第10讲 整式的加减运算（核心知识+8易错辨析+10典例精讲+课后作业）2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦初中数学整式的加减运算核心知识，系统梳理整式概念（单项式、多项式）、同类项判定、合并同类项法则、去括号规则及代数式求值等内容，从基础概念到运算方法再到实际应用，构建连贯的学习支架。 该资料通过8个易错辨析精准剖析学生常见错误，培养抽象能力与符号意识，10类典例涵盖几何图形、数字问题等实际场景发展模型意识，变式训练提升推理能力。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固练习，查漏补缺。

第10讲 整式的加减运算 （核心知识+8易错辨析+10典例精讲+课后作业） 【知识点01】整式相关概念 （1）单项式 由数或字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式。 系数：单项式中的数字因数（包含前面符号）。 次数：单项式中所有字母的指数之和，数字没有次数。 示例：，系数为，次数为。 （2）多项式 几个单项式的和叫做多项式。 项：多项式里每个单项式，包含前面符号；不含字母的项叫常数项。 次数：多项式里次数最高项的次数。 示例：，是二次三项式，最高次项为，常数项为。 （3）整式 单项式和多项式统称为整式。 注意：分母中含有字母的式子不是整式，如不是整式。 【知识点02】同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项；几个常数项也是同类项。 核心要点：与系数大小无关，与字母顺序无关。 示例：与是同类项；与不是同类项。 【知识点03】合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。 运算步骤：找同类项→移项（带符号）→合并系数 示例： 【知识点04】去括号法则 1. 括号前面是“”号，去掉括号和“”，括号内各项符号不变。 2. 括号前面是“”号，去掉括号和“”，括号内每一项都要变号。 补充：括号外有数参与运算时，需用乘数分配给括号内每一项，严禁漏乘。 示例： 【知识点05】整式的加减运算 运算实质：先去括号，再合并同类项。 一般步骤： 1.如果有括号，先去括号； 2.找出式子中的同类项，进行合并； 3.最终结果按某个字母降幂（或升幂）规范排列。 【知识点06】求代数式的值 运算原则：先化简整式，再代入数值计算，简化运算步骤、减少计算失误。 重点提醒：负数、分数代入进行乘方运算时，必须添加括号。 易错点 错误示例 正确写法 错因分析 单项式系数符号遗漏 系数是 系数是 单项式系数包含前面的正负符号，不可忽略负号 单项式次数误算数字指数 次数是 次数是 单项式次数仅统计所有字母的指数和，数字的指数不算入次数 同类项判断误区 与不是同类项 是同类项 同类项判定与系数大小、字母排列顺序无关，仅看字母和对应指数 去括号变号不彻底 括号前是负号，去括号后括号内所有项必须全部变号，不能只变第一项 数乘括号漏乘项 括号外的乘数需分配给括号内每一项，杜绝漏乘常数项 非同类项强行合并 无法合并，保留原式 只有同类项可以合并，合并时字母和指数不变，非同类项不能运算 误将分式当作整式 是整式 不是整式 整式分母不能含字母，分母含字母的代数式属于分式，不属于整式 负数乘方代入无括号 时， 负数、分数进行乘方运算时，整体必须加括号，否则运算逻辑错误 【题型一】同类项的判断 【例1】．（25-26七年级上·河南郑州·期末）下列各式中，是同类项的是（     ） A．与 B． 与 C．与 D．与 【答案】C 【知识点】同类项的判断 【详解】解：与所含字母不同，A错误； 与中相同字母的指数不相同，B错误； 与所含字母均为、，且相同字母指数均为1，C正确； 与中的指数不同，D错误． 【变式1】．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）下列各组式子中，属于同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【知识点】同类项的判断 【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵同类项的定义为所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项， A、与所含字母相同，但的指数分别为和，不相同，不是同类项，不符合题意； B、与所含字母都是，相同字母的指数都是，的指数都是，符合同类项定义，是同类项，符合题意； C、与所含字母不同，不是同类项，不符合题意； D、与中x的指数分别为和，不相同，不是同类项，不符合题意． 【变式2】．（25-26七年级上·福建漳州·期末）写出代数式的一个同类项_____． 【答案】 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查了同类项的定义，解题关键是熟练掌握同类项的定义，根据同类项的概念写出符合条件的单项式即可， 【详解】解：依题意，是代数式的一个同类项， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】．（25-26七年级上·广西崇左·周测）指出下列各题中哪两个单项式是同类项的，并说明理由． （1）与； （2）与； （3）与； （4）与． 【答案】 所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项，几个常数项也属于同类项． （1）与：所含字母相同，但相同字母的指数不相同，它们不是同类项； （2）与：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，它们是同类项； （3）与：所含字母不相同，它们不是同类项； （4）与：所有常数项都是同类项，它们是同类项． 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查同类项的定义，掌握同类项的定义是解题关键． 依据同类项的定义，对每一组单项式进行验证． 【题型二】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【例2】．（25-26七年级上·广东茂名·期中）代数式与是同类项，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】根据同类项定义中相同字母的指数相同，列方程求出a和b的值，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵代数式与是同类项， ∴，， 解得，， 将，代入，得． 【变式1】．（25-26七年级上·河北·期末）若与是同类项，则m、n的取值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．据此求解即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，． 【变式2】．（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）若与是同类项，则的值为______． 【答案】 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，根据同类项的定义求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：与是同类项， ，， ． 【变式3】．（2024七年级上·吉林·专题练习）已知和是同类项，求的值． 【答案】 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，可先求得m和n的值，从而求出它们的差． 【详解】解：由题意可知，， 即，， 所以． 【题型三】合并同类项 【例3】．（25-26七年级上·陕西西安·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】合并同类项 【详解】解：A、与不是同类项，无法合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 【变式1】．（25-26七年级上·广东惠州·期中）下列选项中，等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】合并同类项 【分析】根据合并同类项的法则，只有同类项才能合并，合并同类项时系数相加减，字母和字母的指数保持不变，据此判断选项即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项等式不成立； B、与不是同类项，不能合并，故本选项等式不成立； C、，故本选项等式成立； D、与不是同类项，不能合并，故本选项等式不成立． 【变式2】．（25-26七年级上·广东广州·期末）计算：______． 【答案】 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项的运算，先判断两项为同类项，再根据合并同类项法则，将同类项的系数相加减，字母及其指数保持不变即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据合并同类项法则：同类项的系数相加减，字母和字母的指数不变， ∴， 故答案为：． 【变式3】．（25-26七年级上·全国·期末）化简：； 【答案】 【知识点】合并同类项 【详解】解： ； 【题型四】去括号 【例4】．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）下列各式中，去括号后得的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】去括号 【分析】根据去括号的法则依次进行运算，即可得到答案． 【详解】解：选项A：，选项A符合题意； 选项B：，选项B不符合题意； 选项C：，选项C不符合题意； 选项D：，选项D不符合题意． 【变式1】．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列各式中，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】去括号 【分析】根据去括号规则：括号前是正号，去括号后括号内各项不变号，括号前是负号，去括号后括号内各项都变号，括号前有系数时，需将系数乘以括号内每一项，据此逐一判断选项即可求解． 【详解】解：∵ 对选项A，，∴A错误． ∵ 对选项B，，∴B正确． ∵ 对选项C，，∴C错误． ∵ 对选项D，，∴D错误． 【变式2】．（25-26七年级上·福建厦门·期末）化简： （1）___________； （2）___________． 【答案】 【知识点】去括号 【分析】本题考查了去括号． （1）根据去括号法则，括号前是负号，括号内各项变号； （2）根据分配律，将3乘以括号内的每一项． 【详解】解：（1）； （2） 故答案为：，． 【变式3】．（25-26七年级上·甘肃定西·期末）化简：． 【答案】 【知识点】去括号 【分析】本题主要考查了整式的加减，首先根据去括号的法则去掉括号，再根据合并同类项法则合并同类项． 【详解】解： ． 【题型五】添括号 【例5】．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）将“”进行添括号操作，下列与其相等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添括号 【分析】本题主要考查了添括号，添括号时，若括号前是“”，添括号后，括号里的各项符号都不改变；若括号前是“”，添括号后，括号里的各项符号都改变，据此求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 【变式1】．（25-26七年级上·吉林长春·期末）不改变多项式的值，下列添括号错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】添括号 【分析】本题考查整式的加减计算，熟练掌握添括号和去括号是解题的关键． 依次验证每个选项的添括号是否保持原多项式值不变即可． 【详解】解：选项A：，故A选项变形正确，不符合题意； 选项B：，故B选项变形错误，符合题意； 选项C：，故C选项变形正确，不符合题意； 选项D：，故D选项变形正确，不符合题意； 故选B． 【变式2】．（25-26七年级上·北京房山·期中）把算式放入前面带有“－”的括号内：（______）． 【答案】 【知识点】添括号 【分析】此题考查了添括号法则，解题的关键是熟练掌握添括号法则．利用添括号法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式3】．（26-27七年级上·全国·随堂练习）按要求把多项式添上括号． (1)把后三项括到前面带有“-”号的括号里； (2)把四次项括到前面带有“+”号的括号里，把二次项括到前面带有“-”号的括号里． 【答案】(1)； (2) 【知识点】添括号 【分析】本题考查的是去括号与添括号，熟知添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号是解题的关键．根据添括号的法则进行解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：． 【题型六】整式的加减运算 【例6】．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）一个多项式与的和是，则这个多项式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】整式的加减运算 【详解】解：由题意得 ， ∴这个多项式为． 【变式1】．（25-26七年级上·山东聊城·期末）已知，，则M_______N（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减，非负数的性质，掌握整式的加减的运算法则是关键．计算，即可求解． 【详解】解：根据题意可知，， ∴． 故答案为：． 【变式2】．（25-26七年级上·河南洛阳·期末）计算： 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查的是整式的加减运算，先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 【变式3】．（25-26七年级上·四川眉山·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算 【分析】先去括号，然后合并同类项，即可求解； 【详解】（1）解：原式     （2）解：原式 ． 【题型七】整式的加减中的化简求值 【例7】．（25-26七年级上·山东临沂·阶段检测）已知，，则代数式的值为（ ） A．59 B．62 C．77 D．139 【答案】A 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查代数式的化简求值，运用整体代入思想简化计算，首先去括号，合并同类项将原代数式化简，再将所求代数式化成用与表示的形式，然后把已知代入即可求解． 【详解】解： 当，时 原式． 故选：A． 【变式1】．（25-26七年级上·吉林长春·期中）已知，那么代数式的值为（    ） A． B．4 C．6 D．8 【答案】D 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的化简求值． 先将代数式化简，再结合已知条件代入求值． 【详解】解： ， ∵， ∴原式 ． 故选：D． 【变式2】．（25-26七年级上·山东聊城·期末）已知，则______． 【答案】4013 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查的是整式的加减运算，化简求值．先去括号和合并同类项将式子化简，再整体代入即可. 【详解】解： ∵， ∴ ∴原式. 故答案为： 【变式3】．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【知识点】整式的加减中的化简求值 【详解】解： ， 当，时， 原式． 【题型八】整式加减中的无关型问题 【例8】．（25-26七年级上·河南新乡·期末）若多项式不含x的一次项，则a的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】把所给多项式合并同类项，再令含x的一次项的系数为0，据此求解即可． 【详解】解：， ∵多项式不含x的一次项， ∴， ∴． 【变式1】．（25-26七年级上·河南洛阳·期末）多项式的值与x，y的取值无关、则的值为（    ） A．1 B．－1 C．2026 D．－2026 【答案】A 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】先合并同类项，再根据多项式的值与x、y取值无关得出对应项系数为0，求出m、n的值，最后代入计算即可． 【详解】解：， ∵多项式的值与x、y的取值无关， ∴，， 解得：，， ∴． 【变式2】．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知关于x，y的多项式与的差不含二次项，则______． 【答案】 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】先计算，然后根据关于x，y的多项式与的差不含二次项，即可得到m、n的值，再计算即可． 【详解】解：由题意可得， ， 关于x，y的多项式与的差不含二次项， ，， 解得，， ， 故答案为： 【变式3】．（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）有一道题：“先化简，再求值：，其中．”小明做题时把“”错抄成了“”，但他计算的结果却是正确的，请你说明这是什么原因． 【答案】 证明： ． ∵计算结果与x无关， ∴把“”错抄成“”，计算结果仍是正确的． 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】先化简整式，可得结果与x无关，无论x取何值，结果均不变． 【详解】略 【题型九】整式加减的应用 【例9】．（24-25七年级上·陕西西安·期末）甲、乙两堆煤相差20吨，各运出后，现在两堆煤相差（     ）吨． A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】B 【知识点】整式加减的应用 【分析】设两堆煤原来的质量，根据运出比例表示出剩余质量，计算剩余质量差即可得到结果． 【详解】解：设甲堆原有吨，甲比乙多20吨，则乙堆原有吨， ∵各运出， ∴甲堆剩余质量为吨，乙堆剩余质量为吨， 两堆相差：(吨)． 【变式1】．（25-26七年级上·北京·期末）将4个如图1所示的长为x、宽为的小矩形按照图2的方式不重叠地摆放在大矩形中，，大矩形中未被覆盖的两部分分别记为和 （1）图形的周长=___________ （用含x，y的式子表示）； （2）图形和的周长之和=____________ 【答案】 16 【知识点】整式加减的应用 【分析】（1）由图形可得图形的周长为，将其计算即可； （2）由图形可得图形的周长为，将其计算后再与中所得结果相加即可． 【详解】解：（1）图形的周长， 故答案为：； （2）图形的周长为， 则， 即图形和的周长之和． 【变式2】．（25-26七年级上·福建漳州·期中）有三箱橙子，数量相等，每箱至少有8个．从第一箱中取出7个放入第二箱，从第三箱中取出8个放入第二箱，再从第二箱中取出与第一箱剩余橙子数相同的橙子数放入第一箱．求最后第二箱中橙子数量． 【答案】22个 【知识点】整式加减的应用、列代数式 【分析】设原来每箱橙子的数量均为个，列代数式求解即可． 【详解】解：设原来每箱橙子的数量均为个 依题意，最后第二箱中橙子的数量为： （个）． 答：最后第二箱中橙子数量为22个． 【变式3】．（25-26七年级上·福建漳州·期中）已知一个三位数，其百位数字是，十位数字是，个位数字是，交换百位数字与个位数字得到新的三位数． (1)求这两个三位数的和（用含，，的代数式表示）； (2)求证：这两个三位数的差能被9整除． 【答案】(1) (2) 证明：两数差为： ． 因为、为之间的整数，所以也为整数． 那么是9的整数倍，即这个差能被9整除． 【知识点】整式加减的应用、列代数式 【分析】（1）先表示出两个数，再求和解答即可； （2）整式的减法表示两数差，化简求解即可； 【详解】（1）解：依题意得：原三位数为，新三位数为 故两数和为： ． 【题型十】带有字母的绝对值化简问题 【例10】．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）已知有理数a，b同号，则的值为（     ） A．0 B． C．或2 D．0或2 【答案】D 【知识点】带有字母的绝对值化简问题 【分析】已知同号，分均为正和均为负两种情况，根据绝对值的性质化简代数式，计算得到结果即可． 【详解】解：∵有理数同号， ∴分两种情况讨论：①当，时，，，， ∴； ②当，时，，，， ∴； 综上，原式的值为或． 【变式1】．（25-26七年级上·重庆·期中）若，则的值是（   ） A． B．1 C．1或 D．或3 【答案】C 【知识点】带有字母的绝对值化简问题 【分析】由题意可得，或，然后分两种情况，分别去绝对值后计算即可． 【详解】解：∵， ∴，或， 当，时，； 当，时，． 综上，的值是1或． 【变式2】．（2026七年级上·吉林长春·专题练习）可能的值有___________个． 【答案】4 【知识点】带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题需根据a、b的正负性分情况讨论，利用绝对值的性质化简式子，再确定所有可能的结果并统计个数． 【详解】根据绝对值的非负性及有理数除法法则，分以下情况讨论： 1. 当，时， ； 2. 当，时，   若，则， ；   若，则， ；   若，则，此时无意义，舍去该情况； 3. 当，时， - 若，则， ；   若，则， ； -若，则，式子无意义，舍去该情况； 4. 当，时 ． 综上，式子可能的值为、、、，共4个． 【变式3】．（25-26七年级上·山东滨州·期末）“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【知识背景】 当时，；当时，；当时，． 【解决问题】 （1）当时，_____；当时，_____； （2）若两个有理数a，b的值满足，则_____； 【探究拓展】 （3）若三个有理数a、b、c的值满足，试求的值． 【答案】（1）1；；（2）或2；（3）或0 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查化简绝对值、有理数的乘法法则， （1）根据绝对值的性质化简即可； （2）根据有理数的乘法法则得a、b同号，即，或，，再根据绝对值的性质进行分类讨论即可； （3）根据有理数的乘法法则得a、b、c全为负数或两正一负，再根据绝对值的性质进行分类讨论即可． 【详解】解：（1）当时，，当时，， 故答案为：1，； （2）∵两个有理数a，b的值满足， ∴a、b同号，即，或，， ∴当，时，， 当，时，， 故答案为：2或； （3）， ∴a、b、c全为负数或两正一负． ①当a、b、c全为负数时， ， ∴； ②当a、b、c为两正一负时，若， ， 若，， 若，， 综上所述，原式的值为或0． 1. 整式分为单项式和多项式两类。需熟练区分单项式的系数、次数，多项式的项、常数项以及多项式的整体次数，夯实基础概念。 2. 同类项两大核心判定要素：字母完全相同、相同字母的指数分别相同；所有常数项互为同类项。 3. 合并同类项核心规则：仅系数相加减，字母和对应指数保持不变；非同类项无法合并，不能强行运算。 4. 去括号是本章重难点：括号前为负号，括号内各项全部变号；括号外有乘数时，必须逐项分配相乘，杜绝漏乘、错乘。 5. 整式加减的本质运算流程：先去括号，再合并同类项，最终化简得到最简整式。 6. 代数式求值优先化简再代入，负数、分数乘方务必添加括号，规避基础计算错误。 一、单选题 1．（24-25七年级上·湖南益阳·期末）下列各组单项式中，属于同类项的是（   ） A．与 B．4xy与 C．3x与2y D．与 【答案】D 【详解】解：∵同类项的定义为所含字母相同，且相同字母的指数也相同 A选项中，的指数分别为2和1，的指数分别为1和2，相同字母指数不同，∴不是同类项 B选项中，的指数分别为1和2，的指数分别为1和2，相同字母指数不同，∴不是同类项 C选项中，所含字母不同，∴不是同类项 D选项中，所含字母均为、，且的指数都是1，的指数都是2，符合同类项定义，∴是同类项 故选：D． 2．如图所示，是本月份的日历表，任意圈出一横行或一竖列相邻的三个数，这三个数的和不可能是（    ）. A．24 B．43 C．57 D．69 【答案】B 【详解】分别求出圈出的是一横行、圈出的是一竖行三个数的和，进而判断即可． 【解答】解：若圈出的是一横行，则相邻的数相差1，设中间的数为x，那么其他两个数为，，则三个数的和为； 若圈出的是一竖行，则相邻的数相差7，设中间的数为x，那么其他两个数为，，则三个数的和为； 由此可知三个数的和为3的倍数， 答案中只有43不是3的倍数． 3．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）若单项式与能合并成一项，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键． 根据题意可知这两个单项式是同类项，则两个单项式中x的指数和y的指数分别相等，列式求出a和b的值，即可求解． 【详解】解：单项式与能合并成一项， 这两个单项式是同类项， ， 解得， ． 故选：A． 4．（25-26七年级上·河南开封·期末）已知代数式的值与字母的取值无关，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，涉及到合并同类项知识点，注意运算过程中符号的变化．代数式的值与某字母无关，则该字母项的系数之和为0． 根据代数式的值与无关，可得项和项的系数均为0，从而求出和的值，再代入所求代数式计算． 【详解】解：， ∵此代数式的值与字母无关， ∴，； 解得，； ， 当，时，原式， 故选B． 5．（25-26七年级上·四川乐山·期末）若关于x的多项式减去多项式其结果为常数项，则的运算结果是（   ） A．40 B．13 C．3 D．－13 【答案】B 【分析】本题考查多项式的加减运算，根据结果为常数项，得出二次项与一次项的系数为0，进而求出m、n的值，再计算的结果。 【详解】解： ， 又∵运算结果为常数项， ∴二次项系数，一次项系数， 解得，， ∴， 故选：B． 6．（25-26七年级下·重庆·期末）已知整式：，其中，，均为非负整数，，且满足，．下列说法： ①满足条件的整式中，有4个是二次二项式； ②当时，所有满足条件的整式的和为； ③满足条件的整式共有16个； 其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】根据已知条件确定各系数的取值范围，用分类枚举法逐个验证三个说法即可． 【详解】解：①判断二次二项式个数：∵，故，二次二项式只能是或， 若，则，得，此时，无符合条件的非负整数； 若，则，得或，时共2个，时共2个，合计4个，故①正确． ②当时：∵， ∴， ∵， ∴， 所有满足条件的整式为：，，，， 求和得：，故②错误． ③按​分类枚举所有可能： ：仅，共个， ：、、，共个， ：、，共个， ：、，共个， ：、，共个， 总个数：，③正确． 综上，正确的说法共2个． 二、填空题 7．（24-25七年级上·全国·单元测试）填空：（___________）（___________）； 【答案】 【分析】此题主要考查了添括号，正确掌握相关法则是解题关键． 直接利用添括号法则分别得出答案． 【详解】解：； 故答案为：；． 8．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如果与是同类项，那么＝_____． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．根据同类项的定义直接得出、的值，再求解即可． 【详解】解：由同类项的定义可知，， ． 9．（2025七年级上·四川南充·专题练习）已知 ，那么代数式的值是_________． 【答案】9 【分析】通过已知条件求出 的值，然后代入代数式进行计算． 本题考查了代数式的求值，有理数乘方，熟练掌握求值的基本方法是解题的关键． 【详解】解：， 因为 ， 所以 ， ． 故答案为：9． 10．（25-26七年级上·四川成都·期末）已知，，且与是同类项，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查整式的化简求值及同类项的定义，关键是先化简待求式，再利用同类项的定义确定字母的值，最后代入计算．首先对待求式去括号、合并同类项得到最简形式；然后根据同类项中相同字母的指数相等，求出、的值；最后将、代入最简式计算出结果． 【详解】解： 。 与是同类项， ，； 当，时，原式． 11．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）已知：，．若的取值与y无关，则的值为______． 【答案】3 【分析】本题考查了整式的加减； 先计算，化简得，根据取值与y无关，得y的系数为0，即，解得，代入计算即可． 【详解】解： ， ∵的取值与y无关， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 12．（25-26七年级上·福建福州·期末）如果一个三位自然数，百位和个位上的数字之和为6，称这个数为“顺利数”，例如：521是“顺利数”．若“顺利数”的十位数字比个位数字大2，去掉个位数字后所得的两位数与去掉百位数字后所得的两位数之和能被9整除，则的值为__________． 【答案】 【分析】设百位、十位、个位数字分别为a、b、c，根据条件得，且由所得两位数之和能被9整除，得是9的倍数，整理可得是9的倍数，结合数字范围可得的值． 【详解】解：设“顺利数”的百位数字为，十位数字为，个位数字为，其中，均为整数， 根据题意可得： ，， 去掉个位数字后所得两位数为，去掉百位数字后所得两位数为， 两数之和为：， 由得， 代入得： ， 又，即， 代入上式得：， 因为两数之和能被整除，因此是的倍数， 因为和互质，因此是的倍数， 由，得， 因为是的倍数，在该范围内只有满足条件， 当时，， 因此． 13．（2025七年级上·全国·专题练习）若，二者满足等式，且，则式子的值为___． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，去括号；掌握整体代入的思想方法是解决本题的关键．整理已知和要求值的式子，然后整体代入得结论． 【详解】解：∵， ∴，． ∴ ． ． 三、解答题 14．（25-26七年级上·江西南昌·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，解题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则． （1）去括号，再合并同类项进行化简； （2）去括号，再合并同类项进行化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）已知单项式与是同类项． (1)求m，n的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2)21 【详解】（1）解与是同类项， 且 且； （2）解：原式， 将，代入得， 原式． 16．（25-26七年级上·陕西西安·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 17．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知整式，其中a、b、c为常数． (1)若的结果中不含项和x项，求a、b的值； (2)若对于任意x，的值始终为，求a、b、c的值． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】（1）把与代入中，去括号合并后，根据结果不含项和x项，可求出a、b的值； （2）把与代入中，去括号合并后，根据的值始终为，可分别得关于a、b、c的一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， ∵的结果中不含项和x项， ∴，， 解得，； （2）解： ， ∵对于任意x，的值始终为， ∴，，， 解得，，． 18．（25-26七年级上·四川凉山·期末）阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式 时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：；；，从而在化简时，可分以下三种情况： 当时，原式；当时，原式； 当时，原式； ，通过以上阅读，解决问题： (1)直接写出的零点值是； (2)化简； (3)直接写出代数式的化简结果 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题解题的关键是找出各个绝对值表达式中的零点值，将数轴划分为若干区间，在每个区间内去掉绝对值符号，化简代数式，最后合并结果． (1)直接根据定义求零点值； (2)涉及两个绝对值之差，需分情况讨论； (3)包含三个绝对值之和，涉及三个零点值，需划分四个区间进行讨论． 【详解】（1）解：令，解得， 因此的零点值是． （2）解：令和， 解得和． 这两个值将实数轴分为三个区间：． 当时，， 原式． 当时，， 原式． 当时，， 原式． （3）解：令，解得．因此分成四个区间：． 当时，， 原式． 当时，，但， 原式． 当时，， 原式． 当时，此时所有表达式非负， 原式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 整式的加减运算 （核心知识+8易错辨析+10典例精讲+课后作业） 【知识点01】整式相关概念 （1）单项式 由数或字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式。 系数：单项式中的数字因数（包含前面符号）。 次数：单项式中所有字母的指数之和，数字没有次数。 示例：，系数为，次数为。 （2）多项式 几个单项式的和叫做多项式。 项：多项式里每个单项式，包含前面符号；不含字母的项叫常数项。 次数：多项式里次数最高项的次数。 示例：，是二次三项式，最高次项为，常数项为。 （3）整式 单项式和多项式统称为整式。 注意：分母中含有字母的式子不是整式，如不是整式。 【知识点02】同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项；几个常数项也是同类项。 核心要点：与系数大小无关，与字母顺序无关。 示例：与是同类项；与不是同类项。 【知识点03】合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。 运算步骤：找同类项→移项（带符号）→合并系数 示例： 【知识点04】去括号法则 1. 括号前面是“”号，去掉括号和“”，括号内各项符号不变。 2. 括号前面是“”号，去掉括号和“”，括号内每一项都要变号。 补充：括号外有数参与运算时，需用乘数分配给括号内每一项，严禁漏乘。 示例： 【知识点05】整式的加减运算 运算实质：先去括号，再合并同类项。 一般步骤： 1.如果有括号，先去括号； 2.找出式子中的同类项，进行合并； 3.最终结果按某个字母降幂（或升幂）规范排列。 【知识点06】求代数式的值 运算原则：先化简整式，再代入数值计算，简化运算步骤、减少计算失误。 重点提醒：负数、分数代入进行乘方运算时，必须添加括号。 易错点 错误示例 正确写法 错因分析 单项式系数符号遗漏 系数是 系数是 单项式系数包含前面的正负符号，不可忽略负号 单项式次数误算数字指数 次数是 次数是 单项式次数仅统计所有字母的指数和，数字的指数不算入次数 同类项判断误区 与不是同类项 是同类项 同类项判定与系数大小、字母排列顺序无关，仅看字母和对应指数 去括号变号不彻底 括号前是负号，去括号后括号内所有项必须全部变号，不能只变第一项 数乘括号漏乘项 括号外的乘数需分配给括号内每一项，杜绝漏乘常数项 非同类项强行合并 无法合并，保留原式 只有同类项可以合并，合并时字母和指数不变，非同类项不能运算 误将分式当作整式 是整式 不是整式 整式分母不能含字母，分母含字母的代数式属于分式，不属于整式 负数乘方代入无括号 时， 负数、分数进行乘方运算时，整体必须加括号，否则运算逻辑错误 【题型一】同类项的判断 【例1】．（25-26七年级上·河南郑州·期末）下列各式中，是同类项的是（     ） A．与 B． 与 C．与 D．与 【变式1】．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）下列各组式子中，属于同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2】．（25-26七年级上·福建漳州·期末）写出代数式的一个同类项_____． 【变式3】．（25-26七年级上·广西崇左·周测）指出下列各题中哪两个单项式是同类项的，并说明理由． （1）与； （2）与； （3）与； （4）与． 【题型二】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【例2】．（25-26七年级上·广东茂名·期中）代数式与是同类项，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式1】．（25-26七年级上·河北·期末）若与是同类项，则m、n的取值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】．（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）若与是同类项，则的值为______． 【变式3】．（2024七年级上·吉林·专题练习）已知和是同类项，求的值． 【题型三】合并同类项 【例3】．（25-26七年级上·陕西西安·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级上·广东惠州·期中）下列选项中，等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·广东广州·期末）计算：______． 【变式3】．（25-26七年级上·全国·期末）化简：； 【题型四】去括号 【例4】．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）下列各式中，去括号后得的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列各式中，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·福建厦门·期末）化简： （1）___________； （2）___________． 【变式3】．（25-26七年级上·甘肃定西·期末）化简：． 【题型五】添括号 【例5】．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）将“”进行添括号操作，下列与其相等的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级上·吉林长春·期末）不改变多项式的值，下列添括号错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·北京房山·期中）把算式放入前面带有“－”的括号内：（______）． 【变式3】．（26-27七年级上·全国·随堂练习）按要求把多项式添上括号． (1)把后三项括到前面带有“-”号的括号里； (2)把四次项括到前面带有“+”号的括号里，把二次项括到前面带有“-”号的括号里． 【题型六】整式的加减运算 【例6】．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）一个多项式与的和是，则这个多项式为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级上·山东聊城·期末）已知，，则M_______N（填“>”“<”或“=”）． 【变式2】．（25-26七年级上·河南洛阳·期末）计算： 【变式3】．（25-26七年级上·四川眉山·期中）计算： (1)； (2)． 【题型七】整式的加减中的化简求值 【例7】．（25-26七年级上·山东临沂·阶段检测）已知，，则代数式的值为（ ） A．59 B．62 C．77 D．139 【变式1】．（25-26七年级上·吉林长春·期中）已知，那么代数式的值为（    ） A． B．4 C．6 D．8 【变式2】．（25-26七年级上·山东聊城·期末）已知，则______． 【变式3】．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）先化简，再求值：，其中，． 【题型八】整式加减中的无关型问题 【例8】．（25-26七年级上·河南新乡·期末）若多项式不含x的一次项，则a的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】．（25-26七年级上·河南洛阳·期末）多项式的值与x，y的取值无关、则的值为（    ） A．1 B．－1 C．2026 D．－2026 【变式2】．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知关于x，y的多项式与的差不含二次项，则______． 【变式3】．（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）有一道题：“先化简，再求值：，其中．”小明做题时把“”错抄成了“”，但他计算的结果却是正确的，请你说明这是什么原因． 【题型九】整式加减的应用 【例9】．（24-25七年级上·陕西西安·期末）甲、乙两堆煤相差20吨，各运出后，现在两堆煤相差（     ）吨． A．16 B．18 C．20 D．22 【变式1】．（25-26七年级上·北京·期末）将4个如图1所示的长为x、宽为的小矩形按照图2的方式不重叠地摆放在大矩形中，，大矩形中未被覆盖的两部分分别记为和 （1）图形的周长=___________ （用含x，y的式子表示）； （2）图形和的周长之和=____________ 【变式2】．（25-26七年级上·福建漳州·期中）有三箱橙子，数量相等，每箱至少有8个．从第一箱中取出7个放入第二箱，从第三箱中取出8个放入第二箱，再从第二箱中取出与第一箱剩余橙子数相同的橙子数放入第一箱．求最后第二箱中橙子数量． 【变式3】．（25-26七年级上·福建漳州·期中）已知一个三位数，其百位数字是，十位数字是，个位数字是，交换百位数字与个位数字得到新的三位数． (1)求这两个三位数的和（用含，，的代数式表示）； (2)求证：这两个三位数的差能被9整除． 【题型十】带有字母的绝对值化简问题 【例10】．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）已知有理数a，b同号，则的值为（     ） A．0 B． C．或2 D．0或2 【变式1】．（25-26七年级上·重庆·期中）若，则的值是（   ） A． B．1 C．1或 D．或3 【变式2】．（2026七年级上·吉林长春·专题练习）可能的值有___________个． 【变式3】．（25-26七年级上·山东滨州·期末）“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【知识背景】 当时，；当时，；当时，． 【解决问题】 （1）当时，_____；当时，_____； （2）若两个有理数a，b的值满足，则_____； 【探究拓展】 （3）若三个有理数a、b、c的值满足，试求的值． 1. 整式分为单项式和多项式两类。需熟练区分单项式的系数、次数，多项式的项、常数项以及多项式的整体次数，夯实基础概念。 2. 同类项两大核心判定要素：字母完全相同、相同字母的指数分别相同；所有常数项互为同类项。 3. 合并同类项核心规则：仅系数相加减，字母和对应指数保持不变；非同类项无法合并，不能强行运算。 4. 去括号是本章重难点：括号前为负号，括号内各项全部变号；括号外有乘数时，必须逐项分配相乘，杜绝漏乘、错乘。 5. 整式加减的本质运算流程：先去括号，再合并同类项，最终化简得到最简整式。 6. 代数式求值优先化简再代入，负数、分数乘方务必添加括号，规避基础计算错误。 一、单选题 1．（24-25七年级上·湖南益阳·期末）下列各组单项式中，属于同类项的是（   ） A．与 B．4xy与 C．3x与2y D．与 2．如图所示，是本月份的日历表，任意圈出一横行或一竖列相邻的三个数，这三个数的和不可能是（    ）. A．24 B．43 C．57 D．69 3．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）若单项式与能合并成一项，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·河南开封·期末）已知代数式的值与字母的取值无关，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·四川乐山·期末）若关于x的多项式减去多项式其结果为常数项，则的运算结果是（   ） A．40 B．13 C．3 D．－13 6．（25-26七年级下·重庆·期末）已知整式：，其中，，均为非负整数，，且满足，．下列说法： ①满足条件的整式中，有4个是二次二项式； ②当时，所有满足条件的整式的和为； ③满足条件的整式共有16个； 其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 二、填空题 7．（24-25七年级上·全国·单元测试）填空：（___________）（___________）； 8．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如果与是同类项，那么＝_____． 9．（2025七年级上·四川南充·专题练习）已知 ，那么代数式的值是_________． 10．（25-26七年级上·四川成都·期末）已知，，且与是同类项，则的值为________． 11．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）已知：，．若的取值与y无关，则的值为______． 12．（25-26七年级上·福建福州·期末）如果一个三位自然数，百位和个位上的数字之和为6，称这个数为“顺利数”，例如：521是“顺利数”．若“顺利数”的十位数字比个位数字大2，去掉个位数字后所得的两位数与去掉百位数字后所得的两位数之和能被9整除，则的值为__________． 13．（2025七年级上·全国·专题练习）若，二者满足等式，且，则式子的值为___． 三、解答题 14．（25-26七年级上·江西南昌·期中）化简： (1)； (2)． 15．（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）已知单项式与是同类项． (1)求m，n的值； (2)求的值． 16．（25-26七年级上·陕西西安·期末）先化简，再求值：，其中，． 17．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知整式，其中a、b、c为常数． (1)若的结果中不含项和x项，求a、b的值； (2)若对于任意x，的值始终为，求a、b、c的值． 18．（25-26七年级上·四川凉山·期末）阅读下列材料． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式 时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：；；，从而在化简时，可分以下三种情况： 当时，原式；当时，原式； 当时，原式； ，通过以上阅读，解决问题： (1)直接写出的零点值是； (2)化简； (3)直接写出代数式的化简结果 1 学科网（北京）股份有限公司 $