2.3 公式法求解一元二次方程（分层作业）数学北师大版九年级上册

2.3 公式法求解一元二次方程 【题型1 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）下列方程有两个不相等的实数根是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）一元二次方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有一个实根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 3．（2025·山东·模拟预测）定义新运算．例如，则关于x的方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【题型2 根据一元二次方程根的情况求参数】 1．（2025·安徽亳州·三模）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． 3．（2025·甘肃平凉·二模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是 ． 4．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）若关于的方程有实数根，则的取值范围为 ． 5．（2025·湖南娄底·三模）对于实数定义新运算：，例如：．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 【题型3 公式法解一元二次方程】 1．（24-25九年级上·福建福州·期中）下列一元二次方程中，根是的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）对于一元二次方程，根的判别式中的表示的数是（   ） A．6 B．5 C． D．1 3． （24-25九年级上·陕西安康·期末）解方程：． 4．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）解方程：． 5．（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）阅读下面的例题： 解方程 解：当，原方程化为，解得（不合题意，舍去） 当时，原方程化为，解得（不合题意，舍去），， ∴原方程的根是， 请参照例题解方程： 6．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程的一个根为3，求m的值； (2)求证：方程总有两个不相等的实数根． 1．（23-24九年级上·四川资阳·阶段练习）已知一次函数的图像如图所示，则一元二次方程根的情况叙述正确的是(　　)    A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不确定 2．（2025·河南平顶山·模拟预测）已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 3．（2025·北京·一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若为正整数，且方程的根均为整数，求此时的值． 4．（24-25九年级下·山东泰安·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根，是一个矩形的一边和对角线的长，且矩形的另一边长为3，求k的值． 1．（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）对实数，，定义运算“”为：．已知关于的方程，若该方程有两个相等的实数根，则实数的值是 ：若该方程有两个不等负根，则实数的取值范围是 ． 2．（24-25九年级上·重庆·期中）若使关于的分式方程有整数解，且使关于的一元二次方程有实数根，那么满足条件的所有整数的和为 ． 3．（24-25九年级上·福建泉州·期中）问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________________； (2)已知关于y的一元二次方程的根（，有两个不等于零的实数根）分别是某个已知一元二次方程的根的倒数，求该已知的一元二次方程． (3)已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数且它的两个根都为整数． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 公式法求解一元二次方程 【题型1 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）下列方程有两个不相等的实数根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，分别计算四个方程的根的判别式，再根据判别式的符号判断根的情况即可． 【详解】解：A.， 方程有两个不相等的实数根，符合题意； B. ， 方程有两个相等的实数根，不符合题意； C. ， 方程没有实数根，不符合题意； D. ， 方程有两个相等的实数根，不符合题意， 故选：A． 2．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）一元二次方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有一个实根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 先算根的判别式，然后利用可判断方程根的情况． 【详解】解：∵， ∴方程没有实数根． 故选：A． 3．（2025·山东·模拟预测）定义新运算．例如，则关于x的方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与根的关系，先根据题中新定义得到方程，再根据根的判别式的大小可得结论． 【详解】解：由题意，关于x的方程可转化为方程， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【题型2 根据一元二次方程根的情况求参数】 1．（2025·安徽亳州·三模）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，利用根的判别式的意义得到，然后解关于k的一元二次方程即可． 【详解】解：根据题意得， 整理得， 解得，， 即k的值为1或9． 故选：C． 2．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】此题考查了根的判别式，一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，得，根据方程有两个实数根，得出，求出的取值范围即可得出答案． 【详解】解：关于的方程有两个实数根， ，而且 解得， 的取值范围是且， 故选：C． 3．（2025·甘肃平凉·二模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两个实数根可得出，据此得出k的取值范围即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即：， ∴， 故答案为：１． 4．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）若关于的方程有实数根，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．分两种情况：当时，当时，分别求解即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：当时，原方程为：，解得，此时有实数根， 当时，由题意可得：，解得； 综上所述，的取值范围为， 故答案为：． 5．（2025·湖南娄底·三模）对于实数定义新运算：，例如：．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，一元二次方程根的判别式，先根据新运算列出一元二次方程，再根据方程有个相等的实数根得，据此列出关于的方程解答即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 【题型3 公式法解一元二次方程】 1．（24-25九年级上·福建福州·期中）下列一元二次方程中，根是的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式， 根据一元二次方程的求根公式计算判断即可．一元二次方程，当时，． 【详解】因为一元二次方程的根是，所以A符合题意； 因为一元二次方程的根是，所以B不符合题意； 因为一元二次方程的根是，所以C不符合题意； 因为一元二次方程的根是，所以D不符合题意． 故选：A． 2．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）对于一元二次方程，根的判别式中的表示的数是（   ） A．6 B．5 C． D．1 【答案】C 【分析】此题考查根的判别式，在解一元二次方程时程根的判别式，具体方程中a代表二次项系数，b代表一次项系数，c是常数项，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 3．（24-25九年级上·陕西安康·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点，可用公式法解方程即可． 【详解】解：，， ∴， ∴， ∴，． 4．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键：包括直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等． 利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 5．（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）阅读下面的例题： 解方程 解：当，原方程化为，解得（不合题意，舍去） 当时，原方程化为，解得（不合题意，舍去），， ∴原方程的根是， 请参照例题解方程： 【答案】 【详解】本题是一道解含有绝对值的一元二次方程的题目，熟练运用分类讨论去绝对值，求一元二次方程的解是解题的关键． 解：当，原方程化为，解得（不合题意，舍去） 当时，原方程化为，解得（不合题意，舍去），． ∴原方程的根是． 6．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程的一个根为3，求m的值； (2)求证：方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了方程的根及根的判别式，解题的关键是理解并掌握根的定义及根的判别式． （1）根据方程根的定义，将代入方程中，即可解得m的值； （2）根据一元二次方程根的判别式进行计算，得出，即可得证； 【详解】（1）∵方程的一个根为3， ∴将代入方程中，得到： 解得： （2）∵关于x的一元二次方程中， ， ， ∴该方程总有两个不相等的实数根； 1．（23-24九年级上·四川资阳·阶段练习）已知一次函数的图像如图所示，则一元二次方程根的情况叙述正确的是(　　)    A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不确定 【答案】A 【分析】先利用一次函数的性质得，，再计算判别式的值得到，于是可判断，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：根据图象可得，， 所以，， 所以， 所以方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一次函数图象． 2．（2025·河南平顶山·模拟预测）已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，数轴，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 由数轴得：，，先计算根的判别式即可． 【详解】解：由数轴得：，， ． ． 该方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 3．（2025·北京·一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若为正整数，且方程的根均为整数，求此时的值． 【答案】(1) (2)或5 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法等知识，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围； （2）找出k范围中的整数解确定出k的值，经检验即可得到满足题意k的值． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得； ∴实数的取值范围是； （2）解：∵k为正整数，且方程的根均为整数， ∴是平方数 ∴是平方数 ∴或5 当时，方程 解得，都是整数，符合题意； 当时，方程 解得，都是整数，符合题意； 综上所述，或5． 4．（24-25九年级下·山东泰安·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根，是一个矩形的一边和对角线的长，且矩形的另一边长为3，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、求根公式和矩形的性质，准确计算是解题的关键． （1）根据根的判别式判断即可； （2）根据求根公式算出方程的解，再根据矩形的性质求解即可； 【详解】（1）解：， 整理得：， ， ； 该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）解：， ， ， 矩形的对角线长度大于边长， 为对角线，， 解得：， 1．（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）对实数，，定义运算“”为：．已知关于的方程，若该方程有两个相等的实数根，则实数的值是 ：若该方程有两个不等负根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新运算、一元二次方程根的判别式．解决本题的关键是根据新运算规定的运算规律把等式转化为一般的一元二次方程，然后再利用一元二次方程根与系数的关系求解． 【详解】解：， ， 又， ， 即， 若该方程有两个相等的实数根，则， 由得：， 由得：或， ； 若该方程有两个不等负根，则， 解得：． 故答案为：，． 2．（24-25九年级上·重庆·期中）若使关于的分式方程有整数解，且使关于的一元二次方程有实数根，那么满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，一元二次方程根的判别式，先解分式方程，可得，根据分式方程有整数解可得或或或或或，即可得到或或或或或，再根据分式方程有意义可得，最后再根据一元二次方程有实数根及定义可得且，进而得到满足条件的所有整数，进而即可求解，根据分式方程和一元二次方程求出满足条件的所有整数的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵分式方程有整数解， ∴或或或或或， 即或或或或或， ∵， ∴， ∴， ∴或或或或， 又∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴且， ∴， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·福建泉州·期中）问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________________； (2)已知关于y的一元二次方程的根（，有两个不等于零的实数根）分别是某个已知一元二次方程的根的倒数，求该已知的一元二次方程． (3)已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数且它的两个根都为整数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）设所求方程的根为y，根据题意可得，所以，把代入方程，即可得出答案； （2）设原方程的根为x，则，所以，代入方程，得，再用反证法证明即可； （3）设所求方程的根为y，则，所以，代入原方程，得，由方程有两个实数根可得，于是可得，进而可得，用公式法解一元二次方程可得，由根是整数可知为偶数且为完全平方数，因而可得或，代入方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设所求方程的根为y，根据题意可得： ， ， 把代入方程， 得：， 故答案为：； （2）解：设原方程的根为x，则，所以， 代入方程，得： ， 去分母，得：， 若，则有：， 即：， 于是，方程有一个根为0，这不合题意， ， 原方程为：； （3）解：设所求方程的根为y，则，所以， 代入原方程，得：， 去分母，得：， ， ， 又， ， ， 根是整数， 为偶数且为完全平方数， 或， 所求方程为： ，即：， 或，即：． 【点睛】本题主要考查了相反数的应用，等式的性质，一元二次方程的解，倒数，等式的性质，提公因式法分解因式，反证法，根据一元二次方程根的情况求参数，公式法解一元二次方程等知识点，深刻理解“换根法”并能加以运用是解题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$