1.5.1　平面上两点间的距离同步练-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 分层清晰，从基础公式应用到综合创新，梯度合理，覆盖平面距离核心知识点，助力知识巩固与数学思维提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|两点距离、对称点距离、中线长等基础计算|直接套用公式，强化运算能力| |B级|存在性问题、几何性质应用、函数最值转化|结合几何与代数，培养逻辑推理| |C级|多距离和最小值、直线综合应用|情境复杂，发展创新意识|

1.5　平面上的距离 1.5.1　平面上两点间的距离 A级　必备知识基础练 1.已知两点M(2，1)，N(－1，5)，则MN等于(　　) A.5　　 B．　　 C．　　 D.4 2.点M(1，2)关于y轴的对称点N到原点的距离为(　　) A.2　　 B.1　　 C．　　 D.5 3.已知点P，Q，M，且PQ=PM，则a的值是(　　) A．－2　　 B.2　　 C．－　　 D． 4.已知△ABC的顶点为A(2，1)，B(－2，3)，C(0，－1)，则边AC上的中线长为(　　) A．3　　 B．3　　 C．4　　 D．4 5.若光线从点A(－3，5)射到x轴上，经x轴反射后经过点B(2，10)，则光线从点A到点B的路程为(　　) A.5　　 B.2　　 C.5　　 D.10 6.(2025徐州高二质检)若直线l1：3ax－y－2=0过定点A，直线l2：(4a－1)x＋2ay－1=0过定点B，则A，B两点间的距离是　　　　． 7.在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则=　 ． 8.已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD．用坐标法证明：AC=BD． 9.如图，已知△ABC的三个顶点分别为A，B，C． (1)试判断△ABC的形状； (2)设D为线段BC的中点，求边BC上中线的长． B级　关键能力提升练 10.已知两点A(－c，0)，B(c，0)，直线x＋y=1上存在唯一一点P，使得PA=PB，则c的值为(　　) A．－1　　 B．－1或 C.1或－　　 D．－ 11.若三角形一边上的中点到三个顶点的距离相等，则该边所对角的大小为　　　　． 12.函数f=＋的最小值是　　　　　　． 13.已知正方形ABCD的中心为坐标原点，点A的坐标为(2，1)，点B在第四象限． (1)求正方形ABCD的面积； (2)求直线AB和BC的方程． C级　学科素养创新练 14.在平面直角坐标系内有四点A(－1，0)，B(2，1)，C(1，5)，D(－2，2)，P为该平面内的动点，则P到A，B，C，D四点的距离之和的最小值为(　　) A．10　　 B．＋ C．14　　 D．＋ 15.已知直线l1：x－y＋2=0，l2：x－y－2=0，直线l3垂直于l1，l2，且垂足分别为A，B．若C，D，求CA＋AB＋BD的最小值． 答案： 1.A　2.C 3.C　解析　由PQ=PM，得=，解得a=－． 4.B　解析　设AC的中点为D，连接BD(图略)． 由A(2，1)，C(0，－1)，得D(1，0)． 又B(－2，3)，所以|BD|==3． 5.C　解析　易知点A(－3，5)关于x轴对称的点为A′(－3，－5)，则光线从A到B的路程即A′B的长，可得A′B==5，即光线从A到B经过的路程为5． 6.　解析　由得所以A(0，－2)，直线l2方程变形为(4x＋2y)a－x－1=0，由解得即B(－1，2)，所以|AB|==． 7.10　解析　以C为原点，AC，BC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，设A(4a，0)，B(0，4b)，则D(2a，2b)，P(a，b)，所以PA2=9a2＋b2，PB2=a2＋9b2，PC2=a2＋b2，于是PA2＋PB2=10(a2＋b2)=10PC2，即=10. 8.证明　如图，建立平面直角坐标系，设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)， 所以AC==， BD==， 故AC=BD． 9.解　(1)根据两点间的距离公式，得==，==2， CA==5 ．因为2＋2=2， 即AB2＋BC2=CA2， 所以△ABC是直角三角形． (2)依题意，线段BC的中点D(2，－1)，AD==2，所以边BC上中线的长为2． 10.B　解析　设P(x0，)，由|PA|=|PB|，得|PA|2=3|PB|2，即(x0＋c)2＋()2=3[(x0－c)2＋()2]，整理，得3－2(1＋4c)x0＋2c2＋1=0. 因为直线x＋y=1上存在唯一一点P，所以整理后的方程只有一个解，即Δ=4(1＋4c)2－12(2c2＋1)=0，解得c=－1或c=． 11.　解析　如图，在△ABC中，D为边BC的中点，DA=DB=DC， 以顶点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 设B(a，0)，C(b，c)，则D(，)， 因为DB=DA， 所以=，即ab=0. 因为a≠0，所以b=0，C(0，c)，所以•=0，即AC⊥AB，A=． 12.　解析　f(x)=＋=＋，问题就可以转化为在平面直角坐标系中，在横轴上找到一点A(x，0)，使得该点到B(0，1)，C(2，－2)两点的距离之和最小，如图． 根据平面内，两点间线段最短，显然直线BC与横轴的交点就是到B(0，1)，C(2，－2)两点的距离之和最小的点，即最小值为BC==． 13.解　(1)由题意知|AC|=2|OA|=2=2，所以正方形ABCD的边长为=，所以正方形ABCD的面积S=()2=10. (2)因为AC所在直线的方程为y=x，且AC⊥BD，所以BD所在直线的方程为y=－2x．设点B的坐标为(a，－2a)，a＞0， 因为|OB|=|OA|==，所以|OB|==，解得a=1，所以点B的坐标为(1，－2)， 所以直线AB的方程为y=(x－2)＋1，即3x－y－5=0，因为BC⊥AB，所以直线BC的方程为y=－(x－1)－2，即x＋3y＋5=0. 14.D　解析　依题意可知，四点A(－1，0)，B(2，1)，C(1，5)，D(－2，2)构成一个四边形ABCD，因为PA＋PC≥AC，当且仅当P在对角线AC上时取等号，PB＋PD≥BD，当且仅当P在对角线BD上时取等号，所以PA＋PC＋PB＋PD≥AC＋BD=＋=＋，当且仅当P为两条对角线的交点时取等号． 故P到A，B，C，D四点的距离之和的最小值为＋． 15.解　因为直线l3垂直于l1，l2，所以设直线l3的方程为x＋y=2m(m∈R)， 由得点A(m－1，m＋1)，由得点B(m＋1，m－1)，而C(－4，0)，D(4，0)，于是得CA＋AB＋BD=＋2＋，而＋表示动点M(m，m)到定点E(－3，－1)与F(3，1)的距离的和，显然，动点M(m，m)在直线y=x上，点E(－3，－1)与F(3，1)在直线y=x两侧，因此，ME＋MF≥EF=2，当且仅当点M是直线y=x与线段EF：y=x(－3≤x≤3)的交点，即原点时取“=”，此时m=0，从而得＋取最小值2，所以当直线l3的方程为x＋y=0时，CA＋AB＋BD取最小值2＋2． 学科网（北京）股份有限公司 $