山西吕梁市汾阳市第二高级中学校、方山县高级中学等2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

高三年级开学考试·数学试题 参考答案、提示及评分细则 1.B因为CuM={x|x≤1〉，所以M={x|x>1}.故选B. 2.B由存在量词命题的否定为全称量词命题，可得p:Hx∈[0，十o∞)，e≠2x.故选B 3.A由幂函数的定义知，m2-3m十1=1，解得m=0或m=3,当m=0时，f(x)=x],定义域不为R,不符合 题意；当m=3时，f(x)=x2,定义域为R.故选A 4.C由不等式的性质知，当c0时，A不正确；当a=一1，b=1,c=0时，ac2≥b2成立，但a>b不成立，故B 不正确：对于C,由条件知，c≠0，所以2>0，在2<名两边同乘以c,得ac<bc,故C正确；当a=一3，b=0 时，满足ab,但a2=9>0=b,故D不正确.故选C. 5.A令g(x)=x(x-2)(x-3),则f(x)=(x-1)g(x),所以f(x)=g(x)+(x-1)g'(x),所以 f(1)=g(1)=1×(-1)(-2)=2.故选A. 6.C由题意知，从2024年起，每年投人的研发资金数成以1.09为公比的等比数列，设该数列为{am},则an= 120×1.09;由120×1.091>20，得1.091>吕，两边取对数，得(-1D1g1.09>1g10-1g6,即m-1 >1-g2g3≈一0.30100.477≈5.93，所以>6.93，所以m≥7时，该公司全年投人的研发资金开 1g1.09 0.0374 始超过200亿元，即研发资金开始超过200亿元的年份为2030年.故选C. 7.D对于题十等式两边同乘x一3y得(x-3P=(一马+4)x一3，化简可得（一3P-4一3） 10--影，又由-≥2√（一）·（一）=6，当且仅当--=-时等号成立，则有x-3) 一4(x-3y)-16≥0，解得x-3y≥2+2√5（负值已舍）.故选D. 2x,2x0, 8.D设f(x)=2x,g(x)=x,则h(x)= 画图可知h(x)不是奇函数，h(x)是增函数，故A,B错误：设 1x,x>0, x,0, f(x)=-3x,g(x)=,h()= h(-1)=-1,f(-1)+g(-1)=2,所以f(-1)<f(-1)+ 、-3x,x>0, g(-1),故C错误；对于D,对任意xn∈R,若f(xn)≥g(n),则一f(xn)≤-g(xn),即f(-n)≤g(-x), 所以h(o)=g(xo),h(-m)=f(-xn),所以h(xo)+h(一xm)=g()+f(-)≤g(xo)+g(一xn)=0, h(0)=min{f(0),g(0)}=0,所以h(0)≥h(n)十h(-xa):若f(o)<g(n),则同理得h(xn)十h(-xa) O.故D正确.故选D. 9.AC由常见函数的导数和求导法则知AC正确，BD错误.故选AC. 10.ABD对于A选项，对于充分性，易知此时a=0∈A,a2=0∈B,此时0为A与B的公共元素，故A∩B≠⑦， 充分性得证，对于必要性，取a=b=1,此时A={1,2,3},B={1},A∩B≠必，但a≠0，必要性不成立，A正 确；对于B选项，对于充分性，取a=一1，b=2,此时A={一1,2,3}，B={1,2},B不是A的子集，充分性矛 盾，对于必要性，由子集定义可知当B二A,b∈B时有b∈A,必要性得证，B正确；对于C选项，不妨令a=b= 【高三年级开学考试·数学试题参考答案第1页（共6页）】 27-L-019C 1,此时B={1},仅有唯一元素，但b≠2a,矛盾，C错误；对于D选项，对于充分性，取a=1,b=√2，此时a+b Q,而A={1,2,3},B={1,√2}，B不是A的子集，充分性矛盾，对于必要性，取a=b=1,此时A= {1,2,3},B={1},B二A,但a十b∈Q,必要性矛盾，D正确.故选ABD. 11.ABD因为f(x)是R上的奇函数，所以f(一x)=一f(x),两边取导数得一(-x)=一f(x),则f(-x) =f(x),所以f(x)是偶函数，即曲线y=∫(x)关于y轴对称，故A正确；设h(x)=f(2十x)+f(x),则 h'(x)=f'(2+x)+f'(x)=0,所以h(x)=c,当x=-1时，h(-1)=f(1)+f(-1)=0,因此c=0,所以 f(2+x)=一f(x),则f(4十x)=一f(2+x)=f(x),所以4为f(x)的一个周期，故f(x)是周期函数，故 B正确：因为f(一x)=一f(x),f(2+x)=一f(x),所以f(2+x)=f(-x),所以函数f(x)的图象关于直线 x=1对称，当1<x≤2时，2-x∈[0,1)，所以f(x)=f(2一x)=-(2-x)2+2(2-x)=一x2+2x,故C错 误；由周期性可知()=f(16+号)=f(号)=f(2+2）=一（号）=一是，放D正确.故选ABD. 12.y=xy'=e(sinx十cosx),当x=0时，y'=1,所以曲线y=esin x在点(0,0)处的切线方程为y=x. 13.(（一∞，)U(2,十∞)（若考生最终答案用集合的形式表示，只要数值正确均给分）由题意可得f(x)在 [0,十∞)上单调递减，且f(x)为偶函数，所以f(m-1)>f(3-2m)等价于|m-1|<|3-2ml,两边平方， 得(m-1)2<(3-2m)2,即3m2-10m+8>0,解得m(-∞，专)U(2,+∞)，故答案为(-oo,专)U(2, 十∞. 14.2(2分)(0，+∞)(3分)令f(x)=0,可得x=log2a,因此f(f(x)=0的根必然满足f(x)=log2a.对于 |2x-a=log2a,当x<log2a,a-2r=log2a,解得=log2(a-log2a).当x>log2a,2r-a=log2a,解得2= log2(a十log2a),故有两根.且m+x2=log2[a2-(log2a)2],令a=2(t>0),则a2-(log2a)2=4'-t2,令 g0=1,则g0-2+D-《少≤0，g0在R上是减函数，所以当>0时，g<g0) e 1,所以e>2+1,又因为t>0时，4'>e,所以4'-t2>1,且当t=0时，4-t=1,又t→+o∞时，4'-2→ +∞，所以x+x2=log2(4-t)>log21=0,故答案为2，(0，十∞). 15.解：(1)A={x-2<x5},… 1分 因为A∩B=B,所以BCA,… …2分 ①当m≥6m-1,即m≤号时，B=,符合题意： …3分 m≥-2， ②当m<6m-1,即m>号时，B≠，若BCA,则 所以号<m≤1. …5分 6m-1≤5， 所以实数m的取值范围是（一∞，1].… …6分 (2)由(1)知当m≤号时，B=,不合题意；… …8分 当m>时，B≠，要使AnB≠☑，必有6m-1>-2且m<5,故号<m<5. 11分 综上，实数m的取值范围是（号5）. … 13分 【高三年级开学考试·数学试题参考答案第2页（共6页）】 27-L-019C 16.解：(1)因为a.x2+b(4-b)x-3>0的解集为(1,3)， 所以1,3是方程a.x2十b(4一b)x-3=0的两根，且a<0.…… 2分 1+3=- b(4-b) a a=-1, 所以1X3=二3 解得 6分 a b=2. a<0, (2)由题意知f(1)-ab=a+b(4-b)一3-ab<0, 所以b2+(a-4)b+3-a>0, 方程b2十(a一4)b十3-a=0的两根分别为1,3-a, …9分 ①当1=3一a,即a=2时，不等式的解为b≠1，故f(1)一ab0的解集为{bb≠1}；…11分 ②当1>3-a,即a>2时，不等式的解为b3-a或b>1,故f(1)-ab0的解集为{bb3-a,或b>1}: 13分 ③当1<3-a,即a<2时，不等式的解为b1或b>3-a,故f(1)-ab<0的解集为{bb<1,或b>3-a. …15分 17.解：(1)由题意可转化为f(x)=m十e≥0在区间[1,2]上恒成立，…3分 即m≥-e在[1,2]上恒成立，易得函数y=-e在区间[1,2]上单调递增，x=2时，x=-之， m≥ e2 …5分 即m的取值范围为 6分 《2)由x>0时，f(x)≥g(x)可知mx一e≥在(0，+o∞)上恒成立，即me-T一21nx≥0在 (0,十∞)上恒成立. …8分 而re=e,故设1=1)=十2h,易知1)是增函数，其值域为R,放me≥，即m≥台 …………………… 11分 设0)=台，N0)=2-1号 当t∈（一∞，1）时，h'(t)>0,h(t)单调递增：当t∈(1，十∞)时，h'(t)<0,h(t)单调递减.… 14分 故h()<h()=。,于是m≥。，故m的取值范围为[日，十∞）： …15分 18.解：(1)当a=-2时，f(x)=log2(x-2), 所以f(x2-2x)=l0g2(x2-2x-2)<0,即0x2-2x-2<1,…1分 由x2-2x-2>0,得x>1+√5，或x<1-√5； …2分 由x2-2x-2<1,得-1<x<3, …3分 故原不等式的解集为（一1,1一5）U(1十√5,3).… …4分 【高三年级开学考试·数学试题参考答案第3页（共6页）】 27-L-019C (2)由f(2）-log[(a-3)x+2a-4]=0,得1og(2+a）=log[(a-3)x+2a-4J, +0 所以3(a-3)x+2a-4>0, …5分 +a=(a-3)x+2a-4. 由上十a=(a-3)x+2a-4,得a-3)r+(a-4x-1=0. 即(x+1)[(a-3)x-1]=0,①… 6分 当a=3时，方程①的解为x=一1，经检验符合题意；… …7分 当，3一一1，即a=2时，方程①的解为x=一1，经检验符合题意；……。 8分 当a≠2且a≠3时，方程①的解为x=-1,或x= a-3' 若父=-1是原方程的解，则十a=a一1>0，所以>l.,…9分 若x=二3是原方程的解，则十a=。-3十a>0,所以。心号， 因为x=一1，x= 。中仅有-个是原方程的解，则a>1和a>受中仅有一个成立，所以1<a≤号。 综上所述，a的取值范围为{a1<a≤<号，或a=2,或a=3. 11分 (3f(是)=l6g:(2+a),令g()=loe(2+a),则g(x)在[，1+2]上单调递减， 所以g(x)s=g)=lg(2+a）,g(x)m-gu+2)=lcg(,子2+a), …12分 由题意得bg(2+a)-lbg（,是2十a)<1,即子+a≤2+2a, 所以心是产+西 4_2(2-1) …14分 2u 2u 设2-1=u,因为1∈[1,2]，则u∈[0,1门，1=2-，所以a≥(2-w)(4-0)=u2-6u+8' 当u=0,即1=2时w2-6u+8 0, 15分 当0<<1，即11<27-6+8+8-6 2u 2 因为y产u十号-6在(0,1门上单周递减，所以u+号一6>1十86=3， u 2 所以0<一 -2 8一6 u十 所以≥号，即a的取值范国是[号，+o∞) 17分 【高三年级开学考试·数学试题参考答案第4页（共6页）】 27-L-019C 19.(1)解：解法一：由f)=e-e是+alnx+b,得>0，且了(x)=(xe+2e是+a), …1分 令/2)方2e5+o)=0,得u=-2v2, 此时有≥2/2e使）-0,3分 所以f(x)在(0，十∞)上单调递增，无极值点，故x=√2不是f(x)的极值点.…4分 解法二：由)-e-e+aln+b,得f)=(xe+是e+a), 依题意有了2)=危2E5+a）=0,得a=-2万e.… 1分 i记ga)=re+是d+a,则ga)=(+1e是(2+1)e, i记m)=(a+1De-是（是+1）e三，>0， 则m()=x+2e-[()e+(华+是)e()]=a+2e+(是+9+)e>0, 2分 于是g'(x)在(0，+∞)上单调递增，又g'(√2)=0， 所以当x∈(0，W2)时，g'()<0,当x∈(W2,+c∞)时，g'(x)>0, 因此g(x)在(0，√2)上单调递减，在（√2，十∞）上单调递增，……3分 此时f)=(ae+2e2+a)>y@-2Ec+=o. 所以f(.x)在(0，十o∞)上单调递增，无极值点，故x=√2不是f(x)的极值点.…4分 (2)证明：解法一：由了(0=(e+2e2十a),且x0,f(x)+o0,…5分 若f(x)在(0,2]上单调，则f(x)在(0,2]上单调递增，所以(x)≥0在(0,2]上恒成立，…6分 记g()=xe+22+a,>0,则g()≥22e(+)+≥22eP+a,当且仅当=2取等号， 所以当x∈(0,2]时，g(x)m=g(√2)=22e5+a,… 8分 因此有2√2e+a≥0，即a≥-22eF,此时对任意的x∈(0，+∞)， 有p(x)≥22et(x+)+a≥22e5+a≥0，当且仅当x=2取等号， 此时∫(x)≥0在(0，十∞)上恒成立，所以f(x)在(0，十∞)上单调递增.…10分 解法二：由f(x)=(e+2e2+a）,且x0,f(x)→十o0,… …5分 若f(x)在(0,2]上单调，则可知f(x)在(0,2]上单调递增，所以(x)≥0在(0,2]上恒成立， …6分 由(1)可知f(x)≥0，当且仅当gx)=e+2e2+a≥0时成立， 【高三年级开学考试·数学试题参考答案第5页（共6页）】 27-L-019C 当x∈(0,2]时，有g(x)m=g(2)=2√2eF+a≥0，所以a≥-22eP. …8分 另-方面，当x∈(0，十o∞)，a≥-2√2eF时，g(x）≥g(W2)=2/2eE+a≥0， 此时(x)≥0在(0，+∞)恒成立，所以f(x)在(0，十∞)上单调递增. 10分 (3)证明：由(2)可知当a≥-2√2e时，f(x)在(0，十o∞)上单调递增，不符合题意；…11分 当a<-2E时，记g)=xe+是c2+a(>0,有g()=(+1De-是(2+1)e2, 记m(x)=(x+1)e-是（层+1）e2,>0,则 m)=+2e-[(-)e+(是+是)e(-是)门=(x+2e+(9++4)e>0 于是g'(x)在(0，十∞)上单调递增，又g'(W2)=0, 所以当x∈(0,2)时，g'(x)<0,当x∈(W2,+∞)时，g'(x)>0, 因此g(x)在(0W2)上单调递减，在(W2,十∞)上单调递增， 所以g(x)mm=g(2)=22eE十a,…12分 又g(√2)=2√2eF+a<0,当x0时，g(x)→+∞，且当x→十o∞时，g(x)>十o∞， 所以g()恰有两个零点，记为p,g且pg,又g()=g(2),则g=2,0<p<E<g, 所以f(x)在(0，p),(q,十∞)上单调递增，在(p,q)上单调递减， 不妨设x1<x2<,则有0<<p<x2<q<. …13分 考虑证明：x十2>2p, ①当x2≥2p时，x+x2>2p成立： ②当p<2<2p时，即证：x>2p一x2,此时0<<p,0<2p-2<p, 即证：f(x1)>f(2p-2), 即证：f(x2)-f(2p-2)>0,p<x2<2p, 记h(x)=f(x)-f(2p一x),其中x∈(p,2p),有 h'(x)=f(x)+f(2p-x)=g2+g22 2p-x 当x∈(p,2p)时，有0<2p-x<<x,且g(x)>0,g(2p-x)>0, 所以N(x)=∫(x)+f(2p-x)=g+g(2px)g(x)十g(2p-x) …15分 2p一x 记k(x)=g(x)十g(2p-x)(x∈(p,2),有k'(x)=g'(x)-g'(2p-x), 且g'(x)单调递增，所以'(x)>k(p)=0,则k(x)单调递增， 则可知k(x)>k(p)=2g(p)=0,所以有h'(x)>0,h(x)在(p,2)上单调递增， 所以h(x)>h(p)=0,即有h(2)>0,则m+2>2p得证. 由①②可得x1十x2>2饣，又x3>q, 因此x1+x2+x3>2p十q≥2√/2g=4. 17分 【高三年级开学考试·数学试题参考答案第6页（共6页）】 27-L-019C高三年级开学考试 数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3,考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作 答无效。 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数，导数。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 封 1.已知全集U=R,集合CM={xx≤1}，则M= A.(xx≥1) B.{x|x>1 C.{x0<x<1 D.{x0<x≤1》 2.设命题p:3x∈[0，十o),e=2x,则7p:v A.Vx∈(0，十∞)，e=2x,单1 B.Hx∈[0，十∞)，e≠2x C.3x∈[0，+o∞)，e≠2z D.3x∈(0，+o∞)，e=2x 3.已知幂函数f(x)=(m2-3m十1)xm1的定义域为R,则m= A.3 B.2 C.0 D.1 4.已知a,b,c为实数，则 A若2>则。>6 B.若ac2>bc2,则a>b C若名则ack D.若a<b,则a2<b 5.已知函数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3),则f(1)= A.2 B.1 C.0 D.6 6,我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研 发投入.若该公司2024年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划 以后每年投人的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投人芯片制造方面的研发资金开 始超过200亿元的年份是 参考数据：lg1.09≈0.0374，lg2≈0.3010，lg3≈0.4771. A.2028年 B.2029年 C.2030年 D.2031年 【高三年级开学考试·数学试题第1页（共4页）】 27-L-019C 7.已知x>0>.且x-3y=13+4,则x-3的最小值为 x y A.2.5-2 B.2.5-1 C.1+2.5 D.2+2/5 8已知fx)和g(x)都是定义在R上的奇函数，设)8/之g:则下列说法正 f(x),f(x)<g(x), 确的是 A.h(x)是减函数 B.h(x)是奇函数 C.h(x)≥>f(x)+g(x) D.h(0)>h(x)+h(-x) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列求导运算正确的是 代1径盟小率 A.(sin2x)′=2cos2z B.(2+1n2)/=3x+号 卧0.景天水，求面的0<左不举 c()=。 ,©)0如一（先得不阳A千兴形8 D.(2-log2x)'=21n2-1n2 10.已知集合A={2,3,a),B={〈x(x-a2)(x-b)=0),则 A.“a=0”是“A∩B≠”的充分不必要条件 B.“b∈A”是“B二A”的必要不充分条件 C.“B中只有一个元素”是“b=2a”的充要条件 D.“a十bGQ”是“B二A”的既不充分也不必要条件 11.设定义在R上的奇函数f(x)的导函数为f(x),对于Hx∈R,都有f(2+x)=一了(x),当 0≤x<1时，f(x)=-x2+2x,则 A.曲线y=(x)关于y轴对称 的果的而来，以无合，0V等 B.f(x)是周期函数 C.当1<x≤2时，f(x)=-x2+4x-3 Df()=- 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.曲线y=e'sinx在点(0,0)处的切线方程为 13.已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，十o∞)上单调递减，则不等式f(m-1)>f(3-2m)的 解集为 14,设函数f(x)=2一a(a>1),则关于x的方程f(f(x)=0根的个数为 ,其所有 根之和的取值范围为 【高三年级开学考试·数学试题第2页（共4页）】 27-L-019C 四、，解答题：本题共5小题，共7分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18 已知集合A=(xlx-3x-10<0,集合B=(xm<x<6m一1 15.(本小题满分13分) (1)若A∩B=B,求实数m的取值范围； (2)若A∩B≠O,求实数m的取值范围. 16.(本小题满分15分) 已知f(x)=a.x2+b(4-b)x-3. (1)若不等式f(x)>0的解集为(1,3)，求实数a,b的值： (2)解关于b的不等式f(1)-ab<0(a∈R). 17.(本小题满分15分) 已知函数f)=mx-e,g(x)2ln (1)若f(x)在区间[1,2]上单调递增，求m的取值范围； (2)若Hx>0,均有f(x)>gx),求m的取值范围. 【高三年级开学考试·数学试题第3页（共4页）】 27-L-019C 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=log:(x+a)(a∈R). a)当a=-2时，解不等式f(x2-2x)<0, ②若关于x的方程/（侵）一1oeu-3)江十2a一幻=0的解集中恰有-个元素，求a的取 值范围 3设。>0，若V1e[1,2],/(2)在[，+2]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取 值范围 封 19.(本小题满分17分》 已知函数f(x)=e-e十alnx十b(a,b∈R) 1)x=2是否可以为(x)的极值点？请说明理由； (2)证明：若f(x)在(0,2]上单调，则f(x)在(0，十∞)上单调； (3)若f(x)有三个零点x1,x2,x3,证明：D1十x2十x>4. 【高三年级开学考试·数学试题第4页（共4页）】 27-L-019C