第11讲 代数式与整式的加减运算 综合复习+小测（核心知识+10易错辨析+10典例精讲）2026-2027学年人教版七年级数学上册秋期复习+ 期考讲义专项

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理代数式与整式加减的核心知识，涵盖代数式定义、整式概念、同类项及运算四模块，并用易错辨析表格归纳10类典型错误，清晰呈现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层设计10类典例题型，如整体代入求值、规律探究等，结合专属做题口诀强化方法，培养运算能力与推理意识。小测包含选择、填空、解答题，适配不同层次学生，助力自主复习，为教师提供精准教学支持。

第11讲 代数式与整式的加减运算 综合复习+小测 （核心知识+10易错辨析+10典例精讲） 【知识点01】代数式 （1）代数式定义：用运算符号把数和字母连接而成的式子；单独一个数或一个字母也是代数式。 ⚠️ 注意：含有=、>、<、≥、≤的式子不是代数式。 （2）列代数式（书写规范） 数字写在字母前面，数字与字母相乘省略乘号，如3×a写作3a； 1a带分数要化成假分数，如1a写成a； a÷2除法写成分数形式，a÷2写作； 有单位的加减代数式要加括号，如(x+2)米。 （3）求代数式的值：把字母换成指定数值，按照运算顺序计算；负数、分数代入乘方时必须加括号，避免运算错误。 【知识点02】整式相关概念 （1）单项式：数或字母的积组成的代数式，单独的数、字母也是单项式。 系数：单项式中的数字因数（包含前面的符号）； 次数：所有字母的指数之和。 示例：-2x²y，系数为-2，次数为3。 （2）多项式：几个单项式的和叫做多项式。 项：组成多项式的每个单项式（含前方符号）； 常数项：不含字母的项； 次数：多项式里次数最高项的次数。 示例：3x²-5x+1是二次三项式。 （3）整式：单项式和多项式统称为整式。 ⚠️ 关键区分：分母中含有字母的式子是分式，不是整式。 【知识点03】同类项 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也完全相同的项；所有常数项都是同类项。 核心特点：与系数大小、字母排列顺序无关。例：2xy与-3yx是同类项。 【知识点04】整式的加减运算 （1）合并同类项法则：同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。 公式：axⁿ+bxⁿ=(a+b)xⁿ （2）去括号法则 括号前是“+”，去掉括号和“+”，括号内各项符号不变； 括号前是“-”，去掉括号和“-”，括号内每一项都变号。 公式：a+(b-c)=a+b-c，a-(b-c)=a-b+c （3）整式加减通用步骤 去括号 → 找准同类项 → 合并同类项；最终结果一般按某个字母的降幂或升幂排列。 （4）化简求值：先化简整式，再代入数值计算，简化复杂运算，避免直接代入出错。 易错点 典型错例 正确写法 错因分析 单项式系数判断遗漏符号 -ab 系数是1 系数为-1 系数包含单项式前方的符号，省略的数字1需连带符号 单项式次数计算错误 -3x²y 次数为2 次数为3 单项式次数是所有字母指数之和，并非单个字母指数 多项式次数理解偏差 2x³-4x²+5 次数为5 次数为3 多项式次数是最高次项的次数，不是各项次数相加 同类项判断失误 2x²y与3xy²是同类项 不是同类项 相同字母的指数必须完全对应相等，字母顺序不影响指数 去括号漏变号 a-(2b-3c)=a-2b-3c a-2b+3c 括号前是负号，括号内所有项必须全部变号，不能只变首项 乘法分配律漏乘项 2(x-3)=2x-3 2x-6 括号外数字需乘遍括号内每一项，不可漏乘常数项 代数式书写不规范 a×3、1x、x÷5 3a、x、 需严格遵循代数式书写标准，杜绝乘号、带分数、除法原式写法 乘方代入无括号 x=-2时，x²=-2²=-4 (-2)²=4 负数、分数进行乘方运算时，必须整体加括号 整式概念混淆 认为是整式 是分式，不是整式 整式分母不能含字母，含字母分母的式子为分式 【题型一】代数式的识别与规范书写（基础） 【例1】．（25-26七年级上·广东珠海·阶段检测）以下代数式书写规范的是（    ） A． B． C． D．厘米 【例2】．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）一次竞赛共有30道选择题，规定：答对一道得3分，不答或答错一道扣1分，如果某位学生答对了a道题，则用式子表示他的成绩（单位：分）为（     ） A． B． C． D． 【例3】．（25-26七年级上·全国·期末）有下列各式：，，，，，其中，代数式有___个． 【变式1】．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）下列式子：①1；②；③；④；⑤，其中代数式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】．（24-25七年级上·山东青岛·期末）青岛冬季某一天的温差是，若这天的最高气温是，则最低气温是______．（用含的式子表示） 【变式3】．（26-27七年级上·全国·课后作业）用字母表示： （1）乘法对加法的分配律____________________________； （2）一个长方形的长是b，宽是长的一半，它的周长是__________，面积是__________； （3）一个三角形的三边长都是c，它的周长是_________； （4）一个平行四边形的一边长是a，该边上的高是这边长的，这个平行四边形的面积是_________． 【题型二】正（反）比例关系 【例4】．（25-26七年级上·江苏南通·期末）下表中x和y两个量成反比例关系，则“△”处应填（   ） x 4 △ y 6 3 A．1 B．2 C．8 D．24 【变式1】．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）糖果厂生产一批水果糖．把这些水果糖平均分装在若干袋子里，每袋装的颗数和总袋数如下表： 每袋装的颗数 10 12 15 18 … 总袋数 648 540 432 360 … 若用m表示每袋装的颗数，用n表示总袋数，则下列说法不正确的是（   ） A．这批水果糖共有6480颗 B．若每袋装的颗数为20颗，则需要装324袋 C．总袋数随着每袋装的颗数的增大而增大 D．m与n的乘积一定，它们成反比例关系 【变式2】．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）甲地到乙地的距离为，若汽车的行驶速度为，则甲地到乙地所用时间______，甲地到乙地所用时间与汽车行驶速度成______关系．（填入正比例关系或反比例关系） 【变式3】．（25-26七年级上·广东汕尾·阶段检测）把一瓶果汁平均分成若干杯，分得的杯数和每杯的果汁量如下表所示： 分得的杯数 6 5 4 3 每杯的果汁量/ 100 120 200 (1)请把上表补充完整． (2)分得的杯数和每杯的果汁量有什么关系？为什么？ (3)如果把这些果汁平均分成10杯，那么每杯的果汁量是多少毫升？ 【题型三】单项式、多项式概念辨析（高频基础） 【例5】．（25-26七年级上·福建福州·期末）下列说法正确的是（     ） A．是三次二项式 B．单项式的系数和次数分别是 C．0是单项式 D．一次项的系数为2 【例6】．（25-26七年级上·山东菏泽·期末）式子：，，，，，0中，是整式的有（    ）个 A．6 B．5 C．4 D．3 【例7】．（25-26七年级上·全国·课后作业）给出下列说法：①0不是单项式；②是单项式；③的系数是0；④的次数是1．其中错误的是___________（填序号）． 【例8】．（25-26七年级上·云南昭通·阶段检测）把下列各式填在相应的大括号里（填序号）： ①，②，③，④，⑤y，⑥，⑦，⑧，⑨ 单项式集合{        …}； 多项式集合{        …}． 【变式1】．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）下列说法：①表示负数；②多项式的次数是4；③单项式的系数为；④若，则．其中正确的有（    ） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【变式2】．（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，某同学笔记本上的多项式未记录完整，若要补充完整这个多项式，横线上可以填写的是________． ______是一个四次三项式 【变式3】．（26-27七年级上·全国·课后作业）判断下列说法是否正确，如果不正确，请说明理由： (1)单项式m既没有系数，也没有次数； (2)单项式的系数是5． 【变式4】．（26-27七年级上·全国·课后作业）指出下列多项式的项和次数： (1)； (2)； (3)． 【题型四】同类项概念与参数求解（必考） 【例9】．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）大家都知道同类项吧！请你判断下面选项中（   ）是同类项 A．与 B．与 C．与 D．与 【例10】．（25-26七年级下·云南昭通·期末）若与是同类项，则的值为________． 【例11】．（26-27七年级上·全国·课后作业）将如图所示的两个圈中的同类项用线连起来． 【变式1】．（25-26七年级上·四川眉山·期中）若与是同类项，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（26-27七年级上·全国·课后作业）和分别取何值时，与是同类项？ 【变式3】．（26-27七年级上·全国·课后作业）先标出下列各多项式中的同类项，再合并同类项： (1)； (2)； (3)． 【题型五】合并同类项与去括号计算（计算基本功） 【例12】．（25-26七年级上·福建泉州·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）已知，，，，求的值． 【变式2】．（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）化简 (1) (2) 【变式3】．（26-27七年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)． 【题型六】整式化简直接代入求值（基础大题） 【例13】．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）先化简，再求值：，其中，． 【变式1】．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）先化简，再求值：，其中x是最大的负整数，． 【变式2】．（26-27七年级上·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【变式3】．先化简，再整体代入求值：，其中，． 【题型七】整体代入求值（中档高频，考试难点） 【例14】．数学课本上有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”小明同学解题过程如下： 解：原式，因为，所以原式． 小明同学把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法． 请仿照上面的解题方法，完成下面问题： (1)已知，则______； (2)已知，求的值． 【例15】．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）教科书91页第15题是这样的：若，，求的值．小明是这样做的： 原式 ． 在这里，他把作为了一个整体，这体现了一个非常重要的数学思想：整体思想． 【方法运用】： (1)若代数式，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为8．当时，求代数式的值； (3)若，，求代数式的值． 【变式1】．（25-26七年级·全国·课后作业）阅读：已知，求的值． 分析：考虑到，的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑运用整体思想，将整体代入求值． 解： ． 用上述方法解决以下问题． (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【变式2】．（25-26七年级下·安徽淮南·阶段检测）阅读：已知，求的值． 思路分析：根据整体的思想，先计算单项式乘以多项式，再将整体代入求值． 解： ． 请你利用整体的思想解决下列问题． (1)已知，求的值； (2)已知，求代数式的值． 【变式3】．（26-27七年级·全国·暑假作业）数学课本上有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”小明同学解题过程如下： 解：原式 因为，所以原式． 小明同学把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【尝试应用】 (1)已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，则______． (2)已知，当时，的值是2023；当时，的值是____． 【拓展提高】 (3)已知，，，求的值． (4)关于x的一元一次方程的解为，解关于y的一元一次方程． 【题型八】与某个字母取值无关问题 【例16】．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）若代数式的值与字母的取值无关，则代数式的值是___________． 【例17】．（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）已知，，若的值与x无关，则的值为________． 【变式1】．（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）已知，． (1)若，求．（用含，的式子表示） (2)若的值与的取值无关，求的值． 【变式2】．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）已知两个多项式A，B，其中，的结果为． (1)求多项式A； (2)求多项式； (3)若多项式的值与x的取值无关，求y的值． 【变式3】．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求k的值；通常的解题方法：把x，y看作字母，k看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 【题型九】列代数式解决实际问题（应用题） 【例18】．（26-27七年级上·全国·课后作业）请你设计一个方案，估计一卷空心卷筒纸（如图）展开的总长度． 【例19】．（26-27七年级上·全国·课后作业）人体血液的质量占人体体重的． (1)如果某人体重是，那么他的血液质量大约在什么范围内？ (2)小亮体重是，他的血液质量大约在什么范围内？ (3)估计你自己的血液质量． 【变式1】．（26-27七年级上·全国·课后作业）遗传是影响一个人身高的因素之一．有学者总结出用父母身高预测子女身高的经验公式：儿子成年后的身高，女儿成年后的身高，其中a为父亲身高，b为母亲身高，身高单位：． (1)七年级男生小刚的爸爸身高为，妈妈身高为，根据这个公式预测小刚成年后的身高； (2)根据这个公式，预测一下自己成年后的身高； (3)请查阅资料，收集一些预测人体身高的其他经验公式． 【变式2】．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）国庆期间：某商场有以下促销活动： ①先提价，再打八折销售； ②先提价，再让利30元销售； ③先涨价b元，再打7.5折销售； (1)若商品的原价为a元，用代数式分别表示三种方案的销售价格：①____________元；②____________元；③____________元． (2)若，三种方案哪种最省钱？ 【变式3】．（26-27七年级上·全国·课后作业）骑山地自行车过程中，如果车座高度不合适，会使骑行者踩踏费力，甚至造成膝盖磨损．如何确定合适的车座高度呢？有一种雷蒙德（Lemond）测量方法：双腿站立，两脚（不穿鞋）间距约，测量裆部离地面的高度h（单位：），得出的数据乘0.883就是相应的车座顶部到中轴的距离l（如图，单位：），此时的车座高度是骑行最合适的高度． 根据雷蒙德测量方法解决下列问题： (1)用代数式表示l与h之间的关系． (2)当时，l为多少厘米？ (3)请测量自身的相关数据，计算并调整自己山地自行车的车座高度，检验雷蒙德测量方法是否适合自己． 【题型十】规律探究（期末常考压轴） 【例20】．（25-26七年级上·云南曲靖·期中）探索规律： 观察下列各式： … (1)根据以上规律，写出第n个等式：________； (2)利用以上规律，计算：； (3)利用以上规律，计算：． 【变式1】．按下列程序计算，把答案填写在表格里，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？    输入 …… 输出答案 (1)填写表内空格： (2)你发现的规律是． (3)用简要的过程说明你发现的规律的正确性． 【变式2】．（24-25七年级上·云南·单元复习）观察下列单项式：，，，⋯，，，⋯从中我们可以发现： (1)系数的规律有两条： 系数的符号规律是________，系数的绝对值规律是________； (2)次数的规律是________； (3)根据上面的归纳，可以猜想出第个单项式是________． (4)根据你猜想的结论，写出第2025个单项式是________． 【变式3】．（24-25七年级上·江西南昌·期末）数学活动-探究日历中的数字规律：如图1是2025年1月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值．探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图1中的结果为 ；将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为 ； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，， ， 可得 ， ， 则 ； (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历，继续进行如下探究．请从下列A、B两题中任选一题作答． A．在日历中用“Z型框”框住位置如图3所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由； B．在日历中用“Y型框”框住位置如图4所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 1. 整式分为单项式和多项式两大类型，核心掌握系数、次数两大概念，明确区分：单项式次数为字母指数和，多项式次数为最高次项次数。 2. 同类项判断两大核心要素：字母完全相同、相同字母指数完全相同，与系数、字母顺序无关，常数项互为同类项。 3. 整式加减的本质是去括号 + 合并同类项：去括号紧盯前方符号，负号去括号全变号，有数字系数需全程分配；合并同类项只算系数加减，字母部分原样保留。 4. 化简求值固定解题流程：先化简，后代入，负数、分数参与乘方运算务必添加括号。 5. 本章核心易错点为符号问题，所有运算需全程关注每一项的正负，杜绝符号失误。 专属做题口诀 辨整式，看分母，分母有字母决不是； 找同类，看字母，指数相同才可以； 去括号，看符号，负号进去全变号； 合并同类看系数，字母指数不改动。 一、单选题 1．（24-25七年级上·全国·单元复习）在下列各式中，不是代数式的是（   ） A．7 B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖北黄石·期中）下面四个关系式中，和成反比例关系的是（   ）． A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·全国·课前预习），在括号里填上适当的项应该是（　　） A． B． C． D． 4．已知单项式的次数是3，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（24-25七年级上·山西大同·阶段检测）若，，且，则（     ） A．7 B．1 C．1或 D．7或 6．（25-26七年级·广东茂名·期末）某客户到商场购买夹克30件，T恤x件（）．商场有两种优惠方案：方案一，买一件夹克送一件T恤；方案二，夹克和T恤都按定价的九折付款．已知夹克每件200元，T恤每件40元．当时，选择方案一比方案二节省（     ） A．200元 B．240元 C．300元 D．400元 7．观察下列算式：，…．用你所发现的规律得出的个位上数字是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知，有7个完全相同的边长为m、n的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中．下列说法正确的是（） ①大长方形的长是；②阴影A的面积是； ③阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关；④阴影B的面积是． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 二、填空题 9．若a-2b=3，则（5-2a）-（3-4b）=______． 10．一个阶梯，第一排有12个座位，后面每一排都比前一排多a个座位，则第20排有_______个座位． 11．（24-25七年级上·全国·随堂练习）若多项式与多项式相加后不含二次项，则多项式的值为_______． 12．有一列式子，按照一定的规律排列成﹣3a2，9a5，﹣27a10，81a17，﹣243a26…，则第n个式子为___．（n为正整数） 13．（25-26七年级上·广东珠海·期中）若单项式的次数为4次，则_____，若它与是同类项，则_____． 14．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值小于或等于1的项称为“准同类项”．例如与是“准同类项”，则下列单项式中：①；②；③；④，与是“准同类项”的是________．（填序号） 15．（25-26七年级·重庆·期中）一个三位数，满足，则称这个数为“凤鸣数”．则最小的“凤鸣数”是_____；记，若是整数，且也是整数，则满足条件的的最大值与最小值的差是_____． 三、解答题 16．（26-27七年级上·全国·课后作业）根据下列各组x、y的值，分别求出代数式和的值： (1)； (2)． 17．（26-27七年级上·全国·课后作业）先去括号，再合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（26-27七年级上·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 19．（24-25七年级上·广东深圳·期末）【综合与实践——制作收纳盒】 小亮和小丽尝试用家里的闲置纸板制作正方体和长方体形状的收纳盒（纸板厚度及接缝处忽略不计）． 【初步尝试】制作有盖正方体形收纳盒 （1）如图1，将长方形纸板（长80厘米，宽60厘米）分割成12个完全一样的小正方形，剪去多余的小正方形，剩下的6个小正方形刚好可以折叠成一个有盖的正方体形收纳盒．请你在图中画出三种不同的设计方案，剪去的小正方形用阴影表示； 小亮和小丽在操作中发现，制作无盖的长方体形收纳盒可以得到更大的容积，为此，他们开展了进一步的探究． 【实践探究】制作无盖长方体形收纳盒 （2）如图2，小丽和小亮在长方形纸板（长80厘米，宽60厘米）四个角各剪去一个边长为厘米的小正方形（如图中阴影部分所示），再把剩余部分沿图中虚线折叠，刚好折成一个无盖的长方体形收纳盒，这个盒子的容积为______；（用含的代数式表示） （3）在操作中，小亮和小丽发现收纳盒的容积随着的变化而变化．为了探究容积的最大值，小亮和小丽对盒子的高度按整数值从小到大取值，依次计算长方体形收纳盒的容积，得到的数据如下表所示，则和的值分别是______，______； …… 8 9 10 11 12 13 …… 容积 …… 22528 23436 24192 23868 …… 【归纳猜想】长方体形收纳盒容积变化规律 （4）观察表中数据，随着高度的增大，容积有怎样的变化规律？请你估计在哪个范围内取值时容积最大？ 20．（25-26七年级上·山西运城·阶段检测）项目式学习 【项目主题】探究包装盒的打包方式 【项目背景】学习了课本中“项目式学习2：包装中的智慧”后，同学们对包装盒打包带的打包方式进行了探究． 【项目素材】某电商在包装商品时，用到长、宽、高分别为a，b，c（单位：，）的箱子，并发现有如图所示的甲、乙、丙三种打包方式（打包带不计接头处的长度）． 任务一：用含a，b，c的式子表示甲、乙、丙三种打包方式所用的打包带的长度，甲需要 ，乙需要 ，丙需要 ． 任务二： ①当，，时，分别求出三种方式打包所用打包带的长度并比较哪种方式最节省打包带． ②当，，时，分别求出三种方式打包所用打包带的长度并比较哪种方式最节省打包带． 任务三：在完成任务二时，同学们发现在a，b，c取上面两组数值时，这三种打包方式中，图 所用打包带总是最少，请你自己为a，b，c选一组数值验证同学们的猜想是否正确： （填“是”或“否”）（草稿纸上验证即可，不要求写在答题卡上） 在数学中，我们经常通过观察特例形成猜想．然而，特例不能作为一般结论的证明，要确认一个猜想对于所有情况都成立，必须进行严格的逻辑推理计算或数学证明．请结合上述猜想并用所学知识判断：三种打包方式中，哪种方式最节省打包带？并说明你的理由． 21．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“标准多项式”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“标准多项式”．请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“标准多项式”的是______；（填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x，y的“标准多项式”（其中m、n均为整数），则多项式也是关于x，y的“标准多多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． (3)已知，，，且（其中m，，t均为整数），请证明多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 22．（25-26七年级上·河南周口·期末）阅读材料：我们把看成一个整体，则．“整体思想”是解题中的一种重要方法． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并的结果是________． (2)已知，求的值． 拓广探索： (3)已知，，，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 代数式与整式的加减运算 综合复习+小测 （核心知识+10易错辨析+10典例精讲） 【知识点01】代数式 （1）代数式定义：用运算符号把数和字母连接而成的式子；单独一个数或一个字母也是代数式。 ⚠️ 注意：含有=、>、<、≥、≤的式子不是代数式。 （2）列代数式（书写规范） 数字写在字母前面，数字与字母相乘省略乘号，如3×a写作3a； 1a带分数要化成假分数，如1a写成a； a÷2除法写成分数形式，a÷2写作； 有单位的加减代数式要加括号，如(x+2)米。 （3）求代数式的值：把字母换成指定数值，按照运算顺序计算；负数、分数代入乘方时必须加括号，避免运算错误。 【知识点02】整式相关概念 （1）单项式：数或字母的积组成的代数式，单独的数、字母也是单项式。 系数：单项式中的数字因数（包含前面的符号）； 次数：所有字母的指数之和。 示例：-2x²y，系数为-2，次数为3。 （2）多项式：几个单项式的和叫做多项式。 项：组成多项式的每个单项式（含前方符号）； 常数项：不含字母的项； 次数：多项式里次数最高项的次数。 示例：3x²-5x+1是二次三项式。 （3）整式：单项式和多项式统称为整式。 ⚠️ 关键区分：分母中含有字母的式子是分式，不是整式。 【知识点03】同类项 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也完全相同的项；所有常数项都是同类项。 核心特点：与系数大小、字母排列顺序无关。例：2xy与-3yx是同类项。 【知识点04】整式的加减运算 （1）合并同类项法则：同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。 公式：axⁿ+bxⁿ=(a+b)xⁿ （2）去括号法则 括号前是“+”，去掉括号和“+”，括号内各项符号不变； 括号前是“-”，去掉括号和“-”，括号内每一项都变号。 公式：a+(b-c)=a+b-c，a-(b-c)=a-b+c （3）整式加减通用步骤 去括号 → 找准同类项 → 合并同类项；最终结果一般按某个字母的降幂或升幂排列。 （4）化简求值：先化简整式，再代入数值计算，简化复杂运算，避免直接代入出错。 易错点 典型错例 正确写法 错因分析 单项式系数判断遗漏符号 -ab 系数是1 系数为-1 系数包含单项式前方的符号，省略的数字1需连带符号 单项式次数计算错误 -3x²y 次数为2 次数为3 单项式次数是所有字母指数之和，并非单个字母指数 多项式次数理解偏差 2x³-4x²+5 次数为5 次数为3 多项式次数是最高次项的次数，不是各项次数相加 同类项判断失误 2x²y与3xy²是同类项 不是同类项 相同字母的指数必须完全对应相等，字母顺序不影响指数 去括号漏变号 a-(2b-3c)=a-2b-3c a-2b+3c 括号前是负号，括号内所有项必须全部变号，不能只变首项 乘法分配律漏乘项 2(x-3)=2x-3 2x-6 括号外数字需乘遍括号内每一项，不可漏乘常数项 代数式书写不规范 a×3、1x、x÷5 3a、x、 需严格遵循代数式书写标准，杜绝乘号、带分数、除法原式写法 乘方代入无括号 x=-2时，x²=-2²=-4 (-2)²=4 负数、分数进行乘方运算时，必须整体加括号 整式概念混淆 认为是整式 是分式，不是整式 整式分母不能含字母，含字母分母的式子为分式 【题型一】代数式的识别与规范书写（基础） 【例1】．（25-26七年级上·广东珠海·阶段检测）以下代数式书写规范的是（    ） A． B． C． D．厘米 【答案】B 【知识点】代数式书写方法 【分析】根据代数式书写要求逐一判断选项即可． 【详解】解：A．书写时，应当省略，故该选项不符合书写规范，不符合题意； B．符合书写规范，符合题意； C．书写时，系数不能用带分数，需化为假分数，故该选项不符合书写规范，不符合题意； D．书写时，“÷”号应写为分数线的形式，即厘米，故该选项不符合书写规范，不符合题意． 【例2】．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）一次竞赛共有30道选择题，规定：答对一道得3分，不答或答错一道扣1分，如果某位学生答对了a道题，则用式子表示他的成绩（单位：分）为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用字母表示数、列代数式 【分析】根据题意得出不答或答错的题数，列式可得结论． 【详解】解：由题意得，该生不答或答错了道题，则答对得分为分，扣分为分， 所以他的成绩为． 【例3】．（25-26七年级上·全国·期末）有下列各式：，，，，，其中，代数式有___个． 【答案】4 【知识点】代数式的概念 【分析】本题考查了代数式的概念，代数式是指用运算符号（如加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连接起来的式子，且不能包含等号或不等号． 根据代数式的概念逐个判断即可． 【详解】解：是代数式； 是代数式； 是方程，不是代数式； 是代数式； 是代数式． ∴代数式有4个， 故答案为：4． 【变式1】．（25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）下列式子：①1；②；③；④；⑤，其中代数式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】代数式的概念 【分析】本题考查了代数式的概念，正确理解代数式的概念是关键．根据代数式的定义（由数字、字母和运算符号组成，不包含等号或不等号），判断每个式子是否为代数式即可． 【详解】解：① 1是数字，是代数式； ②是数字与字母的乘积，是代数式； ③含有等号，是方程，不是代数式； ④是除法运算，是代数式； ⑤含有不等号，是不等式，不是代数式； 代数式有①②④，共3个． 故选：B． 【变式2】．（24-25七年级上·山东青岛·期末）青岛冬季某一天的温差是，若这天的最高气温是，则最低气温是______．（用含的式子表示） 【答案】/ 【知识点】代数式书写方法、列代数式 【分析】本题考查了列代数式，根据题意列出代数式即可，解题的关键是正确理解题意，注意代数式书写规范在含有字母的式子中数字与字母相乘时，数字写在字母前；如果出现乘号“”，通常将乘号写作“”或省略不写；在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写；带分数要写成假分数的形式；代数式为和差形式且带有单位时，应加上括号． 【详解】解：∵青岛冬季某一天的温差是，这天的最高气温是， ∴最低气温是， 故答案为：． 【变式3】．（26-27七年级上·全国·课后作业）用字母表示： （1）乘法对加法的分配律____________________________； （2）一个长方形的长是b，宽是长的一半，它的周长是__________，面积是__________； （3）一个三角形的三边长都是c，它的周长是_________； （4）一个平行四边形的一边长是a，该边上的高是这边长的，这个平行四边形的面积是_________． 【答案】 【知识点】用字母表示数、列代数式 【分析】（1）根据乘法对加法的分配律用字母表示出即可求解； （2）用长方形的长除以2，计算出长方形的宽，再根据长方形的周长=（长+宽）×2，面积=长×宽即可解答． （3）根据三角形的周长等于三边的和，解答即可． （4）一个平行四边形的一边长为a，这条边上的高是这条边长的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，可求出平行四边形的高是多少，再根据平行四边形的面积=底×高进行解答即可． 【详解】解：（1）乘法对加法的分配律：； （2）一个长方形的长是b，宽是长的一半，它的周长是，面积是； （3）一个三角形的三边长都是c，它的周长是； （4）一个平行四边形的一边长是a，该边上的高是这边长的，故该边上的高为， 故这个平行四边形的面积是． 【题型二】正（反）比例关系 【例4】．（25-26七年级上·江苏南通·期末）下表中x和y两个量成反比例关系，则“△”处应填（   ） x 4 △ y 6 3 A．1 B．2 C．8 D．24 【答案】C 【知识点】正（反）比例关系 【分析】本题考查反比例关系的定义，利用反比例关系中x与y的乘积为定值这一性质，先求出定值，再计算“△”处的数值即可． 【详解】解：∵x和y两个量成反比例关系 ∴x与y的乘积为定值 ∵当时， ∴定值为 ∵当时， ∴ 故选C 【变式1】．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）糖果厂生产一批水果糖．把这些水果糖平均分装在若干袋子里，每袋装的颗数和总袋数如下表： 每袋装的颗数 10 12 15 18 … 总袋数 648 540 432 360 … 若用m表示每袋装的颗数，用n表示总袋数，则下列说法不正确的是（   ） A．这批水果糖共有6480颗 B．若每袋装的颗数为20颗，则需要装324袋 C．总袋数随着每袋装的颗数的增大而增大 D．m与n的乘积一定，它们成反比例关系 【答案】C 【知识点】正（反）比例关系 【分析】本题考查反比例关系的判断及应用，先通过表格数据求出水果糖总颗数，再结合反比例的定义逐一分析选项即可． 【详解】解：∵， ∴这批水果糖总颗数为6480颗，且m与n的乘积为定值，二者成反比例关系， A：由上述计算可知总颗数为6480颗，说法正确； B：（袋），说法正确； C：观察表格数据，每袋装的颗数增大时，总袋数减小，说法错误； D：∵=总颗数（定值），根据反比例关系定义，m与n成反比例关系，说法正确 ∴不正确的是选项C． 【变式2】．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）甲地到乙地的距离为，若汽车的行驶速度为，则甲地到乙地所用时间______，甲地到乙地所用时间与汽车行驶速度成______关系．（填入正比例关系或反比例关系） 【答案】 反比例 【知识点】正（反）比例关系 【分析】本题考查了反比例的定义，根据，为定值，汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度成反比例关系， 【详解】解：甲地到乙地的距离为，若汽车的行驶速度为，则甲地到乙地所用时间，甲地到乙地所用时间与汽车行驶速度成反比例关系． 故答案为：，反比例． 【变式3】．（25-26七年级上·广东汕尾·阶段检测）把一瓶果汁平均分成若干杯，分得的杯数和每杯的果汁量如下表所示： 分得的杯数 6 5 4 3 每杯的果汁量/ 100 120 200 (1)请把上表补充完整． (2)分得的杯数和每杯的果汁量有什么关系？为什么？ (3)如果把这些果汁平均分成10杯，那么每杯的果汁量是多少毫升？ 【答案】(1) 表格补充如下： 分得的杯数 6 5 4 3 每杯的果汁量/ 100 120 150 200 (2)成反比例关系；因为每杯的果汁量分得的杯数果汁总量（一定） (3)60毫升 【知识点】正（反）比例关系 【分析】本题考查了反比例关系，掌握反比例关系的概念是关键； （1）由表可计算出一瓶果汁的总量，即可求得平均分成4杯时每杯的果汁量； （2）由题意知，每杯的果汁量分得的杯数果汁总量（一定），即可判断分得的杯数和每杯的果汁量的关系； （3）果汁总量除以分得的杯数即可求解． 【详解】（1）解：一瓶果汁共有，， （2）解：成反比例关系； 因为每杯的果汁量分得的杯数， 所以分得的杯数和每杯的果汁量是反比例关系； （3）解：， 答：每杯的果汁量是60毫升． 【题型三】单项式、多项式概念辨析（高频基础） 【例5】．（25-26七年级上·福建福州·期末）下列说法正确的是（     ） A．是三次二项式 B．单项式的系数和次数分别是 C．0是单项式 D．一次项的系数为2 【答案】C 【知识点】多项式的项、项数或次数、单项式的判断、单项式的系数、次数、多项式的判断 【详解】解：选项A，中最高次项的次数为2，共有2个单项式，因此它是二次二项式，A错误； 选项B，单项式中，是常数，因此系数为，次数为，B错误； 选项C，单独的一个数是单项式，因此0是单项式，C正确； 选项D，的一次项为，因此一次项的系数为，D错误． 【例6】．（25-26七年级上·山东菏泽·期末）式子：，，，，，0中，是整式的有（    ）个 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【知识点】单项式的判断、整式的判断、多项式的判断 【分析】本题考查整式的判断，判断每个式子是否为整式，再统计整式的个数．整式包含单项式与多项式，分母含有字母的式子不属于整式． 【详解】解：∵整式是单项式和多项式的统称，且分母中含有字母的式子不是整式． ∴是多项式，属于整式． 分母含字母，不是整式． 是多项式，属于整式． 是单项式，属于整式． 分母含字母，不是整式． 0是单独的数，属于单项式，即整式． ∴整式共有4个． 故选：C 【例7】．（25-26七年级上·全国·课后作业）给出下列说法：①0不是单项式；②是单项式；③的系数是0；④的次数是1．其中错误的是___________（填序号）． 【答案】①②③④ 【知识点】单项式的判断、单项式的系数、次数 【分析】本题考查的是单项式，熟知数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式是解题的关键． 根据单项式系数及次数的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】①是单项式，选项说法错误，符合题意； ②不是单项式，选项说法错误，符合题意； ③的系数是，选项说法错误，符合题意； ④的次数是，选项说法错误，符合题意； 故答案为：①②③④． 【例8】．（25-26七年级上·云南昭通·阶段检测）把下列各式填在相应的大括号里（填序号）： ①，②，③，④，⑤y，⑥，⑦，⑧，⑨ 单项式集合{        …}； 多项式集合{        …}． 【答案】②③⑤⑧⑨；①④⑥⑦ 【知识点】单项式的判断、多项式的判断 【分析】本题主要考查的是整式，掌握单项式、多项式的定义是解题的关键． 根据单项式、多项式的定义解答即可． 【详解】解：单项式有：，，，，， 即单项式集合{②③⑤⑧⑨…}； 多项式有：，，，； 则多项式集合{①④⑥⑦…}． 故答案为：②③⑤⑧⑨；①④⑥⑦． 【变式1】．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）下列说法：①表示负数；②多项式的次数是4；③单项式的系数为；④若，则．其中正确的有（    ） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【答案】B 【知识点】多项式的项、项数或次数、正负数的定义、单项式的系数、次数、绝对值的几何意义 【分析】本题考查负数定义、多项式次数、单项式系数及绝对值性质，熟练掌握相关定义与性质是解题关键． 根据负数定义、多项式次数定义、单项式系数定义、绝对值性质，逐一判断各说法正误，确定正确选项． 【详解】当时，；当时，；当时，；故①说法错误； 多项式中次数最高的项是，次数为， 该多项式次数是5，故②说法错误； 单项式的系数为，故③说法正确； 由绝对值性质可知，若，则x为非正数，即，故④说法正确． 综上，正确的是③④． 故选：B． 【变式2】．（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，某同学笔记本上的多项式未记录完整，若要补充完整这个多项式，横线上可以填写的是________． ______是一个四次三项式 【答案】（答案不唯一） 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】由于多项式是四次三项式，现有项“”是二次项，“”是零次项，所以横线上填写的项必须是四次单项式，才能使得整个多项式的次数为四，且项数为三项． 本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．熟练掌握多项式的定义是解题的关键． 【详解】解：要使______是一个四次三项式，横线上可以填写的是． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】．（26-27七年级上·全国·课后作业）判断下列说法是否正确，如果不正确，请说明理由： (1)单项式m既没有系数，也没有次数； (2)单项式的系数是5． 【答案】(1)解：不正确． 理由：∵ 可表示为． ∴ 单项式的系数为，次数为． (2)解：不正确． 理由：∵ 单项式的数字因数为． ∴ 该单项式的系数为，不是． 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】根据单项式系数与次数的定义，逐一判断两个说法的正误． 【变式4】．（26-27七年级上·全国·课后作业）指出下列多项式的项和次数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)项：，；次数： (2)项：，，，；次数： (3)项：，，；次数： 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数． 【详解】（1）解：项：，；次数：； （2）解：项：，，，；次数：； （3）解：项：，，；次数：． 【题型四】同类项概念与参数求解（必考） 【例9】．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）大家都知道同类项吧！请你判断下面选项中（   ）是同类项 A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【知识点】同类项的判断 【分析】根据定义判断各选项即可，同类项要求所含字母相同，且相同字母的指数相同，与字母的排列顺序无关． 【详解】解：同类项的定义为：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项，与顺序无关， A选项中，相同字母的指数不相同，不是同类项， B选项中，所含字母都是和，相同字母的指数都是1，符合同类项定义， C选项中，相同字母的指数不相同，不是同类项， D选项中，所含字母不相同，不是同类项， 【例10】．（25-26七年级下·云南昭通·期末）若与是同类项，则的值为________． 【答案】 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴相同字母的指数相等，即，， 解得，， ∴． 【例11】．（26-27七年级上·全国·课后作业）将如图所示的两个圈中的同类项用线连起来． 【答案】 【知识点】同类项的判断 【分析】同类项的定义为所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，所有常数项都是同类项．根据同类项的定义，逐个对比两个圈中的项，找出同类项配对即可． 【详解】解：与，与，与，与，与是同类项． 【变式1】．（25-26七年级上·四川眉山·期中）若与是同类项，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】根据同类项定义得到、的值，再计算即可得到结果． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， ∴． 【变式2】．（26-27七年级上·全国·课后作业）和分别取何值时，与是同类项？ 【答案】， 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，列出关于和的方程，求解后计算即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， 解得， ∴，时，与是同类项． 【变式3】．（26-27七年级上·全国·课后作业）先标出下列各多项式中的同类项，再合并同类项： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)； 【知识点】合并同类项、同类项的判断 【分析】先标出各多项式中的同类项，再按合并同类项法则计算． 【详解】（1） 解：； （2） 解：； （3） 解：． 【题型五】合并同类项与去括号计算（计算基本功） 【例12】．（25-26七年级上·福建泉州·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项、去括号 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，选项计算错误； B、，选项计算错误； C、与不是同类项，不能合并，选项计算错误； D、，计算符合法则，选项计算正确． 【变式1】．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）已知，，，，求的值． 【答案】 【知识点】合并同类项、去括号、整式的加减运算 【分析】根据整式的加减运算法则计算即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴ ． 【变式2】．（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】合并同类项、去括号 【分析】（1）先找出式子中的同类项，再分别合并同类项即可得到结果； （2）先根据去括号法则去掉括号，再合并同类项即可得到结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式3】．（26-27七年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】合并同类项、去括号、整式的加减运算 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【题型六】整式化简直接代入求值（基础大题） 【例13】．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，. 【知识点】整式的加减中的化简求值 【详解】解： 当，时， 原式 【变式1】．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）先化简，再求值：，其中x是最大的负整数，． 【答案】， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】先根据整式的加减运算法则化简原式，再求得x值，然后将x、y代入化简式子求解即可． 【详解】解： ， ∵x是最大的负整数， ∴， 将，代入，则原式． 【变式2】．（26-27七年级上·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1) ， (2) ， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【详解】（1）解：原式 ； 当时，原式； （2）解：原式 ； 当时，原式； 【变式3】．先化简，再整体代入求值：，其中，． 【答案】； 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查的是整式的加减混合运算，化简求值，先去括号，再合并同类项，最后把，整体代入计算即可． 【详解】解： ； ∵，， ∴ 【题型七】整体代入求值（中档高频，考试难点） 【例14】．数学课本上有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”小明同学解题过程如下： 解：原式，因为，所以原式． 小明同学把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法． 请仿照上面的解题方法，完成下面问题： (1)已知，则______； (2)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查了求代数式的值，通过阅读掌握整体代入法成为解题的关键． （1）将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答即可； （2）去括号，合并同类项，再利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：． （2）解：∵， ∴． 【例15】．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）教科书91页第15题是这样的：若，，求的值．小明是这样做的： 原式 ． 在这里，他把作为了一个整体，这体现了一个非常重要的数学思想：整体思想． 【方法运用】： (1)若代数式，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为8．当时，求代数式的值； (3)若，，求代数式的值． 【答案】(1)14 (2)2 (3)14 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减中的化简求值 【分析】（1）观察所求代数式，发现前两项可以提取公因数3，变形为，题目条件已知，不需要求出，把看成一个整体，代入即可求出结果； （2）把代入代数式，可以求出，当时，代入，得，变形为，把看成一个整体，代入即可求出结果； （3）观察代数式，对式子拆项重组为，刚好是题目给的两个已知整体相减，直接代入求值计算． 【详解】（1）解：因为， 所以 ； （2）解：当时， ，即， 当时，； （3）解：因为，， 所以 ． 【变式1】．（25-26七年级·全国·课后作业）阅读：已知，求的值． 分析：考虑到，的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑运用整体思想，将整体代入求值． 解： ． 用上述方法解决以下问题． (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)2027 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了整式的混合运算、整体代入思想和降次法。解题关键是通过变形将表达式转化为已知条件的形式，避免直接求解未知数，从而简化计算． （1）先展开整式乘法，将表达式整理为用表示的形式，再代入进行求值； （2）由已知等式变形得到和，通过降次将高次幂转化为低次幂，再整体代入化简求值． 【详解】（1）解： ． ∵， ∴原式 ． （2）解：∵， ∴，， ∴ ． 【变式2】．（25-26七年级下·安徽淮南·阶段检测）阅读：已知，求的值． 思路分析：根据整体的思想，先计算单项式乘以多项式，再将整体代入求值． 解： ． 请你利用整体的思想解决下列问题． (1)已知，求的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、单项式乘多项式的应用 【分析】（1）根据整体的思想，先计算单项式乘以多项式，再将整体代入求值； （2）根据整体的思想，将代数式变形为含的式子，代入求值即可. 【详解】（1）解：原式 ， 当时， 原式 ； （2）解：∵， ∴， 原式 ． 【变式3】．（26-27七年级·全国·暑假作业）数学课本上有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”小明同学解题过程如下： 解：原式 因为，所以原式． 小明同学把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【尝试应用】 (1)已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，则______． (2)已知，当时，的值是2023；当时，的值是____． 【拓展提高】 (3)已知，，，求的值． (4)关于x的一元一次方程的解为，解关于y的一元一次方程． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减中的化简求值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】（1）利用相反数和倒数的意义求得的值，代入运算即可； （2）根据题意可得，而时，原式，再利用整体代入的方法解答即可； （3）去掉括号后，重新分组，再利用整体代入的方法解答即可； （4）利用换元的思想方法将看成即可得出结论． 【详解】（1）解：∵a，b互为相反数， ， 互为倒数， ， ； （2）解：当时，的值是2023， ， ， 当时， ； （3）解： ∴ ； （4）解：设， 则方程可化为方程， 关于x的一元一次方程的解为， ∴关于m的一元一次方程的解为， ， ． 【题型八】与某个字母取值无关问题 【例16】．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）若代数式的值与字母的取值无关，则代数式的值是___________． 【答案】0 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查整式的加减，解题的关键是熟知整式的加减实质上就是合并同类项．先去括号，再合并同类项，根据代数式的值与x无关，则含x项的系数为零，由此求出a和b的值，再化简所求代数式，a和b的值代入计算． 【详解】解：原式化简为， 由题意得和， 解得，． 则． 故答案为：0． 【例17】．（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）已知，，若的值与x无关，则的值为________． 【答案】 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】根据题意计算，合并同类项后根据的值与x无关，得出，，求得，，代入代数式进行计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵的值与x无关， ∴，， 解得：，， ∴． 【变式1】．（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）已知，． (1)若，求．（用含，的式子表示） (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式加减中的无关型问题、整式的加减运算 【分析】（1）根据题意可知，利用合并同类项运算法则进行化简即可； （2）由（1）可知，令，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：由（1）可知：， 的值与的取值无关， ， 解得． 【变式2】．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）已知两个多项式A，B，其中，的结果为． (1)求多项式A； (2)求多项式； (3)若多项式的值与x的取值无关，求y的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】整式加减中的无关型问题、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式加减运算与无关型问题，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则，准确计算． （1）根据题意代入计算求解即可； （2）根据题意直接代入计算即可； （3）根据的值与的取值无关时，x的系数为0，即可求出y的值． 【详解】（1）解：∵，的结果为， ∴ ； （2）解： ； （3）解：， ∵多项式的值与x的取值无关， ∴， 解得：． 【变式3】．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求k的值；通常的解题方法：把x，y看作字母，k看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式加减中的无关型问题、列代数式 【分析】（1）合并同类项：将多项式合并为，再由多项式与x无关，可得，即可求解； （2）设，表示面积，计算面积差：，系数为0：因面积差与x无关，含x项系数为0，即可求出a、b关系． 【详解】（1）解：关于x的多项式的值与x的取值无关， ， ， 解得：． （2）解：设， 由图可知：， ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 含x项的系数为0， 即， ． 【题型九】列代数式解决实际问题（应用题） 【例18】．（26-27七年级上·全国·课后作业）请你设计一个方案，估计一卷空心卷筒纸（如图）展开的总长度． 【答案】方案：一卷空心卷筒纸，测得外半径约为5厘米，内半径约为2厘米，宽度约为10厘米，纸的厚度约为0.04厘米，设展开的总长度为，取，则，则，那么可估计一卷空心卷筒纸展开的总长度为． 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、列代数式 【分析】一卷空心卷筒纸，测得外半径约为5厘米，内半径约为2厘米，宽度约为10厘米，纸的厚度约为0.04厘米，设展开的总长度为，取，再根据等体积法求解即可． 【详解】略 【例19】．（26-27七年级上·全国·课后作业）人体血液的质量占人体体重的． (1)如果某人体重是，那么他的血液质量大约在什么范围内？ (2)小亮体重是，他的血液质量大约在什么范围内？ (3)估计你自己的血液质量． 【答案】(1) 血液质量大约在范围内． (2) 小亮的血液质量大约在范围内． (3) 示例：若自身体重为，则血液质量大约在范围内（可根据实际体重计算）． 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、列代数式 【分析】（1）结合题干信息给出的范围，以及代数式的意义求解即可； （2）在（1）的基础之上，代入求解即可； （3）结合自身体重，代入求解即可． 【详解】（1）由题意可知，人体血液质量最低是体重的，最高是体重的， ∴某人体重是， ∴他的血液质量大约在范围内； （2）将代入（1）中的代数式内：， ， ∴他的血液质量大约在范围内； （3）结合自身实际情况，代入（1）中代数式求解即可， 例：若自身体重为，则 代入得， ∴血液质量大约在范围内（答案不唯一，符合题意即可）． 【变式1】．（26-27七年级上·全国·课后作业）遗传是影响一个人身高的因素之一．有学者总结出用父母身高预测子女身高的经验公式：儿子成年后的身高，女儿成年后的身高，其中a为父亲身高，b为母亲身高，身高单位：． (1)七年级男生小刚的爸爸身高为，妈妈身高为，根据这个公式预测小刚成年后的身高； (2)根据这个公式，预测一下自己成年后的身高； (3)请查阅资料，收集一些预测人体身高的其他经验公式． 【答案】(1)约为 (2)解：获取父亲身高（单位：）、母亲身高（单位：），男性代入公式计算，女性代入公式计算．示例：若某女生父亲身高，母亲身高，则其成年身高约为． (3)解：常见预测身高的经验公式如下：① 遗传靶身高公式（身高单位：）：男孩成年身高，女孩成年身高；② 回归预测公式（身高单位：）：儿子成年身高父身高母身高，女儿成年身高父身高母身高． 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）根据所给公式代入计算即可； （2）根据自己的性别、父母的身高，结合所给公式计算即可； （3）查阅资料即可得到答案． 【详解】（1）解：代入公式得， 故预测小刚成年后的身高约为； 【变式2】．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）国庆期间：某商场有以下促销活动： ①先提价，再打八折销售； ②先提价，再让利30元销售； ③先涨价b元，再打7.5折销售； (1)若商品的原价为a元，用代数式分别表示三种方案的销售价格：①____________元；②____________元；③____________元． (2)若，三种方案哪种最省钱？ 【答案】(1)；； (2)方案③最省钱 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、列代数式 【分析】（1）根据三种方案，列出代数式即可； （2）分别求出三种方案的费用，比较大小即可. 【详解】（1）解：由题意，①（元）； ②（元）； ③（元）； （2）解：当时， ①总费用为（元）； ②总费用为（元）； ③总费用为（元）； ∵， ∴方案③最省钱. 【变式3】．（26-27七年级上·全国·课后作业）骑山地自行车过程中，如果车座高度不合适，会使骑行者踩踏费力，甚至造成膝盖磨损．如何确定合适的车座高度呢？有一种雷蒙德（Lemond）测量方法：双腿站立，两脚（不穿鞋）间距约，测量裆部离地面的高度h（单位：），得出的数据乘0.883就是相应的车座顶部到中轴的距离l（如图，单位：），此时的车座高度是骑行最合适的高度． 根据雷蒙德测量方法解决下列问题： (1)用代数式表示l与h之间的关系． (2)当时，l为多少厘米？ (3)请测量自身的相关数据，计算并调整自己山地自行车的车座高度，检验雷蒙德测量方法是否适合自己． 【答案】(1) (2) (3)解：自测，调整自己山地自行车的车座高度， 经过测试，雷蒙德测量方法适合自己． 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、列代数式 【分析】（1）根据题意和雷蒙德测量方法列出关系式即可； （2）将代入（1）式计算即可； （3）测量出h值，代入关系式求出l，测试解答即可． 【详解】（1）解：根据题意和雷蒙德测量方法可得：； （2）解：当时，； 【题型十】规律探究（期末常考压轴） 【例20】．（25-26七年级上·云南曲靖·期中）探索规律： 观察下列各式： … (1)根据以上规律，写出第n个等式：________； (2)利用以上规律，计算：； (3)利用以上规律，计算：． 【答案】(1) (2) (3)440 【知识点】数字类规律探索、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）观察前三个等式，找到相同点和不同点，即可解出此题，． （2）根据第n个等式的特点计算即可； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：观察所给各式可得，第n个等式为， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：由（2）可得， ∴当时，． 【变式1】．按下列程序计算，把答案填写在表格里，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？    输入 …… 输出答案 (1)填写表内空格： (2)你发现的规律是． (3)用简要的过程说明你发现的规律的正确性． 【答案】(1)，，，； (2)输入任何数的结果都是； (3) 证明：∵， ∴无论取任何值，结果都为，即结果与字母x的取值无关． 【知识点】整式加减中的无关型问题、程序流程图与代数式求值 【分析】本题考查了 整式的混合运算；探索数与式的规律；含乘方的有理数混合运算及学生探究规律的能力，（）把各数值代入程序中计算出结果即可，特别要注意运算顺序；（）根据（）中计算结果总结规律，发现结果都为；（）根据程序，直接用进行计算可得出结果；解题的关键是理解所给程序的计算步骤． 【详解】（1）当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：，，，； （2）输入任何数的结果都为； 【变式2】．（24-25七年级上·云南·单元复习）观察下列单项式：，，，⋯，，，⋯从中我们可以发现： (1)系数的规律有两条： 系数的符号规律是________，系数的绝对值规律是________； (2)次数的规律是________； (3)根据上面的归纳，可以猜想出第个单项式是________． (4)根据你猜想的结论，写出第2025个单项式是________． 【答案】(1)奇数项为负，偶数项为正；与自然数序号相同 (2)与自然数序号相同 (3) (4) 【知识点】数字类规律探索、单项式的系数、次数、单项式规律题 【分析】本题主要考查了单项式、数字规律等知识点，根据题意找出规律是解题的关键． （1）根据题中给出的单项式找出其系数及其绝对值的规律即可； （2）根据题中给出的单项式找出其系数的次数的规律即可； （3）根据题中给出的单项式归纳规律即可； （4）根据（3）中的规律即可解答． 【详解】（1）解：∵第一个单项式是； 第二个单项式是； 第三个单项式是； …； ∴第n个单项式是． ∴系数的符号规律是奇数项为负，偶数项为正；系数的绝对值规律是与自然数序号相同． 故答案为：奇数项为负，偶数项为正；与自然数序号相同． （2）解：根据（1）可知：单项式的次数的规律是与自然数序号相同． 故答案为：与自然数序号相同． （3）解：根据（1）可以猜想出第个单项式是． 故答案为：． （4）解：根据（3）中的规律可得：第2025个单项式是． 故答案为：． 【变式3】．（24-25七年级上·江西南昌·期末）数学活动-探究日历中的数字规律：如图1是2025年1月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值．探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图1中的结果为 ；将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为 ； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，， ， 可得 ， ， 则 ； (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历，继续进行如下探究．请从下列A、B两题中任选一题作答． A．在日历中用“Z型框”框住位置如图3所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由； B．在日历中用“Y型框”框住位置如图4所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)0；0 (2)，，，0 (3) 解：选择A，的值均为0，理由如下： 设，则，，， ， 则的值均为0； 选择B，的值均为，理由如下： 设，则，，， ， 则的值均为． 【知识点】整式加减的应用、数字类规律探索、列代数式 【分析】（1）根据对应的数字，计算即可； （2）根据日历中的数字规律，分别用含x的式子表示出b，c，d，根据整式加减的计算法则，计算即可； （3）选择A，设，则，，，代入计算即可；选择B，设，则，，，代入计算即可． 【详解】（1）解：； 将的方框移动到图1中的其他位置，如，则；无论移动到哪，总有，，，则； （2）解：设，则，，， 可得，， 则； 1. 整式分为单项式和多项式两大类型，核心掌握系数、次数两大概念，明确区分：单项式次数为字母指数和，多项式次数为最高次项次数。 2. 同类项判断两大核心要素：字母完全相同、相同字母指数完全相同，与系数、字母顺序无关，常数项互为同类项。 3. 整式加减的本质是去括号 + 合并同类项：去括号紧盯前方符号，负号去括号全变号，有数字系数需全程分配；合并同类项只算系数加减，字母部分原样保留。 4. 化简求值固定解题流程：先化简，后代入，负数、分数参与乘方运算务必添加括号。 5. 本章核心易错点为符号问题，所有运算需全程关注每一项的正负，杜绝符号失误。 专属做题口诀 辨整式，看分母，分母有字母决不是； 找同类，看字母，指数相同才可以； 去括号，看符号，负号进去全变号； 合并同类看系数，字母指数不改动。 一、单选题 1．（24-25七年级上·全国·单元复习）在下列各式中，不是代数式的是（   ） A．7 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是代数式的定义，掌握代数式的定义是解题的关键．代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连结而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是一个代数式． 【详解】解：A、C、D、是代数式，B是不等式，不是代数式． 故选B． 2．（24-25七年级上·湖北黄石·期中）下面四个关系式中，和成反比例关系的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例关系，根据反比例的性质可知当两个变量的积为定值时，这两个变量成反比例关系，进而求解． 【详解】解：A、，和不成反比例关系，不符合题意； B、即，和成反比例关系，符合题意； C、即，和成正比例关系，不符合题意； D、，和不成反比例关系，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级上·全国·课前预习），在括号里填上适当的项应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用添括号法则将原式变形得出答案．此题主要考查了添括号法则，正确掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是正确的； D、，故该选项是错误的； 故选：C． 4．已知单项式的次数是3，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查单项式的次数定义；单项式的次数等于各个字母的指数和．根据单项式的次数定义即可得，则得解． 【详解】解：根据单项式次数的定义得： ， 可得， 故选：A． 5．（24-25七年级上·山西大同·阶段检测）若，，且，则（     ） A．7 B．1 C．1或 D．7或 【答案】C 【分析】由得同号，结合绝对值的取值分两种情况计算． 【详解】解：， ； ， ； ， 同号， 故当，时，； 当，时，． 的值为或． 6．（25-26七年级·广东茂名·期末）某客户到商场购买夹克30件，T恤x件（）．商场有两种优惠方案：方案一，买一件夹克送一件T恤；方案二，夹克和T恤都按定价的九折付款．已知夹克每件200元，T恤每件40元．当时，选择方案一比方案二节省（     ） A．200元 B．240元 C．300元 D．400元 【答案】D 【分析】先求出方案一和方案二的总费用，求差即可解答． 【详解】解：方案一的总费用为（元）， 当时，（元）； 方案二的总费用为（元）， 当时，（元）， 方案一比方案二节省（元）． 7．观察下列算式：，…．用你所发现的规律得出的个位上数字是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了归纳推理、尾数特征的应用，关键是能根据题意得出规律，进一步得出算式． 通过观察的末位数字规律，发现每个为一个周期循环，依次为；通过计算除以的余数，确定其对应的位置即可得到答案． 【详解】解：观察可得，个位数字按循环，周期为． ， 对应循环中的第个数字，即． ∴的个位数字是， 故选：A． 8．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知，有7个完全相同的边长为m、n的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中．下列说法正确的是（） ①大长方形的长是；②阴影A的面积是； ③阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关；④阴影B的面积是． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据图形确定大长方形的长、宽以及阴影部分的长和宽，利用长方形周长和面积公式进行计算判断． 【详解】解：大长方形的长可表示为；故①正确； 阴影A的长为m，宽为， ∴阴影A的面积为，故②正确； 阴影长方形的长为，宽为， 阴影长方形的周长为， 阴影长方形的长为，宽为， 阴影长方形的周长为， 阴影与阴影的周长的和为 ， 阴影与阴影的周长的和与的取值无关．故③正确； 阴影B的面积为，故④错误； 综上所述，正确的说法是①②③． 二、填空题 9．若a-2b=3，则（5-2a）-（3-4b）=______． 【答案】-4 【分析】将式子去括号，合并同类项后代入a-2b=3计算即可． 【详解】解：∵a-2b=3， ∴（5-2a）-（3-4b） =5-2a-3+4b =2-2a+4b =2-2（a-2b） =2- =-4， 故答案为：-4． 【点睛】此题考查了整式的加减混合运算，已知式子的值求代数式的值，正确掌握整式加减法混合运算法则是解题的关键． 10．一个阶梯，第一排有12个座位，后面每一排都比前一排多a个座位，则第20排有_______个座位． 【答案】（12+19a）/（19a+12） 【分析】第一排有12个座位，后面每一排都比前一排多a个座位，则第二排有（12+a）个座位，第三排有（12+a+a）个座位，第四排有（12+a+a+a）个座位，第五排有（12+a+a+a+a）个座位，按照此规律，可知第n排的座位数为：12+（n﹣1）×a，再把n＝20代入化简即可． 【详解】解：∵第一排有12个座位，后面每一排都比前一排多a个座位， ∴第n排的座位数为：12+（n﹣1）×a＝12+a（n﹣1）， ∴当n＝20时，座位数为12+（20﹣1）a＝（12+19a）个． 故答案为：（12+19a）． 【点睛】本题考查了根据实际问题列代数式，正确理解问题中的数量关系，总结问题中隐含的规律是解题的关键． 11．（24-25七年级上·全国·随堂练习）若多项式与多项式相加后不含二次项，则多项式的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的加法运算、合并同类项以及解方程求参数的值．通过多项式相加后不含某项，根据不含某项即含某项的系数为，可以得到关于参数的方程，解出参数的值，然后代入到相关的表达式中求值． 【详解】解：将多项式与多项式中的二次项合并， 得. ∵两个多项式相加后不含二次项， ∴， 解得 ， ． 故答案为∶． 12．有一列式子，按照一定的规律排列成﹣3a2，9a5，﹣27a10，81a17，﹣243a26…，则第n个式子为___．（n为正整数） 【答案】 【分析】由题意可知符号规律为奇正偶负，系数的规律为，字母的规律为，进而问题可求解． 【详解】解：由式子﹣3a2，9a5，﹣27a10，81a17，﹣243a26…，可知：符号规律为奇正偶负，系数的规律为，字母的规律为， ∴第n个式子为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查代数式的规律问题，解题的关键是根据题意得到一般规律． 13．（25-26七年级上·广东珠海·期中）若单项式的次数为4次，则_____，若它与是同类项，则_____． 【答案】 2 0 【分析】本题考查了单项式次数的定义，同类项的定义． 根据单项式次数的定义，次数为所有变量指数之和，由题意得；根据同类项的定义，相同字母的指数必须相同，由题意得，进而计算． 【详解】解：对于单项式，其次数为， 若单项式的次数为4次， 则， 解得； 若它与是同类项， 则相同字母的指数相等， 即且， 由得， 故． 故答案为：2，0． 14．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值小于或等于1的项称为“准同类项”．例如与是“准同类项”，则下列单项式中：①；②；③；④，与是“准同类项”的是________．（填序号） 【答案】①② 【分析】本题考查了对新定义信息的理解与应用能力． 根据“准同类项”的定义，所含字母相同，且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于1．基准项为 ．分别计算各选项与基准项相同字母的指数差，判断是否均满足绝对值小于或等于1． 【详解】解：基准项为，字母为和． ①： 的指数差为 ， 的指数差为 ，满足条件． ②： 的指数差为 ， 的指数差为 ，满足条件． ③： 的指数差为 ，不满足条件． ④： 的指数差为 ，不满足条件． 故与基准项是“准同类项”的是①②． 故答案为：①②． 15．（25-26七年级·重庆·期中）一个三位数，满足，则称这个数为“凤鸣数”．则最小的“凤鸣数”是_____；记，若是整数，且也是整数，则满足条件的的最大值与最小值的差是_____． 【答案】 300 333 【分析】第一空找最小“凤鸣数”，需让百位数字尽可能小，再确定十位和个位；第二空先根据条件化简整除要求，得到c的可能取值，再结合是6的倍数，找出满足条件的最大和最小M，计算差值即可． 【详解】解：对于三位数 ，a 是百位数字，故，且 a,b,c 均为整数， ∵，即，要使M最小，需a尽可能小， 由得，即，故最小，此时，c最小取 0， 因此最小的“凤鸣数”是 300； 由题意得： 条件1：是整数，故是 6 的倍数； 条件2：，因为，代入得是整数，故 是3的倍数． 由，得，其中3的倍数有9,12,15， 对应得， 找满足条件的最小M： 分别为 4,7,10，都不是6的倍数，不符合； 分别为 5,8,11，都不是6的倍数，不符合； ，是6的倍数，符合条件，故最小满足条件的. 找满足条件的最大M： 分别为 10,13,16，都不是6的倍数，不符合； ，是6的倍数，符合条件，故最大满足条件的. 差值为． 三、解答题 16．（26-27七年级上·全国·课后作业）根据下列各组x、y的值，分别求出代数式和的值： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：当时， ； ． （2）解：当，时， ； ． 17．（26-27七年级上·全国·课后作业）先去括号，再合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先去括号，再合并同类项； （2）先根据乘法分配律计算，再合并同类项； （3）（4）仿照（2）解答． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 18．（26-27七年级上·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)，4 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当时，原式． 19．（24-25七年级上·广东深圳·期末）【综合与实践——制作收纳盒】 小亮和小丽尝试用家里的闲置纸板制作正方体和长方体形状的收纳盒（纸板厚度及接缝处忽略不计）． 【初步尝试】制作有盖正方体形收纳盒 （1）如图1，将长方形纸板（长80厘米，宽60厘米）分割成12个完全一样的小正方形，剪去多余的小正方形，剩下的6个小正方形刚好可以折叠成一个有盖的正方体形收纳盒．请你在图中画出三种不同的设计方案，剪去的小正方形用阴影表示； 小亮和小丽在操作中发现，制作无盖的长方体形收纳盒可以得到更大的容积，为此，他们开展了进一步的探究． 【实践探究】制作无盖长方体形收纳盒 （2）如图2，小丽和小亮在长方形纸板（长80厘米，宽60厘米）四个角各剪去一个边长为厘米的小正方形（如图中阴影部分所示），再把剩余部分沿图中虚线折叠，刚好折成一个无盖的长方体形收纳盒，这个盒子的容积为______；（用含的代数式表示） （3）在操作中，小亮和小丽发现收纳盒的容积随着的变化而变化．为了探究容积的最大值，小亮和小丽对盒子的高度按整数值从小到大取值，依次计算长方体形收纳盒的容积，得到的数据如下表所示，则和的值分别是______，______； …… 8 9 10 11 12 13 …… 容积 …… 22528 23436 24192 23868 …… 【归纳猜想】长方体形收纳盒容积变化规律 （4）观察表中数据，随着高度的增大，容积有怎样的变化规律？请你估计在哪个范围内取值时容积最大？ 【答案】 （1）有盖的正方体形收纳盒如白色部分： （2）；（3）24000，24244；（4）容积先变大，后变小．在10到12之间时，容积最大． 【分析】本题主要考查了正方体展开图的认识，代数式表示式，代数式求值等知识． （1）根据正方形的展开图制作有盖正方体形收纳盒即可． （2）分别表示出无盖的长方体形收纳盒的长，宽，高，然后根据长方体体积公式用代数式表示出来即可． （3）把和分别代入（2）长方体体积代数式里面计算即可． （4）通过表中容积的变化可以直接得到结果；由表中容积的最大值得到结果； 【详解】解：（1）略 （2）无盖的长方体形收纳盒长为：，宽为，高为， 则无盖的长方体形收纳盒体积为：． （3）当时， 则， 当时， 则 （4）通过表中容积的变化，可知容积先变大，后变小． 且在10到12之间时，容积最大． 20．（25-26七年级上·山西运城·阶段检测）项目式学习 【项目主题】探究包装盒的打包方式 【项目背景】学习了课本中“项目式学习2：包装中的智慧”后，同学们对包装盒打包带的打包方式进行了探究． 【项目素材】某电商在包装商品时，用到长、宽、高分别为a，b，c（单位：，）的箱子，并发现有如图所示的甲、乙、丙三种打包方式（打包带不计接头处的长度）． 任务一：用含a，b，c的式子表示甲、乙、丙三种打包方式所用的打包带的长度，甲需要 ，乙需要 ，丙需要 ． 任务二： ①当，，时，分别求出三种方式打包所用打包带的长度并比较哪种方式最节省打包带． ②当，，时，分别求出三种方式打包所用打包带的长度并比较哪种方式最节省打包带． 任务三：在完成任务二时，同学们发现在a，b，c取上面两组数值时，这三种打包方式中，图 所用打包带总是最少，请你自己为a，b，c选一组数值验证同学们的猜想是否正确： （填“是”或“否”）（草稿纸上验证即可，不要求写在答题卡上） 在数学中，我们经常通过观察特例形成猜想．然而，特例不能作为一般结论的证明，要确认一个猜想对于所有情况都成立，必须进行严格的逻辑推理计算或数学证明．请结合上述猜想并用所学知识判断：三种打包方式中，哪种方式最节省打包带？并说明你的理由． 【答案】任务一：；；； 任务二：①甲种打包方式所用的打包带的长度：； 乙种打包方式所用的打包带的长度：； 丙种打包方式所用的打包带的长度：； 丙种打包方式最节省打包带； ②甲种打包方式所用的打包带的长度：； 乙种打包方式所用的打包带的长度：； 丙种打包方式所用的打包带的长度：； 丙种打包方式最节省打包带； 任务三：丙；是； 丙种打包方式最节省，理由如下： ， ∵ ∴， ∴， ∴甲比乙省， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：丙种打包方式最节省打包带． 【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，代数式求值，解题的关键是理解题意，熟练掌握整式加减运算法则． 任务一：根据图形列出代数式即可； 任务二：分别代入a、b、c的值，求出代数式的值即可； 任务三：根据任务二的结果得出这三种打包方式中，图丙所用打包带总是最少，根据整式加减运算法则，分别求出甲与乙所用打包带长度的差值，甲和丙所用打包带的长度差，然后进行判断即可． 【详解】任务一：甲需要； 乙需要； 丙需要； 任务二： ①当，，时， 甲种打包方式所用的打包带的长度： ； 乙种打包方式所用的打包带的长度： ； 丙种打包方式所用的打包带的长度： ； 因为，所以丙种打包方式最节省打包带； ②当，，时， 甲种打包方式所用的打包带的长度： ； 乙种打包方式所用的打包带的长度： ； 丙种打包方式所用的打包带的长度： ； 因为，所以丙种打包方式最节省打包带 任务三：这三种打包方式中，图丙所用打包带总是最少； 当，，时， 甲种打包方式所用的打包带的长度： ； 乙种打包方式所用的打包带的长度： ； 丙种打包方式所用的打包带的长度： ； 因为，所以图丙所用打包带最少，猜想是正确； 21．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“标准多项式”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“标准多项式”．请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“标准多项式”的是______；（填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x，y的“标准多项式”（其中m、n均为整数），则多项式也是关于x，y的“标准多多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． (3)已知，，，且（其中m，，t均为整数），请证明多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 【答案】(1)①③ (2) 解：是，理由如下： 多项式是关于，的“标准多项式”， 为的整数倍， 设（为整数，）， 则， 多项式的系数和为， ， ， 是的整数倍，即是的整数倍， 多项式是关于，的“标准多项式”（其中，均为整数），则多项式也是关于，的“标准多项式”； (3) 证明：∵，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴多项式为， 多项式的系数和为， ∴多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 【分析】本题考查了新定义“标准多项式”，整式的加减运算，理解定义是解题的关键． （1）根据“标准多项式”的定义求解即可； （2）根据多项式是关于，的“标准多项式”，可设（为整数，），则，多项式的系数和为，得到，即可求解； （3）先根据整式加减预算法则求出，再结合“标准多项式”的定义证明即可． 【详解】（1）解：①多项式的系数和为， 该多项式是“标准多项式”， ②多项式的系数和为，不是的整数倍， 该多项式不是“标准多项式”， ③多项式的系数和为， 该多项式是“标准多项式”， 故答案为：①③； （2）略 （3）略 22．（25-26七年级上·河南周口·期末）阅读材料：我们把看成一个整体，则．“整体思想”是解题中的一种重要方法． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并的结果是________． (2)已知，求的值． 拓广探索： (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查代数式求值，整式的加减，去括号法则等知识，采用整体代入法是解题的关键． （1）把看成一个整体，提取公因式即可； （2）把看成一个整体，代入代数式中进行计算即可； （3）先去括号，再根据题意进行合并，然后整体代入即可求出． 【详解】（1）解： ． 故答案为：； （2）解：， 把代入，得： 原式； （3）解： ， 把，，代入，得 原式 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $