✺知识框架 一、相似三角形的认识：概念与表示；性质与相似比；与全等三角形的关系 二、两个相似三角形的判定：预备定理（平行线判定）、一般三角形的判定（AA、SAS、SSS）；直角三角形的判定（HL） 本节聚焦相似三角形，从概念到判定层层推进：认识部分明确定义、表示方法、基本性质、相似比及与全等三角形的关系；判定部分掌握预备定理及 AA、SAS、SSS、HL 五种方法。学习时宜类比全等三角形，紧扣对应关系，规范书写证明。 ✺学习目标 二、学习目标 1.基础知识：理解相似三角形的定义，掌握 "∽" 的书写规范，能识别对应角与对应边。 理解相似比的含义及顺序性。 熟记相似三角形的五种判定方法（预备定理、AA、SAS、SSS、HL）。 2.能力提升：能根据已知条件选择判定方法，规范书写证明过程；能在复杂图形中识别 "A 型""X 型 " 等基本相似模型，确定对应关系；理解全等与相似的联系与区别，能类比全等判定学习相似判定。 3.综合素养：经历 "类比全等→猜想判定→验证应用" 的探究过程，体会从特殊到一般的数学思想；在几何证明中发展逻辑推理能力与规范表达能力；能利用相似三角形解决简单的实际测量问题，体会数学的应用价值。 ✺题型归纳 题型1.证明三角形的对应线段成比例 题型2.利用平行判定相似 题型3.利用两角对应相等判定相似 题型4.利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型5.利用三边对应成比例判定相似 题型6.相似三角形的判定综合 题型7.选择或补充条件使两个三角形相似 题型8.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、相似三角形的定义 ▲定义：对应角相等、对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 在△ABC 和△A'B'C' 中，若∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'， 且===k.即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△ABC 和△A'B'C'相似。 ▲要点：定义兼具判定与性质双重功能；"对应角相等" 与 "对应边成比例" 两个条件缺一不可。相似三角形的本质是形状相同，大小不一定相同。 知识点二、表示方法与书写规范 ▲相似用符号 "∽"表示，读作"相似于"。△ABC 与△A'B'C' 相似，记作：△ABC ∽ △A'B'C' ▲书写规范：对应顶点的字母必须写在对应的位置上。 若△ABC∽△DEF，则点 A 与点 D、点 B 与点 E、点 C 与点 F 分别对应，由此可得： 对应角：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F 对应边： ▲提醒：书写顺序不得随意调换，否则对应关系改变，含义不同。 知识点三、相似三角形的性质 1. 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。 2. 相似三角形对应线段的比等于相似比。 3. 相似三角形的周长之比等于相似比。 知识点四、相似三角形与全等三角形的关系 比较项目 全等三角形 相似三角形 定义 对应边相等、对应角相等的两个三角形 对应角相等、对应边成比例的两个三角形 特征 形状相同，大小相等 形状相同，大小不一定相等 相似比 恒为 1 可以是 1，也可以是任意正实数 对应角 相等 相等 对应边 相等 成比例（比值等于相似比 k） 对应高、中线、角平分线 相等 之比等于相似比 k 周长 相等 周长之比等于 k 面积 相等 面积之比等于 k² 判定方法 SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形） 两角对应相等（AA）；两边对应成比例且夹角相等（SAS）；三边对应成比例（SSS）；斜边和一条直角边对应成比例（直角三角形 HL） 判定本质 三组对应元素相等 对应角相等、对应边成比例 核心结论： 全等三角形是相似比为 1 的特殊相似三角形，即 “全等 ⇒ 相似，但相似不一定全等”。 把相似判定中的 “成比例” 改为 “相等”、相似比取 1，相似即退化为全等，二者判定结构一一对应。 证明两个三角形全等，可转化为 “先证相似，再证相似比 k＝1”。（拓展知识） 知识点五、相似三角形的判定定理 1.预备定理（平行线判定）：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 2.两个角分别相等的两个三角形相似 3.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。（直角三角形不需要夹角） 4.三边对应成比例，两个三角形相似 ✺题型精讲 题型1.证明三角形的对应线段成比例 1．如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例．根据相似三角形的对应边成比例列式解答即可． 【详解】解：， ， ， A、C、D不符合题意，B符合题意， 故选：B． 2．两个相似三角形的面积之比是 ， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为_________厘米． 【答案】3 【分析】把面积之比转换成相似比，在通过比例求出高 【详解】∵两个三角形面积比为9:25 ∴两个三角形相似比为3:5 设：另一三角形对应边上的高为x ∴，解得x=3 故答案为：3 【点睛】本题考查相似比和面积比的应用，掌握他们的区别是本题关键． 3．如图，已知在中，边上有一个动点，从点B出发以每秒1cm的速度沿的方向运动，最后回到点B．设出发的时间为秒． (1)当秒时，BP的长为___________；当秒时，BP的长为___________； (2)求出发时间为几秒时，是等腰三角形？ 【答案】(1)； (2)当出发时间为秒、秒、秒、秒时，是等腰三角形 【分析】本题重点考查了勾股定理，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，相似三角形的性质等知识点，读懂题意，熟练掌握并灵活运用相关知识点，并分类讨论是解此题的关键． （1）根据题意可以得的长为点运行的速度与时间之积，当时需要考虑此时点已经运行在上，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到答案． （2）此处需要分情况讨论，①当在上时，显然无解．②当在上时，需要分三种情况讨论，即，，．时，作垂线，利用直角三角形面积公式得到，进而求得的值并完成求解；时，容易得到的值，进而完成求解；时，利用等腰三角形的性质可以得到，利用相似三角形对应线段成比例，可以求得，最后完成求解．③当在上，此时，通过简单计算即可得到答案． 【详解】（1）解：当秒时，动点运动了， 此时还未到达点， ∴的长为， 当秒时，动点运动了， ∴此时点在的运动过程中， ∴， ∵， ∴， ∴在的中点上，同时为直角三角形， ∴此时的长为． 答：当秒时，BP的长为；当秒时，BP的长为． （2）解：①当在上时，为在一条直线上，无法构成三角形； ②当在上时,分三种情况讨论， 若,过作，如下图所示， 根据三角形面积公式， ， 即， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴运动的路程为， ∴； 若时， ， 此时运动的路程为， ∴； 若时， 连接，过点作， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 此时运动的路程为， ∴． ③当在上时，如下图所示， ∵， ∴斜边一定是最长边，只存在， ∴，， 此时运动的路程为， ∴． 综上所述，当出发时间为秒、秒、秒、秒时，是等腰三角形． 答：当出发时间为秒、秒、秒、秒时，是等腰三角形． 题型2.利用平行判定相似 1．如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定．根据平行线的性质，得出同位角相等，即可得出，，故，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ，， ∴， 故选：B 2．如图，在四边形中，，，，的平分线交于点，且．点在的延长线上，连接．若，则线段的长为______． 【答案】 【分析】延长和交于点，作交于点，设，则，根据“三个角是直角的四边形是矩形”，可得四边形是矩形，从而，，利用，可得，可求，再根据角平分线的定义和平行线的性质，得，进而，利用勾股定理，列方程，求出，最后根据等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：延长和交于点，作交于点， 设，则， ，， ，即四边形是矩形， ，， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ，即， ， 平分， ， ， ， ， ， 在中，， 即， 解得， ， ，， ． 3．如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且， ，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 【答案】图中与相似的三角形有个，，， 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定推出答案即可． 【详解】解：图中与相似的三角形有个，，，， 理由：， ，， ， ， ． 题型3.利用两角对应相等判定相似 1．如图，在四边形中，，对角线交于点，则图中相似的三角形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故D选项正确，符合题意； 根据题意无法得到，，，故A，B，C选项不正确，不符合题意； 故选：D 2．如图，在中，，分别是，边上一点，连接．请你添加一个条件，使，则你添加的这一个条件可以是_________________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似. 利用有两组角对应相等的两个三角形相似添加条件即可. 【详解】解：， 当时，. 故答案为：（答案不唯一） ． 3．已知，如图，在中，，D是线段上一点（不与端点B、C重合），连结，以为边，在的右侧作等边，线段与线段交于点F．求证：． 【答案】 证明：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又∵（对顶角相等）， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 【分析】先根据等边三角形的性质得到，与已知的相等；再利用对顶角相等得到；最后根据两角分别相等的两个三角形相似，即可证得． 【详解】略 题型4.利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 1．下列与图中的三角形相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用SAS判定三角形相似，两三角形需满足两组对应边的比值相等，并且这两组边的夹角相等，依据此标准逐个判断即可． 【详解】题干给出的三角形两边比为，夹角为， 选项A，三角形两边比为，但夹角不是，故与原三角形不相似，A不符合题意； 选项B，三角形三边相等，为等边三角形，没有夹角为，故与原三角形不相似，B不符合题意； 选项C，三角形两边比为，夹角为，符合SAS相似判定定理，故与原三角形相似，C符合题意； 选项D，三角形两边比为，但夹角不是，故与原三角形不相似，D不符合题意． 2．在与中，，，，，，，可证，其判定依据为______． 【答案】两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似． 由题意可知， ，，即可根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”进行判定． 【详解】∵，，，， ∴， 即， ∵， ∴（两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似）． 故答案为：两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 3．如图，在中，，，点、分别在线段、上，，，求证：． 【答案】证明：，，，， ，， ，， ， ， ． 【分析】根据题意可求出，，进而得到，结合，即可得证． 【详解】略 题型5.利用三边对应成比例判定相似 1．如图，在大小为的正方形网格中，三角形的顶点都在网格点上，下列是相似三角形的是（   ） A．①和③ B．②和③ C．②和④ D．①和④ 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 分别求出三角形的边长，根据对应边成比例三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：第一个三角形的边长分别为：，2，； 第二个三角形的边长分别为：，，； 第三个三角形的边长分别为：2，，； 第四个三角形的边长分别为：，3，； ∵，对应边成比例的是①和③． 故选：A． 2．在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等，小正方形的顶点为格点）中，根据“马走日”的规则，“马”落在位置________（填序号）处时，能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似． 【答案】② 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，即三边对应成比例的两个三角形相似. 【详解】解：设每个小正方形的边长为1， 计算“帅”“相”“兵”所在位置构成三角形的三边长度，依次设三边长度为a，b，c，根据勾股定理可得： 设“马”“车”“炮”所在位置构成三角形的三边长度分别为m，n，p， ①当“马”落在①时，       计算三边比例关系， 所以三边不成比例，则两三角形不相似，故①错误； ②当“马” 落在②时，          计算三边比例关系： 所以三边成比例，则两三角形相似 ，故②正确； 当“马”落在时， 计算三边比例关系： 所以三边不成比例，则两三角形不相似，故错误； ④ 当“马”落在④时，          计算三边比例关系：       所以三边不成比例，则两三角形不相似，故④错误； 综上：②正确. 3．如图，在中，已知，，．在中，已知，，，求证：． 【答案】 证明：，，，，，， 则， ， ． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据三边成比例的两三角形相似，得证，即可作答． 【详解】略 题型6.相似三角形的判定综合 1．如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：①由，则可判断； ②，则有，则，不可判断； ③，，则可判断； ④，可化为，此时不确定，故不能确定； ⑤由，则可判断； 所以能满足的条件是①③⑤，共3个． 2．如图，在正方形网格中有四个三角形，其中与相似（不包括本身）的三角形有 _____个． 【答案】1 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，利用网格特点得到为，第2个图中含，然后利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断第2个图形与相似． 【详解】解：∵为，三个图形中只有第2个图中含， 且夹的两组对应边成比例， ∴与相似（不包括本身）的三角形有1个． 故答案为：1． 3．如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角和摆成如图所示的样子，为公共顶点，，请在图中找出相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明． 【答案】 图中相似三角形有∽∽∽ 证明∽的过程为： ∵和都为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴∽． 同理可得； 证明的过程为： ∵， ， ， ∴， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定、等腰直角三角形的性质，关键是找到合适的判定方法； 根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得∽∽∽． 【详解】略 题型7.选择或补充条件使两个三角形相似 1．如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据证明三角形相似的方法逐一判断选项即可． 【详解】解：根据题意可知， 选项A，，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意． 选项B，，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意． 选项C，可转化成，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故不符合题意． 选项D，两边不成比例且夹角也不相等，不能判定三角形相似，故符合题意． 2．如图，在中，是边上的一点，，，要使，则的长为________． 【答案】 【分析】先根据得出，再根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴当时，成立， 又∵， ∴． 3．如图，已知，，吗？请说明理由．若不相似，请添加一个条件，使这两个三角形一定相似． 【答案】不相似，可添加或或（答案不唯一）． 【详解】本题考查了相似三角形的判定，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，或“两角对应相等，两三角形相似”即可得出答案，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键． 解：不定相似，因为和不是成比例的两边的夹角。 若添加，则可根据“两角对应相等，两三角形相似”得到； 若添加，则可根据“两角对应相等，两三角形相似”得到； 若添加，则可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似” 得到。 故可添加：，或或（答案不唯一）． ✺课堂小练 一、单选题 1．若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的对应边成比例，对应边包括角平分线、中线、高以及边长和周长等，据此作答即可． 【详解】解：依题意，因为两个相似三角形的对应中线之比为， 所以它们的对应高之比为， 故选：A． 2．如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可． 【详解】解：在和中，， 当时，根据两角相等的两个三角形相似，可以得到，故①正确； 当时，，故②不正确； 当时，根据两组对应边成比例，夹角相等的两个三角形相似，可以得到，故③正确； 当，即时，无法得到，故④不正确； 当时，根据两角相等的两个三角形相似，可以得到，故⑤正确； 故能满足的条件有3个. 3．如图，在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形相似的判定，掌握相似三角形的判定定理，抓住三角形三边的比值相同来判断相似是解题关键． 利用相似三角形对应边成比例，先求出的三边长，求出三边的比为，再分别求出各选项中三角形的三边长从小到大排序，求出三边的比值，判断即可． 【详解】解：的三条边长度为，三边的比例为； 选项A：三角形的三边长为，三边的比例为，与不相似，不符合题意要求； 选项B：三角形的三边长为，三边的比例为，与不相似，不符合题意要求； 选项C：三角形的三边长为，三边的比例为，与相似，符合题意要求； 选项D：三角形的三边长为，三边的比例为，与不相似，不符合题意要求； 故选C． 二、填空题 4．如图，中，点E，F分别是上的点，连接，请你添加一个条件_______，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由条件可知和有公共角，根据三角形相似的判定方法可再添加一组角对应相等，即可使得． 【详解】解：在和中，， 添加一组对应角相等可得，添加条件为：或； 添加和的两边对应成比例，可得，添加条件为； 因此添加的条件可以是：或或． 5．在中，，；在中，，，那么与________（选填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【分析】利用三角形内角和定理求出的度数，结合已知可得，，由两角相等可证． 【详解】解：∵，， ∴， 又，， ∴，， ∴． 6．如图，在中，，平分，为中点，连接，若，，则______，______． 【答案】 【分析】此题重点考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，作于点F，由，E为的中点，，得，所以，再证明，所以，则，可证明，得，则，而，所以，再证明，得，求得，设，则，，于是得，求得符合题意的m值为，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，作于点F，则， ，E为的中点，， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 设，则，， ， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴． 故答案为：． 三、解答题 7．如图，在中，，，，．求的长．    【答案】． 【分析】利用相似三角形的性质和判定即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定及其应用． 8．如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．请判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】 相似，证明如下： 在中，； 在中，； ， 即， ． 【分析】在网格中，利用勾股定理求出和的各条边长，计算，看比值是否相等即可判断与是否相似，利用两个三角形对应三边成比例判定即可证明结论． 【详解】略 【点睛】结合相似判定定理，在求两个三角形边的比值时，一定要根据图中两个三角形的边长，保证大边比大边、小边比小边计算． 9．【知识背景】华师版（2013版）九上第23章《图形的相似》习题23.3第1（2）题： 如图，点、点分别在的边、的延长线上，连接，若，则与相似吗？ (1)请解答上述习题． 【问题探究】 (2)同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图，连接、，求与的数量关系． ①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法： 由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出与相似，从而得到，再通过角度之间的关系，可将问题解决． 请按照小明的思路完成对与相似的证明，具体做法如下： 证明：由（1）得：________， ∴ ∴（相似三角形的对应角相等）． 请补全上述证明过程． ②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出与的数量关系为________． (3)【拓展提升】如图，在和中，，，，延长交于点，连接、．当且时，________°，________． 【答案】(1)与相似，理由如下： ∵，， ∴； (2)①∵， ∴，，即， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴； (3)90； 【分析】（1）利用两角对应相等即可证明； （2）①利用两边对应成比例且夹角相等证明，推出； ②利用三角形内角和定理即可得到； （3）证明，推出，，利用（2）的结论即可得到；再利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：略 （2）证明：略 （3）解：∵在和中，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在四边形中，， 由（2）得， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12认识相似三角形、两个三角形相似的判定同步培优讲义 ✺知识框架 一、相似三角形的认识：概念与表示；性质与相似比；与全等三角形的关系 二、两个相似三角形的判定：预备定理（平行线判定）、一般三角形的判定（AA、SAS、SSS）；直角三角形的判定（HL） 本节聚焦相似三角形，从概念到判定层层推进：认识部分明确定义、表示方法、基本性质、相似比及与全等三角形的关系；判定部分掌握预备定理及 AA、SAS、SSS、HL 五种方法。学习时宜类比全等三角形，紧扣对应关系，规范书写证明。 ✺学习目标 二、学习目标 1.基础知识：理解相似三角形的定义，掌握 "∽" 的书写规范，能识别对应角与对应边。 理解相似比的含义及顺序性。 熟记相似三角形的五种判定方法（预备定理、AA、SAS、SSS、HL）。 2.能力提升：能根据已知条件选择判定方法，规范书写证明过程；能在复杂图形中识别 "A 型""X 型 " 等基本相似模型，确定对应关系；理解全等与相似的联系与区别，能类比全等判定学习相似判定。 3.综合素养：经历 "类比全等→猜想判定→验证应用" 的探究过程，体会从特殊到一般的数学思想；在几何证明中发展逻辑推理能力与规范表达能力；能利用相似三角形解决简单的实际测量问题，体会数学的应用价值。 ✺题型归纳 题型1.证明三角形的对应线段成比例 题型2.利用平行判定相似 题型3.利用两角对应相等判定相似 题型4.利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型5.利用三边对应成比例判定相似 题型6.相似三角形的判定综合 题型7.选择或补充条件使两个三角形相似 题型8.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、相似三角形的定义 ▲定义：对应角相等、对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 在△ABC 和△A'B'C' 中，若∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'， 且===k.即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△ABC 和△A'B'C'相似。 ▲要点：定义兼具判定与性质双重功能；"对应角相等" 与 "对应边成比例" 两个条件缺一不可。相似三角形的本质是形状相同，大小不一定相同。 知识点二、表示方法与书写规范 ▲相似用符号 "∽"表示，读作"相似于"。△ABC 与△A'B'C' 相似，记作：△ABC ∽ △A'B'C' ▲书写规范：对应顶点的字母必须写在对应的位置上。 若△ABC∽△DEF，则点 A 与点 D、点 B 与点 E、点 C 与点 F 分别对应，由此可得： 对应角：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F 对应边： ▲提醒：书写顺序不得随意调换，否则对应关系改变，含义不同。 知识点三、相似三角形的性质 1. 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。 2. 相似三角形对应线段的比等于相似比。 3. 相似三角形的周长之比等于相似比。 知识点四、相似三角形与全等三角形的关系 比较项目 全等三角形 相似三角形 定义 对应边相等、对应角相等的两个三角形 对应角相等、对应边成比例的两个三角形 特征 形状相同，大小相等 形状相同，大小不一定相等 相似比 恒为 1 可以是 1，也可以是任意正实数 对应角 相等 相等 对应边 相等 成比例（比值等于相似比 k） 对应高、中线、角平分线 相等 之比等于相似比 k 周长 相等 周长之比等于 k 面积 相等 面积之比等于 k² 判定方法 SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形） 两角对应相等（AA）；两边对应成比例且夹角相等（SAS）；三边对应成比例（SSS）；斜边和一条直角边对应成比例（直角三角形 HL） 判定本质 三组对应元素相等 对应角相等、对应边成比例 核心结论： 全等三角形是相似比为 1 的特殊相似三角形，即 “全等 ⇒ 相似，但相似不一定全等”。 把相似判定中的 “成比例” 改为 “相等”、相似比取 1，相似即退化为全等，二者判定结构一一对应。 证明两个三角形全等，可转化为 “先证相似，再证相似比 k＝1”。（拓展知识） 知识点五、相似三角形的判定定理 1.预备定理（平行线判定）：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 2.两个角分别相等的两个三角形相似 3.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。（直角三角形不需要夹角） 4.三边对应成比例，两个三角形相似 ✺题型精讲 题型1.证明三角形的对应线段成比例 1．如图，已知D、E分别在的、边上，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．两个相似三角形的面积之比是 ， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为_________厘米． 3．如图，已知在中，边上有一个动点，从点B出发以每秒1cm的速度沿的方向运动，最后回到点B．设出发的时间为秒． (1)当秒时，BP的长为___________；当秒时，BP的长为___________； (2)求出发时间为几秒时，是等腰三角形？ 题型2.利用平行判定相似 1．如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 2．如图，在四边形中，，，，的平分线交于点，且．点在的延长线上，连接．若，则线段的长为______． 3．如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且， ，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 题型3.利用两角对应相等判定相似 1．如图，在四边形中，，对角线交于点，则图中相似的三角形是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，分别是，边上一点，连接．请你添加一个条件，使，则你添加的这一个条件可以是_________________． 3．已知，如图，在中，，D是线段上一点（不与端点B、C重合），连结，以为边，在的右侧作等边，线段与线段交于点F．求证：． 题型4.利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 1．下列与图中的三角形相似的是（     ） A． B． C． D． 2．在与中，，，，，，，可证，其判定依据为______． 3．如图，在中，，，点、分别在线段、上，，，求证：． 题型5.利用三边对应成比例判定相似 1．如图，在大小为的正方形网格中，三角形的顶点都在网格点上，下列是相似三角形的是（   ） A．①和③ B．②和③ C．②和④ D．①和④ ∵，对应边成比例的是①和③． 2．在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等，小正方形的顶点为格点）中，根据“马走日”的规则，“马”落在位置________（填序号）处时，能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似． 3．如图，在中，已知，，．在中，已知，，，求证：． 题型6.相似三角形的判定综合 1．如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在正方形网格中有四个三角形，其中与相似（不包括本身）的三角形有 _____个． 3．如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角和摆成如图所示的样子，为公共顶点，，请在图中找出相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明． 题型7.选择或补充条件使两个三角形相似 1．如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 2．如图，在中，是边上的一点，，，要使，则的长为________． 3．如图，已知，，吗？请说明理由．若不相似，请添加一个条件，使这两个三角形一定相似． ✺课堂小练 一、单选题 1．若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与相似的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，中，点E，F分别是上的点，连接，请你添加一个条件_______，使得． 5．在中，，；在中，，，那么与________（选填“相似”或“不相似”）． 6．如图，在中，，平分，为中点，连接，若，，则______，______． 三、解答题 7．如图，在中，，，，．求的长．    8．如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．请判断与是否相似？并证明你的结论． 9．【知识背景】华师版（2013版）九上第23章《图形的相似》习题23.3第1（2）题： 如图，点、点分别在的边、的延长线上，连接，若，则与相似吗？ (1)请解答上述习题． 【问题探究】 (2)同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图，连接、，求与的数量关系． ①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法： 由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出与相似，从而得到，再通过角度之间的关系，可将问题解决． 请按照小明的思路完成对与相似的证明，具体做法如下： 证明：由（1）得：________， ∴ ∴（相似三角形的对应角相等）． 请补全上述证明过程． ②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出与的数量关系为________． (3)【拓展提升】如图，在和中，，，，延长交于点，连接、．当且时，________°，________． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $