专题10 正多边形、弧长及扇形面积 同步培优讲义 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学正多边形与圆、弧长及扇形面积核心知识点，系统梳理正多边形定义、四要素（中心、半径、边心距、中心角）、性质及计算（转化为直角三角形求解），弧长与扇形面积公式推导及应用（含不规则图形转化），构建以圆的基本性质为基础的几何计算学习支架。 资料特色在于知识框架清晰（知识清单+易错点提示），题型分类全面（14类题型，如正多边形中心角计算、扇形半径逆向求解），结合团扇、风车等生活实例培养数学眼光，通过公式推导与转化训练推理意识，课中辅助分层教学，课后助力学生通过题型精讲和小练查漏补缺，提升应用意识。

专题10 正多边形、弧长及扇形面积 同步培优讲义 ✺知识框架 板块一：正多边形与圆 基础概念：正多边形定义、正多边形与圆的位置关系 核心要素：中心、半径、边心距、中心角 核心性质：内角规律、轴对称性、中心对称性 计算应用：中心角计算、周长计算、面积计算 板块二：弧长及扇形的面积 弧长计算：公式推导、标准公式、公式逆向变形 扇形基础：扇形定义、两类扇形面积公式 公式应用：公式适用场景、正向与逆向计算 综合拓展：不规则、阴影图形面积转化求解 ✅本节内容依托圆的基本性质展开，核心是圆的量化计算。正多边形可通过图形拆分转化为直角三角形求解边长、周长与面积；弧长与扇形面积公式由圆的周长、面积公式推导所得，是求解规则图形、转化求解不规则阴影图形面积的核心依据，属于初中几何计算的基础必考考点。 ✺学习目标 1.理解正多边形的定义及与圆的关系，掌握正多边形中心、半径、边心距、中心角四大核心概念。 2.掌握正多边形的性质与对称性，熟练求解正多边形的边长、周长与面积。 3.理解弧长、扇形面积公式的推导原理，熟记公式并明确各参数含义。 4.熟练运用公式进行正向计算与逆向推导，适配课本基础及同步培优题型。 5.掌握阴影、组合图形面积的转化求解方法，规范解题步骤。 ✺题型归纳 题型1.求正多边形的中心角 题型2.已知正多边形的中心角求边数 题型3.正多边形和圆的综合 题型4.尺规作图——正多边形 题型5.平面镶嵌 题型6.求弧长 题型7.求扇形半径 题型8.求圆心角 题型9.求某点的弧形运动路径长度 题型10.求扇形面积 题型11.求弓形面积 题型12.求其他不规则图形的面积 题型13.求图形旋转后扫过的面积 题型14.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、正多边形与圆 1.正多边形定义：各边相等、各内角相等的多边形为正多边形。 任意正多边形必有唯一的外接圆与内切圆，两圆为同心圆。 2.正多边形核心四要素 （1）中心：正多边形外接圆的圆心。 （2）半径：正多边形外接圆半径，即中心到顶点的距离。 （3）边心距：正多边形中心到各边的垂直距离，即内切圆半径，垂直平分对应边长。 （4）中心角：正多边形的边所对的外接圆圆心角。 3. 核心计算公式 设正多边形的边数为n，半径为R，边心距为r,边长为a,则有： 多边形的内角的度数：＝180°－。 正多边形的中心角的度数： 正多边形半径、边心距、边长的关系：＝＋ 正多边形的周长：C＝n·a 正多边形的面积：S=nar=C·r 4.基础性质 （1）轴对称性：所有正多边形均为轴对称图形，正n边形有n条对称轴，且均过图形中心。 （2）中心对称性：偶数边正多边形为中心对称图形；奇数边正多边形仅为轴对称图形。 知识点二、弧长公式 1.在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为：l=·2πR,即l= 注意：在弧长公式l=中，已知l,n，R中的任意两个量可以求出第三个量，公式中的n和180都不带单位. 2.公式常用变形 n=，R= 知识点三、扇形面积公式 扇形定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。 1. 扇形的面积： 在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆的面积S=π,所以圆心角为n°的扇形面积是=π×=. 扇形面积还可以用弧长表示：=lR,其中l为扇形的弧长，R为半径. 2.公式适用场景 （1）已知圆心角度数，选用角度式公式； （2）已知弧长或逆向计算，选用弧长式公式，计算更简便。 知识点四、弓形面积 计算方法： 优弧弓形面积 = 扇形面积 + 三角形面积 劣弧弓形面积 = 扇形面积 − 三角形面积 知识点五、图形变化规律 1.半径固定时，圆心角越大，弧长越长，扇形面积越大。 2.圆心角固定时，半径越大，弧长越长，扇形面积越大。 ★易错点清单 1.概念混淆：混淆正多边形外接圆半径与内切圆边心距，公式代入出错。 2.公式混淆：弧长公式分母为180，扇形角度式面积公式分母为360，易记反。 3.条件遗漏：弧长、扇形面积公式仅适用于同圆或等圆，忽略适用条件直接套用易出错。 4.公式僵化：不会灵活切换扇形两类公式，逆向计算失误率高。 ✺题型精讲 题型1.求正多边形的中心角 1．正十边形的中心角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角度数，掌握相关计算公式是解题的关键． 正多边形的中心角度数等于除以边数． 【详解】解：∵正十边形的边数， ∴中心角度数为， 故选B． 2．团扇是中国汉族传统的工艺品及艺术品，起源于商代，其雏形可追溯至战国时期的“便面”．团扇融合了绘画、书法、雕刻等艺术形式，象征团圆吉祥，承载中华传统审美与文化内涵．如图1是一款名为“蝶戏芳丛”的刺绣团扇扇面，其外轮廓为如图2所示的正八边形，已知该正八边形的中心为点，则的度数为___________． 【答案】 【分析】根据正多边形的中心角定义进行解答即可． 【详解】解：由正八边形的性质，可得． 3．如图所示，已知点为正六边形的边的中点，连接，仅用无刻度的直尺画图，保留画图痕迹． (1)在图1中画出边的中点； (2)在图2中将绕点顺时针旋转． 【答案】(1) 解：如图，即为所求． (2) 解：如图，即为所求． 【分析】（1）连接， 交于点，连接并延长交于，结合正六边形的性质可得，关于直线对称，可得为中点． （2）连接交于，连接，由正六边形的性质可得，，可得，，可得，可得，，可得即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查的是正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，熟练的作图是解本题的关键． 题型2.已知正多边形的中心角求边数 1．若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的边数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用正多边形中心角与边长的关系，当正多边形的边长与外接圆半径相等时，中心角对应的三角形为等边三角形，中心角为，从而边数为，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设正多边形中心为，相邻顶点，（外接圆半径），（边长），且， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴正多边形的边数， 故选：． 2．如图，是的内接正多边形的一条边，连接，，，则这个正多边形的边数为________． 【答案】 【分析】圆内接正多边形的每个中心角相等，且所有中心角之和为，据此进行计算． 【详解】解：圆内接正多边形的中心角之和为，且每个中心角相等． 已知该正多边形的一个中心角，设正多边形的边数为，则： ． 3．正多边形的一部分如图所示，点为正多边形中心，若，则该正多边形的边数为_____． 【答案】9 【分析】本题考查了圆周角定理、圆与正多边形，熟练掌握圆与正多边形的性质是解题关键．连接，先得出是这个正多边形的外接圆，再根据圆周角定理可得，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵点为正多边形的中心， ∴是这个正多边形的外接圆， 由圆周角定理得：， ∴该正多边形的边数为， 故答案为：9． 题型3.正多边形和圆的综合 1．如图，正八边形内接于为上任意一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形与圆，涉及到正八边形的性质、圆周角定理，熟练掌握正八边形性质及圆周角定理作出辅助线是解决问题的关键． 连接、，根据正八边形性质得到，再结合圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得到答案． 【详解】解：连接、，如图, 正八边形内接于， ， P是圆上任意一点，， 根据圆周角定理，， 故选：B． 2．我国古代《九章算术》记载“方田割圆”思想，若一个圆内接正六边形的边长为2，则该圆的阴影部分面积为____________． 【答案】/ 【分析】利用圆的面积公式和三角形的面积公式求得圆的面积和正六边形的面积，根据阴影面积圆的面积−正六边形的面积即可得出结果． 【详解】解：如图，是正六边形的一条边，连接,则，作于点，则， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， 即的半径为2， ∴ ∴，的面积为， ∴， ∵正六边形可分为六个边长为2的等边三角形， ∴正六边形面积为． ∴阴影面积为． 3．在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径，老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如图所示： (1)通过计算（结果保留根号与）． （Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为______； （Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为______； （Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为______． (2)其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形与圆、勾股定理，解题的关键是理解三个正方形摆放． （1）（Ⅰ）连接正方形的对角线，利用勾股定理求出的长即可； （Ⅱ）利用勾股定理求出小正方形对角线的长即可； （Ⅲ）找出过三点的圆的圆心及半径，利用勾股定理求解即可； （2）连接，延长交于点P，则，P为中点，设，则，再根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：（Ⅰ）如下图，连接， ， （）， 图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为； （Ⅱ）如下图， 三个正方形的边长均为4， 三点在以O为圆心，以为半径的圆上， （）， 图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为； （Ⅲ）如下图所示， ， 是过三点的圆的直径， ， 为圆心， 的半径为， （）， 图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为； （2）如下图，为盖住三个正方形时直径最小的放置方法，连接，延长交于点P，则，P为中点，       设，则， 则有：， 解得：， 则， 圆形硬纸板的直径是． 题型4.尺规作图——正多边形 1．按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，正方形的判定与性质，三角形的外角性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由作图可推出四边形是正方形，，得到，，再根据三角形的外角性质可得，最后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：由作图可得，，，， 四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， 故选：A． 2．如图，正八边形ABCDEFGH内接于☉O，点P是上的任意一点，则∠CPE的度数为____． 【答案】． 【分析】连接OD,OC,OE,利用正八边形的中心角的定义，计算圆心角∠COE，根据圆心角与圆周角的关系定理计算即可． 【详解】连接OD,OC,OE, ∵八边形ABCDEFGH是正八边形, ∴∠COD=∠DOE==45°, ∴∠COE=45°+45°=90°, ∴∠CPE=∠COE =45°. 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了正多边形的中心角，圆心角与圆周角关系定理，连接半径，构造中心角是解题的关键． 3．如图，已知，请用尺规作图法作圆的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】解：如图，六边形即为所作． 【分析】任意作一条直径，以点A为圆心，的长为半径画弧，分别交于点B，F，再分别以点B，F为圆心，的长为半径画弧，分别交于点C，E，顺次连接，，，，，，即可得六边形． 【详解】略 题型5.平面镶嵌 1．如图，图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正十二边形、正六边形和正方形构成，其中边的延长线与对角线交于点E，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的内角和．根据正十二边形的每个内角为，求得，根据正六边形的每个内角为，求得，再利用三角形的外角性质，求解即可． 【详解】解：正十二边形的每个内角为， ∴， 正六边形的每个内角为， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，设计师采用正五边形与菱形搭配设计地面镶嵌图案，菱形地砖的锐角为________． 【答案】72 【分析】根据正五边形的一个内角是，进而利用平面图形镶嵌的内角和是解答即可． 【详解】解：∵正五边形的一个内角是，平面图形镶嵌的内角和是， ∴菱形地砖的锐角． 3．综合与实践 生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，上面的图案常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．比如，我们知道，若用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角，如题图1． 【发现问题】（1）①如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着__________个正六边形的内角；②平面镶嵌的一个“奥秘”是：拼接在同一个点的各个角的和恰好等于__________度； 【探究问题】（2）人们为了达到某种图案效果，往往会选择同时用多种不同的正多边形镶嵌平面．那么，是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？请通过计算加以说明； 【解决问题】（3）小明家浴室装修，在墙中央留下了如题图2所示的空白区域，经测量该区域完全可以按题图3所示的边长为的正三角形瓷砖镶嵌．小明经过市场调查后发现：一块边长为的正三角形瓷砖比一块边长为的正六边形瓷砖便宜45元；用600元购买正三角形瓷砖与用2400元购买正六边形瓷砖的数量相等． ①正三角形瓷砖的单价为__________元，正六边形瓷砖的单价为__________元； ②小明对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为的正三角形瓷砖和边长为的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少，按小明的想法，将空白区域全部镶嵌完，购买瓷砖最少需要__________元． 【答案】（1）①3个；②360 （2）用2个正三角形和2个正六边形镶嵌或4个正三角形和1个正六边形镶嵌， 设x个正三角形和y个正六边形进行镶嵌，根据题意，得， ， 故， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； （3）①15；60；②． 【分析】（1）①根据用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角，恰好是，正六边形的一个内角为，用，解答即可； ②根据题意，得拼接在同一个点的各个角的和恰好等于； （2）设用x个正三角形和y个正六边形进行镶嵌，根据题意，得，求的x，y的正整数解即可； （3）①设正三角形瓷砖价格为x元，则正六边形瓷砖价格元，根据题意，得，解方程即可． ②设购买正三角形瓷砖块，正六边形瓷砖块．所以面积关系满足方程：，即．设购买瓷砖的总费用为元，则，再根据一次函数性质求解即可． 本题考查了镶嵌，分式方程，二元一次方程的整数解，一次函数的性质应用，熟练掌握解方程，一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：①根据用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角，恰好是，正六边形的一个内角为， 用， 故答案为：3； ②解：根据题意，得拼接在同一个点的各个角的和恰好等于； 故答案为：360； （2）略 故可以用2个正三角形和2个正六边形镶嵌或4个正三角形和1个正六边形镶嵌． （3）①解：正三角形瓷砖价格为x元，则正六边形瓷砖价格元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根， 此时， 故正三角形瓷砖价格为15元，则正六边形瓷砖价格60元． ②解：设购买正三角形瓷砖块，正六边形瓷砖块． 由题意及图形可知，空白区域的总面积相当于78块正三角形瓷砖的面积． 因为1块正六边形瓷砖的面积等于6块正三角形瓷砖的面积， 所以面积关系满足方程：，即． 设购买瓷砖的总费用为元，则： 将代入上式得： 即 因为 所以随的增大而减小， 所以要使总费用最少，则应尽可能取最大值． ．即， 当时，．全用六边形，不符合“混合镶嵌“要求，舍去． 当时，．三角形数量太少，无法包围六边形进行镶嵌，舍去． 当时，．此时与接近，但在实际拼接中，六边形周围需要足够的三角形填充空隙，该比例下三角形依然不足，舍去． 当时，．此时三角形数量充足，可以通过组合“2个三角形＋2个六边形“与“4个三角形＋1个六边形“的方式完成镶嵌，符合题意． 此时最少费用为：（元）． 题型6.求弧长 1．制作某种弯形机械配件时，需要先按中心线（图中虚线）计算“展直长度”再下料．中心线可看作半径为，圆心角为所对的圆弧，则该中心线的展直长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧长的计算公式．根据弧长公式进行计算即可．弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）． 【详解】解：该中心线的展直长度为， 故选：B． 2．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分．历来中国有“制扇王国”之称．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子；用时须撒开，成半规形，聚头散尾．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，的长为，则的长为______________． 【答案】 【分析】根据弧长公式，进行计算即可求解． 【详解】解：，，， ， 的长为． 3．如图，在中，，以为直径作，与相交于点D．连接，与相交于点E．      (1)如图1，连接，求，的度数； (2)如图2，若点D为的中点，且，求的长． 【答案】(1)， (2)的长为 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，再根据圆周角定理得，由四边形是圆O的内接四边形得，进而即可求出的度数； （2）根据直角三角形斜边中线的性质先证明为等边三角形，则可求的度数，再由弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：，O是的中点 ∴， ∵四边形是圆O的内接四边形， ∴， ； （2）解：连接， ，为中点， ， ， 为等边三角形， ， ， 的长为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，弧长公式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 题型7.求扇形半径 1．若扇形的弧长为，，则扇形的半径为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式，弧长公式为，分别是圆心角，半径，据此列式代数进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设扇形的半径为， ∵扇形的弧长为，， 则 ∴ 解得， 故选：B 2．已知一弧长为，此弧所对圆心角为，则此弧所在圆的半径为________． 【答案】 【分析】根据弧长公式进行求解即可．此题考查了弧长公式，，其中n是圆心角度数，r为半径，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：设扇形所在圆的半径为r， 则， 解得， 故答案为：． 3．如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为____________ 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是理解圆锥展开图的扇形弧长等于圆锥的底面周长．设，则，根据圆锥展开图的扇形弧长等于圆锥的底面周长列方程求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 设，则， 根据题意可得：， 解得：， ， 故答案为：． 题型8.求圆心角 1．已知一条弧的半径为，弧长为，那么这条弧所对的圆心角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用弧长公式，将已知半径与弧长代入，计算求出圆心角度数． 【详解】解：设圆心角为，根据题意，得 ， ∴． 即这条弧所对的圆心角为． 2．如图，用一个半径为cm的定滑轮拉动重物上升，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动．若重物上升cm，则滑轮旋转的角度为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长公式，解题的关键是熟练掌握弧长公式，．根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：，即滑轮旋转的角度为． 故答案为：． 3．如图，为的直径，是上的一点，连接，若，求的长．（结果保留）    【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算、圆心角，圆周角定理，解题的关键是求出得度数． 【详解】解：， ， ， 的长， 故答案为：． 题型9.求某点的弧形运动路径长度 1．如图，半径为的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线，然后把半圆沿直线进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线重合为止，则圆心运动路径的长度等于（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轨迹、弧长公式、圆的周长公式等知识，解题的关键是搞清楚轨迹是什么图形，记住弧长公式，圆周长公式．通过观察图形可知圆心运动路径的长度等于长加上的长，其中的长为圆的周长，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图所示，圆心运动路径的长度等于． 故选：A． 2．如图，在△中，，，，将△绕点旋转到△的位置，此时在同一直线上，则点经过的最短路径长为________． 【答案】/ 【分析】先求解，，结合点A经过的最短路线长是半径为且圆心角等于的扇形的弧长，再进一步计算即可． 【详解】解：∵，，在同一直线上，， ∴，， ∴点A经过的最短路线长是半径为且圆心角等于的扇形的弧长． ∴点A经过的最短路线长． 故答案为： 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，旋转的性质，弧长的计算，锐角三角函数的应用，掌握旋转的性质是解本题的关键． 3．如图的平面直角坐标系中，的顶点分别是 (1)画出绕点逆时针旋转所得的，写出点的坐标． (2)在（1）的旋转过程中，求点B的运动路径长． 【答案】(1) 如图，即为所求,． (2) 【分析】本题考查旋转变换，弧长的计算，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键． 根据旋转的性质作图即可； 利用弧长公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴点B的运动路径长为 题型10.求扇形面积 1．已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查扇形的面积公式 根据扇形面积公式，代入圆心角和面积值，求解半径． 【详解】解：根据题意，得， 简化得：， 解得或（舍去）， 因此，扇形的半径为． 故选：A． 2．如图，在半径为的中，弦垂直平分半径，则扇形的面积为______． 【答案】/ 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，扇形面积公式等知识点． 弦垂直平分半径OC得到，结合得到为等边三角形，再利用扇形面积公式即可得到答案． 【详解】解：弦垂直平分半径， ， ， 为等边三角形， ， ∵，， ， 扇形的面积， 故答案为：． 3．在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着长为的绳子，绳子的另一端拴着一只狗． 问题： （1）这只狗的最大活动区域有多大？这个区域的边缘的长是多少？ （2）如果这只狗拴在夹角为的墙角，那么它最大的活动区域有多大？这个区域的边缘的长是多少？ （3）如果这只狗拴在夹角为的墙角，那么它最大的活动区域有多大？这个区域的边缘的长是多少？ 小结：在半径为R的圆中，圆心角为，其所对的弧长的计算公式： ；在半径为R的圆中，圆心角为，其所对的扇形的面积公式： ． 思考：根据以上公式，你发现弧长与扇形的面积具有怎样的关系呢？ ． 【答案】（1）这只狗的最大活动区域有，这个区域的边缘的长是； （2）这只狗的最大活动区域有，这个区域的边缘的长是； （3）这只狗的最大活动区域有，这个区域的边缘的长是；；； 【分析】本题考查了扇形面积的计算和弧长的计算，解题关键是熟练运用扇形面积和弧长的计算公式． （1）这只狗的最大活动区域是半径为的圆的面积，这个区域的边缘的长是半径为的圆的周长； （2）这只狗的最大活动区域是半径为，圆心角为的扇形的面积，这个区域的边缘的长是半径为，圆心角为的扇形的弧长； （3）这只狗的最大活动区域是半径为，圆心角为的扇形的面积，这个区域的边缘的长是半径为，圆心角为的扇形的弧长；小结：根据弧长和扇形的面积公式即可填空． 【详解】解：（1），， 答：这只狗的最大活动区域有，这个区域的边缘的长是； （2），， 答：这只狗的最大活动区域有，这个区域的边缘的长是； （3），， 答：这只狗的最大活动区域有，这个区域的边缘的长是； 小结：在半径为R的圆中，圆心角为所对的弧长的计算公式：； 在半径为R的圆中，圆心角为，其所对的扇形的面积公式：． 思考：根据以上公式可知， 发现弧长与扇形的面积的关系为． 题型11.求弓形面积 1．《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积（弦矢矢）．弧田（如图所示）由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦，“矢”指半径长与圆心O到弦的距离（d）之差．若“弦”为24，d为5，根据上述经验公式计算，该弧田的面积为（    ） A．80 B．100 C．104 D．128 【答案】D 【分析】本题考查了弧田面积计算问题，也考查了理解与运算能力．根据题意画出图形，结合图形利用直角三角形的边角关系求出矢和弦的值，代入公式计算求值即可． 【详解】解：如图，过点O作于点C， 由题意可知， ∴， 在中， ， ∴矢， ∴该弧田的面积为， 故选：D． 2．如图，圆是的外接圆，是圆的直径，弦，垂足为点，的平分线交于点、交于点、交于点，连接、，给出下面四个结论： ①； ②； ③当时，若，则阴影部分图形的面积为； ④当时，． 上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①②④ 【分析】本题考查的是勾股定理，圆周角定理，弧，弦，圆心角之间的关系，垂径定理，等腰三角形的判定与性质．由，可得，可得①符合题意；证明，可得，可得②符合题意；由，可得，如图，连接，可得，，进一步可得阴影部分图形的面积，可得③不符合题意；由，可得，，，设，再进一步可得④符合题意． 【详解】解：∵， ∴，故①符合题意； ∵为直径， ∴， ∴， ∵弦， ∴，， ∵的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； ∵， ∴， ∴， 如图，连接，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴阴影部分图形的面积为，故③不符合题意； ∵， ∴，，， ∴， ∴设， ∴， ∴， ∴；故④符合题意； 故答案为：①②④． 3．如图，是的直径，弦垂直平分半径，为垂足，弦与半径相交于点P，连接，若，． (1)求的半径； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)的半径 (2) 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了扇形的面积公式、圆周角定理和含角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及定理是解题关键． （1）根据垂径定理得的长，再根据平分得，根据勾股定理列方程求解即可得答案； （2）先求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵弦垂直平分半径，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴的半径． （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴ 题型12.求其他不规则图形的面积 1．如图，是的直径，点是下方的中点，连接，以点为圆心，的长为半径作圆弧．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】先求得，，根据阴影部分面积等于半径为2的半圆的面积减去弓形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，点是下方的中点，， ∴， 阴影部分面积为 2．如图，已知三角形为等腰直角三角形，米，以为圆心，8米长为半径画弧，以为直径作半圆，形成图形（阴影部分），此阴影部分的面积__________．（结果保留） 【答案】平方米 【分析】设与的交点为D，过点D作，垂足为O，连接，先证明，由等腰三角形三线合一的性质得出，再根据计算即可． 【详解】解：如图，设与的交点为D，过点D作，垂足为O，连接， ∵为直径， ∴，即， ∵三角形为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴米， ∴ 平方米． 答：阴影部分的面积为平方米． 3．如图，四边形内接于，是的直径，且． (1)求的度数； (2)若，，求阴影部分的面积 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了圆周角定理的应用以及扇形面积的计算，解题关键是作辅助线和熟记扇形的面积公式． （1）先根据圆内接四边形的性质可得，则可得，再根据圆周角定理求解即可得； （2）连接、，作于点，先求得，根据圆周角定理得到，再根据计算即可． 【详解】（1）解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）解：如图，连接、． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 作于点，则， ∴， ∴ ． 题型13.求图形旋转后扫过的面积 1．贵州毕节风车草原成为近年来网红打卡地，云海风车更是吸引着全国各地的游客前来参观．风车扇叶示意图如图所示，扇叶的长为20米，当扇叶旋转至位置时，扇叶扫过的面积为（   ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】C 【分析】本题考查扇形的面积，根据扇形的面积公式（n为圆心角的度数，r为半径）求解即可． 【详解】解：由题意，扇叶扫过的图形为扇形，且，半径米， ∴扇叶扫过的面积为平方米， 故选：C． 2．如图，直角的直角顶点为B，且，，，将此三角形绕着顶点A逆时针旋转72度到直角的位置，在旋转过程中，线段扫过的面积是___．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积，旋转变换，推出扫过的面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键． 线段所扫过的面积． 【详解】解：线段所扫过的面积 ． 故答案为． 3．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点坐标分别是、、．将绕点逆时针旋转90°后得到，点、分别与点、对应． (1)请在图中画出； (2)求在旋转过程中线段所扫过图形的面积．（结果保留π） 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求： (2) 【分析】本题主要考查了画旋转图形，求扇形的面积，准确计算是解题的关键． （1）根据旋转的性质，找到、的对应点、，画出，即可求解． （2）扫过的是以点为圆心，以为半径的的圆的面积，再根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：、、， ， 线段所扫过的图形的面积为． ✺课堂小练 一、单选题 1．下列图形旋转后可以与原图形重合的是（    ） A．正六边形 B．正五边形 C．正方形 D．正三角形 【答案】A 【分析】根据旋转对称图形的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、正六边形的中心角为：，绕它的中心旋转后可以和原图形重合，符合题意； B、正五边形的中心角为：，绕它的中心旋转后不能和原图形重合，不符合题意； C、正方形的中心角为：，绕它的中心旋转后不能和原图形重合，不符合题意； D、正三角形的中心角为：，绕它的中心旋转后不能和原图形重合，不符合题意； 2．一个扇形的圆心角是，面积为，那么这个扇形的弧长为（    ）． A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据扇形的面积求出半径，再利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：设扇形的半径为， 则：， ∴（负值已舍掉）； ∴这个扇形的弧长为； 故选B． 【点睛】本题考查求弧长．熟练掌握扇形的面积公式和弧长公式，是解题的关键． 3．如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正六边形的性质得出正六边形可以分成面积相等的6个等边三边形，过点O作，则，根据勾股定理求出，求出，进而可得出正六边形的面积，最后根据正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果． 【详解】解：正六边形如下图： ，又， ∴是等边三角形， 同理可知：正六边形可以分成面积相等的6个等边三角形， 过点O作， 则， ∴， ∴， 正六边形的面积为：， 六个小半圆的面积为：，中间大圆的面积为：， 所以阴影部分的面积为：． 二、填空题 4．如图，为的内接正多边形的一边，已知，则这个多边形内角和为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，熟练掌握相关知识是解题的关键． 先求出边数，进而即可得解． 【详解】解：多边形边数， ∴内角和为． 故答案为：． 5．一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线l重合，．现将该三角板绕点B顺时针旋转，使点C的对应点落在直线l上，则点A经过的路径长至少为_________．（结果保留） 【答案】/ 【分析】本题考查旋转性质、弧长公式，先根据旋转性质求得，，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：由题意，，， ∴点A经过的路径长至少为， 故答案为：． 6．如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间，掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看成一张拉满弦的弓，弧长约为米，“弓”所在的圆的半径约米，则“弓”所对的圆心角为________度．    【答案】 【分析】由题意得：，，设“弓”所在的圆的弧长圆心角度数是，则，进行计算即可得． 【详解】解：如图，    由题意得：，， 设“弓”所在的圆的弧长圆心角度数是， 则， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是已知弧长与半径求解弧所对的圆心角，熟记弧长公式是解本题的关键． 三、解答题 7．如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．已知，点C，D分别为的中点，且的长度为． (1)求扇形的圆心角度数； (2)依据相关数据，求花窗的面积． 【答案】(1)扇形圆心角的度数为 (2)花窗的面积为 【分析】本题考查求圆心角与扇形面积，熟练掌握弧长与扇形面积公式是解题的关键． （1）设的度数为，根据弧长公式列方程求解即可； （2）先根据扇形的面积公式求出、，再由求解即可． 【详解】（1）解：由题知，，点C，D分别为的中点， ∴， 设的度数为， ∵的长度为． ∴，解得， ∴扇形圆心角的度数为； （2）解：∵ ， ∴， ∴花窗的面积为． 8．如图，为的直径，，垂足为点F，，垂足为点E，，． (1)求的长； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据三角形内角和定理得到，然后求出，进而求解即可； （2）连接，得，则，即可求得和，结合扇形面积和三角形面积即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴； （2）如图，连接， ∵ ∴， ∴， 在中，， 则， ∴． 【点睛】此题考查了求扇形面积，三角形内角和定理，含角直角三角形的性质，垂径定理和勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 9．如图，四边形内接于，为直径，过点C作于点E，连接． (1)求证：； (2)连接，若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：四边形是的内接四边形， ， 又， ， ∵， ∴； (2) 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，可得，结合，可推出，即可证明； （2）证明四边形是菱形，得到，，即，可知，，则是等边三角形，根据勾股定理求出，作，根据30度角的性质得到，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形， ∴，， 即， ∴ 即，， ， 是等边三角形， 即， ∵ ∴ 如图，作， ∴， ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，菱形的判定和性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理，30度角的性质，扇形面积公式，熟练掌握各知识点是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 正多边形、弧长及扇形面积 同步培优讲义 ✺知识框架 板块一：正多边形与圆 基础概念：正多边形定义、正多边形与圆的位置关系 核心要素：中心、半径、边心距、中心角 核心性质：内角规律、轴对称性、中心对称性 计算应用：中心角计算、周长计算、面积计算 板块二：弧长及扇形的面积 弧长计算：公式推导、标准公式、公式逆向变形 扇形基础：扇形定义、两类扇形面积公式 公式应用：公式适用场景、正向与逆向计算 综合拓展：不规则、阴影图形面积转化求解 ✅本节内容依托圆的基本性质展开，核心是圆的量化计算。正多边形可通过图形拆分转化为直角三角形求解边长、周长与面积；弧长与扇形面积公式由圆的周长、面积公式推导所得，是求解规则图形、转化求解不规则阴影图形面积的核心依据，属于初中几何计算的基础必考考点。 ✺学习目标 1.理解正多边形的定义及与圆的关系，掌握正多边形中心、半径、边心距、中心角四大核心概念。 2.掌握正多边形的性质与对称性，熟练求解正多边形的边长、周长与面积。 3.理解弧长、扇形面积公式的推导原理，熟记公式并明确各参数含义。 4.熟练运用公式进行正向计算与逆向推导，适配课本基础及同步培优题型。 5.掌握阴影、组合图形面积的转化求解方法，规范解题步骤。 ✺题型归纳 题型1.求正多边形的中心角 题型2.已知正多边形的中心角求边数 题型3.正多边形和圆的综合 题型4.尺规作图——正多边形 题型5.平面镶嵌 题型6.求弧长 题型7.求扇形半径 题型8.求圆心角 题型9.求某点的弧形运动路径长度 题型10.求扇形面积 题型11.求弓形面积 题型12.求其他不规则图形的面积 题型13.求图形旋转后扫过的面积 题型14.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、正多边形与圆 1.正多边形定义：各边相等、各内角相等的多边形为正多边形。 任意正多边形必有唯一的外接圆与内切圆，两圆为同心圆。 2.正多边形核心四要素 （1）中心：正多边形外接圆的圆心。 （2）半径：正多边形外接圆半径，即中心到顶点的距离。 （3）边心距：正多边形中心到各边的垂直距离，即内切圆半径，垂直平分对应边长。 （4）中心角：正多边形的边所对的外接圆圆心角。 3. 核心计算公式 设正多边形的边数为n，半径为R，边心距为r,边长为a,则有： 多边形的内角的度数：＝180°－。 正多边形的中心角的度数： 正多边形半径、边心距、边长的关系：＝＋ 正多边形的周长：C＝n·a 正多边形的面积：S=nar=C·r 4.基础性质 （1）轴对称性：所有正多边形均为轴对称图形，正n边形有n条对称轴，且均过图形中心。 （2）中心对称性：偶数边正多边形为中心对称图形；奇数边正多边形仅为轴对称图形。 知识点二、弧长公式 1.在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为：l=·2πR,即l= 注意：在弧长公式l=中，已知l,n，R中的任意两个量可以求出第三个量，公式中的n和180都不带单位. 2.公式常用变形 n=，R= 知识点三、扇形面积公式 扇形定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。 1. 扇形的面积： 在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆的面积S=π,所以圆心角为n°的扇形面积是=π×=. 扇形面积还可以用弧长表示：=lR,其中l为扇形的弧长，R为半径. 2.公式适用场景 （1）已知圆心角度数，选用角度式公式； （2）已知弧长或逆向计算，选用弧长式公式，计算更简便。 知识点四、弓形面积 计算方法： 优弧弓形面积 = 扇形面积 + 三角形面积 劣弧弓形面积 = 扇形面积 − 三角形面积 知识点五、图形变化规律 1.半径固定时，圆心角越大，弧长越长，扇形面积越大。 2.圆心角固定时，半径越大，弧长越长，扇形面积越大。 ★易错点清单 1.概念混淆：混淆正多边形外接圆半径与内切圆边心距，公式代入出错。 2.公式混淆：弧长公式分母为180，扇形角度式面积公式分母为360，易记反。 3.条件遗漏：弧长、扇形面积公式仅适用于同圆或等圆，忽略适用条件直接套用易出错。 4.公式僵化：不会灵活切换扇形两类公式，逆向计算失误率高。 ✺题型精讲 题型1.求正多边形的中心角 1．正十边形的中心角度数是（    ） A． B． C． D． 2．团扇是中国汉族传统的工艺品及艺术品，起源于商代，其雏形可追溯至战国时期的“便面”．团扇融合了绘画、书法、雕刻等艺术形式，象征团圆吉祥，承载中华传统审美与文化内涵．如图1是一款名为“蝶戏芳丛”的刺绣团扇扇面，其外轮廓为如图2所示的正八边形，已知该正八边形的中心为点，则的度数为___________． 3．如图所示，已知点为正六边形的边的中点，连接，仅用无刻度的直尺画图，保留画图痕迹． (1)在图1中画出边的中点； (2)在图2中将绕点顺时针旋转． 题型2.已知正多边形的中心角求边数 1．若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的边数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，是的内接正多边形的一条边，连接，，，则这个正多边形的边数为________． 3．正多边形的一部分如图所示，点为正多边形中心，若，则该正多边形的边数为_____． 题型3.正多边形和圆的综合 1．如图，正八边形内接于为上任意一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．我国古代《九章算术》记载“方田割圆”思想，若一个圆内接正六边形的边长为2，则该圆的阴影部分面积为____________． 3．在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径，老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如图所示： (1)通过计算（结果保留根号与）． （Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为______； （Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为______； （Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为______． (2)其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径． 题型4.尺规作图——正多边形 1．按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，正八边形ABCDEFGH内接于☉O，点P是上的任意一点，则∠CPE的度数为____． 3．如图，已知，请用尺规作图法作圆的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 题型5.平面镶嵌 1．如图，图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正十二边形、正六边形和正方形构成，其中边的延长线与对角线交于点E，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，设计师采用正五边形与菱形搭配设计地面镶嵌图案，菱形地砖的锐角为________． 3．综合与实践 生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，上面的图案常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．比如，我们知道，若用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角，如题图1． 【发现问题】（1）①如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着__________个正六边形的内角；②平面镶嵌的一个“奥秘”是：拼接在同一个点的各个角的和恰好等于__________度； 【探究问题】（2）人们为了达到某种图案效果，往往会选择同时用多种不同的正多边形镶嵌平面．那么，是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？请通过计算加以说明； 【解决问题】（3）小明家浴室装修，在墙中央留下了如题图2所示的空白区域，经测量该区域完全可以按题图3所示的边长为的正三角形瓷砖镶嵌．小明经过市场调查后发现：一块边长为的正三角形瓷砖比一块边长为的正六边形瓷砖便宜45元；用600元购买正三角形瓷砖与用2400元购买正六边形瓷砖的数量相等． ①正三角形瓷砖的单价为__________元，正六边形瓷砖的单价为__________元； ②小明对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为的正三角形瓷砖和边长为的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少，按小明的想法，将空白区域全部镶嵌完，购买瓷砖最少需要__________元． 题型6.求弧长 1．制作某种弯形机械配件时，需要先按中心线（图中虚线）计算“展直长度”再下料．中心线可看作半径为，圆心角为所对的圆弧，则该中心线的展直长度为（    ） A． B． C． D． 2．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分．历来中国有“制扇王国”之称．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子；用时须撒开，成半规形，聚头散尾．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，的长为，则的长为______________． 3．如图，在中，，以为直径作，与相交于点D．连接，与相交于点E．      (1)如图1，连接，求，的度数； (2)如图2，若点D为的中点，且，求的长． 题型7.求扇形半径 1．若扇形的弧长为，，则扇形的半径为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 2．已知一弧长为，此弧所对圆心角为，则此弧所在圆的半径为________． 3．如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为____________ 题型8.求圆心角 1．已知一条弧的半径为，弧长为，那么这条弧所对的圆心角为（     ） A． B． C． D． 2．如图，用一个半径为cm的定滑轮拉动重物上升，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动．若重物上升cm，则滑轮旋转的角度为________． 3．如图，为的直径，是上的一点，连接，若，求的长．（结果保留）    题型9.求某点的弧形运动路径长度 1．如图，半径为的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线，然后把半圆沿直线进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线重合为止，则圆心运动路径的长度等于（       ） A． B． C． D． 2．如图，在△中，，，，将△绕点旋转到△的位置，此时在同一直线上，则点经过的最短路径长为________． 3．如图的平面直角坐标系中，的顶点分别是 (1)画出绕点逆时针旋转所得的，写出点的坐标． (2)在（1）的旋转过程中，求点B的运动路径长． 题型10.求扇形面积 1．已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的半径为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在半径为的中，弦垂直平分半径，则扇形的面积为______． 3．在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着长为的绳子，绳子的另一端拴着一只狗． 问题： （1）这只狗的最大活动区域有多大？这个区域的边缘的长是多少？ （2）如果这只狗拴在夹角为的墙角，那么它最大的活动区域有多大？这个区域的边缘的长是多少？ （3）如果这只狗拴在夹角为的墙角，那么它最大的活动区域有多大？这个区域的边缘的长是多少？ 小结：在半径为R的圆中，圆心角为，其所对的弧长的计算公式： ；在半径为R的圆中，圆心角为，其所对的扇形的面积公式： ． 思考：根据以上公式，你发现弧长与扇形的面积具有怎样的关系呢？ ． 题型11.求弓形面积 1．《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积（弦矢矢）．弧田（如图所示）由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦，“矢”指半径长与圆心O到弦的距离（d）之差．若“弦”为24，d为5，根据上述经验公式计算，该弧田的面积为（    ） A．80 B．100 C．104 D．128 2．如图，圆是的外接圆，是圆的直径，弦，垂足为点，的平分线交于点、交于点、交于点，连接、，给出下面四个结论： ①； ②； ③当时，若，则阴影部分图形的面积为； ④当时，． 上述结论中，正确结论的序号有________． 3．如图，是的直径，弦垂直平分半径，为垂足，弦与半径相交于点P，连接，若，． (1)求的半径； (2)求图中阴影部分的面积． 题型12.求其他不规则图形的面积 1．如图，是的直径，点是下方的中点，连接，以点为圆心，的长为半径作圆弧．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C．4 D． 2．如图，已知三角形为等腰直角三角形，米，以为圆心，8米长为半径画弧，以为直径作半圆，形成图形（阴影部分），此阴影部分的面积__________．（结果保留） 3．如图，四边形内接于，是的直径，且． (1)求的度数； (2)若，，求阴影部分的面积 题型13.求图形旋转后扫过的面积 1．贵州毕节风车草原成为近年来网红打卡地，云海风车更是吸引着全国各地的游客前来参观．风车扇叶示意图如图所示，扇叶的长为20米，当扇叶旋转至位置时，扇叶扫过的面积为（   ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 2．如图，直角的直角顶点为B，且，，，将此三角形绕着顶点A逆时针旋转72度到直角的位置，在旋转过程中，线段扫过的面积是___．（结果保留） 3．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点坐标分别是、、．将绕点逆时针旋转90°后得到，点、分别与点、对应． (1)请在图中画出； (2)求在旋转过程中线段所扫过图形的面积．（结果保留π） ✺课堂小练 一、单选题 1．下列图形旋转后可以与原图形重合的是（    ） A．正六边形 B．正五边形 C．正方形 D．正三角形 2．一个扇形的圆心角是，面积为，那么这个扇形的弧长为（    ）． A．3 B．2 C． D． 3．如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，为的内接正多边形的一边，已知，则这个多边形内角和为______． 5．一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线l重合，．现将该三角板绕点B顺时针旋转，使点C的对应点落在直线l上，则点A经过的路径长至少为_________．（结果保留） 6．如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间，掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看成一张拉满弦的弓，弧长约为米，“弓”所在的圆的半径约米，则“弓”所对的圆心角为________度．    三、解答题 7．如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．已知，点C，D分别为的中点，且的长度为． (1)求扇形的圆心角度数； (2)依据相关数据，求花窗的面积． 8．如图，为的直径，，垂足为点F，，垂足为点E，，． (1)求的长； (2)求阴影部分的面积． 9．如图，四边形内接于，为直径，过点C作于点E，连接． (1)求证：； (2)连接，若，，求阴影部分的面积． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $