单元集训卷33　双曲线(基础)-2027年高考数学一轮复习

**基本信息** 本专项聚焦双曲线基础，通过选择、填空、解答题系统覆盖定义、方程、几何性质及综合应用，以题载知，强化数学思维与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与方程|选择2、15(3)|双曲线方程判定、共焦点方程求解|从标准方程定义出发，关联焦点与参数关系| |几何性质|选择1、3、4、12|离心率计算、渐近线方程及关系|由a,b,c关系推导离心率与渐近线斜率，形成性质链| |综合应用|选择5-8、10-11,解答16-19|与圆/椭圆综合、焦点三角形、实际应用|结合图形直观与代数运算，体现数学眼光与推理能力|

单元集训卷33　双曲线(基础) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）双曲线的离心率为2，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·四川遂宁·二模）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 3．（26-27高三上·北京·开学考试）已知双曲线的渐近线的方程为，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．9 4．（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线与的渐近线重合，则与的实轴长之比为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三·山东青岛·期中）某落地青花瓷外形为单叶双曲面，可看作双曲线C：绕虚轴旋转而成，若该花瓶横截面圆最小直径为40，最大直径为60，双曲线离心率为，则该花瓶的高为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三·山东东营·期末）已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·天津·高考真题）已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（     ） A．4 B． C． D． 8．（25-26高三·福建厦门·期末）已知双曲线的离心率为，左、右焦点为，，为双曲线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·内蒙古·期末）已知双曲线：，则的（    ） A．实轴长为定值 B．焦点在轴上 C．离心率为定值 D．渐近线方程为 10．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）如图，双曲线的左右焦点分别为，，过的直线l与其右支交于P，Q两点，已知且，则下列说法正确的是（   ） A． B．双曲线的离心率为3 C． D．的面积为 11．（25-26高三·海南·期末）已知P是双曲线C：上的动点，，分别为C的左、右焦点，点，则下列说法正确的是（    ） A．C的渐近线方程为 B．直线与C的右支有2个交点 C．当时， D．当点P在C的右支上时，的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）已知双曲线 的一条渐近线方程是 则该双曲线的离心率为________. 13．（2026高三上·全国·专题练习）已知椭圆：（）与双曲线：（，）有相同的焦点，，以线段为边作正，若椭圆与双曲线的一个交点恰好是的中点，设椭圆和双曲线的离心率分别为和，则______. 14．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若四边形的面积为，则的虚半轴长为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·北京延庆·阶段检测）求下列曲线的标准方程. (1)圆心在直线上，且过点和点的圆； (2)经过点，的椭圆； (3)与双曲线共焦点，且过点的双曲线； 16．（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线经过点，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 17．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知双曲线：（，），实轴长为4，其中一条渐近线方程为． (1)求的方程； (2)设双曲线的两个焦点分别为、，为上的点，若为钝角三角形，求的取值范围． 18．（25-26高三·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 19．（25-26高三·重庆·阶段检测）已知双曲线C：（），焦距为，点，分别为双曲线的左右焦点． (1)求双曲线C的标准方程与渐近线方程； (2)过点作斜率为k的直线l，与双曲线C交于M，N两点，是否存在实数k使得？若存在，请求出k的值；若不存在说明理由； (3)点Q为双曲线右支上的动点，求的最小值． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元集训卷33　双曲线(基础) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）双曲线的离心率为2，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用双曲线的离心率定义及参数的关系列方程求解的值. 【详解】由题干可得：，， 又 ，代入已知条件得 ，整理得，即， 结合的条件，解得. 2．（2026·四川遂宁·二模）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】由题意得：，解得或. 3．（26-27高三上·北京·开学考试）已知双曲线的渐近线的方程为，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【分析】利用焦点在轴上的双曲线渐近线方程列等式求解即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为. 由题意知，解得. 4．（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线与的渐近线重合，则与的实轴长之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助渐近线定义计算可得，即可得解. 【详解】由题得，解得， 所以与的实轴长之比为. 5．（25-26高三·山东青岛·期中）某落地青花瓷外形为单叶双曲面，可看作双曲线C：绕虚轴旋转而成，若该花瓶横截面圆最小直径为40，最大直径为60，双曲线离心率为，则该花瓶的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，然后将代入双曲线方程即可得解. 【详解】如图所示，作出花瓶的纵截面，    因为横截面圆最小直径为40，所以，解得， 将，代入可得，，解得， 所以该花瓶的高为. 6．（25-26高三·山东东营·期末）已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弦长和半径求出弦心距，利用点到直线的距离公式得到的关系式，从而求离心率. 【详解】双曲线渐近线，即， 因为渐近线被圆所截得的弦长为， 则圆心到渐近线的距离，解得， 则双曲线方程为，故，，则， 故双曲线C的离心率为. 7．（2026·天津·高考真题）已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：过点作垂直轴，垂足为，根据几何关系用表示出点坐标，代入双曲线方程构造齐次式，然后可得离心率. 解法二：设右焦点为，连接，根据双曲线的定义和性质可得，，结合余弦定理运算求解. 【详解】解法一：如图，过点作垂直于轴，垂足为， 因为，所以，所以， 又，所以， 根据双曲线对称性，不妨设点在第二象限，则， 将点坐标代入双曲线方程得：， 整理得， 将代入上式，整理得， 两边同时除以，整理得，解得. 解法二：如图， 设右焦点为，连接， 由题意可知：，， 在三角形中，， 在三角形中，， 即， 整理可得，可得， 所以. 8．（25-26高三·福建厦门·期末）已知双曲线的离心率为，左、右焦点为，，为双曲线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据条件求出双曲线方程和焦点坐标，然后表示出，结合的范围求出最小值即可. 【详解】双曲线的离心率为. ，解得， 又，. 设点， 则且. . 的最小值为. 故选： 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·内蒙古·期末）已知双曲线：，则的（    ） A．实轴长为定值 B．焦点在轴上 C．离心率为定值 D．渐近线方程为 【答案】BC 【详解】因为，可得， 则，，， 可得实轴长为，不为定值，故A错误； 焦点在轴上，故B正确； 离心率为，为定值，故C正确； 渐近线方程为，故D错误. 10．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）如图，双曲线的左右焦点分别为，，过的直线l与其右支交于P，Q两点，已知且，则下列说法正确的是（   ） A． B．双曲线的离心率为3 C． D．的面积为 【答案】ACD 【分析】A.结合等角条件证明三角形相似；B.由三角形相似得到线段比例，求解离心率；C.借助余弦定理求解；D.由三角形的面积公式求解. 【详解】对于 A，因为，且 （公共角）， 所以，A 正确； 对于B，双曲线 ，， 因为 ，联立得：，， 由，得， 则，，所以， 又，即，得，故 ，B 错误； 对于 C，在中， ，，， 由余弦定理得，C 正确； 对于 D， ， 因为，所以, 又因为，， 所以 的面积 ，D 正确. 11．（25-26高三·海南·期末）已知P是双曲线C：上的动点，，分别为C的左、右焦点，点，则下列说法正确的是（    ） A．C的渐近线方程为 B．直线与C的右支有2个交点 C．当时， D．当点P在C的右支上时，的最小值为 【答案】ACD 【分析】本题围绕双曲线的基本性质展开，结合双曲线定义、直线与双曲线位置关系、焦点三角形性质、距离最值模型逐一判断选项. 【详解】双曲线C：中，，渐近线方程为，因此选项A正确， 由，则，那么直线的斜率为， 方程为，联立双曲线方程， 消去可得，由韦达定理， 说明两根一正一负，即直线与C的右支仅有1个交点，故选项B错误. 由双曲线定义可得，两边平方可得，因为， 根据勾股定理可得， 代入可得，则，故选项C正确. 当点P在C的右支上时，由双曲线定义可得，即， 所以，当三点共线时，如图： 取得最小值，即，已知， 则，所以的最小值为，故选项D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）已知双曲线 的一条渐近线方程是 则该双曲线的离心率为________. 【答案】 【分析】根据双曲线的渐近线方程得到的取值，结合双曲线的关系推导离心率公式后代入计算即可. 【详解】焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，由题意得. 根据双曲线的基本性质，，离心率， 因此： ， 将代入得： . 13．（2026高三上·全国·专题练习）已知椭圆：（）与双曲线：（，）有相同的焦点，，以线段为边作正，若椭圆与双曲线的一个交点恰好是的中点，设椭圆和双曲线的离心率分别为和，则______. 【答案】2 【分析】利用正三角形与中点条件得到焦点三角形两边长度，结合椭圆、双曲线定义分别求出离心率，再借助平方差公式化简乘积求值. 【详解】由题意，，则在椭圆中，则； 双曲线中，则； 所以. 14．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若四边形的面积为，则的虚半轴长为________． 【答案】 【分析】通过四边形的面积计算，并得到点的坐标，代入双曲线的方程求解. 【详解】不妨设点在第一象限，如图， 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，故， 因为，所以，由对称性易得四边形是平行四边形， 其面积为， 得，则，代入双曲线方程得，又， 解得，，则，即的虚半轴长为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·北京延庆·阶段检测）求下列曲线的标准方程. (1)圆心在直线上，且过点和点的圆； (2)经过点，的椭圆； (3)与双曲线共焦点，且过点的双曲线； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）利用待定系数法进行求解即可； （3）根据焦点的坐标公式，结合代入法进行求解即可； 【详解】（1）设圆的标准方程为， 因为圆的圆心在直线上，且过点和点， 所以， 所以圆的标准方程为. （2）设椭圆的方程为， 因为椭圆经过点，， 所以， 所以椭圆的标准方程为. （3）因为双曲线与双曲线共焦点， 所以双曲线的半焦距为，且焦点在横轴上， 所以设双曲线的标准方程为， 因为双曲线过点， 所以， 所以双曲线的标准方程为. 16．（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线经过点，其渐近线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由． 【答案】(1) (2)假设是线段 的中点，设， 则由两式相减，可得， 因为是线段 的中点，， 代入上式，可得，即此时直线 的斜率为， 于是直线 的方程为，即 . 联立，消元得， ，所以方程无实数解， 即此时直线与双曲线无交点， 故不能是线段 的中点. 【分析】（1）由题设条件得出的方程，求解即得曲线的方程； （2）假设是线段 的中点，利用点差法求出直线的斜率，将得到直线的方程与双曲线方程联立，通过判别式判断方程是否有实根，即可确定能否为中点. 【详解】（1）双曲线经过点，得， 由渐近线方程为，得， 解得，， 双曲线的方程为 . （2）略 17．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知双曲线：（，），实轴长为4，其中一条渐近线方程为． (1)求的方程； (2)设双曲线的两个焦点分别为、，为上的点，若为钝角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用实轴长与渐近线定义计算即可得； （2）不妨设点在第一象限，再分与讨论，再结合双曲线的对称性即可得. 【详解】（1）由题意可得，且， 则，，所以的方程为：； （2）不妨设点在第一象限，则， 若，由，则， 又，则，故， 又在第一象限，则； 若，则由， 由、， 即， 整理得，又，则， 故，则，又在第一象限，则； 综上，结合双曲线的对称性可得. 18．（25-26高三·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 【答案】(1) (2). (3)证明：依题意可设直线的方程为. 由，得 则，， ，由（2）知， 因为，所以 即 即 即，得，解得或. 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，满足，则直线过定点 故直线过定点 【分析】（1）利用离心率公式和双曲线的关系得到双曲线方程； （2）根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案； （3）设直线的方程为，联立方程组消元得到通过韦达定理有，，结合，化简得，解得或，当和时，分别分析直线的方程，进而求得定点； 【详解】（1）因为，， 所以，故的标准方程为· （2） 设，，根据题意易得. 因为是上的两点，所以 两式相减得，即 因为， 所以 所以直线的方程为 经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为. （3）略 19．（25-26高三·重庆·阶段检测）已知双曲线C：（），焦距为，点，分别为双曲线的左右焦点． (1)求双曲线C的标准方程与渐近线方程； (2)过点作斜率为k的直线l，与双曲线C交于M，N两点，是否存在实数k使得？若存在，请求出k的值；若不存在说明理由； (3)点Q为双曲线右支上的动点，求的最小值． 【答案】(1)双曲线C的标准方程为，渐近线方程为 (2)不存在，理由如下： 由题意可得直线的方程为，设、， 联立，消去可得， 则，且， 若，则，即有， 即，则该方程无解，故不存在这样的； (3) 【分析】（1）借助焦距与渐近线方程定义计算即可得； （2）表示出直线的方程，联立曲线方程可得与交点横坐标有关韦达定理，结合计算可得不存在； （3）结合双曲线定义与双曲线最短焦半径计算即可得. 【详解】（1）由双曲线的焦距为，则， 即双曲线C：，则渐近线方程为； （2）略 （3）由双曲线定义可得，则， 由，故. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $