单元集训卷26 空间向量与立体几何 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 该专项训练聚焦空间向量与立体几何，通过分层题型构建从概念理解到综合应用的训练体系，培养空间观念、运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间向量基础|选择1-4、9（5题）|基础概念辨析与简单运算|向量投影、共面等概念生成| |空间几何量计算|选择5-8、10-11、填空12-14（8题）|空间角、距离、体积及球的切接计算|空间向量工具与几何性质结合推导| |几何体综合应用|解答15-19（5题）|折叠、存在性问题及动态最值探究|从静态几何到动态问题的应用拓展|

单元集训卷26　空间向量与立体几何 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）已知，在的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河北保定·期中）在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，已知四棱锥是阳马，平面，且．若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·广东东莞·期中）如图，圆锥的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥面爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江苏淮安·期中）已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为（   ） A．2 B．1 C．4 D．3 5．（25-26高三上·山西临汾·期末）在直四棱柱中，底面为矩形，点为的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．1 6．（25-26高三上·广东广州·期末）在正四棱锥中，，则该棱锥的外接球与内切球半径之比为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·福建泉州·期末）在四棱锥中，侧面OAB是正三角形，底面ABCD是矩形，二面角为直二面角.若，则平面OAB与平面OCD的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·河南·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面，，为的中点，则点到平面的距离为（   ）    A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）下面四个结论中正确的有（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若，则向量，的夹角是锐角 C．已知，，则在上的投影向量为 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10．（25-26高二上·云南昆明·期中）在棱长为1的正方体中，为棱的中点，则下列结论正确的是（   ）    A．异面直线与所成角为 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．点到直线的距离为 D．异面直线与间的距离为 11．（25-26高三上·贵州安顺·期末）如图，为圆锥的底面圆O的直径，B是圆O上异于A，C的动点，母线，圆锥的侧面积为，下列结论正确的是（   ） A．随着B点位置的改变，直线与平面所成角的大小在改变 B．底面圆O的面积为4π C．三棱锥体积的最大值为 D．若，E为线段上的动点，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·广东东莞·期末）已知，，三点不共线，对空间任意一点，满足.若，，，四点共面，则_________ 13．（25-26高三上·辽宁鞍山·期末）如图，直角梯形满足，，，它是水平放置的平面图形的直观图，则该平面图形的周长是__________． 14．（25-26高三上·重庆·期中）已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，且轴截面面积为为底面圆的一条直径，为圆上的一个动点（不与重合），则三棱锥的外接球体积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三上·天津静海·阶段检测）如图1，为菱形，，是边长为2的等边三角形，点为的中点，将沿边折起，使平面平面，连接，如图2， (1)证明：； (2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请找出点的位置，请说明理由 16．（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，求： (1)试用表示，再求的长度； (2)求直线与直线所成角的余弦值． 17．（25-26高三上·福建厦门·期中）如图，在高为2的正三棱柱中，，是棱的中点．    (1)求该正三棱柱的体积； (2)设为棱的中点，F为棱上一点，求的最小值． (3)是棱上一点，试问三棱锥的体积是否为定值？若是，求出这个定值．若不是，说明理由． 18．（2026·广西·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面底面，为中点，过点，，的平面与交于点，，，．    (1)求证：为的中点； (2)设是线段上一点（不包含线段端点），若平面与平面所成的角是60°，求的值． 19．（25-26高二下·江苏徐州·期末）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别在棱，上，满足，，，四点共面． (1)当为中点时， （ⅰ）求平面与平面的夹角的余弦值； （ⅱ）求点到平面的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 2 / 19 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元集训卷26　空间向量与立体几何 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）已知，在的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得：，因为在的投影向量为， 所以，即：，且， 代入，，化简得：，解得：， 所以. 2．（25-26高二上·河北保定·期中）在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，已知四棱锥是阳马，平面，且．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合已知条件，根据空间向量的线性运算法则求解即可. 【详解】因为，所以. 因为，所以. 因为， 所以. 故选：A 3．（25-26高三上·广东东莞·期中）如图，圆锥的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥面爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把圆锥侧面展开成扇形，由平面上两点间线段最短求得底面半径，再根据体积公式计算出体积． 【详解】沿过点的母线剪开摊平为扇形，如图，由已知，， 所以，， 设圆锥底面半径为， 则，， 所以圆锥的高为， 所以圆锥体积为． 4．（25-26高二下·江苏淮安·期中）已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为（   ） A．2 B．1 C．4 D．3 【答案】C 【详解】由空间四点，，，构成梯形，得四点共面， 则存在唯一实数对，使得， 即， 得，解得. 当时，， 所以，且， 所以空间四点构成梯形. 所以. 5．（25-26高三上·山西临汾·期末）在直四棱柱中，底面为矩形，点为的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意得到该直四棱柱为长方体，通过平移直线找到两条异面直线所成角，结合直角三角形求解即可. 【详解】因为直四棱柱中，底面为矩形，故该直四棱柱为长方体. 连接， 因为四边形为矩形，则， 所以或其补角即为异面直线与所成角， 在长方体中，平面， 因为平面，所以. 因为，且， 则， 在中，， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 6．（25-26高三上·广东广州·期末）在正四棱锥中，，则该棱锥的外接球与内切球半径之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正四棱锥的性质确定外接球和内切球的球心位置，分别求出外接球半径和内切球半径，即可求解. 【详解】如图所示，正四棱锥中，正方形的对角线相交于点，则平面. 设正四棱锥外接球的球心为，在上，高， 连接，则. ，设，则，. 则在中，， 即，得. 在中，， 即，解得. 如图所示，设正四棱锥内切球的球心为，在上， 高，取中点，连接. ，设，则，. 则. 在中，，即. 设内切球与平面相切于点，与平面相切于点， 则，，. ，即，解得. . 7．（25-26高二上·福建泉州·期末）在四棱锥中，侧面OAB是正三角形，底面ABCD是矩形，二面角为直二面角.若，则平面OAB与平面OCD的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量后再用向量法计算二面角的余弦值. 【详解】    因为底面是矩形，所以， 因为二面角为直二面角， 以为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以过点作平面ABCD的垂线为轴，建立如上所示空间直角坐标系； 设，则； 其中，，，，， ，； 设平面的法向量为， 则 令，则，； 显然，平面的法向量， 设平面与平面的夹角为， 则 故选： 8．（25-26高二上·河南·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面，，为的中点，则点到平面的距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间关系可证明线面垂直，从而可建立空间直角坐标系，表示各点坐标，即可用空间向量法求出点到平面的距离. 【详解】由取的中点为，连接，则， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又因为，所以可如图建立空间直角坐标系：    由，则， 可得：， 又因为为的中点，所以， 即， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 则点到平面的距离为， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）下面四个结论中正确的有（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若，则向量，的夹角是锐角 C．已知，，则在上的投影向量为 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】AC 【分析】A. 由空间点的对称性判断；B.由向量数量积的定义判断；C.由向量在上的投影向量的定义判断；D.由空间向量基底的定义判断. 【详解】A. 点关于平面对称的点的坐标是，故正确； B.若，则向量，的夹角是锐角或，共线且同向，故错误； C.已知，，则在上的投影向量为，故正确； D. 若是空间的一个基底， 因为，所以共面，故错误； 10．（25-26高二上·云南昆明·期中）在棱长为1的正方体中，为棱的中点，则下列结论正确的是（   ）    A．异面直线与所成角为 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．点到直线的距离为 D．异面直线与间的距离为 【答案】ACD 【分析】要解决这道正方体中的空间几何问题，我们需要利用空间向量、异面直线所成角、线面角、点到直线的距离以及异面直线间的距离等相关知识，对每个选项逐一进行分析. 【详解】对于A选项，在正方体中， 即为异面直线与所成角， 因为,所以为等边三角形， 因此，故A正确. 对于B选项,因为平面，所以是在平面上的射影， 那么直线与平面所成角为， 在中，， 则，故B错误. 对于C选项,以D为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.    则，那么 根据点到直线的距离公式： 又，， 代入可得.故C正确. 对于D选项,由, 设异面直线与的公垂线的方向向量为，则 令，则，取， 根据异面直线间的距离公式， 又，则，故D正确 故选：ACD. 11．（25-26高三上·贵州安顺·期末）如图，为圆锥的底面圆O的直径，B是圆O上异于A，C的动点，母线，圆锥的侧面积为，下列结论正确的是（   ） A．随着B点位置的改变，直线与平面所成角的大小在改变 B．底面圆O的面积为4π C．三棱锥体积的最大值为 D．若，E为线段上的动点，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】A，通过线面垂直求得线面角后求解.B，通过圆的面积公式求解.C，通过求出底面面积最大值来求得体积最大值.D，通过将两线段之和转化为两点之间距离问题求解. 【详解】因为侧面积为，设底面半径为，，所以， 解得. 对于A，因为平面，所以即为与平面所成角， ，所以恒为，故A错误； 对于B，因为，所以底面圆O的面积，故B正确； 对于C，因为，所以面积最大即可， 而当时，， 所以，故C正确； 对于D，，故为等腰直角三角形，故. 因为，所以为等边三角形. 将沿摊平为如下图， 要使最小，只需使点为与的交点即可. 如图作于点，因，则，， 故可得，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·广东东莞·期末）已知，，三点不共线，对空间任意一点，满足.若，，，四点共面，则_________ 【答案】 【分析】利用空间四点共面的向量充要条件，对已知向量等式变形后列方程求解参数m. 【详解】根据向量线性运算的三角形法则，， 则，即， 因为，，，四点共面，所以，解得. 13．（25-26高三上·辽宁鞍山·期末）如图，直角梯形满足，，，它是水平放置的平面图形的直观图，则该平面图形的周长是__________． 【答案】/ 【分析】根据直观图还原平面图形，根据长度关系和角度关系计算周长． 【详解】 如图所示，为还原的平面图形，其中， 在直观图中，，，， 故，则， 则在中，，则 在中，，，则； 故周长为． 14．（25-26高三上·重庆·期中）已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，且轴截面面积为为底面圆的一条直径，为圆上的一个动点（不与重合），则三棱锥的外接球体积为__________. 【答案】 【分析】根据条件，求出圆锥底面半径r和母线l的值，进而可得圆锥的高，分析可得三棱锥的外接球球心在SO上，根据勾股定理，计算求解，可得外接球半径R，代入体积公式，即可得答案. 【详解】设圆锥底面圆半径为r，母线长为l，则圆锥的高为 因为侧面展开图为一个半圆，所以，解得， 又轴截面面积为，所以， 解得，则，圆锥的高为， 由题意三棱锥的外接球的球心在SO上，且设为，外接球半径设为R， 连接，则，所以， 在中，，即， 则，解得， 则三棱锥的外接球的体积. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三上·天津静海·阶段检测）如图1，为菱形，，是边长为2的等边三角形，点为的中点，将沿边折起，使平面平面，连接，如图2， (1)证明：； (2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请找出点的位置，请说明理由 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）通过证明线面垂直得到线线垂直； （2）设，连接，则由线面平行的性质可得∥，从而可找出点的位置． 【详解】（1）连接， ∵是边长为2的等边三角形，点为的中点， ∴， ∵为菱形，， 是等边三角形，， 且，平面， ∴平面， ∵面， ∴； （2）假设线段上存在点，使得∥平面， 设，连接，则有面面， 因为∥，所以， 因为∥平面，平面，平面平面， 所以∥， 所以． 所以线段PD上存在点N，使得PB∥平面，且． 16．（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，求： (1)试用表示，再求的长度； (2)求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据几何体是平行六面体，可用基底表示，将其平方后，计算空间向量的数量积，即可得解； （2）先将与均用基底表示，再应用向量夹角公式，即可得解. 【详解】（1）由于几何体是平行六面体，则， ， 所以； （2）设直线与直线所成角为，则， ， 又因为， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 17．（25-26高三上·福建厦门·期中）如图，在高为2的正三棱柱中，，是棱的中点．    (1)求该正三棱柱的体积； (2)设为棱的中点，F为棱上一点，求的最小值． (3)是棱上一点，试问三棱锥的体积是否为定值？若是，求出这个定值．若不是，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是， 【分析】（1）利用柱体的体积公式即可求解； （2）将侧面绕旋转至与侧面共面即可求解； （3）解法一：利用求解； 解法二：利用求解. 【详解】（1）因为三棱柱是正三棱柱， 所以，． （2）将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示，    则当三点共线时，取得最小值，且最小值为． （3）法一：， ， ， 所以三棱锥的体积为定值． 法二：因为，， 所以， 所以三棱锥的体积为定值． 18．（2026·广西·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面底面，为中点，过点，，的平面与交于点，，，．    (1)求证：为的中点； (2)设是线段上一点（不包含线段端点），若平面与平面所成的角是60°，求的值． 【答案】(1)在三棱柱中，平面平面， 而平面平面，平面平面， 得. ，， 为中点， 为中点． (2) 【分析】（1）由面面平行的性质得到，即可求证； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，，求出平面和平面的法向量，再由两平面所成的角为，结合向量的夹角公式列方程可求出，进而可求出结果． 【详解】（1）略 （2）连接，且为中点，. 在 中，由余弦定理可知. 故在中，，即. 平面 平面，且平面平面，平面， 得平面， 故，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系， 则. 平面的一个法向量， 设，其中. ，. 设平面的法向量 . 令，， . 故 ，. 即，解得，故．    19．（25-26高二下·江苏徐州·期末）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别在棱，上，满足，，，四点共面． (1)当为中点时， （ⅰ）求平面与平面的夹角的余弦值； （ⅱ）求点到平面的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)（i）；（ii）； (2). 【分析】（1）（i）建立合适的空间直角坐标系，求相关平面的法向量即可得到答案； （ii）利用点到平面距离的空间向量法即可得到答案； （2）利用线面角的空间向量法得到表达式，再利用基本不等式和二次函数性质即可求出最值. 【详解】（1）（i）以为原点，为正交基底建立空间直角坐标系， 当为中点时，，所以， 设平面的法向量为， 则，即， 取，得， 由于平面的法向量为， 所以，所以平面与平面夹角的余弦值为． （ii）设，则， 因为,,,四点共面，所以设， 即，得，当时，， 所以， 设平面的法向量为，则， 即，取，得， 所以点到平面的距离为． （2）由（1）得，易得平面的法向量为， 设直线与平面所成角为，则， 因为 ，当且仅当时取等号，此时， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 2 / 19 1 / 19 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