单元集训卷24 空间向量 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦空间向量核心概念与运算，通过层级化题型构建从基础到综合的知识逻辑链，培养空间观念与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1,4,9|考查共线、共面判定及基底性质|从向量基本属性到空间向量基本定理的概念生成| |线性运算与表示|选择2,16(1)|空间向量线性组合及基底表示|体现向量运算在几何图形中的应用拓展| |空间位置关系|选择3,16(2)|法向量应用及垂直证明|基于数量积推导空间线面位置关系判定| |空间角与距离|选择5-8,10-11,13-19|线面角、二面角及异面直线距离计算|通过坐标法实现几何问题代数化，构建“概念-运算-应用”逻辑链条|

单元集训卷24　空间向量 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三上·广东深圳·期末）设为实数，空间向量，，则以下说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】根据空间向量共线与垂直的坐标表示，逐一检验即可. 【详解】对于A，当时，，显然不存在实数使得，故A错误； 对于B，当时，，显然不存在实数使得，故B错误； 对于C，当时，，，故C正确； 对于D，当时，，，故D错误. 2．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，在平行六面体 中， . 又因为为底面平行四边形 对角线与的交点， 所以 . 在平行六面体中，， ， ， 所以 . 从而 . 3．（2026·广东广州·模拟预测）已知向量，，，平面的法向量，若，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】求出平面的法向量，结合向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】设， 则，即，令，则，所以. 因为，所以，即，整理得， 解得. 4．（2026高二·全国·专题练习）在以下命题中，不正确的个数为（    ） ①是共线的充要条件； ②若，则存在唯一的实数 ，使； ③对空间任意一点 和不共线的三点 ，若，则 四点共面； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底. A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【分析】利用不等式等号成立的条件判断①；利用与任意向量共线判断②；利用共面向量定理判断③；利用基底的定义，结合反证法推理判断④即可. 【详解】对于①，当向量、同向时，， 则不是共线的充要条件，①错误； 对于②，当为零向量，不是零向量时，不存在 使成立，②错误； 对于③，若 四点共面，则存在唯一 使得， 则，即， 而，因此，此方程无解，③错误； 对于④，因为为空间的一个基底，则不共面， 故不存在不全为0的使得； 假设不是空间的另一个基底，即存在不全为0的， 使得， 即，这与为空间的一个基底矛盾， 故假设不成立，所以构成空间的另一个基底，故④正确. 所以给定命题中不正确的个数为3. 5．（25-26高二下·福建龙岩·期末）在长方体中，，，，，，．过M，N，P三点的平面与直线相交于点Q，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设点坐标，利用可得点Q坐标，从而可以计算的值. 【详解】如图，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. . 又因为，，， 所以 设，则，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以. 因为点在平面上，所以， 即，解得. 所以. 6．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图，长方体的底面是边长为2的正方形， ，点、分别为棱、的中点.若平面平面，则直线 与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用线线平行转化线面角，建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值，再求解出线面角的正切值. 【详解】 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 因此，直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系,则 ，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，解得，，所以法向量， 设直线与平面所成角为，， 则， ， 因此，. 7．（2026·陕西咸阳·三模）在四面体中，平面，，.若四面体的体积为，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 在中，，，由三角形面积公式得， 由余弦定理得 ，故， 因为平面ABC，四面体体积，代入解得， 以B为原点，为轴，平面内垂直于的方向为轴，过B且垂直于平面的方向为轴， 得各点坐标：， ， ， ，， 设平面的法向量为， 则，解得，令得，即 ， 又向量 ，， 设AC与平面所成角为，根据线面角与向量夹角的关系，. 8．（25-26高二下·甘肃平凉·期中）正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，可得且交于，再由面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影， 所以面， 连接，，则且交于. 因为 面， 所以，. 所以以，，为 ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 因为， 则，，，，， 所以，. 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有 ，即，取. 又因为， 所以异面直线与的距离. 所以异面直线与的距离为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·宁夏银川·期末）下列命题为真命题的是（　　） A．已知，则 B．已知空间三点，，，则向量与的夹角余弦值为 C．“存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件 D．已知是空间的一个基底，且，则点在平面内，且为的重心 【答案】CD 【详解】对于A：，, 所以，A错误； 对于B：因为，，所以向量 与的夹角余弦值为，B错误； 对于C：“存在实数，使”可以推出“与共面”， “与共面”不一定能推出“存在实数，使”， 因为当共线但与不共线时，与共面成立， 但不存在实数，使，C正确； 对于D：因为，所以， 即，即， 所以共面且有公共点，所以点在平面内，取中点， 则有，同理取中点，则有， 所以为的重心，D正确. 10．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点，分别是棱长为的正四面体的边和的中点，点在线段上，且．则（    ）    A． B． C． D．向量在方向上的投影向量为 【答案】ACD 【分析】根据空间向量基本定理，及线性运算即可判断A；根据空间向量数量积的运算性质，及模长公式求解即可判断B，C；根据投影向量的定义求解即可判断D． 【详解】对于A，由点，分别是边和的中点，则，， 又，且点在线段上，则，则， 所以，故A正确； 对于B，由正四面体的棱长为，即，且，，两两的夹角都为， 则， 则， 所以，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，向量在方向上的投影向量为，故D正确． 11．（25-26高三上·浙江温州·期末）如图，正方体的棱长为，点为的中点，动点满足，，且，，则下列说法正确的是（     ） A．若，则直线与平面可能平行 B．若，则平面截该正方体的截面可能是三角形 C．若，，则平面截该正方体的截面是五边形 D．若，则点到线段距离的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用向量法和平面延展来逐个选项分析. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 则， 因为，， 所以， 对于A，若，则，，故， 则， 又平面，平面， 所以平面， 若平面，且平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以， 因为点为的中点， 所以时，即可使得平面，A正确； 对于B，若时，为与交点，为与交点， 根据与可得，此时截面即为三角形，B正确； 对于C，若，，则， 点即为点，在上，平面延伸与无交点， 则截面图形最多四个顶点，C错误； 对于D，若，则，， 所以， 则， 令点到线段距离为，的夹角为， 则，， 所以三角形的面积， 解得， 且， 令，即，解得，符合，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二上·上海·期中）给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【详解】根据向量坐标的计算公式，， 根据投影向量的计算公式在方向上的投影向量为， 即. 13．（2026·广东深圳·二模）在菱形中，，将沿折起得到．若二面角为，则异面直线与所成角的余弦值为_____． 【答案】 【分析】作的中点，作平面，以为坐标原点，为轴，过作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，根据几何关系可得为正三角形，分别表示出各点的坐标，利用向量夹角的余弦公式即可求解. 【详解】作的中点，作平面，以为坐标原点，为轴， 过作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，可得为正三角形， 于是，得到， 且， 则， 故． 故答案为： 14．（25-26高三上·河北保定·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E为中点，则点C到平面的距离为______ 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，然后利用点到平面的距离公式求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为， , 则， 令，则， 设点到平面的距离为， 则，     即点到平面的距离为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知向量，. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数的值. 【答案】(1)3 (2) (3)1 【分析】（1）先求空间向量和的坐标，再求其模长； （2）代入夹角公式，求两个空间向量的夹角余弦值，最后求角； （3）由垂直关系推得数量积为零，注意两个向量均为非零向量. 【详解】（1）因为，， 所以， . （2）， ， ， 所以与的夹角为； （3）， ， 因为与垂直，所以， 即，解得， 此时，与均为非零向量， 所以. 16．（25-26高三上·吉林长春·期末）如图，在平行六面体中，，，，． (1)以为基底向量，表示向量，； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1)， (2)因为，，，， 所以，， 由（1）得 ， 所以，即； (3) 【分析】（1）依托空间向量加减法法则，用线性表示； （2）将两向量数量积展开，结合边长与夹角算出点积为，证明向量垂直； （3）对平方展开，代入模长与数量积求出模长平方，开方得到线段长度． 【详解】（1）， ； （2）略 （3）由（1）得， 所以 ， 所以，即的长为． 17．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，在四面体ABCD中，，，，，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且. (1)证明：平面BCD； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)在中，，，， 由余弦定理可得即， 所以，即， 且，，BD，平面BCD，所以平面BCD， 又因为，，则，即， 以D为原点，分别以的方向为x，y，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， 可得，， 则，可得， 因为平面BCD，可知为平面BCD的一个法向量， 因为，则， 且平面BCD，所以平面BCD. (2) 【分析】（1）可证平面BCD，，建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行； （2）分别求平面APC、平面PCM的法向量，利用空间向量求二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知：，，， 设平面APC的法向量为，则， 令，则，，可得； 设平面PCM的法向量为，则， 令，则，，可得； 设二面角的平面角为θ，由题意可知θ为锐角， 则. 所以二面角的余弦值为. 18．（25-26高二下·湖北武汉·期中）如图，三棱锥中，，平面平面． (1)求异面直线AC与BD所成角的余弦值； (2)若点F是线段AD（不含端点）上的一点，且直线AD与平面所成角大小为，求线段DF的长度． 【答案】(1) (2)1． 【分析】（1）利用面面垂直条件建立空间直角坐标系，借助向量夹角公式，求出异面直线所成角余弦值； （2）参数设点 F，求出平面 的法向量，利用线面角公式解参数，最后算出 DF 长度. 【详解】（1）取BC中点，连接OA、OD，又， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 为BC中点，，      如图，以分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系， 则， ， 设异面直线AC与BD所成的角为， 则，       所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为. （2）设， 由（1）知，， 则，得，故． 设平面的法向量， 则， 令，得，即，      由直线AD与平面所成角大小为， 得．            ， 所以线段DF的长度为1． 19．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）在平行四边形中，，，为上一点，且平分，将沿翻折至． (1)若平面平面． （i）求证：； （ii）设平面，若，求点到平面的距离； (2)试判断锐二面角是否存在最大角，若存在，求出其正弦值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)（i）因为，， 在中，由余弦定理，，, 所以，即， 所以， 因为平面平面，平面平面， 平面，， 所以平面． 因为平面，所以； （ii） (2)存在，正弦值最大值为 【分析】（1）（i）由平面平面，得 平面，推出； （ii）方法1（坐标法）：建系写出所有点坐标，求出平面的法向量，利用点到平面距离公式算出距离；方法2（等体积法）：，分别求出底面面积、高，解方程得到点到平面距离； （2）求出锐二面角的正弦值的最大值为，由正弦函数的单调性知角存在最大角. 【详解】（1）（i）略； （ii）设，连接， 因为，平面，平面， 所以． 因为平分，所以， 所以，， 由（1）知，，，，平面． 法1： 以为原点，，及垂直平面所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 因为，，， 设平面（即）的一个法向量为， 所以，即，令，则，， 所以， 设到平面的距离是， 所以 所以点到平面的距离是； 法2： 由，得， 所以的面积为． 由（1）知平面，平面，所以． 又,平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以，即； 在中，由余弦定理得，所以， 设到平面的距离为， 因为，所以， 所以，所以点到平面的距离是； （2）以为原点，，及垂直平面所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，设， 因为，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，所以， 解得，令，则， 所以， 又因为，， 设平面的一个法向量为， 所以，所以， 得， 所以， 令，则， 所以， 设， 因为，， 所以当，即时，取得最小值， 所以， 设锐二面角的大小为， 因为，所以， 所以锐二面角的正弦值的最大值为，由正弦函数的单调性知角存在最大角. 2 / 21 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元集训卷24　空间向量 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三上·广东深圳·期末）设为实数，空间向量，，则以下说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 2．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 3．（2026·广东广州·模拟预测）已知向量，，，平面的法向量，若，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026高二·全国·专题练习）在以下命题中，不正确的个数为（    ） ①是共线的充要条件； ②若，则存在唯一的实数 ，使； ③对空间任意一点 和不共线的三点 ，若，则 四点共面； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底. A．1 B．2 C．3 D．0 5．（25-26高二下·福建龙岩·期末）在长方体中，，，，，，．过M，N，P三点的平面与直线相交于点Q，则等于（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图，长方体的底面是边长为2的正方形， ，点、分别为棱、的中点.若平面平面，则直线 与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·陕西咸阳·三模）在四面体中，平面，，.若四面体的体积为，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·甘肃平凉·期中）正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·宁夏银川·期末）下列命题为真命题的是（　　） A．已知，则 B．已知空间三点，，，则向量与的夹角余弦值为 C．“存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件 D．已知是空间的一个基底，且，则点在平面内，且为的重心 10．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点，分别是棱长为的正四面体的边和的中点，点在线段上，且．则（    ）    A． B． C． D．向量在方向上的投影向量为 11．（25-26高三上·浙江温州·期末）如图，正方体的棱长为，点为的中点，动点满足，，且，，则下列说法正确的是（     ） A．若，则直线与平面可能平行 B．若，则平面截该正方体的截面可能是三角形 C．若，，则平面截该正方体的截面是五边形 D．若，则点到线段距离的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二上·上海·期中）给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 13．（2026·广东深圳·二模）在菱形中，，将沿折起得到．若二面角为，则异面直线与所成角的余弦值为_____． 14．（25-26高三上·河北保定·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E为中点，则点C到平面的距离为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知向量，. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数的值. 16．（25-26高三上·吉林长春·期末）如图，在平行六面体中，，，，． (1)以为基底向量，表示向量，； (2)求证：； (3)求的长． 17．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，在四面体ABCD中，，，，，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且. (1)证明：平面BCD； (2)求二面角的余弦值. 18．（25-26高二下·湖北武汉·期中）如图，三棱锥中，，平面平面． (1)求异面直线AC与BD所成角的余弦值； (2)若点F是线段AD（不含端点）上的一点，且直线AD与平面所成角大小为，求线段DF的长度． 19．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）在平行四边形中，，，为上一点，且平分，将沿翻折至． (1)若平面平面． （i）求证：； （ii）设平面，若，求点到平面的距离； (2)试判断锐二面角是否存在最大角，若存在，求出其正弦值，若不存在，说明理由． 2 / 21 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $