3.1.1 椭圆的标准方程 分层同步练习-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

3.1.1　椭圆的标准方程 一、基础达标练 1.若平面内有一个动点M及两定点A,B.设p:|MA|+|MB|为定值,q:点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,则(　　) A.p是q的充分不必要条件 B.p是q的必要不充分条件 C.p是q的充要条件 D.p既不是q的充分条件,又不是q的必要条件 2.已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1,F2,点B为椭圆与y轴的一个交点,则△BF1F2的周长为(　　) A.20 B.18 C.16 D.9 3.“m>-3”是“方程=1表示椭圆”的(　　) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.如果点M(x,y)在运动过程中,总满足关系式=4,那么点M的轨迹是(　　) A.不存在 B.椭圆 C.线段 D.双曲线 5.已知△ABC的周长为20,且顶点B(0,-4),C(0,4),则顶点A的轨迹方程是　　　　　　. 6.若椭圆C:=1(a>b>0)过点M(1,),N(-),则椭圆的方程为　　　　　.  7.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为,椭圆上任意一点M到两个焦点的距离之和等于26; (2)经过点,且与椭圆9x2+4y2=36有共同的焦点. 二、能力提升练 8.(多选题)若方程=1表示椭圆C,则下面结论错误的是(　　) A.k∈(1,9) B.椭圆C的焦距为2 C.若椭圆C的焦点在x轴上,则k∈(1,5) D.若椭圆C的焦点在x轴上,则k∈(5,9) 9.椭圆=1的左、右焦点分别为F1,F2,A(0,b),△AF1F2的面积为,且∠F1AF2=∠AF1F2,则椭圆的方程为(　　) A.=1 B.=1 C.+y2=1 D.=1 10.已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,过点F2且垂直于x轴的直线交C于A,B两点,且|AB|=3,则椭圆C的标准方程为(　　) A.=1 B.=1 C.+x2=1 D.+y2=1 11.我们把由半椭圆=1(x≥0)与半椭圆=1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2=b2+c2,a>b>c>0),如图所示,其中点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点.若△F0F1F2是边长为1的等边三角形,则a,b的值分别为(　　) A.,1 B.,1 C.5,3 D.5,4 12.如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-5,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的方程为　　　　　.  13.已知点A(4,0)和B(2,2),M是椭圆=1上的动点,则|MA|+|MB|的最大值为　　　. 14.已知椭圆=1(a>b>0)的两个焦点分别是F1(0,-1),F2(0,1),且3a2=4b2. (1)求此椭圆的标准方程; (2)若点P在这个椭圆上,且PF1-PF2=1,求∠F1PF2的余弦值. 三、拓展探究练 15.如图(示意图),一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点F1上,片门位于另一个焦点F2上,由椭圆一个焦点F1发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2,已知BC⊥F1F2,|F1B|=2.8 cm,|F1F2|=4.5 cm,建立如图所示的平面直角坐标系,则截口BAC所在椭圆的方程为　　　　　(精确到0.1 cm).  16.(多选题)数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观,形少数时难入微.”事实上,很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如,与相关的代数问题,可以转化为点A与点B之间的距离的几何问题.结合上述观点,对于函数f,下列结论正确的是(　　) A.f=6无解 B.f=6的解为x=± C.的最小值为2 D.f的最大值为2 参考答案 1.B　2.B　3.A　4.B 5.=1(x≠0)　6.+y2=1 7.解 (1)因为椭圆的焦点在x轴上,所以可设椭圆的标准方程为=1(a>b>0),由椭圆的定义可得2a=26,则a=13,故b==12,所以椭圆的标准方程为=1. (2)椭圆9x2+4y2=36的标准方程为=1,该椭圆的焦点为F1(0,-),F2(0,). 设所求椭圆的标准方程为=1(a>b>0),由椭圆的定义,可得2a==()+()=2,则a=,b=.故所求椭圆的标准方程为=1. 8.ABD　9.D　10.B　11.A 12.=1　解析 如图,设椭圆的右焦点为M,连接PM.根据题意,得|FM|=2|OF|=10.由|OP|=|OF|=|OM|,知∠PFM=∠FPO,∠OMP=∠OPM,所以∠PFM+∠OMP=∠FPO+∠OPM.又由∠PFM+∠OMP+∠FPO+∠OPM=180°,知∠FPO+∠OPM=90°,即PF⊥PM.又|FM|=10,|PF|=6,则|PM|==8,则2a=|PF|+|PM|=14,解得a=7. 又c=5,则b2=a2-c2=49-25=24,则椭圆的方程为=1. 13.10+2　解析 由椭圆=1,得点A为椭圆右焦点.设左焦点为F(-4,0),则由椭圆定义知|MA|+|MF|=2a=10,于是|MA|+|MB|=10+|MB|-|MF|.当点M不在直线BF与椭圆交点上时,M,F,B三点构成三角形,于是||MB|-|MF||<|BF|,而当点M在直线BF与椭圆交点上时,交点在第一象限,有|MB|-|MF|=-|BF|,交点在第三象限,有|MB|-|MF|=|BF|.显然当点M在第三象限的直线BF与椭圆交点上时,|MA|+|MB|有最大值,其最大值为10+|BF|=10+=10+2. 14.解 (1)依题意,知c=1.又c2=a2-b2,且3a2=4b2,所以a2-a2=1,解得a2=4,从而b2=3. 因此,椭圆的标准方程为=1. (2)因为点P在椭圆上,所以PF1+PF2=4.又PF1-PF2=1,所以PF1=,PF2=.又F1F2=2, 所以由余弦定理,得cos∠F1PF2=, 即∠F1PF2的余弦值等于. 15.=1　解析 设所求椭圆的方程为=1(a>b>0). 在Rt△BF1F2中,|F2B|==5.3. 由椭圆的定义,知|F1B|+|F2B|=2a,所以a=(|F1B|+|F2B|)=×(2.8+5.3)≈4.1, 则b=≈3.4,所以椭圆的标准方程为=1. 16.BC　解析 如图,f(x)=+. 设P(x,1),A(-2,0),B(2,0),则f(x)=|PA|+|PB|. 若f(x)=6,则|PA|+|PB|=6>|AB|=4,则点P在以A,B为焦点的椭圆上,此时2a=6,c=2,即a=3,b2=9-4=5,即椭圆方程为=1,当y=1时,=1-,解得x2=,得x=±,故A错误,B正确;点B关于直线y=1的对称点为C(2,2),则|PA|+|PB|=|PA|+|PC|≥|AC|,当A,P,C三点共线时,f(x)最小,此时f(x)=|AC|===2,f(x)无最大值,故C正确,D错误. 6 学科网（北京）股份有限公司 $