25.3 降次——解一元二次方程（公式法）【分层作业】- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 分层清晰，从概念梳理到中考实战梯度进阶，兼顾基础巩固与抽象能力、运算能力培养，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |前置作业|根的判别式、求根公式概念|填空形式夯实基础，培养抽象能力| |巩固性作业|判别式应用、系数确定、公式法解方程|分题型梯度设计，从简单到需整理方程，提升运算能力| |拓展性作业|判别式求参数范围、证明|含参数问题与证明题，发展推理意识| |探究性作业|求根公式几何应用|结合菱形、黄金分割等情境，体现应用意识| |中考链接|中考真题实战|选用各地中考题，衔接阶段测评需求|

25.3 降次——解一元二次方程（公式法）【分层作业】 2026—2027学年人教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.巩固性作业（全员参与） 2 【题型1 根的判别式（判断根的情况）】 2 【题型2 公式法中系数 a、b、c 的值】 4 【题型3 公式法解方程（简单）】 6 【题型4 公式法解方程（系数不为1或需整理）】 10 三.拓展性作业（部分参与，选做） 13 【题型1 判别式求参数范围】 13 【题型2根的判断式的求值或证明】 16 四.探究性作业（部分参与，选做） 21 【题型 求根公式的几何应用】 21 五.中考链接（全员参与） 26 六.作业自我评价 32 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 （1）对于一元二次方程，式子叫做根的判别式，通常用希腊字母_______表示。 （2）当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程____实数根。 （3）当时，一元二次方程的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式。 参考答案： （1）； （2）无 （3） 二.巩固性作业（全员参与） 【题型1 根的判别式（判断根的情况）】 1.（26-27九年级上·全国·课后作业）一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 解：∵在一元二次方程中，，，， ∴这个方程根的判别式， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 2.（2025·河南信阳·模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 解：A选项：方程整理为，，有实数根． B选项：方程整理为，，有实数根． C选项：，，没有实数根． D选项：，，有实数根． 3.（2026·广东中山·一模）正比例函数的图象过二、四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是___． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】先根据正比例函数图象的性质可得，再根据判断一元二次方程的根的情况即可． 解：∵正比例函数的图象经过第二，四象限， ∴． 在一元二次方程中， 则， ∵， ∴， 所以一元二次方程有两个不相等的实数根． 4.（24-25九年级下·北京·阶段检测）关于的一元二次方程根的情况是______． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，非负数的性质，解题关键是掌握方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．．利用根的判别式，得到，再结合偶次方的非负性，即可得到答案． 解：， ，，， ， ， ， 即方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 【题型2 公式法中系数 a、b、c 的值】 1.（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程时，应先找出对应的________，________，________，计算出________，可得方程的根是_________． 【答案】 4 41 ， 【分析】找出，及的值，计算出根的判别式的值大于，代入求根公式即可求出解． 解：， ， ，，， ， ∴， 解得：，． 用公式法解方程时，应先找出对应的，，，计算出，可得方程的根是，． 2.（24-25九年级上·福建厦门·阶段检测）一元二次方程，用求根公式求解时c的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法，把方程化为一般式，从而得到c的值，即可求解；正确理解一元二次方程的、、及求根公式是解决问题的关键． 解：方程化为一般式为， 所以c的值为， 故答案为：． 3．（25-26八年级下·河北张家口·期末）用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定的值，再对照求根公式即可得到方框内的数值． 解： ∵， ∴ 移项得， 此处，，， ， 对比题干给出的式子，可知处应填． 4．（25-26九年级上·福建厦门·期中）关于x的一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，熟记求根公式是解题的关键．直接应用一元二次方程求根公式，代入对应系数计算． 解：方程 中，，一次项系数为，常数项为． 代入求根公式 ，得： 与选项 A 一致， 故选：A． 【题型3 公式法解方程（简单）】 1.（24-25九年级上·河北石家庄·阶段检测）嘉嘉同学解一元二次方程的过程如下． 解：，① ，，，② ，③ 方程有两个相等的实数根 ④ （1）嘉嘉解方程的方法是___________； A．直接开平方法    B．因式分解法    C．配方法    D．公式法 他的求解过程从第___________步开始出现错误． （2）请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根． 【答案】（1）D；②；（2）， 其中，，，， ， ， 解得：，． 【分析】（1）根据嘉嘉的解题过程可知，他采用的方法是公式法，因为没有化为一般形式，使得、的值错误，从第②步开始出现错误； （2）利用公式法，先求出，再求出方程的根即可． （1）解：嘉嘉解方程的方法是公式法，他的求解过程从第②步开始出现错误， 故答案为：D，②； （2）略 2.（25-26八年级下·浙江杭州·期末）求方程的正数根． 【答案】 【分析】本题先确定一元二次方程的各项系数，利用求根公式求出方程所有根，再从中筛选出正数根即可求解． 解：对于方程，可得，，． ∴． ∴． 因为，， 所以方程的正数根为． 3.（24-25九年级上·湖北荆门·阶段检测）已知关于x的一元二次方程，给出下列三组值，请选择一组值解方程：①，；②，；③，． 【答案】选①，，；选②，，；选③，方程无实数解． 【分析】本题考查了解一元二次方程．根据公式法或因式分解法求解即可． 解：选①，；方程为， ， ∴， ∴，； 选②，；方程为， 因式分解得， ∴，， ∴，； 选③，；方程为， ， ∴方程无实数解． 4.（25-26八年级下·北京·课后作业）用公式法解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），；（2），；（3），；（4）， 【分析】利用公式法解方程即可． （1）解：， ， ∴， 即，； （2）解：， ， ∴， 即，； （3）解：， ， ∴ 即，． （4）解：， ， ∴， 即，． 【题型4 公式法解方程（系数不为1或需整理）】 1.（24-25九年级上·全国·随堂练习）用公式法解一元二次方程： （1）． （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法是解此题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． （1）解：∵，，． ∴， ∴， 即，． （2）解：原方程可化为， ∴，，． ∵， ∴， 即，． 2.（25-26八年级下·北京·课后作业）用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2） 【分析】利用公式法对所给一元二次方程分别进行求解即可． （1）解：， 化为一般形式：， ， 则， 所以，． （2）解：， ， 则， 所以． 3.（2025九年级上·全国·专题练习）用公式法解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查用公式法解一元二次方程，熟练运用求根公式是解答本题的关键． （1）将方程化为，再运用求根公式解答即可； （2）将方程化为，再运用求根公式解答即可． （1）解：原方程可化为． ， 原方程有两个不相等的实数根， ， ． （2）解：原方程可化为． ， 原方程有两个不相等的实数根， ， ． 4.（第08讲一元二次方程求根公式及解法综合-【暑假自学课】2023年新八年级数学暑假精品课（沪教版，上海专用））用公式法解关于x的方程：． 【答案】见解析 【分析】先确定根的判别式的取值，再代入公式求出即可． 解： 因为，所以： 当，方程无实数解； 当，方程的解为； 当，方程的解为． 【点拨】本题考查解一元二次方程，本题中含字母系数，具体取值未知，因此注意需要分类讨论． 三.拓展性作业（部分参与，选做） 【题型1 判别式求参数范围】 1.（2026·甘肃嘉峪关·二模）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】根据一元二次方程定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式得到不等式，联立求出参数取值范围． 解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 2.（25-26八年级下·山东淄博·期末）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程有实数根需满足两个条件：一元二次方程二次项系数不为0，方程有实数根时根的判别式大于或等于0，求解两个条件后取交集即可得到结果． 解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数不为0，即， 解得； ∵原方程有实数根 ∴， 展开化简得， 解得， 综上，的取值范围是且． 3.（2026·安徽蚌埠·三模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，求出，再根据判别式与根的关系进行求解即可． 解：由题意可知，且， 即且， ∴． ∴原一元二次方程可化为， ∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴． ∴． 4.（2026·江苏盐城·模拟预测）二次函数的图象与一次函数的图象至少有一个交点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】将两个函数图象至少有一个交点的问题，转化为联立两个函数解析式得到的一元二次方程有实数根，利用一元二次方程根的判别式的性质求解即可. 解：联立两个函数的解析式得 ， 整理，得， ∵两个图象至少有一个交点， ∴该一元二次方程有实数根， ∴， 解得. 【题型2根的判断式的求值或证明】 1.（24-25九年级上·云南昭通·阶段检测）已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值． 【答案】（1）证明：，，， ， ∴方程总有两个实数根． （2）或或 【分析】（1）先计算判别式的值，然后根据平方的非负性判断方程总有两个实数根； （2）利用公式法求出，，再根据方程的两个实数根都是整数，即可求出正整数的值． 解：（1）略 （2）解：由（1）得：， ∴， ∴，， ∵方程的两个实数根都是整数， ∴为整数， 为正整数， ∴为4的正约数， 或或． 2.（2025九年级上·湖南衡阳）已知关于x的方程． （1）试讨论该方程的根的情况并说明理由； （2）无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，试求出这个根． 【答案】（1）时，方程有一个实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当且时，方程有两个不相等的实数根；（2）这个根为3 【分析】（1）分及，结合判别式的值即可判断． （2）由无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，又，推出，且即可解决问题． （1）解：当时，方程为，解得， 当时 ∵ ， 若，，则方程有两个相等的实数根； 若且，，则方程有两个不相等的实数根， 综上，当时，方程有一个实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当且时，方程有两个不相等的实数根； （2）解：∵无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根， 又∵， ∴，且 解得， ∴无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，这个根为3． 3.（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为符合条件的最小整数，且该方程的一根是另一根的倍，求的值． 【答案】（1）；（2）或． 【分析】根据方程的根的判别式，然后解不等式即可； 由，则最小整数的值为，此时关于的一元二次方程为，然后解得，，再根据该方程的一根是另一根的倍列方程解答即可． （1）解：根据题意得， 解得， ∴的取值范围为； （2）解：∵， ∴最小整数的值为， 此时关于的一元二次方程为， ， ， 解得，， ∵该方程的一根是另一根的倍， ∴或， 解得或， ∴的值为或． 4.（24-25九年级上·湖南常德·阶段检测）已知关于的一元二次方程，． （1）若方程有实数根，试确定之间的大小关系； （2）若，和是原方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、解一元二次方程、解一元一次方程的应用等知识，熟练掌握了一元二次方程的根的判别式的定义和应用、解一元二次方程的常用方法是解题关键． （1）根据该方程有实数根，可得，整理可得，再结合，即可获得答案； （2）根据题意，可设，，代入原方程并求解，结合确定的值，即可获得答案． （1）解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，整理可得， 又∵， ∴，， ∴； （2）∵， ∴可设，， ∴可得， ∴ 解得 或， 又∵， ∴当时，可得，解得， 当时，可得，解得（不合题意，舍去）， ∴． 四.探究性作业（部分参与，选做） 【题型 求根公式的几何应用】 1.（2025·安徽·一模）在菱形中，点是对角线上一点，且，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理的运用，解一元二次方程，掌握菱形的性质，勾股定理的计算是解题的关键． 根据题意作图，设对角线交于点，根据题意得到，由菱形的性质得到，，，，则，在中，，即，在中，，即，由此列式求解即可． 解：根据题意，作图如下，设对角线交于点， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， 在中，，即， 在中，，即， ∴， 整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴，即， 故选：D ． 2.（24-25九年级上·广东佛山·阶段检测）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割．如图，点是线段上一点（），若满足，则称点是线段的黄金分割点．世界上很多有名建筑物几乎都包含“黄金分割”的设计理念．若图中，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查比例的基本性质和解一元二次方程，设，则，可得到． 解：设，则． 根据题意，得 ． 根据比例的基本性质，得 ． 变形，得 ． 解得 （舍去），． 所以，． 故选：A． 3.（25-26八年级下·上海嘉定·期中）顶角为的等腰三角形的腰与底的比值为______． 【答案】 【分析】作的平分线交于点，得到的和都是顶角为的等腰三角形，根据它们的腰和底对应成比例，列比例式解答即可． 解：设等腰中，顶角，（腰长），（底边长）， ∴ ． 作的平分线交于点． 则， ， ． ， ， ， ∵和都是顶角为的等腰三角形， ∴它们的腰和底的比相等， 即， 代入得， 整理得， 两边同除以， 设， 得， 解得， ， ． 4.（2026·河南开封·一模）如图，在等腰直角中，，点是的中点，在上取一点，连接，过点作，交于点，连接．若，则的长为___________． 【答案】 【分析】连接，证明以及，结合勾股定理解题即可． 解：如图，连接， ∵是等腰直角三角形，点是的中点， ∴，，，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； 设，则，， 在中，， ∴， ， 整理得， 解得（负值舍去）， ∴， ∴． 五.中考链接（全员参与） 1.（2025·四川广安·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，通过计算判别式的值，判断一元二次方程的根的情况即可． 解：对于方程，其判别式为： 由于，根据判别式的性质，方程有两个不相等的实数根． 故选：B 2.（2026·广东广州·中考真题）已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一元二次方程根的情况与判别式的关系列方程求解即可． 解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即，解得． 3.（2026·四川内江·中考真题）对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据题目给出的新定义，将方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断根的情况即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 4.（2025·四川·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为______． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可． 解：根据题意得，， 解得， 故答案为：． 5.（2026·江苏无锡·中考真题）按要求完成下列小题： （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）根据整式的混合运算法则计算即可得解． （1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． （2）解：原式 ． 6.（2026·广西·中考真题）关于的一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，是坐标原点． 【性质初探】 （1）随的增大而 （填“增大”或“减小”）； （2）求证：的面积为1； 【归纳提炼】我们把形如的一次函数称为“正向积1”函数． 【深入探究】 （3）图象经过点的“正向积1”函数是否存在？若存在，求出该函数解析式；若不存在，请说明理由； （4）已知点不在坐标轴上，若图象过点的“正向积1”函数有且只有一个． ①求关于的函数解析式； ②选取一个符合条件的点，并验证该点是线段的中点． 【答案】（1）增大；（2）证明：函数与轴，轴分别交于，两点， 令，得， ，， 令，得， ，两边除以得， 解得， ，， （3）存在，函数解析式为和 （4）① ；② 示例：点符合条件，验证见解析（答案不唯一） 【分析】（1）根据一次函数增减性的判定，由得一次项系数，可直接判断增减性； （2）先求出函数与两坐标轴的交点坐标，得到直角三角形两条直角边的长度，代入三角形面积公式计算即可证明结论； （3）将点坐标代入函数解析式，得到关于的一元二次方程，求解得到非零的，即可得到对应函数解析式； （4） ① 将点代入函数，整理得到关于的一元二次方程，由函数有且只有一个可知方程有两个相等实根，利用判别式为0整理即可得到关于的解析式； ② 任意取符合条件的点，求出对应函数和坐标，计算中点验证即可． 解：（1）一次函数为， ， ，即， 随的增大而增大. （2）略 （3）解： 将代入得： ， 整理得， 解得，，均满足， 因此存在符合要求的函数， 当时，解析式为， 当时，解析式为. （4）① 解： 将代入 得： ， 整理得， 函数有且只有一个，即关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 判别式， 令得， 不在坐标轴上， ， 整理得. ② 验证： 取，得，即， 代入得， 解得，满足， 函数解析式为， 令得， ， 令得， ， 中点坐标为，与坐标一致，因此是的中点. 六.作业自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 巩固性作业 □顺利 □有困难 拓展性作业 □顺利 □有困难 探究性作业 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.3 降次——解一元二次方程（公式法）【分层作业】 2026—2027学年人教版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.巩固性作业（全员参与） 2 【题型1 根的判别式（判断根的情况）】 2 【题型2 公式法中系数 a、b、c 的值】 2 【题型3 公式法解方程（简单）】 3 【题型4 公式法解方程（系数不为1或需整理）】 4 三.拓展性作业（部分参与，选做） 5 【题型1 判别式求参数范围】 5 【题型2根的判断式的求值或证明】 5 四.探究性作业（部分参与，选做） 6 【题型 求根公式的几何应用】 6 五.中考链接（全员参与） 7 六.作业自我评价 9 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 （1）对于一元二次方程，式子叫做根的判别式，通常用希腊字母_______表示。 （2）当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程____实数根。 （3）当时，一元二次方程的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式。 二.巩固性作业（全员参与） 【题型1 根的判别式（判断根的情况）】 1.（26-27九年级上·全国·课后作业）一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 2.（2025·河南信阳·模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 3.（2026·广东中山·一模）正比例函数的图象过二、四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是___． 4.（24-25九年级下·北京·阶段检测）关于的一元二次方程根的情况是______． 【题型2 公式法中系数 a、b、c 的值】 1.（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程时，应先找出对应的________，________，________，计算出________，可得方程的根是_________． 2.（24-25九年级上·福建厦门·阶段检测）一元二次方程，用求根公式求解时c的值是______． 3．（25-26八年级下·河北张家口·期末）用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 4．（25-26九年级上·福建厦门·期中）关于x的一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 【题型3 公式法解方程（简单）】 1.（24-25九年级上·河北石家庄·阶段检测）嘉嘉同学解一元二次方程的过程如下． 解：，① ，，，② ，③ 方程有两个相等的实数根 ④ （1）嘉嘉解方程的方法是___________； A．直接开平方法    B．因式分解法    C．配方法    D．公式法 他的求解过程从第___________步开始出现错误． （2）请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根． 2.（25-26八年级下·浙江杭州·期末）求方程的正数根． 3.（24-25九年级上·湖北荆门·阶段检测）已知关于x的一元二次方程，给出下列三组值，请选择一组值解方程：①，；②，；③，． 4.（25-26八年级下·北京·课后作业）用公式法解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型4 公式法解方程（系数不为1或需整理）】 1.（24-25九年级上·全国·随堂练习）用公式法解一元二次方程： （1）． （2）． 2.（25-26八年级下·北京·课后作业）用公式法解下列方程： （1）； （2）． 3.（2025九年级上·全国·专题练习）用公式法解下列方程： （1）． （2）． 4.（第08讲一元二次方程求根公式及解法综合-【暑假自学课】2023年新八年级数学暑假精品课（沪教版，上海专用））用公式法解关于x的方程：． 三.拓展性作业（部分参与，选做） 【题型1 判别式求参数范围】 1.（2026·甘肃嘉峪关·二模）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 2.（25-26八年级下·山东淄博·期末）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B． C． D． 3.（2026·安徽蚌埠·三模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是______． 4.（2026·江苏盐城·模拟预测）二次函数的图象与一次函数的图象至少有一个交点，则实数的取值范围是________． 【题型2根的判断式的求值或证明】 1.（24-25九年级上·云南昭通·阶段检测）已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值． 2.（2025九年级上·湖南衡阳）已知关于x的方程． （1）试讨论该方程的根的情况并说明理由； （2）无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，试求出这个根． 3.（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为符合条件的最小整数，且该方程的一根是另一根的倍，求的值． 4.（24-25九年级上·湖南常德·阶段检测）已知关于的一元二次方程，． （1）若方程有实数根，试确定之间的大小关系； （2）若，和是原方程的两个实数根，且，求的值． 四.探究性作业（部分参与，选做） 【题型 求根公式的几何应用】 1.（2025·安徽·一模）在菱形中，点是对角线上一点，且，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 2.（24-25九年级上·广东佛山·阶段检测）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割．如图，点是线段上一点（），若满足，则称点是线段的黄金分割点．世界上很多有名建筑物几乎都包含“黄金分割”的设计理念．若图中，则的长是（    ） A． B． C． D． 3.（25-26八年级下·上海嘉定·期中）顶角为的等腰三角形的腰与底的比值为______． 4.（2026·河南开封·一模）如图，在等腰直角中，，点是的中点，在上取一点，连接，过点作，交于点，连接．若，则的长为___________． 五.中考链接（全员参与） 1.（2025·四川广安·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 2.（2026·广东广州·中考真题）已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 3.（2026·四川内江·中考真题）对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 4.（2025·四川·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为______． 5.（2026·江苏无锡·中考真题）按要求完成下列小题： （1）解方程：； （2）计算：． 6.（2026·广西·中考真题）关于的一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，是坐标原点． 【性质初探】 （1）随的增大而 （填“增大”或“减小”）； （2）求证：的面积为1； 【归纳提炼】我们把形如的一次函数称为“正向积1”函数． 【深入探究】 （3）图象经过点的“正向积1”函数是否存在？若存在，求出该函数解析式；若不存在，请说明理由； （4）已知点不在坐标轴上，若图象过点的“正向积1”函数有且只有一个． ①求关于的函数解析式； ②选取一个符合条件的点，并验证该点是线段的中点． 六.作业自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 巩固性作业 □顺利 □有困难 拓展性作业 □顺利 □有困难 探究性作业 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $