单元集训卷32 椭圆专项训练试卷（培优)-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 这份椭圆培优卷精选各地模拟题，通过离心率计算（如第3题）、焦点轨迹（第12题）、直线与椭圆综合（第16题）等梯度设计，适配一轮复习，培养数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|离心率（第3题）、焦点性质（第2题）|结合定义与几何关系，考查推理能力| |填空题|3题/15分|轨迹方程（第12题）、最值（第13题）|动态问题建模，体现数学眼光| |解答题|5题/77分|定值证明（第15题）、反射应用（第19题）|多问递进，融合运算与论证，培养数学语言表达|

单元集训卷32　椭圆(培优) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·河北沧州·一模）已知椭圆的离心率为，则椭圆的一个焦点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为椭圆离心率范围为，可得，即， 当，椭圆焦点在轴上时， 由可得，则， 所以离心率，解得， 此时，所以椭圆两个焦点为. 2．（25-26高三下·广东揭阳·阶段检测）已知椭圆的右焦点为，为坐标原点，其中的长半轴长为3，为上一点，点为中点，若的周长为4，则的焦距为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】结合椭圆的定义确定的周长为，进而可求解. 【详解】 设椭圆的长半轴为，半焦距为，由题意得， 设椭圆左焦点为​，原点是的中点， 因为是中点，是中点，所以是 的中位线， 得： ， ， ， 所以的周长为 由椭圆定义， ， 故的周长为 ，得，椭圆的焦距为. 3．（2026高三·全国·专题练习）已知是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得，依题意即得，借助于的关系求解不等式即得离心率的范围. 【详解】由可得，要使点M总在椭圆内部， 即需使以为直径的圆上的点总在椭圆的内部， 如图可得，即，得，则， 又，则得. 4．（25-26高三·宁夏·期末）已知椭圆的两个焦点分别为，上顶点为，且，则此椭圆长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据焦点坐标得到，再由得到，的关系求解. 【详解】因为椭圆的两个焦点分别为， 则，又上顶点为P，且，，， 则解得，所以. 故选：D. 5．（2026·四川·二模）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点M在C上，且，，，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以点在轴右侧，过点作轴，垂足为点， 因为，所以，则, ，, 所以,则， 则点的坐标为或， 代入椭圆方程，得，所以， 所以. 6．（25-26高三·贵州贵阳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是上一点，直线的斜率为4，直线的斜率为，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的斜率之积为，得出，再由直线的斜率为4，结合椭圆的定义，得，从而，再由，建立关于的等式求解. 【详解】因为直线的斜率之积为， 所以， 由直线的斜率为4，可知，所以， 因为，所以， 又，所以， 所以，所以. 7．（25-26高三·陕西西安·期末）已知椭圆的离心率为，且经过点，过原点 的直线与交于 两点，若，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由离心率和点 求出椭圆方程及点坐标，设过原点的直线与椭圆交点关于原点对称，利用垂直条件向量点积为零，结合椭圆方程解出斜率平方，检验排除与重合的情况，得到斜率. 【详解】已知椭圆离心率，则， 椭圆方程可化为，即 . 代入点得， 因此 ，椭圆E的方程为 ，点A坐标为 . 椭圆关于原点对称，直线过原点，故关于原点对称，设，则， ， 直线的斜率. 由，得 ， 即，展开化简得. 在椭圆上，故满足 ，联立方程， 两式相减得 ，代入得，因此斜率， 当时，联立与 ，解得， 此时点与点重合，为零向量，不满足垂直条件，故舍去. 因此的斜率为. 8．（2026·江苏南京·三模）如图，焦点在轴上的椭圆，分别是左右焦点，过的直线交椭圆于两点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆的定义可得，，利用比例关系求得，，由，在，中，利用余弦定理建立方程求出，得解. 【详解】由椭圆的定义，，，且，， 所以设，，则，， 所以，，所以，， 设椭圆的半焦距为， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由， ，即， 化简得，即， 所以椭圆的离心率. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·贵州遵义·期末）已知为圆上的动点，过点作轴的垂线段，为垂足，线段的中点的轨迹为曲线，直线：与曲线相交于两点．下列结论正确的是（    ） A．的方程为 B． C．的面积为 D．上的点到的距离的最大值为 【答案】ACD 【分析】先用相关点法设中点坐标反推圆上动点坐标，代入圆方程求得椭圆曲线；联立直线与椭圆方程，借助韦达定理和弦长公式判断弦长，再用点到直线距离结合弦长求三角形面积；利用椭圆参数方程结合辅助角公式求出曲线上点到直线距离最大值，逐一判定选项． 【详解】对于A，设，由题意，是中点，故， 因为在圆上，所以，化简得，A正确； 对于B，联立，整理得， ， 设，由韦达定理得，， 所以 ，B错误； 对于C，原点到直线：的距离， ，C正确； 对于D，椭圆的参数方程为，， 点到直线距离公式， ，其中， 最大值出现在时， ，D正确． 10．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，．点在椭圆的第一象限部分，且．过点作椭圆的切线，该切线与轴、轴正半轴分别交于，，则下列说法正确的是（    ） A．点的坐标为 B． C．的面积为 D．该切线的斜率为 【答案】ABC 【分析】利用椭圆的性质求出点到焦点的距离，从而结合两点间距离公式求出点的坐标，设出切线方程与椭圆方程联立，利用根的判别式等于零求出切线的斜率，从而求出切线和坐标轴的交点，并计算出三角形的面积. 【详解】 选项A、B：椭圆，则椭圆的焦点，， 点在椭圆的第一象限部分，设， 因为，且根据椭圆的性质可知， 所以，即，故选项B正确； ，化简可得， 因为，所以代入可得，解得， 所以，即点的坐标为，故选项A正确； 选项C、D：设过点与椭圆相切的直线为，的斜率为， 则的直线方程为，即， 直线方程与椭圆方程联立可得， 化简可得， 则， 化简可得，即， 解得，故选项D错误； 因此的直线方程为， 令，则，即， 令，则，即， 所以，故选项C正确. 11．（25-26高三·河南驻马店·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点为椭圆上的点，为坐标原点，则（     ） A．若，则 B．与圆有四个交点 C．的重心的轨迹方程为（） D．的内心的轨迹方程为（） 【答案】ABD 【分析】对于A，根据椭圆的定义及三角形面积公式求解即可；对于B，根据圆与椭圆的位置关系判断即可；对于C，根据重心坐标公式代入求解即可；对于D，根据内心坐标公式及焦半径公式求解即可. 【详解】由，知，，，，，. 对于A，已知，为中点，，则为直角三角形，且. 由椭圆的定义得，，则， 又，所以. 所以，A正确. 对于B，圆的圆心为，半径为. 圆心在原点附近，圆的右边界，左边界； 上边界，下边界， 所以圆会与椭圆的上下左右均相交，共有四个交点，B正确. 对于C，设，， 则，，所以，， 代入椭圆方程，即，C错误. 对于D，任意中，对边分别为，设，，，内心为， 因为平分，则，所以分的分比. 所以，. 在中，平分，则，由，，解得， 所以，即分的分比， 所以， 同理，即. 所以的内心坐标为， 三角形周长， 即，也即. 由焦半径公式得，， 则， 所以，即. 设的内心为，则，，即，， 代入椭圆方程得，整理得（），D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（26-27高三·全国·一轮复习）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为___. 【答案】 【分析】利用两圆位置关系建立等式，再利用椭圆的定义求出轨迹方程. 【详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径， 设动圆的圆心，半径，而，点在圆内， 由动圆与圆内切，与圆外切，得动圆在圆内，且， 因此，动圆圆心C的轨迹为以为左右焦点， 长轴长的椭圆，半焦距，短半轴长， 所以动圆圆心C的轨迹方程为． 13．（25-26高三·上海·期末）已知椭圆：，左、右焦点分别是、，点是椭圆上任意一点，点，则的最大值为____________． 【答案】/ 【分析】借助椭圆的定义将代换为，把目标式转化为定值与距离差的和，再利用三角不等式求解距离差的最大值，进而得到目标式的最大值. 【详解】椭圆中，，，故，焦点，. 由椭圆的定义得，即， 因此. 在中，由三角不等式得， 当且仅当三点共线且位于之间时取等号. 计算得，故. 经检验，直线与椭圆存在满足取等条件的交点，等号可取. 14．（25-26高三·江西·期末）在平面直角坐标系中，若椭圆：上存在两点A，B，使得，且，则的离心率的取值范围是_______. 【答案】 【分析】设，，将A，B的坐标分别代入C的方程， 法一：消去，得出，由椭圆的性质得到，，进而得到，最后根据椭圆的离心率求解； 法二：消去，得，根据，得到，最后根据椭圆的离心率求解； 法三：分直线斜率是否存在讨论，当斜率存在时，设直线，的方程分别为，，将直线与椭圆方程联立，求出，，得到，令，则，求出，由，得到，最后根据椭圆的离心率求解. 【详解】由题意，设，， 将A，B的坐标分别代入C的方程，得 法一：消去，可得，由椭圆的性质，得，，得， 整理得，即，又， 所以，故C的离心率的取值范围为. 法二：消去，可得，解得，考虑到，可得，即，下同法一. 法三：当直线斜率不存在，即，时，显然有； 当直线斜率存在时，设直线，的方程分别为，， 由与联立，解得，则， 所以，同理， 所以. 令，则，所以，解得， 由，解得， 所以，， 又，所以. 故的离心率的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，下顶点为，的短轴长为，离心率为.点是上位于第一象限内的动点，直线交轴于点，直线交轴于点. (1)求的方程； (2)证明：四边形的面积为定值. 【答案】(1) (2)由（1）可知，. 直线的方程为，令，得. 直线的方程为，令，得. 由（1）得，， 则，， 所有， 故四边形的对角线互相垂直，所以. 因为， 所以 即，故四边形的面积为定值. 【分析】（1）根据椭圆性质及的关系联立即可求出的方程； （2）运用坐标法与椭圆方程代入消元，设动点，由椭圆方程得，通过两点式求出直线、与坐标轴的交点、，利用对角线，将四边形面积转化为，借助椭圆方程消去二次项，化简得， 进而求得面积. 【详解】（1）由题可知，， 由可得：，解得， 故的方程为. （2）略 16．（2026·四川自贡·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，短轴长为． (1)求E的方程； (2)过点F的直线与E交于两点，点．证明：直线与的斜率之和为定值，求该定值． 【答案】(1) (2)定值为 【分析】(1)根据短轴长求，根据右焦点为，，求； (2) 分直线斜率为 0和直线斜率不为 0两种情况讨论. 【详解】（1）因为右焦点为，故半焦距， 因为短轴长为，所以， 由，得， 因此，椭圆的标准方程为； （2） 证明: 设，，点， 直线的斜率分别为，， 情况 1：当直线斜率为 0时， 此时直线为 x 轴，方程为，与椭圆的交点为，， ，故 ，成立； 情况 2：当直线斜率不为 0时， 设直线 的方程为，与椭圆方程联立， 消去 并整理：， 故方程有两个不等实根，由韦达定理得 , 由，， 得 ，，代入得： 将代入分子 因此 ， 综上，无论直线的斜率是否为 0，直线与的斜率之和恒为定值. 17．（2026·江苏南通·模拟预测）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，且．直线过点且与相交于，两点． (1)求的方程； (2)若的面积为，求； (3)若，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题设求出，进而求解即可； （2）设，由的面积为可得，进而结合平面向量的数量积的坐标表示求解即可； （3）方法一：由题设可设，，根据椭圆的定义可得，，进而结合余弦定理及列方程求出，进而再结合余弦定理求解即可； 方法二：设直线，，，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理求出，的坐标，进而结合平面向量的夹角余弦的坐标表示求解即可. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，所以． 因为，所以，则， 所以的方程是． （2）设，则的面积，所以． 因为，所以， 而，则，， 所以． （3）方法一：因为，可设，， 则，． 在中，， 在中，． 因为，所以， 所以，解得． 所以，，，则， 在中，． 方法二：若直线与轴重合时，，不满足； 设直线，，， 联立，得， 所以，． 因为，所以，所以， 由，解得． 由对称性不妨设，则，即，又， 解得，即，， 而，则，， 所以，则． 18．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为和，离心率为，上顶点为，且点到直线的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)已知，为椭圆上的两个动点． （i）当取得最大值时，求的值； （ii）当直线在轴上的截距为4时，若椭圆在点，处的两条切线的交点在直线上，求直线的方程． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据条件建立关于的方程组，即可求解； （2）（i）利用三角函数设点的坐标，再根据最值和对称性求点的坐标，即可求的值； （ii）利用导数设出点处的切线方程，再根据交点的坐标的特点，求直线的方程. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，则①， 由题，椭圆的离心率②， 又点到直线的距离为，所以，得③， 由①②③解得，，， 所以椭圆的方程为． （2）（i）由（1）知，设， 则， 由二次函数的性质可得当时，取得最大值，所以最大值为， 此时，不妨取， 由椭圆的对称性可知当时， 取得最大值，此时取得最大值， 所以， 所以． （ii）由题可知，点，在轴的同侧， 根据椭圆的对称性，不妨设，在轴的上方，所以，则， 设直线的方程为，，， 则椭圆在点处的切线为，即， 同理可得椭圆在点处的切线为， 设，则，且， 所以，两点均在直线上， 又直线的方程为，即， 所以，，又，所以， 所以直线的方程为． 19．（25-26高三·广西南宁·期末）已知椭圆的一个顶点为，焦距为. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)已知点，与椭圆上的点的距离的最小值为1，求点的坐标. (3)设为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于不同两点（异于椭圆的顶点）.判断光线经过轴反射后是否经过点？说明理由. 【答案】(1), (2) (3)光线经过轴反射后经过点 【分析】（1）据椭圆的顶点和焦距，利用椭圆的基本性质求出的值，进而得到椭圆方程和离心率. （2）设椭圆上任意一点，根据两点间距离公式表示出，再结合椭圆方程消去，根据二次函数的性质求出最小值，进而得到的值. （3）设直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到两点坐标的关系，再根据光线反射的性质判断光线经过轴反射后是否经过点. 【详解】（1）已知椭圆的一个顶点为， 则，又因为焦距为.，所以，即， 根据椭圆的性质，可得，即， 所以椭圆的方程为，椭圆的离心率为. （2）设椭圆上任意一点，已知， 根据两点间距离公式， 因为点在椭圆上，所以， 则，， 令，其对称轴为， 当，即时，在上单调递减， 则，由，解得（舍去）或， 当，即时，， 由，解得（舍去），因此点的坐标为. （3）如图，作出符合题意的图形， 由（1）可知，设直线的方程为，， 联立，消去可得， 展开并整理可得， 得到，即 由韦达定理可得：， 直线的斜率，直线的斜率， 要判断光线经过轴反射后是否经过点，只需判断是否成立， 而 ， 所以光线经过轴反射后经过点. 2 / 20 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元集训卷32　椭圆(培优) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·河北沧州·一模）已知椭圆的离心率为，则椭圆的一个焦点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·广东揭阳·阶段检测）已知椭圆的右焦点为，为坐标原点，其中的长半轴长为3，为上一点，点为中点，若的周长为4，则的焦距为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026高三·全国·专题练习）已知是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三·宁夏·期末）已知椭圆的两个焦点分别为，上顶点为，且，则此椭圆长轴长为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·四川·二模）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点M在C上，且，，，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高三·贵州贵阳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是上一点，直线的斜率为4，直线的斜率为，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三·陕西西安·期末）已知椭圆的离心率为，且经过点，过原点 的直线与交于 两点，若，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·江苏南京·三模）如图，焦点在轴上的椭圆，分别是左右焦点，过的直线交椭圆于两点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·贵州遵义·期末）已知为圆上的动点，过点作轴的垂线段，为垂足，线段的中点的轨迹为曲线，直线：与曲线相交于两点．下列结论正确的是（    ） A．的方程为 B． C．的面积为 D．上的点到的距离的最大值为 10．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，．点在椭圆的第一象限部分，且．过点作椭圆的切线，该切线与轴、轴正半轴分别交于，，则下列说法正确的是（    ） A．点的坐标为 B． C．的面积为 D．该切线的斜率为 11．（25-26高三·河南驻马店·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点为椭圆上的点，为坐标原点，则（     ） A．若，则 B．与圆有四个交点 C．的重心的轨迹方程为（） D．的内心的轨迹方程为（） 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（26-27高三·全国·一轮复习）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为___. 13．（25-26高三·上海·期末）已知椭圆：，左、右焦点分别是、，点是椭圆上任意一点，点，则的最大值为____________． 14．（25-26高三·江西·期末）在平面直角坐标系中，若椭圆：上存在两点A，B，使得，且，则的离心率的取值范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，下顶点为，的短轴长为，离心率为.点是上位于第一象限内的动点，直线交轴于点，直线交轴于点. (1)求的方程； (2)证明：四边形的面积为定值. 16．（2026·四川自贡·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，短轴长为． (1)求E的方程； (2)过点F的直线与E交于两点，点．证明：直线与的斜率之和为定值，求该定值． 17．（2026·江苏南通·模拟预测）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，且．直线过点且与相交于，两点． (1)求的方程； (2)若的面积为，求； (3)若，求． 18．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为和，离心率为，上顶点为，且点到直线的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)已知，为椭圆上的两个动点． （i）当取得最大值时，求的值； （ii）当直线在轴上的截距为4时，若椭圆在点，处的两条切线的交点在直线上，求直线的方程． 19．（25-26高三·广西南宁·期末）已知椭圆的一个顶点为，焦距为. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)已知点，与椭圆上的点的距离的最小值为1，求点的坐标. (3)设为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于不同两点（异于椭圆的顶点）.判断光线经过轴反射后是否经过点？说明理由. 2 / 20 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $