单元集训卷34　双曲线(培优)-2027年高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦双曲线定义、几何性质及综合应用，通过不同层级题型构建从概念到复杂问题的逻辑训练链，培养数学推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-2|实虚轴/焦距关系、渐近线与圆位置关系|从定义要素（a,b,c）到几何性质初步应用| |核心性质|选择3-5、8、填空12-13|离心率计算（焦点三角形、渐近线、圆结合）|离心率公式推导与多情境应用逻辑| |综合应用|选择6-7、多选9-11、解答15-19|渐近线与弦长、光学性质、直线与双曲线位置关系（最值/定点）|从单一性质到多知识点交汇，构建问题解决模型|

单元集训卷34　双曲线(培优) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026高三·全国·专题练习）双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，则半焦距的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知双曲线：（，）的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，该圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·贵州贵阳·阶段检测）已知双曲线的左右焦点为，，为上一点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高三上·全国·专题练习）已知共焦点，的椭圆与双曲线，它们的一个公共点是，若，则椭圆的离心率与双曲线的离心率的关系式为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三·安徽宿州·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（2026高三·全国·专题练习）两条渐近线为，且截直线所得弦长为的双曲线方程为（） A． B． C． D． 7．（2026高三·全国·专题练习）如图，双曲线的右顶点为A，左右焦点为，，点P是双曲线右支上一点，交左支于点Q，交渐近线于点R，M是的中点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 8．（25-26高三·广西河池·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，直线与双曲线的右支交于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高三上·福建泉州·开学考试）在直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的两条渐近线的交点分别记为，，且，则（     ） A． B． C． D． 10．（25-26高三·贵州铜仁·期末）已知双曲线C：的离心率为2，点是C上一点，过P作C 的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则（    ） A． B．C的渐近线方程为 C． D．的面积为 11．（2026·广东广州·三模）圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线C的方程为 B．过点且垂直于的直线平分 C．若，则 D．若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026高三·全国·专题练习）已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则的离心率为______. 13．（25-26高三·广西桂林·期末）双曲线：的左、右焦点分别为，，为坐标原点，点是上一点．若，则的离心率为_____________． 14．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知双曲线：（， ）的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，若，的斜率之积为，，的斜率之积为，且的面积为，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·青海海东·期末）已知双曲线：的左顶点为，离心率为． (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，直线与的左、右支分别交于点，，设直线，的斜率分别为，，求． 16．（26-27高三上·江苏泰州·开学考试）已知双曲线，椭圆，椭圆的焦距为，长轴长为. (1)求双曲线的离心率； (2)设直线与存在两个交点、，求面积的最大值； (3)设直线与、的总交点数恰有个，求的取值范围. 17．（25-26高三·云南玉溪·期末）已知，分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线上的一点． (1)求双曲线的方程； (2)已知过点的直线，交双曲线的左、右两支于，两点（异于，）． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，其中为坐标原点，求直线的方程． 18．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知双曲线：（，）的离心率等于2，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)直线（）与轴交于点，与双曲线的右支交于、两点（在、之间），是双曲线的右焦点，过作的垂线，垂足为. （i）若是中点，求的值； （ii）证明：直线经过定点. 19．（2026·内蒙古赤峰·三模）已知双曲线的渐近线方程为和，右焦点为． (1)求的方程； (2)过的直线交的右支于两点，与两渐近线交于两点． （i）求的取值范围； （ii）过作的平行线交于点，过作的平行线交于点，求证：． 2 / 21 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元集训卷34　双曲线(培优) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026高三·全国·专题练习）双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，则半焦距的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式，结合三者关系，求解即可. 【详解】设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为， 则，即，又 且,由基本不等式得 ,当且仅当 时等号成立，又，所以, 化简得,解得或（舍去） 因为在双曲线中，（可构成三角形），即, 解得,综上所述，. 2．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知双曲线：（，）的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，该圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用已知求解到渐近线的距离，进而求出弦的长度，再利用已知条件推出的关系，然后求解离心率即可. 【详解】 的右顶点坐标，不妨设渐近线方程为：， 点到直线的距离为：， 因为为圆上两点，所以弦长， 因为，， 所以为等边三角形，所以，即， 双曲线中，联立， 所以离心率. 3．（25-26高三·贵州贵阳·阶段检测）已知双曲线的左右焦点为，，为上一点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点在的右支上，,则，由，可得①，在中，由余弦定理可得②，由①②即可得与的关系，再根据离心率公式求解即可. 【详解】不妨设点在的右支上，, 则， 又因为为中点， 所以， 平方得， 即， 整理得，① 在中，由余弦定理可得：, 即， 整理得，② 由①②可得：，即， 所以双曲线的离心率， 又因为， 所以. 4．（2026高三上·全国·专题练习）已知共焦点，的椭圆与双曲线，它们的一个公共点是，若，则椭圆的离心率与双曲线的离心率的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆和双曲线定义可求得，再利用勾股定理以及离心率定义化简计算可得结果. 【详解】如下图所示： 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，它们的半焦距都为； 易知，解得； 又，所以，利用勾股定理可得， 即，整理可得， 即，即. 5．（25-26高三·安徽宿州·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据条件得到圆的方程以及渐近线方程，联立求出点的坐标，根据勾股定理和，建立关于的方程，进而求出离心率． 【详解】如图所示，以为直径的圆的方程为（其中）， 不妨设圆和渐近线的交点在第一象限， 联立，解得. 由直径所对圆周角为直角，可知，故是直角三角形. 由，可得， 即， 整理得， 所以，解得.    6．（2026高三·全国·专题练习）两条渐近线为，且截直线所得弦长为的双曲线方程为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由渐近线方程为可设双曲线方程为，联立直线方程可得，结合韦达定理和弦长公式，即可得解． 【详解】由双曲线渐近线为，即， 可设双曲线方程为（）， 直线即，代入双曲线方程得， 整理得二次方程， 设直线与双曲线交点为、，由韦达定理得，， 直线斜率，弦长公式为， 代入已知弦长，得，两边平方得， 化简得，即，解得满足， 代回设的方程得，两边同除以，即得双曲线方程为. 7．（2026高三·全国·专题练习）如图，双曲线的右顶点为A，左右焦点为，，点P是双曲线右支上一点，交左支于点Q，交渐近线于点R，M是的中点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先求出点坐标，再求出点坐标，再根据点差法表示出，再由建立方程求解即可. 【详解】因为，所以在直角中，， 设，则，解得，即， 又，所以，则， 即，又因为，，所以 ，设，， 联立，两式相减化简得， 又M是的中点，， 即，又，所以， 又，所以， 化简得，又，解得， 即. 8．（25-26高三·广西河池·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，直线与双曲线的右支交于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知内切圆的半径，可利用焦点三角形面积公式建立等式，得到关于的表达式，根据余弦定理建立的齐次式，进而计算离心率． 【详解】如图，作出符合题意的图形， 由直线，整理可得，恒过点；故直线过点； 由点到直线的距离公式可知到的距离为； 则（为内切圆半径）， 因为点在右支上，所以， 则； 又因为；所以， 解得，故； 故，解得； 因为点在右支上，斜率为负，故，故， 代入直线方程可得，解得； 因为在双曲线上，所以代入可得， 由整理可得， 由；则； 则原式化简可得， 两边同乘可得， 约分可得 即，整理得； 即，化简得， 化简得，解得或或； 由题意得，则符合题意，故A正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高三上·福建泉州·开学考试）在直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的两条渐近线的交点分别记为，，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据得为线段的中点，再结合过的直线与的两条渐近线的交点分别记为，，联立方程求出点，的坐标后借助向量知识求解. 【详解】 双曲线 的左、右焦点分别为，，两条渐近线分别为，， 因为过的直线与的两条渐近线的交点分别记为，，且， 设，，则， 又在直线上，在直线上， 即，， 代入得，解得，即，. 对于A：因为为线段的中点，为线段的中点，则易得，A正确； 对于B：向量，，向量，， 则，，则，，B错误； 对于C：因为，，所以，C正确； 对于D：向量，，，即，D错误. 10．（25-26高三·贵州铜仁·期末）已知双曲线C：的离心率为2，点是C上一点，过P作C 的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则（    ） A． B．C的渐近线方程为 C． D．的面积为 【答案】ABD 【详解】如图， 由题意可知，可得，，，∴，故A正确． 由渐近线方程为，可得，故B正确． 点到两条渐近线的距离分别为，，∴，故C错误． ∵，∴，∴由面积公式可得的面积为，故D正确． 11．（2026·广东广州·三模）圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线C的方程为 B．过点且垂直于的直线平分 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】选项A，利用条件，设双曲线方程为，再利用双曲线过点，即可求解；选项B，根据条件，借助图形，即可求解；选项C，利用余弦定理及双曲线的定义，得到，再结合条件，即可求解；选项D，利用C中结果，再结合条件，即可求解. 【详解】对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为， 所以，解得，得到双曲线的方程为，A错误， 对于B，如图，由题知，，所以， 若，所以， B正确， 对于C，记， 所以， 又，得到，又， 所以，又， 由，得，C正确. 对于D，因为，， 由，得， 又，得到，得到， 从而有，得到， 由，得到， 从而有，解得，D正确， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026高三·全国·专题练习）已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则的离心率为______. 【答案】 【分析】根据题意，联立方程组，求得，得到，结合双曲线的离心率的计算公式，即可求解. 【详解】联立方程组，整理得， 当时，可得， 此时方程有两个不等的实数根，不符合题意，舍去； 要使得直线与双曲线有且仅有一个公共点，则满足，即， 又由，则，可得， 所以双曲线的离心率为. 13．（25-26高三·广西桂林·期末）双曲线：的左、右焦点分别为，，为坐标原点，点是上一点．若，则的离心率为_____________． 【答案】 【分析】由三角形中线长定理求出点到两焦点的距离与半焦距的关系，进而代入双曲线定义得出与的比例，即可求得离心率. 【详解】，， ， ， 则， 其中，所以，且， 所以， 由题意得，， ，整理得，即， 因为，所以，即，即， 则.    14．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知双曲线：（， ）的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，若，的斜率之积为，，的斜率之积为，且的面积为，则________． 【答案】 【分析】设,利用斜率公式由，推得，由得到，由，求得，由三角形的面积公式列出方程，求解即得的值. 【详解】，可得，， 设,则，解得， 因，则， 由，可得， 又因， 可得， 即， 即，即， 依题意，， 代入，得到， 解得，又，故. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·青海海东·期末）已知双曲线：的左顶点为，离心率为． (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，直线与的左、右支分别交于点，，设直线，的斜率分别为，，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由左顶点 得 ，离心率 得 ， 则 ， 故 的方程为 . （2）设 , ，联立直线与双曲线： 消去 得 ， 化简得 ， 由韦达定理 , ， 又 ， 所以 . 16．（26-27高三上·江苏泰州·开学考试）已知双曲线，椭圆，椭圆的焦距为，长轴长为. (1)求双曲线的离心率； (2)设直线与存在两个交点、，求面积的最大值； (3)设直线与、的总交点数恰有个，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据椭圆的基本性质，求出参数的值，进而写出双曲线的方程，求出离心率即可； （2）联立椭圆和直线方程，根据弦长公式求出弦长，根据点到直线距离公式，求出高，写出三角形面积公式，构造函数，根据函数导数求出单调性，判断面积最大值； （3）分别联立椭圆和直线方程，双曲线和直线方程，根据韦达定理，判断各自交点个数对应的参数范围，分析有两个交点时的不同情况，判断参数范围即可. 【详解】（1）由椭圆条件可知，解得，，解得， 所以，解得， 则双曲线为，化简得， 可得双曲线参数为，， 则离心率 . （2）直线，椭圆 ， 联立方程组得，消去得， 设，可知， 根据韦达定理可得， 所以弦长公式， 原点到直线距离为， 则面积 ， 令，则， 令，则， 可知当时，，在定义域内单调递减， 所以， 即当时，可得. （3）联立直线与双曲线：，消去得， 则， 当时，即，解得，即， 当时，即，解得，即， 当时，即，解得，即， 联立直线和椭圆，消去得， 所以， 当时，即，解得，即， 当时，即，解得，即， 当时，即，解得，即， 情形1：椭圆0个，双曲线2个， ，即，解得， 情形2：椭圆1个，双曲线1个， ，即，此时无解， 情形3：椭圆2个，双曲线0个， ，即，解得， 综上所述. 17．（25-26高三·云南玉溪·期末）已知，分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线上的一点． (1)求双曲线的方程； (2)已知过点的直线，交双曲线的左、右两支于，两点（异于，）． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，其中为坐标原点，求直线的方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ）或 【分析】（1）应用点在双曲线上列式计算求解双曲线方程； （2）（ⅰ）先设直线再联立结合根与系数关系及判别式列式计算求解；（ⅱ）应用面积及几何特征列式计算求解. 【详解】（1）因为是C上一点，所以，解得， 所以双曲线的方程为． （2）（ⅰ）由题意知，直线的方程为，设，， 联立，化简得， 因为直线与双曲线左右两支相交，所以，所以， 解得或，所以的取值范围为． （ⅱ）由图易知，， 则 ， 所以，解得或． 由（ⅰ）知，得，直线的方程为， 即或． 18．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知双曲线：（，）的离心率等于2，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)直线（）与轴交于点，与双曲线的右支交于、两点（在、之间），是双曲线的右焦点，过作的垂线，垂足为. （i）若是中点，求的值； （ii）证明：直线经过定点. 【答案】(1) (2)（ⅰ）； （ⅱ）由题意得直线PF的方程为， 如图，过作PF的垂线，垂足为，点坐标为. 当时，直线的方程为. 由韦达定理可知. 直线令，得. 将代入右边式子， 得. 因为，所以两边同除以，得. 因此无论为何值，直线HN恒过定点. 【分析】（1）由双曲线上的点和离心率，求出得双曲线的方程； （2）直线与曲线联立方程组，根据判别式可得，由韦达定理可得，（ⅰ）由题意可得，联立方程组计算求解即可；（ⅱ）由题意可得点，点，根据直线点斜式方程及韦达定理，令，化简即可求证. 【详解】（1）由题意，，则. 双曲线方程可写为，即. 将点代入方程得. 所以.故双曲线的标准方程为. （2）由（1）可知，双曲线右焦点为. 因为，所以直线PF的方程为（垂直于轴）. 由直线方程，令得. 设，联立直线与双曲线方程. 整理得. 判别式. 由韦达定理得. （ⅰ）因为，且是QN的中点，所以在轴方向上有. 代入韦达定理得 从而. 两边同乘得. 因为，所以. 此时，满足，两交点均在右支. （ⅱ）略 19．（2026·内蒙古赤峰·三模）已知双曲线的渐近线方程为和，右焦点为． (1)求的方程； (2)过的直线交的右支于两点，与两渐近线交于两点． （i）求的取值范围； （ii）过作的平行线交于点，过作的平行线交于点，求证：． 【答案】(1) (2)（i）； （ii）过且与平行的直线可写为， 联立，解得， 过且与平行的直线可写为， 联立，解得， 当时，，此时，则直线斜率不存在， 又此时直线的斜率也不存在，且四点不共线， ， 当时， ， ， 四点不共线， ． 【分析】（1）根据双曲线的性质，利用渐近线方程和焦点坐标构造方程组求出，进而求出双曲线的方程； （2）（i）设直线方程，联立曲线方程，利用韦达定理求出进而求解比值范围；（ii）分别联立平行线与渐近线方程求出坐标，进而得出，再利用得出平行关系． 【详解】（1）由渐近线方程知，， 由焦点坐标可知，， 联立，解得， 双曲线的方程为． （2） （i）经分析可知，直线的斜率不为0，故可设直线， 由于直线与双曲线的右支交于两点，故， 设，联立，整理得到， 则， 故 ， 设，联立，整理得到， 则． 故 ， 则， ，故， ，故； （ii）略 2 / 21 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $