25.2 降次 —— 解一元二次方程 课后同步练习2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 25.2解一元二次方程同步练（人教版九年级上册），以"基础巩固-方法综合-实践应用"分层设计，通过梯度化题型培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|直接开平方法、公式法等单一解法|单选题1-7题聚焦概念辨析（如第2题确定a,b,c值），填空题11-13题强化运算（如第12题公式法求解），夯实符号意识| |中档层|配方法、根的判别式、换元法综合应用|单选题8-10题结合三角形三边关系（第8题）、接力游戏纠错（第10题），解答题16-18题整合多种解法，发展推理能力| |综合层|实际问题建模与跨学科应用|解答题19-20题设计图案规律（第19题）、养殖场面积最值（第20题），融入赵爽弦图（第15题），体现模型观念与应用意识|

25.2 降次 —— 解一元二次方程 课后同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册 一、单选题 1．一元二次方程可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（　　） A． B． C． D． 2．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a，b，c的值．对于方程，a，b，c的值分别是（   ） A．，5，3 B．，，3 C．4，5，3 D．4，， 3．问题：聪明的你知道代数式的最小值为多少吗？解：因为，又因为，所以，所以的最小值为1．请用上述方法，解决代数式的最小值为（    ） A．3 B． C．6 D． 4．关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 5．若关于x的一元二次方程没有实数根，则常数k的值可能是（     ） A．3 B． C．0 D．2 6．用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的方程是（　　） A． B． C． D． 7．用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 8．若一个三角形两条边长为2和4，第三边长满足方程，则此三角形的周长为(    ) A．8 B．11 C．8或10 D．8或11 9．已知，是方程的两个实根，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（    ） A．只有甲 B．甲和丙 C．乙和丙 D．丙和丁 二、填空题 11．把关于的一元二次方程配方，得，则_____． 12．用公式法解方程，得__________． 13．在实数范围内，存在两个不相等的x的值，使得代数式与的值相等，则k的取值范围是__________． 14．对于实数，定义一种新运算“”：当时，；当时，．若，则实数_______． 15．如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．连接，若与的面积相等，，则的长为______． 三、解答题 16．解方程： (1)； (2)； (3)． 17．下面是甲、乙两名同学解方程的部分解答过程： ， ， ， ，… ， ， ， ，… 甲同学 乙同学 (1)代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做__________法． (2)请判断他们的解答过程是否正确？若其中至少有一位同学正确，请选择一位同学的解法，写出完整的解答过程；若都错误，请写出你认为正确的解答过程． 18．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 19．如图，小明设计如下的正方形图案，外一层是空心圆，内部全是实心圆，归纳图案中的规律，完成下列任务． (1)图案中实心圆有 个，空心圆有 个； (2)此类图案中是否存在实心圆比空心圆多41个，请你作出判断并说明理由． 20．【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴ ∴当时，的最小值是4． (1)【类比探究】 求代数式的最小值； (2)【举一反三】 若当________时，有最________值（填“大”或“小”），这个值是________； (3)【灵活运用】 已知，则________； (4)【拓展应用】 如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，栅栏的总长度为．当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B A A A D B C B 1．【答案】C 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴或， 故选C 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键． 2．【答案】B 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】用公式法求一元二次方程时，首先要把方程化为一般形式． 【详解】∵ ∴或 ∴的值分别是或 故答案选B 【点睛】在变化为一般形式时，要注意移项变号问题 3．【答案】B 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查了配方法的应用，模仿题意的解题过程，进行变形作答即可． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∴所以的最小值为， 故选：B． 4．【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．通过计算一元二次方程根的判别式，即可判断方程根的情况． 【详解】解：方程 中，，，， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 5．【答案】A 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【详解】解：由题可得，，，， ∵一元二次方程没有实数根， ∴， 解得． ∴k的值可以为3. 6．【答案】A 【知识点】换元法解一元二次方程、解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查了解分式方程，换元法的应用，解题的关键是去分母将其化为整式方程． 由题意可得，再去分母可得，即可求解． 【详解】解：设， 则原方程可化为： ， ， ， 故选：A． 7．【答案】D 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】利用完全平方公式配方即可得到结果． 【详解】解：∵， 移项得， 二次项系数化为1得， 配方，两边同时加1得， 即， 对比可得，． 故选：D． 8．【答案】B 【知识点】构成三角形的条件、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，构成三角形的条件，利用因式分解法求出x的值后，再根据三角形三边间的关系取舍，从而依据三角形周长公式计算可得． 【详解】解：∵， ∴， 则或， 解得或， 当时，2，2，4不能构成三角形，舍去； 当时，此三角形的周长为， 故选：B． 9．【答案】C 【知识点】一元二次方程的解、已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】利用，是方程的两个实根，根据方程解的含义及根与系数的关系即可完成． 【详解】解：∵，是方程的两个实根， ∴，； ∴， ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题考查了求代数式的值，一元二次方程解的概念及一元二次方程根与系数的关系，关键在于通过添减项进行正确变形，以便运用、与，达到运算简便． 10．【答案】B 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程判断作答即可． 【详解】解：由题意知，甲中， 丙中， ∴甲和丙出现了错误， 故选：B． 11．【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，通过配方法，将方程左边配成完全平方式，右边为常数，比较系数得出c的值． 【详解】解：对方程进行配方，移项得， 两边同时加上一次项系数一半的平方16，得，即，与给定的比较，得， 解得． 故答案为：5． 12．【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，利用公式法解一元二次方程的条件是，一元二次方程的求根公式为：．先确定a、b、c及判别式的值，然后再利用求根公式求解即可． 【详解】解：， ∵，， ∴， ∴，． 13．【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据一元二次方程根的情况求参数取值范围，根据题意得到关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式大于求解即可． 【详解】解：由题意得方程，整理得， 根据题意可得方程有两个不相等的实数根， ， 解得． 14．【答案】4 【知识点】新定义下的实数运算、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查新定义，一元一次方程的解法，一元二次方程的解法．分两种情况讨论：当时，当时，再分别根据新定义列出方程，再解方程即可． 【详解】解：∵当时，则，当时，， ∴当时， 解得，不符合题意，舍去； 当时，则， ∴， ∴， 解得：4，（舍去）， ∴， 综上，， 故答案为：4． 15．【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了解一元二次方程，弦图的计算；设图中根据题意得出，即，解方程得出（负值舍去）代入进行计算即可求解． 【详解】解：设图中， 图中，， ，， 与的面积相等， ， ， ， 解得：，或（舍去）， 故答案为：． 16．【答案】(1)， (2)， (3)， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： 或 解得，； （3）解： 或 解得，． 17．【答案】(1)配方 (2)甲、乙两名同学解方程都正确，见解析 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】（1）根据配方法的定义解题； （2）根据直接开平方写出完整的解题过程． 【详解】（1）解：代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法， 故答案为：配方； （2）甲、乙两名同学解方程都正确， 甲， ， ， ， ，， 乙， ， ， ， ， ，． 【点睛】本题考查配方法解方程，掌握配方法是解题的关键． 18．【答案】(1)证明：已知一元二次方程为， 可得，，， ∴， ， ，即， 方程总有两个不相等的实数根． (2) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算，通过判断证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根之和，联立已知条件求出两根，再根据两根之积得到关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：方程的两个实数根为，，由根与系数的关系得：，， 又， 可得方程组， 解得， 将，代入，得，即， 解得． 19．【答案】(1)， (2)存在，理由见解析 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索、因式分解法解一元二次方程 【分析】此题考查了图形类规律探究，一元二次方程的应用，正确理解图形的变化规律得到计算规律，以及掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）分别计算各图案中空心圆和实心圆的数量，归纳出规律：图案n中实心圆有个，空心圆有个，即可； （2）根据题意列方程解答． 【详解】（1）解：图案1中实心圆有1个，空心圆有个， 图案2中实心圆有个，空心圆有个， 图案3中实心圆有个，空心圆有个， ……， ∴图案n中实心圆有个，空心圆有个． 故答案为：，． （2）解： 存在，理由如下： 根据题意，得：， 整理，得， 解得（舍去）或． 故第9个图案中实心圆比空心圆多41个． 20．【答案】(1)3 (2)；大；1 (3)1 (4)当，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 【知识点】配方法的应用 【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键： （1）把原式利用配方法变形为，再仿照题意求解即可； （2）把原式利用配方法变形为，再仿照题意求解即可； （3）把原式利用配方法变形为，再利用非负数的性质求解即可； （4）设，则，则，进而求出，则，据此可得答案． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴当时，的最小值为3； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为1， 故答案为：；大；1； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：设，则， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最大，最大值为48， ∴当，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $