4.3三角形相似的判定（讲义）数学新教材浙教版九年级上册

本讲义聚焦相似三角形判定核心知识点，以平行线分线段成比例推论为基础，系统梳理AA、SAS、SSS三大通用判定定理及直角三角形特殊判定，构建从基础到综合的递进式学习支架。 资料通过易错点深度辨析（如SAS夹角条件）、题型分类解题贴士及分层练习，培养学生几何直观与推理意识，课中助力教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，提升解决综合问题的能力。

第4章 相似三角形 4.3三角形相似的判定 课标要点 1. 理解三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似，明晰相似图形的由来。 2. 掌握两角分别相等的两个三角形相似（AA），这是课标要求最常用的判定方法，会结合公共角、对顶角、直角、平行线同位角寻找等角解题。 3. 掌握两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS），牢记限定条件必须是夹角，区分边角位置易错情形。 4. 掌握三边对应成比例的两个三角形相似（SSS），能够通过计算边长比值判定三角形相似。 5. 知晓直角三角形专属相似判定：斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似；了解直角三角形斜边上高分出的两个小直角三角形彼此相似、且都和原直角三角形相似，会简单应用。 学习重难点 重点： 熟练牢记三大通用相似判定定理：AA、SAS、SSS，能够根据题干条件快速挑选合适定理判定三角形相似。 学会挖掘图形中的相等角：平行线同位角、公共角、对顶角、直角、同角的余角，依靠两角相等判定相似是做题主流方法。 掌握直角三角形相似的特殊判定方式，能运用相似关系推算线段长度、比例。 难点： 区分 SAS 相似里的夹角，容易误用非夹角相等来判定相似，边角位置极易混淆出错。 ·复杂几何图形中拆分、找出两组相似三角形，找准对应边、对应角，常常出现对应关系错乱。 ·结合平行线、勾股定理、直角三角形性质综合解题，灵活搭配判定定理进行推导计算。 知识点 平行线分线段成比例定理推论 平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 特别提醒 这是三角形相似最基础的判定方法，是后续其他判定定理推导的基础；该定理可直接用于判断“A型”“X型”两种常见基本图形中的三角形相似，其中直线平行于三角形的一条边是核心条件。 随学随练 1．如图，的面积为，点D、E分别是、边的中点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，，相交于点，，则＝（   ） A． B． C． D． 3．如图，，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 4．已知：如图，，，则________． 5．如图，点D，E分别在边，上，且，，，则的值是 ______ ． 知识点两角分别相等的两个三角形相似 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似 特别提醒 这是三角形相似最基础的判定方法，是后续其他判定定理推导的基础；该定理可直接用于判断“A型”“X型”两种常见基本图形中的三角形相似，其中直线平行于三角形的一条边是核心条件。 随学随练 1．如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（  ）种不同的剪法． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．下列各组图形一定相似的是（   ） A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形 C．有一个角是的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形 3．如图，在中，，，图中相似三角形共有（    ）    A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 4．如图，在中，于点D，则图中的相似三角形共有_______对． 知识点 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 如果两个三角形的两组对应边成比例，且比例两边的夹角对应相等，那么这两个三角形相似。 特别提醒 必须满足“比例两边的夹角相等”这一条件，如果不是夹角而是其中一边的对角相等，无法判定两个三角形相似，这是最容易出错的地方。 随学随练 1．如图，已知，当（    ）时，． A． B． C． D．1 2．如图，在的方格中，画有格点（阴影部分）与相似的是（　　） A．B．C． D． 3．在与中，，，，，，，可证，其判定依据为______． 4．在和中，如果，，，，，那么______时，与相似． 5．如图， 已知点D、E分别在的边和上， 如果 那么______得到． （填“能”或“不能”） 知识点 三边成比例的两个三角形相似 如果一个三角形的三条边，分别和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。 特别提醒 计算比例时需要注意边的对应关系，必须将两个三角形的三边按照长度从小到大（或从大到小）依次排序后，再计算对应边的比例，避免对应关系错误 随学随练 1．若和满足下列条件，其中能使与相似的是（   ） A． B． C． D． 2．将的各边长作如下变化，得到的新三角形与相似的是（   ） A．各边长都加2 B．各边长都减2 C．各边长都乘2 D．各边长都平方 3．的三边长分别为1，，，的三边长分别为5，，，则和（    ） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判断是否相似 4．如图，与的顶点均在网格的格点处，则与_______相似（填“一定”“不一定”或“一定不”） 5．如图，将方格纸分成6个三角形，在②③④⑤⑥5个三角形中，与三角形①相似的三角形是___________．（填序号） 拓展相似三角形判定定理的条件辨析与逻辑推理 1. 易错条件深度辨析针对常用判定梳理易混淆边界： ①“两边成比例且夹角相等”中，若相等的角不是比例边的夹角，三角形一定相似吗？满足两边成比例、有一组角相等，但两个三角形并不相似，明确“夹角”要求的必要性； ②平行判定相似（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似）中，直线截的是两边的延长线时结论依然成立吗？通过探究，可以发现直线截三角形两边延长线（第三边同侧/异侧两种情况）均满足相似，拓展了平行判定的适用范围。 2. 规律提炼所有相似判定的核心本质是“三角形的形状唯一确定”：判定条件最终都指向三角形三个角对应相等、三边对应成比例，只要给定条件能唯一锁定三角形的形状，就能判定相似，打破了对定理的机械记忆，建立了“从本质出发判断相似”的思维逻辑。 活学活用 1．如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 2．下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 3．已知中，，（不与A、C重合），过P点的一条直线与的边相交，所构成的三角形与原三角形相似（    ）条． A．1 B．2 C．3 D．4 题型平行截获型相似 解题贴士 1. 找准平行直线截三角形得到的对应线段，优先利用「平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似」直接判定； 2. 若平行线在三角形外部（两边延长线），注意对应顶点的顺序，不要写错相似三角形的对应关系； 3. 常结合平行线分线段成比例定理转化线段比例，优先找对对应角的相等关系。 ▌例1如图，在中，，若，，则 A． B． C． D． ▌例2．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出的长为，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1如图，，，则与的周长之比为________． ▌对点练1-2．如图，中，，分别在，上，，，则与的面积之比为_________． ▌对点练1-3．如图，在中，点，分别在，上，，若，，则_____． 题型 两角对应相等判定相似 解题贴士 公共角、对顶角是天然的相等角，优先寻找这两类角作为第一组相等角； 2. 遇到直角三角形，若有一组锐角相等即可判定相似，注意挖掘题干中隐含的垂直条件（如高、直径所对圆周角等）； 3. 利用同角的余角（或补角）相等推导第二组相等角，是该题型最常见的推导思路； 4. 若三角形是等腰三角形，可推导顶角相等或底角相等，进而得到两角对应相等。 ▌例1．下列命题中，正确的是（   ） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个直角三角形一定相似 C．两个等边三角形一定相似 D．两个钝角三角形一定相似 ▌例2．各有一个角为的两个直角三角形一定（   ） A．全等 B．相似 C．既全等又相似 D．无法确定 ▌对点练1-1．如图所示的三个三角形，相似的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ ▌对点练1-2．如图，是斜边上的高，请写出图中的一对相似三角形：________． ▌对点练1-3．如图，已知：点、分别在的边上，．求证：． 题型 两边对应成比例且夹角相等判定相似 解题贴士 1. 必须验证相等的角是成比例两边的夹角，若角是其中一边的对角，该判定不成立，不要混淆； 2. 已知线段长度时，先计算两组对应边的比值，验证比值是否相等，再确认夹角是否相等； 3. 遇到坐标类题目，可利用勾股定理计算三角形边长，再验证比例关系和夹角； 4. 常结合公共角考查，公共角作为天然夹角，出现概率极高。 ▌例1如图，不等长的两条对角线相交于点O，若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有____________． ▌例2如图，，相交于点，且，，，当_____时，与相似． ▌对点练1-1如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． ▌对点练1-2如图，与相交于点，已知，，，．求证：． 题型三边对应成比例判定相似 解题贴士 1. 将两个三角形的三边按长度从小到大排序，依次计算对应边的比值，验证比值是否相等； 2. 若题干给出的是三边比例关系，直接设参数表示边长，再计算对应比值即可； 3. 网格类题目中，利用勾股定理计算各边长是常用方法，再按排序验证比例关系； 4. 注意单位统一，避免因单位不一致导致比值计算错误。 ▌例1如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是_____． ▌例2如图所示，已知．求证：． ▌对点练1-1如图，在中，已知，，．在中，已知，，，求证：． ▌对点练1-2根据下列条件判定和是否相似，如果是，那么用符号表示出来． (1)； (2)．   题型 相似判定的条件补充 解题贴士 1. 先整理题干已有的条件：若已有一组角相等，可补充另一组角相等，或补充夹这个角的两边对应成比例； 2. 若已有两组边对应成比例，可补充夹角相等，或补充第三组边也成比例； 3. 注意答案的不唯一性，根据已有条件列举所有符合要求的结论，不要漏解； 4. 补充条件后，验证是否满足判定定理，排除不符合判定规则的错误条件（如SSA补充错误）。 ▌例1如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（     ）． A． B． C． D． ▌例2如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1如图，在中，是边上的一点，，，要使，则的长为________． ▌对点练1-2如图，已知点D是边上的一点，连接．添加一个条件，可以得到，则该条件可以是_____．（写出一个即可） 题型 相似判定的存在性探究 解题贴士 1. 先固定已知相等的角，再根据对应顶点的不同分情况讨论，避免漏解； 2. 通常存在两种对应情况：∠A对应∠B和∠A对应∠C，分别根据对应关系列出比例式求解； 3. 求解后验证线段长度（或坐标）是否符合题意，舍去不符合实际情况的增根； 4. 动点类存在性问题，结合动点的运动范围，对解进行取值范围检验。 ▌例1如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，3）和（9，0），若坐标轴上存在点C，使△OBC和△OAB相似，则点C的坐标是___________． ▌例2如图，在矩形中，是对角线，点，分别是，的中点，连接．在直线上是否存在一点，使得与相似，如果存在，请你画出点，并证明你的结论；如果不存在，请说明理由． ▌对点练1-1如图，正方形的边长是，是的中点，点在射线上，过点作，垂足是点． (1)求证：； (2)当点在射线上运动时，设，是否存在实数，使以为顶点的三角形与相似？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 题型 相似三角形的判定与性质综合 解题贴士 1. 判定优先找两角对应相等，其次看两边成比例且夹角相等、三边对应成比例，平行线截三角形是最常用的隐藏相似条件。 2. 相似三角形对应边、对应线段的比都等于相似比，面积比是相似比的平方，解题时常用来换算边长与面积。 3. 遇到线段乘积、比例式可转化为相似三角形对应边比例，找准两组对应角就能搭建相似关系列式计算。 ▌例1如图，在中，若点、分别是、的中点，，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 ▌例2如图，在中，，，D，E分别在，上，将沿翻折后，点A落在点处，若为的中点，则折痕的长为（     ） A．1 B．6 C．4 D．2 ▌对点练1-1如图，，与相交于点E，，，垂足分别为F，G．若，，则的值为_________． ▌对点练1-2如图，平行四边形中，E是边上的点，交于点F，如果，那么__________． ▌对点练1-3如图，点、分别在边、上，，若，，，求的长． 基础通关 1．如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ） A． B． C． D． 2．下列各条件中，能判断的是（    ） A．， B．， C．， D．，，， 3．如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（    ）． A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①②③ 5．下列各组图形中不一定是相似图形的是（   ） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个直角三角形 6．如图，中，点是的中点，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 7．如图，不能判定和相似的条件是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点、、、都在格点上，连接、交于点，那么的值是___________． 9．如图，在和中，，请添加一个条件：______，使． 10．如图，与的顶点均在正方形网格的格点上，则的度数为______． 11．如图所示的两个三角形_______相似三角形（填“是”或“不是”）． 12．如图，在中，是边上的高，且，则的度数为________． 13．如图，点D、E分别在的边上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 14．如图，在中，D为上一点，E为上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 15．如图，D是的边上的一点，连接，已知．求证：． 素养提升 1．已知如图1，2中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对图1，2中的两个三角形，下列说法正确的是（     ） A．都相似 B．都不相似 C．只有图1相似 D．只有图2相似 2．下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 3．若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 4．已知、分别是的边、上的点（不与端点重合），且与不平行，要使得与相似，那么添加一个条件可以为 ______ （只填一个）． 5．如图，的面积为，D，E分别是边的中点，则梯形的面积为______． 6．如图，D是的平分线上一点，．若要使，则的长为_________． 7．如图，在中，点D在边上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 8．如图，在中，，，点、分别在线段、上，，，求证：． 9．如图，将等边三角形折叠，使点落在边上的点处，（不与、重合）折痕为． (1)求证：； (2)若，，求与的相似比． 10．如图，在中，，是边的中点，连接，作，垂足为E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 迁移创新 1．阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 2．在等边中，点为上一点，连接，直线与分别相交于点，且． （1）如图（1），写出图中所有与相似的三角形，并选择其中的一对给予证明； （2）若直线向右平移到图（2）、图（3）的位置时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立?若成立请写出来(不证明)，若不成立，请说明理由； （3）探究:如图（1），当满足什么条件时(其他条件不变)，?请写出探究结果，并说明理由(说明:结论中不得含有未标识的字母)． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 相似三角形 4.3三角形相似的判定 课标要点 1. 理解三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似，明晰相似图形的由来。 2. 掌握两角分别相等的两个三角形相似（AA），这是课标要求最常用的判定方法，会结合公共角、对顶角、直角、平行线同位角寻找等角解题。 3. 掌握两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS），牢记限定条件必须是夹角，区分边角位置易错情形。 4. 掌握三边对应成比例的两个三角形相似（SSS），能够通过计算边长比值判定三角形相似。 5. 知晓直角三角形专属相似判定：斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似；了解直角三角形斜边上高分出的两个小直角三角形彼此相似、且都和原直角三角形相似，会简单应用。 学习重难点 重点： 熟练牢记三大通用相似判定定理：AA、SAS、SSS，能够根据题干条件快速挑选合适定理判定三角形相似。 学会挖掘图形中的相等角：平行线同位角、公共角、对顶角、直角、同角的余角，依靠两角相等判定相似是做题主流方法。 掌握直角三角形相似的特殊判定方式，能运用相似关系推算线段长度、比例。 难点： 区分 SAS 相似里的夹角，容易误用非夹角相等来判定相似，边角位置极易混淆出错。 ·复杂几何图形中拆分、找出两组相似三角形，找准对应边、对应角，常常出现对应关系错乱。 ·结合平行线、勾股定理、直角三角形性质综合解题，灵活搭配判定定理进行推导计算。 知识点 平行线分线段成比例定理推论 平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 特别提醒 这是三角形相似最基础的判定方法，是后续其他判定定理推导的基础；该定理可直接用于判断“A型”“X型”两种常见基本图形中的三角形相似，其中直线平行于三角形的一条边是核心条件。 随学随练 1．如图，的面积为，点D、E分别是、边的中点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，准确掌握相似三角形的性质是解题的关键．先证，，再证得，相似比为，运用“相似三角形面积之比等于相似比的平方”可得，最后计算得出． 【详解】解：∵在中，点D、E分别是、边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选A． 2．如图，在四边形中，，，相交于点，，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形面积公式的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键；先根据相似三角形的判定和性质求出对应边的比例关系，再利用三角形面积公式求出比值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故，， 故， 即， ∴． 故选：A． 3．如图，，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】​本题考查了平行线分线段成比例定理​，相似三角形的判定和性质，根据已知的平行关系，运用相关的定理和性质对每个选项进行分析和判断是解题的关键．先根据平行条件，针对每个选项，用平行线分线段成比例定理和三角形相似的判定和性质进行判断即可． 【详解】解：， ， 故A不符合题意； ∵， ， 故B不符合题意； 设 ，，则， ， ， ， ， ， ， ， 这一结论不一定正成立， 故C符合题意； ， ， 故D不符合题意， 故选：C． 4．已知：如图，，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明，求出相似比，最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 即． 5．如图，点D，E分别在边，上，且，，，则的值是 ______ ． 【答案】 【分析】证明，由相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵,, ∴, ∵， ∴,, ∴， ∴, ． 知识点两角分别相等的两个三角形相似 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似 特别提醒 这是三角形相似最基础的判定方法，是后续其他判定定理推导的基础；该定理可直接用于判断“A型”“X型”两种常见基本图形中的三角形相似，其中直线平行于三角形的一条边是核心条件。 随学随练 1．如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（  ）种不同的剪法． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法进行判断即可. 【详解】解：要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有以下3种剪法： ，，，可得，，. 2．下列各组图形一定相似的是（   ） A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形 C．有一个角是的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形 【答案】C 【分析】利用“两角对应相等的两个三角形相似”逐一判断选项即可． 【详解】解：对A选项，若相等的角一个是等腰三角形的顶角，一个是另一个等腰三角形的底角，则对应角不相等，不一定相似，不符合题意； 对B选项，若相等的角是直角，两个三角形的另一个锐角不一定相等，因此不一定相似，不符合题意； 对C选项，∵的角如果作为等腰三角形的底角，内角和会超过， ∴只能是等腰三角形的顶角，∴两个等腰三角形的底角都为，三个角对应相等， ∴两个三角形一定相似，符合题意； 对D选项，仅有一个对顶角相等，其余两个角不一定对应相等，因此两个三角形不一定相似，不符合题意． 3．如图，在中，，，图中相似三角形共有（    ）    A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定；根据直角三角形两锐角互余，求证角相等是解题的关键． 可证得，所以相似三角形有3对． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴共有3对相似三角形． 故选：B． 4．如图，在中，于点D，则图中的相似三角形共有_______对． 【答案】3 【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理，熟知两角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键． 根据相似三角形的判定定理，即可得到存在的相似三角形有哪些． 【详解】解：， ． 又 ． 同理可得， ∴共有对相似三角形． 故答案为：． 知识点 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 如果两个三角形的两组对应边成比例，且比例两边的夹角对应相等，那么这两个三角形相似。 特别提醒 必须满足“比例两边的夹角相等”这一条件，如果不是夹角而是其中一边的对角相等，无法判定两个三角形相似，这是最容易出错的地方。 随学随练 1．如图，已知，当（    ）时，． A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边成比例、对应角相等的关系． 欲证，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例即可． 【详解】解：∵， 当时，， ∵，， 即， 解得， 故选B． 2．如图，在的方格中，画有格点（阴影部分）与相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对各选项进行判断． 【详解】解：， A选项中，三条线段的长为，因为，此三角形为直角三角形，长直角边与短直角边的比为2，所以A选项的方格中所画格点三角形（阴影部分）与相似；而B选项中长直角边与短直角边的比为3，C、D选项中的两直角边的比为． 故选：A． 3．在与中，，，，，，，可证，其判定依据为______． 【答案】两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似． 由题意可知， ，，即可根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”进行判定． 【详解】∵，，，， ∴， 即， ∵， ∴（两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似）． 故答案为：两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 4．在和中，如果，，，，，那么______时，与相似． 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的判定．两条边的比相等并且对应的夹角相等的两个三角形相似，分和两种情况，根据对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：当时，， 即， 解得， 当时，， 即， 解得， 故答案为：或． 5．如图， 已知点D、E分别在的边和上， 如果 那么______得到． （填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，根据条件无法判断，据此即可得到结论． 【详解】解：∵，不能判断， ∴不能得到， 故答案为：不能． 知识点 三边成比例的两个三角形相似 如果一个三角形的三条边，分别和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。 特别提醒 计算比例时需要注意边的对应关系，必须将两个三角形的三边按照长度从小到大（或从大到小）依次排序后，再计算对应边的比例，避免对应关系错误 随学随练 1．若和满足下列条件，其中能使与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理（三组对应边的比相等），逐一验证各选项的边长比例是否相等即可. 【详解】解：A答案：对应边的比相等，所以两三角形相似； B答案：对应边的比不等，所以两三角形不相似； C答案：对应边的比不都相等，所以两三角形不相似； D答案：对应边的比不等，所以两三角形不相似； 故选： A． 2．将的各边长作如下变化，得到的新三角形与相似的是（   ） A．各边长都加2 B．各边长都减2 C．各边长都乘2 D．各边长都平方 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：的边长分为， 则，，， 故选：C． 3．的三边长分别为1，，，的三边长分别为5，，，则和（    ） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判断是否相似 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，证明三边比例相等可得两个三角形相似．掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴两个三角形相似， 故选： A． 4．如图，与的顶点均在网格的格点处，则与_______相似（填“一定”“不一定”或“一定不”） 【答案】一定 【分析】本题考查相似三角形的判定，先利用网格计算三角形的边长，再通过对应边的比例关系判断是否相似，核心是掌握“三边对应成比例，两三角形相似”的判定定理． 【详解】解：设网格的边长为， 在中，， 由勾股定理得： ， ， ． 在中，易得： ， ， ， ， ， ， 计算对应边的比例： ， ， ， 所以， 所以． 故答案为：一定． 5．如图，将方格纸分成6个三角形，在②③④⑤⑥5个三角形中，与三角形①相似的三角形是___________．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，勾股定理，设方格纸的每个小正方形的边长，结合勾股定理计算得出每个三角形的三边长，再结合相似三角形的判定定理即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设方格纸的每个小正方形的边长为， 则①的三边长为，，， 的三边长为，，， 的三边长为2，，， 的三边长为，，4， 的三边长2，，， 的三边长为，，， 故和①三边对应成比例的只有③，故三角形①相似的三角形是③， 故答案为：③． 拓展相似三角形判定定理的条件辨析与逻辑推理 1. 易错条件深度辨析针对常用判定梳理易混淆边界： ①“两边成比例且夹角相等”中，若相等的角不是比例边的夹角，三角形一定相似吗？满足两边成比例、有一组角相等，但两个三角形并不相似，明确“夹角”要求的必要性； ②平行判定相似（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似）中，直线截的是两边的延长线时结论依然成立吗？通过探究，可以发现直线截三角形两边延长线（第三边同侧/异侧两种情况）均满足相似，拓展了平行判定的适用范围。 2. 规律提炼所有相似判定的核心本质是“三角形的形状唯一确定”：判定条件最终都指向三角形三个角对应相等、三边对应成比例，只要给定条件能唯一锁定三角形的形状，就能判定相似，打破了对定理的机械记忆，建立了“从本质出发判断相似”的思维逻辑。 活学活用 1．如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、如图， 根据题意得，， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； B、如图， ∵不知道的长度， ∴无法求出的长度， ∴无法得出和以为夹角的两边成比例 ∴剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似，符合题意； C、如图， ∵， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； D、∵，且 ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意． 2．下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定规则逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：∵选项A中，，符合两角分别相等的判定规则，∴A可以判定 ； ∵选项B中，符合三边成比例的判定规则，∴B可以判定； ∵选项C中，且相等角是两组比例边的夹角，符合两边成比例且夹角相等的判定规则，∴C可以判定； ∵选项D中，相等的角不是这两组成比例的边的夹角，不满足相似三角形的判定规则，∴D不能判定． 3．已知中，，（不与A、C重合），过P点的一条直线与的边相交，所构成的三角形与原三角形相似（    ）条． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定方法，过点P作直线与另一边平行或垂直，或即可． 【详解】解：如图，过点P作直线与另一边平行（两条）或垂直（一条），或（一条），共4条直线． 题型平行截获型相似 解题贴士 1. 找准平行直线截三角形得到的对应线段，优先利用「平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似」直接判定； 2. 若平行线在三角形外部（两边延长线），注意对应顶点的顺序，不要写错相似三角形的对应关系； 3. 常结合平行线分线段成比例定理转化线段比例，优先找对对应角的相等关系。 ▌例1如图，在中，，若，，则 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由 可得 ，但需注意相似比是 ，而题目给的是 ，需要先求出 ． 【详解】解：∵， ，， ， ，设 ，则 ， ， ， ， ， ， ， ． ▌例2．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出的长为，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定及性质．熟练掌握中位线定理是解题的关键． 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，再根据相似三角形的判定解答． 【详解】解：∵的中点M，N，的长为， ∴，，故A，B，C选项正确，不符合题意； ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D ▌对点练1-1如图，，，则与的周长之比为________． 【答案】 【分析】根据，证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴． ▌对点练1-2．如图，中，，分别在，上，，，则与的面积之比为_________． 【答案】 【分析】由可判定与相似；再根据求出与的比例，也就是两个相似三角形的相似比；最后根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”，即可算出两个三角形的面积之比． 【详解】解：， ． ， ，即与的相似比为． ，即与的面积之比为． ▌对点练1-3．如图，在中，点，分别在，上，，若，，则_____． 【答案】 【分析】首先根据，结合相似三角形的判定定理得出；再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的线段长度计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 题型 两角对应相等判定相似 解题贴士 公共角、对顶角是天然的相等角，优先寻找这两类角作为第一组相等角； 2. 遇到直角三角形，若有一组锐角相等即可判定相似，注意挖掘题干中隐含的垂直条件（如高、直径所对圆周角等）； 3. 利用同角的余角（或补角）相等推导第二组相等角，是该题型最常见的推导思路； 4. 若三角形是等腰三角形，可推导顶角相等或底角相等，进而得到两角对应相等。 ▌例1．下列命题中，正确的是（   ） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个直角三角形一定相似 C．两个等边三角形一定相似 D．两个钝角三角形一定相似 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，等边三角形由于角固定，故总是相似．根据相似三角形的判定定理，两个三角形相似需对应角相等或对应边成比例．等边三角形的所有角均为，故一定相似． 【详解】解：A．两个等腰三角形的顶角可能不相等，故对应角不一定相等，不一定相似． B．两个直角三角形的锐角可能不相等，故对应角不一定相等，不一定相似． C．∵等边三角形的每个内角均为60°，∴任何两个等边三角形的对应角都相等，∴它们一定相似． D．两个钝角三角形的钝角可能不相等，故对应角不一定相等，不一定相似． 因此，正确的是C． 故选：C． ▌例2．各有一个角为的两个直角三角形一定（   ） A．全等 B．相似 C．既全等又相似 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，两个直角三角形都有一个角为，因此两组角对应相等的两个三角形相似，又因为边的大小未知，无法保证全等，即可作答． 【详解】解：∵两个直角三角形都有一个角为， ∴ 两个直角三角形相似（两组角对应相等的两个三角形相似）， ∵边的大小未知，无法保证全等， ∴两个三角形不一定全等， 故选：B． ▌对点练1-1．如图所示的三个三角形，相似的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理. 分别把三个三角形的内角计算出来，利用两角对应相等判断三角形相似. 【详解】解：分别把三个三角形的内角都计算出来. ①：由，所以三个内角分别为，，. ②：由，所以三个内角分别为，，. ③：由，所以三个内角分别为，，. 所以只有①②的内角都相等，符合相似三角形的判定定理. 故选：A． ▌对点练1-2．如图，是斜边上的高，请写出图中的一对相似三角形：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定，关键是熟练应用知识点解题；根据两角对应相等的两个三角形相似即可得出结论． 【详解】解：∵是斜边上的高， ∴， ∵， ∴， 同理：，， 故答案为：． ▌对点练1-3．如图，已知：点、分别在的边上，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，， ∴． 【详解】略 题型 两边对应成比例且夹角相等判定相似 解题贴士 1. 必须验证相等的角是成比例两边的夹角，若角是其中一边的对角，该判定不成立，不要混淆； 2. 已知线段长度时，先计算两组对应边的比值，验证比值是否相等，再确认夹角是否相等； 3. 遇到坐标类题目，可利用勾股定理计算三角形边长，再验证比例关系和夹角； 4. 常结合公共角考查，公共角作为天然夹角，出现概率极高。 ▌例1如图，不等长的两条对角线相交于点O，若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有____________． 【答案】甲和丙 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的常用判定方法． 根据“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴甲和丙一定相似， 故答案为：甲和丙． ▌例2如图，，相交于点，且，，，当_____时，与相似． 【答案】54或 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 已知，只需要夹边成比例即可得到与相似，再分类讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴与相似时，或 ∴或 ∴或， 故答案为：54或． ▌对点练1-1如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴． ▌对点练1-2如图，与相交于点，已知，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ， ， 又， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据边长得出对应边成比例，依据对顶角相等得到，即可证明． 【详解】略 题型三边对应成比例判定相似 解题贴士 1. 将两个三角形的三边按长度从小到大排序，依次计算对应边的比值，验证比值是否相等； 2. 若题干给出的是三边比例关系，直接设参数表示边长，再计算对应比值即可； 3. 网格类题目中，利用勾股定理计算各边长是常用方法，再按排序验证比例关系； 4. 注意单位统一，避免因单位不一致导致比值计算错误。 ▌例1如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，分别计算出每个三角形的边长，依据三边对应成比例进行判断即可得出结论． 【详解】解：的三边长分别为：，，； 的三边长分别为：，，， ∵， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，； ∴， ∴； 的三边长分别为：，，， ∴， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，, ∴， ∴与不相似； 故答案为：． ▌例2如图所示，已知．求证：． 【答案】 证明：， ， ． ． 即． 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，先根据相似三角形的判定证明，再根据相似三角形的对应角相等得到即可求解． 【详解】略 ▌对点练1-1如图，在中，已知，，．在中，已知，，，求证：． 【答案】 证明：，，，，，， 则， ， ． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据三边成比例的两三角形相似，得证，即可作答． 【详解】略 ▌对点练1-2根据下列条件判定和是否相似，如果是，那么用符号表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1) ∵， ∴； (2) ∵， ∴． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，需要掌握相似三角形的判定方法． 根据和的三边对应成比例，则两个三角形相似，由此判定即可． 【详解】（1）略 （2）略   题型 相似判定的条件补充 解题贴士 1. 先整理题干已有的条件：若已有一组角相等，可补充另一组角相等，或补充夹这个角的两边对应成比例； 2. 若已有两组边对应成比例，可补充夹角相等，或补充第三组边也成比例； 3. 注意答案的不唯一性，根据已有条件列举所有符合要求的结论，不要漏解； 4. 补充条件后，验证是否满足判定定理，排除不符合判定规则的错误条件（如SSA补充错误）。 ▌例1如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据证明三角形相似的方法逐一判断选项即可． 【详解】解：根据题意可知， 选项A，，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意． 选项B，，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意． 选项C，可转化成，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故不符合题意． 选项D，两边不成比例且夹角也不相等，不能判定三角形相似，故符合题意． ▌例2如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知两个三角形有一组公共角，若要使两个三角形相似，只需夹这组公共角的两边对应成比例即可． 【详解】解：∵， ∴要证明需要满足， ∴，故C符合题意； A、B、D中的条件结合现有条件无法证明． ▌对点练1-1如图，在中，是边上的一点，，，要使，则的长为________． 【答案】 【分析】先根据得出，再根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴当时，成立， 又∵， ∴． ▌对点练1-2如图，已知点D是边上的一点，连接．添加一个条件，可以得到，则该条件可以是_____．（写出一个即可） 【答案】或或（选择一个即可）． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据有两组角对应相等的两个三角形相似和两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似添加条件即可解答． 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，； 当时，． 故答案为：或或（选择一个即可）． 题型 相似判定的存在性探究 解题贴士 1. 先固定已知相等的角，再根据对应顶点的不同分情况讨论，避免漏解； 2. 通常存在两种对应情况：∠A对应∠B和∠A对应∠C，分别根据对应关系列出比例式求解； 3. 求解后验证线段长度（或坐标）是否符合题意，舍去不符合实际情况的增根； 4. 动点类存在性问题，结合动点的运动范围，对解进行取值范围检验。 ▌例1如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，3）和（9，0），若坐标轴上存在点C，使△OBC和△OAB相似，则点C的坐标是___________． 【答案】()  ( 1,0  )   () 【详解】如图,点C与点A关于x轴对称时,△OCB和△OAB全等,此时C点坐标为(0，−3); ∵∠COB=∠BOA， ∴当,△OBC∽△OAB,即,解得OC=9,此时C点坐标为(0,9)或(0,−9)， 综上所述,C点坐标为(0，−3),(0,9),(0,−9). 故答案为(0，−3),(0,9),(0,−9). ▌例2如图，在矩形中，是对角线，点，分别是，的中点，连接．在直线上是否存在一点，使得与相似，如果存在，请你画出点，并证明你的结论；如果不存在，请说明理由． 【答案】存在，点的位置见解析，理由见解析 【分析】过点O作OF⊥AC交AD于点F，连接CF，△OCF即为所求． 【详解】解：存在，如图，过点O作OF⊥AC交AD于点F，点即为所求． 理由：，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，矩形的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． ▌对点练1-1如图，正方形的边长是，是的中点，点在射线上，过点作，垂足是点． (1)求证：； (2)当点在射线上运动时，设，是否存在实数，使以为顶点的三角形与相似？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) 证明：∵正方形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)或 【分析】（1）根据相似三角形的判定方法进行论证； （2）分情况讨论不同对应关系下的相似即可求得结果． 【详解】（1）略 （2）解：当时， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵正方形中， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上：当或时，以为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定、矩形的性质、勾股定理，关键是相似三角形的判定的应用． 题型 相似三角形的判定与性质综合 解题贴士 1. 判定优先找两角对应相等，其次看两边成比例且夹角相等、三边对应成比例，平行线截三角形是最常用的隐藏相似条件。 2. 相似三角形对应边、对应线段的比都等于相似比，面积比是相似比的平方，解题时常用来换算边长与面积。 3. 遇到线段乘积、比例式可转化为相似三角形对应边比例，找准两组对应角就能搭建相似关系列式计算。 ▌例1如图，在中，若点、分别是、的中点，，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理判定且，从而证得，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解． 【详解】解：点、分别是、的中点， 为的中位线， ，， ， ， ， ． ▌例2如图，在中，，，D，E分别在，上，将沿翻折后，点A落在点处，若为的中点，则折痕的长为（     ） A．1 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据翻折的性质、平行线的判定、相似三角形的判定与性质，即可解答． 【详解】解：将沿翻折后，点A落在点处， ，． 为的中点， ， ， ． ， ， ， ， ， ． ▌对点练1-1如图，，与相交于点E，，，垂足分别为F，G．若，，则的值为_________． 【答案】 【分析】由平行线的性质得出内错角相等，结合垂直的定义得出直角相等，从而证明 ，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． ▌对点练1-2如图，平行四边形中，E是边上的点，交于点F，如果，那么__________． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质可得，，于是可证得，然后由相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ∴． ▌对点练1-3如图，点、分别在边、上，，若，，，求的长． 【答案】 【分析】利用题目条件推出，从而，代入值可得的长． 【详解】解：，， ， ， ，，， ， ． 基础通关 1．如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，平行线的性质与判定，对于A，可证明得到，再由得到，据此可证明；对于B，所加条件和现有条件无法证明；对于C、可证明，则同A可证明；对于D，根据平行线的性质得到，则可证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， 再结合条件不能证明，故此选项符合题意； C、∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故此选项不符合题意； D、∵， ∴， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．下列各条件中，能判断的是（    ） A．， B．， C．， D．，，， 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定． 需根据相似三角形的判定定理（两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例）逐一分析选项． 【详解】选项，仅一组边相等且一组角相等，不满足相似三角形的判定条件， 不能判断，不符合题意； 选项，，是与的夹角，但不是与的夹角， 不满足两边对应成比例且夹角相等的判定条件， 不能判断，不符合题意； 选项，三角形内角和为，， ，即， 又，变形得， 两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似 能判断，符合题意； 选项，在中，，， ， 在中，，， ， 即对应角不相等， 不能判断，不符合题意． 故选：． 3．如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法逐一判断即可，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 、∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴，不符合题意； 、由，不能证明，符合题意； 故选：． 4．如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（    ）． A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，勾股定理，掌握好相似三角形的判定定理是关键． 结合网格图与勾股定理，计算出每个三角形的三边长，利用三边对应成比例的判定定理判断相似三角形． 【详解】解：由网格图和勾股定理可得， ①中三角形的三边长为，，； ②中三角形的三边长为，，； ③中三角形的三边长为，，； ④中三角形的三边长为，，； ∵， ∴①和③中的三角形相似． 故选：C． 5．下列各组图形中不一定是相似图形的是（   ） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形，相似图形需对应角相等且对应边成比例．A、B、C中的图形因角度固定且边长比例确定，故一定相似；D中的直角三角形角度和边长比例可能不同，故不一定相似，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、两个等腰直角三角形，两个锐角都是度，故两个等腰直角三角形是相似图形，故该选项不符合题意； B、两个等边三角形，每个内角都是，故两个等边三角形是相似图形，故该选项不符合题意； C、两个正方形，每个正方形的四条边都相等，每个内角都是度，故两个正方形是相似图形，故该选项不符合题意； D、两个直角三角形的一个内角是，但其他两个内角不一定相等且三边不一定成比例，故两个直角三角形不一定是相似图形，故该选项符合题意； 故选：D． 6．如图，中，点是的中点，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．利用平行线的性质得到两组对应角相等，从而证明三角形相似，再结合中点条件得到相似比，进而求出线段的比值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴． 故选：A． 7．如图，不能判定和相似的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐项分析判断求解． 【详解】解：由图可知：， 若，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定和相似，故A不符合题意； 若，则，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定和相似，故B不符合题意； 若，根据“若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似” 可判定和相似，故D不符合题意； 若，即，不能判定和相似，故C符合题意； 故选：C． 8．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点、、、都在格点上，连接、交于点，那么的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了利用平行判定相似，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明，再列出比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，在和中，，请添加一个条件：______，使． 【答案】（或或） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，根据已知可得，根据相似三角形的判定定理，添加条件，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， 添加条件，则； 添加条件，则； 添加条件，则； 故答案为：（或或）． 10．如图，与的顶点均在正方形网格的格点上，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用三边成比例的两个三角形相似证明，然后利用相似三角形的性质可得，即可解答． 【详解】解：由题意，得，，，，， ，，， ， ， ． 故答案为：． 11．如图所示的两个三角形_______相似三角形（填“是”或“不是”）． 【答案】是 【分析】分别求出两个三角形的三个内角，再看是否有两角分别相等． 【详解】解：对于左边的三角形，已知两个角分别为和，根据三角形内角和为，可得第三个角为： ． 对于右边的三角形，已知两个角分别为和， ∵两个三角形有两个角分别相等， ∴这两个三角形是相似三角形． 故答案为：是 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是掌握“两角分别相等的两个三角形相似”这一判定定理，通过计算三角形内角来判断角是否相等． 12．如图，在中，是边上的高，且，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，属于基础题，熟悉相似三角形的判定证明及用好其性质是解题关键． 根据是边上的高和即可证明；再由相似三角形的性质证，再结合，即可得． 【详解】由题意可知，． ， ， ． ， ． 13．如图，点D、E分别在的边上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）根据两组对应角相等，证明； （2）根据相似三角形对应边成比例列式求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴， 即， 解得． 14．如图，在中，D为上一点，E为上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1) 证明：， ， ，， ， ， ； (2) 【分析】对于本题重点，掌握相似三角形的判定定理1，以及相似三角形的对应边成比例的性质． （1）根据两角对应相等，两三角形相似证明即可； （2）根据得到，然后求出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：在（1）中已证明， ， ，，， ， ． 15．如图，D是的边上的一点，连接，已知．求证：． 【答案】证明：∵，，∴． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据两组角对应相等的两个三角形相似可证明结论． 【详解】略 素养提升 1．已知如图1，2中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对图1，2中的两个三角形，下列说法正确的是（     ） A．都相似 B．都不相似 C．只有图1相似 D．只有图2相似 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理分别判断即可． 【详解】解：在图1中，三角形内角和为， ∴左三角形的第三个角：， ∴三个角为； 右三角形的第三个角：， ∴三个角为； 两个三角形只有一个角相等，三个角不对应相等， ∴图1的两个三角形不相似； 图2中和，和是对顶角， ∴； 夹对应角的边满足：，， 即， ∴图2的两个三角形相似． 2．下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理逐一判断选项，找出不能判定两个三角形相似的选项即可． 【详解】解：A、，，符合“两角分别对应相等的两个三角形相似”的判定定理，∴可以判定，故此选项不符合题意； B、，符合“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，∴可以判定，故此选项不符合题意； C、，且对应边的夹角，符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定规则，∴可以判定，故此选项不符合题意； D、，相等的不是与的夹角，不满足相似三角形的判定定理，∴不能判定，故此选项符合题意． 3．若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】明确判定两个三角形相似的“三边成比例”判定定理，即如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．对每个选项，先分别将的三条边和的三条边按从小到大的顺序排序，确定对应边的匹配关系．分别计算两个三角形三组对应边的比值，判断三组比值是否相等，若相等则两三角形相似． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴．故此选项符合题意； B、∵， ∴， ∴． ∵与对应顶点不匹配，不满足， 故此选项不符合题意； C、∵， ∴，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，故此选项不符合题意． 故选：A． 4．已知、分别是的边、上的点（不与端点重合），且与不平行，要使得与相似，那么添加一个条件可以为 ______ （只填一个）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似． 根据相似三角形的判定方法添加条件即可． 【详解】解：已知D、E分别是的边、上的点，且与不平行，， 故添加条件即可求得． 故答案为：（答案不唯一）． 5．如图，的面积为，D，E分别是边的中点，则梯形的面积为______． 【答案】9 【分析】先证明，利用三角形相似的性质解答即可. 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键. 【详解】解：∵D，E分别是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 梯形的面积为． 故答案为：9． 6．如图，D是的平分线上一点，．若要使，则的长为_________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例． 若，则，代入相关长度，即可求解． 【详解】解：∵是的平分线上一点，则， 若， 则， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 7．如图，在中，点D在边上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵在和中 ，， ∴； (2) 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可解答； （2）利用（1）的结论，根据相似三角形的性质列出比例式解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ， ， ， (舍去负值)， 的长为． 8．如图，在中，，，点、分别在线段、上，，，求证：． 【答案】证明：，，，， ，， ，， ， ， ． 【分析】根据题意可求出，，进而得到，结合，即可得证． 【详解】略 9．如图，将等边三角形折叠，使点落在边上的点处，（不与、重合）折痕为． (1)求证：； (2)若，，求与的相似比． 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴， 由折叠得， ∴， ， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）因为是等边三角形，所以三个内角均为；又因为折叠前后对应角相等，所以，利用平角定义和三角形内角和定理，推导，结合，用两角分别相等的两个三角形相似的判定定理证明相似． （2）首先由和的长度计算出的长度，即等边三角形的边长；根据折叠的性质得到，由，，得，得的周长为16，的周长11．进而得出相似比． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 由折叠得，， ∴，， ∴， ， ∴的周长为16，的周长为11． ∵， ∴． 10．如图，在中，，是边的中点，连接，作，垂足为E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2) 【分析】（1）得出，根据两角分别相等的两个三角形相似即可得证； （2）先证出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：∵是边的中点， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）． 迁移创新 1．阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) ∵，， ∴， ∴． (3) ∵，， ∴， ∴． ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．本题考查一线三等角模型，平时要多积累总结． （1）利用已知得出，以及即可得出； （2）利用已知得出，进而求出; （3）根据相似三角形的判定得出，确定，结合题意得出，再由相似三角形的判定和性质即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 2．在等边中，点为上一点，连接，直线与分别相交于点，且． （1）如图（1），写出图中所有与相似的三角形，并选择其中的一对给予证明； （2）若直线向右平移到图（2）、图（3）的位置时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立?若成立请写出来(不证明)，若不成立，请说明理由； （3）探究:如图（1），当满足什么条件时(其他条件不变)，?请写出探究结果，并说明理由(说明:结论中不得含有未标识的字母)． 【答案】（1） △BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD；（2）均成立，分别为△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，（3）当BD平分∠ABC时，PF=PE． 【分析】（1）由两角对应相等的三角形是相似三角形找出△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，这两组三角形都可由一个公共角和一组60°角来证明； （2）成立，证法同（1）； （3）先看PF=PE能得出什么结论，根据△BPF∽△EBF，可得BF2=PF∙PE=3PF2，因此，因为，可得∠PFB=90°，则∠PBF=30°，由此可得当BD平分∠ABC时，PF=PE． 【详解】解：（1）△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，证明如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°， ∵∠BPF=60° ∴∠BPF=∠EBF=60°， ∵∠BFP=∠BFE， ∴△BPF∽△EBF； ∵∠BPF=∠BCD=60°，∠PBF=∠CBD， ∴△BPF∽△BCD； （2）均成立，分别为△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD，证明如下： 如图（2）∵∠BPF=∠EBF=60°，∠BFP=∠BFE， ∴△BPF∽△EBF； ∵∠BPF=∠BCD=60°，∠PBF=∠CBD， ∴△BPF∽△BCD． 如图（3），同理可证△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD； （3）当BD平分∠ABC时，PF=PE， 理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBF=30°． ∵∠BPF=60°，∴∠BFP=90°． ∴PF=PB 又∵∠BEF=60°−30°=30°=∠ABP， ∴PB=PE． ∴PF=PE． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判断是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $