25.2.2公式法（分层作业，4大题型）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 分层清晰，从理解到运用三阶递进，巩固公式法核心知识，培养数学思维与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|判别式应用、公式法解方程|基础题为主，如判断根的情况，夯实运算能力| |B组|根据根的情况求参数|含参数问题，培养推理意识与逻辑思维| |C组|公式法新定义综合|新运算与实际情境题，发展创新意识与模型观念|

分层作业 25.2.2 公式法 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型02 公式法解一元二次方程 B组 能力进阶 题型 根据一元二次方程根的情况求参数 C组 思维拔高 题型 公式法新定义综合 根据判别式判断一元二次方程根的情况题型01 1．（24-25九年级上·浙江金华·联考）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 【详解】解：由可知：，，， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 2．若关于x的方程x2﹣4x+c=0不存在实数根，则c的取值范围是（    ） A．c＞4 B．c≥4 C．c≤4 D．c＜4 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根判别式进行分析即可.∆=b2-4ac<0,即：（-4）2-4c<0. 【详解】因为，关于x的方程x2﹣4x+c=0不存在实数根， 所以，∆=b2-4ac<0, 即：（-4）2-4c<0, 所以，c＞4 故选A 【点睛】本题考核知识点：一元二次方程根判别式.解题关键点：熟记一元二次方程根判别式. 3．一元二次方程________实数根（填“有”或“没有”）． 【答案】有 【分析】本题考查了根的判别式，解题的关键是先根据根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义进行判断． 【详解】解：， ，，， ， 方程有两个不相等的实数解． 故答案为：有． 4．已知关于x的方程，求证：不论k取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】 证明：∵在方程中， ， ∴不论k取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【分析】求出，再根据一元二次方程根的判别式的大小判断即可． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． 5．已知一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根， (1)求k的取值范围； (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0有一个相同的根，求此时m的值． 【答案】（1）k＜4；（2）m=0或． 【分析】（1）根据方程有两个不等实数根，可得判别式大于零，根据解不等式，可得答案； （2）根据解方程，可得x2﹣4x+k=0的解，根据解相同，把方程的解代入，可得关于m的一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案． 【详解】解：（1）由一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根，得 ∆=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4k＞0， 解得k＜4； （2）由k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k=0，得 x2﹣4x+3=0， 解得x1=1，x2=3， 一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根， 当x=1时，把x=1代入x2+mx﹣1=0，得1+m﹣1=0，解得m=0， 当x=3时，把x=3代入x2+mx﹣1=0，得9+3m﹣1=0，解得， 综上所述：如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根，m=0或． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，正确掌握一元二次方程的知识是解题的关键． 公式法解一元二次方程题型02 1．方程的正数根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，通过求根公式解方程，并判断正数根. 【详解】解：将方程整理为标准形式， 先计算判别式：其中，，， , 因此该方程有两个不等实根. 根据求根公式： 得到两个根：和 由于，则（正数），而为负数. 因此正数根为， 故选：D. 2．已知x=(b2－4c>0)，则x2＋bx＋c的值为_______________________. 【答案】0 【分析】把x的值代入代数式，再进行计算即可． 【详解】∵ ∴ 故答案为0. 【点睛】考查解一元二次方程-公式法，把的值代入是解题的关键. 3．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，展开左边的乘积并移项，将方程化为一元二次方程的一般形式；利用求根公式求出方程的解． 【详解】解：原方程化简，得， ，，， ， ， ，． 4．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用直接开方法求解即可； （2）运用公式法求解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 开方，得， 解得，． （2）解：， ∵，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴，． 5．（25-26九年级·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围． (2)若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了已知一元二次方程的根的情况求参数，解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据一元二次方程有两个实数根，得，解得，即可作答． （2）理解题意，得出符合条件的最大整数，得，运用公式法进行求解，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 即， 解得， ∴m的取值范围是． （2）解：由（1）知，m的取值范围是． ∴符合条件的最大整数， ∴一元二次方程化为， 此时， ∴， ∴或， ∴当m为符合条件的最大整数时，方程的根为或． 根据一元二次方程根的情况求参数题型 1．小明准备完成题目：解一元二次方程．若“□”表示一个数字，且方程有实数根，则“□”的值可能为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．设“□”表示的数为，根据题意得出，求解即可得到答案． 【详解】解：设“□”表示的数为， 方程有实数根， ， 解得：， “□”的值可能为4， 故选：A． 2．若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．一元二次方程的根与判别式有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．据此列出不等式并求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴， 解得． 故选：A． 3．关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义、一元二次方程的根与判别式的关系，根据一元二次方程的定义可得，再根据方程有两个根可得，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，且， ∴，且， 故选：D． 4．若一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是______． 【答案】4 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴∆=16﹣4c=0， 解得c=4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了根的判别式．一元二次方程 （a≠0）的根与∆=有如下关系：①当∆＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当∆=0时，方程有两个相等的实数根；③当∆＜0时，方程无实数根．结论反过来也成立． 5．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值． 【答案】（答案不唯一） 【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根；进而得出答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根， ∴，即， ∴符合一组满足条件的实数a、b的值：a=4，b=2． 【点睛】考查了一元二次方程根的判别式，正确求出a，b之间的关系是解题关键． 公式法新定义综合题型 1．（2026·四川内江·一模）定义新运算：．如：．则关于的方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查的是新定义运算与一元二次方程根的判别式，正确理解新运算规则、熟练运用根的判别式判断根的情况是解题的关键．根据新运算的定义将方程转化为标准一元二次方程，再通过计算判别式的符号，即可判断方程根的情况． 【详解】解：关于的方程可化成， 即， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：． 2．我们把关于的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”，如的“友好方程”是．现在来探究方程的根的特点：当时，方程的两根为，，其“友好方程的两根为，______，观察可以知道、、、之间存在的一种特殊关系为______（，） 【答案】 ， 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式． 根据一元二次方程的求根公式，可得，先根据求根公式表示出两个方程的根，再通过计算根的乘积，即可推导、、、之间存在的一种特殊关系． 【详解】解：∵时， ∴方程的两根为，， 方程的两根为，， ∴ ， ， ∴，， 故答案为：，． 3．（2025·河南安阳·模拟）对于实数a，b定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】## 【分析】先根据新运算规则将转化为一元二次方程，再利用一元二次方程根的判别式来确定的取值范围．本题主要考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程中与根的关系是解题的关键． 【详解】解：根据新运算，对于，有： 整理为 因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式 即 解得 4．如图，我们规定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式． (1)求整式； (2)请将整式分解因式； (3)小红说，无论实数取何值，的值都不可能等于．请问小红的说法是否正确？并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3) 解：小红的说法不正确，理由： 由题意得：， 若时，即， 整理得：， ∵， ∴有两个不相等的实数根， ∴的值可能等于， 故小红的说法是不正确． 【分析】（）根据题意列式计算即可； （）根据题意列式计算出，再进行分解因式即可； （）根据题意列式，然后配方，最后计算即可求解； 本题考查了整式的加减，分解因式，熟练掌握整式加减的法则是解题的关键． 【详解】（1）由题意得：， ， ； （2）由题意得： ； （3）略 5．（24-25九年级上·江苏泰州·月考）【学习新知】如果关于x的一元二次方程的两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为t，则另一个根为，因此，所以有，我们记“”，即时，方程为倍根方程：【问题解决】 (1)方程①；②；③；④，这几个方程中，是倍根方程的是 　 　（填序号即可）； (2)若是倍根方程，求的值； (3)关于x的一元二次方程是倍根方程，且点在一次函数的图象上，求此倍根方程的表达式并求出方程的解． 【答案】(1)①④ (2)0 (3)；， 【分析】（1）依据题意，由“倍根方程”的定义，找出方程①、②、③中K的值，由此即可得出结论； （2）依据题意，将方程整理成一般式，再根据“倍根方程”的定义，找出，整理后即可得出，即可得解； （3）依据题意，由方程是倍根方程即可得出m、n之间的关系，再由一次函数图象上点的坐标特征即可得出m、n之间的关系，进而即可求出m、n的值，得出方程的表达式，最后求出方程的解即可． 【详解】（1）解：在方程①中，； 在方程②中，； 在方程③中，； 在方程④中，； 是倍根方程的是①④． （2）解：整理得：， ∵是倍根方程， ， ∴； （3）解：是倍根方程， ， ， 在一次函数的图象上， ， ，， 此方程的表达式为， ∴， ∴， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程、根与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征，新定义运算，解题时要熟练掌握题目中提供的信息，是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 25.2.2 公式法 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型02 公式法解一元二次方程 B组 能力进阶 题型 根据一元二次方程根的情况求参数 C组 思维拔高 题型 公式法新定义综合 根据判别式判断一元二次方程根的情况题型01 1．（24-25九年级上·浙江金华·联考）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 2．若关于x的方程x2﹣4x+c=0不存在实数根，则c的取值范围是（    ） A．c＞4 B．c≥4 C．c≤4 D．c＜4 3．一元二次方程________实数根（填“有”或“没有”）． 4．已知关于x的方程，求证：不论k取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 5．已知一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根， (1)求k的取值范围； (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0有一个相同的根，求此时m的值． 公式法解一元二次方程题型02 1．方程的正数根为（   ） A． B． C． D． 2．已知x=(b2－4c>0)，则x2＋bx＋c的值为_______________________. 3．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）解方程：． 4．解方程： (1)； (2)． 5．（25-26九年级·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围． (2)若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根． 根据一元二次方程根的情况求参数题型 1．小明准备完成题目：解一元二次方程．若“□”表示一个数字，且方程有实数根，则“□”的值可能为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 3．关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 4．若一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是______． 5．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值． 公式法新定义综合题型 1．（2026·四川内江·一模）定义新运算：．如：．则关于的方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2．我们把关于的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”，如的“友好方程”是．现在来探究方程的根的特点：当时，方程的两根为，，其“友好方程的两根为，______，观察可以知道、、、之间存在的一种特殊关系为______（，） 3．（2025·河南安阳·模拟）对于实数a，b定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 4．如图，我们规定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式． (1)求整式； (2)请将整式分解因式； (3)小红说，无论实数取何值，的值都不可能等于．请问小红的说法是否正确？并说明理由． 5．（24-25九年级上·江苏泰州·月考）【学习新知】如果关于x的一元二次方程的两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为t，则另一个根为，因此，所以有，我们记“”，即时，方程为倍根方程：【问题解决】 (1)方程①；②；③；④，这几个方程中，是倍根方程的是 　 　（填序号即可）； (2)若是倍根方程，求的值； (3)关于x的一元二次方程是倍根方程，且点在一次函数的图象上，求此倍根方程的表达式并求出方程的解． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $