04椭圆与三角形面积交汇问题 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 该专项聚焦椭圆与三角形面积交汇问题，构建“一般方法-特殊技巧-坐标转化-面积比”四层解题体系，以近年高考真题为载体，系统整合弦长计算、图形拆分、坐标运算等核心方法，体现数学思维的逻辑性与方法迁移的实用性。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |面积计算基础|3题|弦长公式+点到直线距离|椭圆方程→直线相交→弦长与距离→面积公式| |特殊技巧应用|4题|坐标轴拆分法（顶点在轴上）|图形特征→坐标拆分→底边长计算→面积叠加| |坐标法与转化|6题|坐标表示面积、面积比转化（同底/等高/正弦形式）|坐标运算→几何关系转化→代数表达→推理求解| |综合应用|6题|多方法融合（对称点面积、最值问题）|知识整合→模型构建→创新意识→问题解决|

2027届高三一轮复习圆锥曲线真题版专项练习 ——04 椭圆与三角形面积交汇问题 知识梳理： 直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积，处理方法： 1、一般方法：（其中为弦长，为顶点到直线AB的距离），设直线为斜截式. 进一步，= 2、特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着轴或者轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在轴或者轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长. 3、坐标法：设，则 4、面积比的转化： 三角形的面积比及其转化有一定的技巧性，一般的思路就是将面积比转化为可以利用设线法完成的线段之比或者设点法解决的坐标形式，通常有以下类型： （1）两个三角形同底，则面积之比转化为高之比，进一步转化为点到直线距离之比 （2）两个三角形等高，则面积之比转化为底之比，进一步转化为长度（弦长之比） （3）利用三角形面积计算的正弦形式，若等角转化为腰长之比 （4）面积的割补和转化 专项练习： 1.【2026年北京高考数学卷第19题】已知椭圆：（）的一个顶点是，离心率为． （1）求的方程； （2）过点，斜率为的直线交椭圆于、两点，关于的对称点为，交于，若，求． 2.【2026年全国I卷第18题】已知椭圆的左焦点为，离心率为． （1）求的方程； （2）设为坐标原点，过且斜率大于 的动直线与交于P，两点，其中在第三象限，直线 与的另一个交点为． （i）若的面积是的面积的 倍，求的方程； （ii）求的最小值． 3.【2025年全国II卷数学第16题】已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l与C交于两点，为坐标原点，若的面积为，求． 4. 【2025年北京卷数学第19题】已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. （1）求椭圆E的方程； （2）设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小． 5．【2024年全国I卷数学第16题】已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 6. 【2023年全国II卷数学第5题】已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线 与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）． A. B. C. D. 7. 【2023年天津高考数学卷第18题】设椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． （1）求椭圆方程及其离心率； （2）已知点是椭圆上一动点（不与端点重合），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 8．已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点． (1)求的方程； (2)若点在上，点在直线上，且，，求的面积． 9.在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点． (1)求的周长； (2)在轴上任取一点，直线与椭圆的右准线相交于点，求的最小值； (3)设点在椭圆上，记与的面积分别为，若，求点的坐标． 10.平面直角坐标系中，椭圆：的离心率是，抛物线：的焦点是的一个顶点． (I)求椭圆的方程； (II)设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交与不同的两点，，线段 的 中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点． (i)求证：点在定直线上; (ii)直线与轴交于点，记的面积为，的面积为，求 的最大值及取得最 大值时点P的坐标． 11.已知椭圆，为左、右焦点，直线过交椭圆于A、B两点. (1)若AB垂直于轴时，求； (2)当时，在轴上方时，求的坐标； (3)若直线交轴于M，直线交轴于N，是否存在直线，使，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 12．设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为．已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为． （Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程； （Ⅱ）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点．若的面积为，求直线的方程． 13．平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别是、．以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设椭圆：，为椭圆上任意一点，过点的直线 交椭圆于两点，射线交椭圆于点． ( i )求的值；（ii）求△面积的最大值． 14． 已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点． （Ⅰ)求的方程； （Ⅱ）设过点的动直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程． 15．在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为． （Ｉ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且，直线BD与轴、轴分别交于M，N两点． (ⅰ)设直线BD，AM的斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值； (ⅱ)求面积的最大值． 16．如图，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别为，，过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．记，△和△的面积分别为和． 第20题图 （Ⅰ）当直线与轴重合时，若，求的值； （Ⅱ）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得？并说明理由． 17．已知椭圆:的一个顶点为，离心率为．直线与椭圆交于不同的两点M,N． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）当△AMN得面积为时，求的值． 18．如图，分别是椭圆：+=1（）的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，=60°． （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）已知△的面积为40，求a, b 的值． 19．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，且椭圆上的点到的距离的最大值为3． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）在椭圆上，是否存在点使得直线：与圆O： 相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及相对应的的面积；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三一轮复习圆锥曲线真题版专项练习 ——04 椭圆与三角形面积交汇问题 知识梳理： 直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积，处理方法： 1、一般方法：（其中为弦长，为顶点到直线AB的距离），设直线为斜截式. 进一步，= 2、特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着轴或者轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在轴或者轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长. 3、坐标法：设，则 4、面积比的转化： 三角形的面积比及其转化有一定的技巧性，一般的思路就是将面积比转化为可以利用设线法完成的线段之比或者设点法解决的坐标形式，通常有以下类型： （1）两个三角形同底，则面积之比转化为高之比，进一步转化为点到直线距离之比 （2）两个三角形等高，则面积之比转化为底之比，进一步转化为长度（弦长之比） （3）利用三角形面积计算的正弦形式，若等角转化为腰长之比 （4）面积的割补和转化 专项练习： 1.【2026年北京高考数学卷第19题】已知椭圆：（）的一个顶点是，离心率为． （1）求的方程； （2）过点，斜率为的直线交椭圆于、两点，关于的对称点为，交于，若，求． 【答案】（1） ；（2） 【分析】（1）利用顶点坐标及离心率计算即可得；（2）设出直线，联立曲线方程可得与交点横坐标有关韦达定理，结合题目所给条件计算可得点、点坐标，再利用点到直线距离公式与两点间距离公式可表示出与，结合题目所给条件与韦达定理计算即可得解. 【解析】（1）由题意可得，则，即，故的方程为； （2）由题意可得，设、，由关于直线对称的点为，则，联立，消去得：， 由，故在椭圆内部，故恒成立，有、， 则， ， ，联立， 则，即， 整理得，即， 点到直线的距离，点到直线的距离， 又，则，， 故 ， 即有，若，则，无解，不符；则，有，解得；故. 2.【2026年全国I卷第18题】已知椭圆的左焦点为，离心率为． （1）求的方程； （2）设为坐标原点，过且斜率大于 的动直线与交于P，两点，其中在第三象限，直线与的另一个交点为． （i）若的面积是的面积的 倍，求的方程； （ii）求的最小值． 【答案】（1）；（2）（i）；（ii） 【分析】（1）根据焦点以及离心率的定义即可求解； （2）（i）通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及三角形的面积公式即可求解；（ii）由于是直线与直线的夹角，列出的表达式即可求解. 【解析】（1）已知椭圆的左焦点为，离心率， 则，解得，，因此椭圆方程为. （2）解法一：设，点，点，其中， 联立直线与椭圆方程，得， 由韦达定理得，由于两点在椭圆上，关于原点对称， 所以点，且， （i） 由面积公式，， 又因为是线段的中点，所以，所以， ，由于，得，即， 令，由与，得，代入，得，解得，所以，所以直线的方程为. （ii）直线的斜率为， 于是，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 解法二： （i）如图所示，设直线的方程为，其中斜率， 设点，点，且，根据椭圆的中心对称性可知，点， 联立直线与椭圆方程，得，化简得， 由韦达定理可得， 因为是关于原点的对称点，所以是线段的中点， 因此，所以，由于，所以， ，， 所以，即， 由于，所以简化为， 代入韦达定理，得，则， 化简得，由于，解得， 所以直线的方程为，即. （ii）由题意，即为直线与直线的夹角，直线即直线，方程为， 点，点，点，直线的斜率， 直线的斜率， 由于在直线上，有， 则，代入， 则， 设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则， 因此， 即， 由基本不等式得，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 3.【2025年全国II卷数学第16题】已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l与C交于两点，为坐标原点，若的面积为，求． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. 【解析】（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. （2） 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故，即， 且， 故， 解得， 故. 4. 【2025年北京卷数学第19题】已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. （1）求椭圆E的方程； （2）设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据椭圆定义以及离心率可求出，再根据的关系求出，即可得到椭圆方程； （2）法一：联立直线方程求出点坐标，即可求出，再根据，即可得出它们的大小关系. 法二：利用直线的到角公式或者倾斜角之间的关系得到，再根据三角形的面积公式即可解出. 【解析】（1）由椭圆可知，，所以，又，所以，， 故椭圆E的方程为； （2）联立，消去得， 整理得，①，又，所以，， 故①式可化简为，即，所以，所以直线与椭圆相切，为切点.设，易知，当时，由对称性可知，． 故设，易知， 联立，解得， 联立，解得， 所以， ， 故． 法二：不妨设，易知，当时，由对称性可知，． 故设，联立，解得，联立， 解得，若，则， 由对称性，不妨取，则， ，，所以， 同理，当时，， 当时，则，，, 又，所以， 所以， ， 则，即，所以. 5．【2024年全国I卷数学第16题】已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【解】（1）由题意得，解得，所以. （2）法一：，则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则，则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点，设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或，即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 法二：同法一得到直线的方程为，点到直线的距离， 设，则，解得或， 即或，以下同法一. 法三：同法一得到直线的方程为，点到直线的距离， 设，其中，则有， 联立，解得或，即或，以下同法一； 法四：当直线的斜率不存在时，此时， ，符合题意，此时，直线的方程为，即， 当线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆方程有，则，其中，即， 解得或，，， 令，则，则 同法一得到直线的方程为，点到直线的距离， 则，解得， 此时，则得到此时，直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 法五：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当的斜率存在时，设，令， ，消可得， ，且，即， ， 到直线距离， 或，均满足题意，或，即或. 法六：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当直线斜率存在时，设， 设与轴的交点为，令，则， 联立，则有， ， 其中，且， 则， 则，解的或，经代入判别式验证均满足题意. 则直线为或，即或. 6. 【2023年全国II卷数学第5题】已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用，求出范围，再根据三角形面积比得到关于方程，解出即可. 【详解】将直线与椭圆联立，消去可得， 因为直线与椭圆相交于点，则，解得，设到距离到距离，易知，则，，，解得或（舍去），故选：C. 7. 【2023年天津高考数学卷第18题】设椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． （1）求椭圆方程及其离心率； （2）已知点是椭圆上一动点（不与端点重合），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 【答案】（1）椭圆的方程为，离心率为. （2）. 【分析】（1）由解得，从而求出，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公式即求离心率. （2）先设直线的方程，与椭圆方程联立，消去，再由韦达定理可得，从而得到点和点坐标.由得，即可得到关于的方程，解出，代入直线的方程即可得到答案. 【解析】 （1）如图， 由题意得，解得，所以， 所以椭圆的方程为，离心率为. （2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得， 设直线的方程为，联立方程组， 消去整理得：， 由韦达定理得，所以，所以，. 所以,,， 所以，所以，即， 解得，所以直线的方程为. 8．已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点． (1)求的方程； (2)若点在上，点在直线上，且，，求的面积． 【答案】（1）；（2）． 解析：（1），，， 根据离心率，解得或(舍)， 的方程为：，即； （2）不妨设,在x轴上方，点在上，点在直线上，且，， 过点作轴垂线，交点为，设与轴交点为，根据题意画出图形，如图 ，，， 又，，， 根据三角形全等条件“”，可得：，，， ，设点为，可得点纵坐标为，将其代入，可得：，解得：或，点为或， ①当点为时，故，，， 可得：点为，画出图象，如图 ,，可求得直线的直线方程为：，根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，根据两点间距离公式可得：，面积为：； ②当点为时，故，，， 可得：点为，画出图象，如图 ,，可求得直线的直线方程为：， 根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：， 根据两点间距离公式可得：， 面积为：，综上所述，面积为：． 【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题． 9.在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点． (1)求的周长； (2)在轴上任取一点，直线与椭圆的右准线相交于点，求的最小值； (3)设点在椭圆上，记与的面积分别为，若，求点的坐标． 【答案】(1)；(2)；(3)或． 【解析】(1)∵椭圆的方程为,, 由椭圆定义可得：．的周长为 (2)设，根据题意可得．∵点在椭圆上，且在第一象限， ,∵准线方程为,, ，当且仅当时取等号． 的最小值为． (3)设，点到直线的距离为．， ∴直线的方程为,∵点到直线的距离为， ,,① ②,∴联立①②解得，．或． 10.平面直角坐标系中，椭圆：的离心率是，抛物线：的焦点是的一个顶点． (I)求椭圆的方程； (II)设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交与不同的两点，，线段 的 中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点． (i)求证：点在定直线上; (ii)直线与轴交于点，记的面积为，的面积为，求 的最大值及取得最 大值时点P的坐标． 【解析】(Ⅰ)由题意知，可得：． 因为抛物线的焦点为，所以，所以椭圆C的方程为． (Ⅱ)(i)设，由可得， 所以直线的斜率为，因此直线的方程为，即． 设，联立方程，得， 由，得且，因此, 将其代入得， 因为，所以直线方程为． 联立方程得点的纵坐标为即点在定直线上． (ii)由(i)知直线方程为,令得,所以, 又,所以, ,所以， 令，则， 当，即时，取得最大值，此时，满足， 所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为． 11.已知椭圆，为左、右焦点，直线过交椭圆于A、B两点. (1)若AB垂直于轴时，求； (2)当时，在轴上方时，求的坐标； (3)若直线交轴于M，直线交轴于N，是否存在直线，使，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)，；(3)或 【解析】(1)依题意：，当AB⊥x轴，则坐标，，∴ (2)法一(秒杀)：焦点三角形面积公式：； 又：，，即 所以A在短轴端点，即 直线(即)方程为：，联立：，得. 法二(常规)：依题意：设坐标，∵ (注意：用点更方便计算) 则有： 又A在椭圆上，满足：，即： ∴ ，解出，，B点坐标求解方法同法一，. 1. 设坐标，，，，直线l：(k不存在时不满足题意) 则；； 联立方程：，，韦达定理： 由直线方程：得M纵坐标：； 由直线方程：得N纵坐标：； 若，即 ∴ ，，代入韦达定理： 得：，解出： ∴ 存在直线或满足题意. 12．设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为．已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为． （Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程； （Ⅱ）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点．若的面积为，求直线的方程． 【解析】（Ⅰ）设的坐标为.依题意，，，，解得，，，于是.所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为. （Ⅱ）设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去， 整理得，解得，或. 由点异于点，可得点. 由，可得直线的方程为，令，解得，故.所以. 又因为的面积为，故， 整理得，解得，所以. 所以，直线的方程为，或. 13．平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别是、．以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设椭圆：，为椭圆上任意一点，过点的直线 交椭圆于两点，射线交椭圆于点． ( i )求的值；（ii）求△面积的最大值． 【解析】（Ⅰ）由题意知，则，又，， 可得，所以椭圆的方程为． （Ⅱ）由（I）知椭圆的方程为． （i）设，由题意知， 因为，又，即，所以，即． （ii）设，将代入椭圆的方程， 可得，由，可得 ， 则有，所以． 因为直线与轴交点的坐标为， 所以的面积 ，令，将代入椭圆的方程， 可得 ，由，可得 ， 由①②可知 ，因此，故， 当且仅当时，即时取得最大值， 由（i）知，面积为，所以面积的最大值为． 14． 已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点． （Ⅰ)求的方程； （Ⅱ）设过点的动直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程． 【解析】 （Ⅱ） ． 15．在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为． （Ｉ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且，直线BD与轴、轴分别交于M，N两点． (ⅰ)设直线BD，AM的斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值； (ⅱ)求面积的最大值． 【解析】（Ｉ）由题意知，可得.椭圆C的方程可化简为.将代入可得，因此，可得.因此，所以椭圆C的方程为. （Ⅱ）（ⅰ）设，则，因为直线AB的斜率， 又，所以直线AD的斜率，设直线AD的方程为，由题意知， 由，可得.所以， 因此，由题意知，，所以， 所以直线BD的方程为，令，得，即．可得． 所以，即．因此存在常数使得结论成立. （ⅱ）直线BD的方程，令，得，即， 由（ⅰ）知，可得的面积， 因为，当且仅当时等号成立， 此时S取得最大值，所以的面积的最大值为. 16．如图，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别为，，过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．记，△和△的面积分别为和． 第20题图 （Ⅰ）当直线与轴重合时，若，求的值； （Ⅱ）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得？并说明理由． 【解析】依题意可设椭圆和的方程分别为 ：，：. 其中， （Ⅰ）解法1：如图1，若直线与轴重合，即直线的方程为，则 ，，所以. 在C1和C2的方程中分别令，可得，，，于是． 若，则，化简得. 由，可解得． 故当直线与轴重合时，若，则． 解法2：如图1，若直线与轴重合，则，； ，．所以． 若，则，化简得. 由，可解得． 故当直线与轴重合时，若，则． 第28题解答图1 第28题解答图2 （Ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得. 根据对称性， 不妨设直线：，点，到直线的距离分别为，， 因为，，所以. 又，， 所以，即. 由对称性可知， 所以，，于是①. 将的方程分别与C1，C2的方程联立，可求得，. 根据对称性可知，，于是②. 从而由①和②式可得 ③. 令，则由，可得，于是由③可解得. 因为，所以. 于是③式关于有解，当且仅当， 等价于. 由，可解得， 即，由，解得，所以 当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得； 当时，存在与坐标轴不重合的直线l使得. 解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得. 根据对称性， 不妨设直线：，点，到直线的距离分别为，， 因为，，所以. 又，，所以. 因为，所以. 由点，分别在C1，C2上，可得 ，，两式相减可得， 依题意，所以. 所以由上式解得. 因为，所以由，可解得.从而，解得， 所以，当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得； 当时，存在与坐标轴不重合的直线l使得. 17．已知椭圆:的一个顶点为，离心率为．直线与椭圆交于不同的两点M,N． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）当△AMN得面积为时，求的值． 【解析】（Ⅰ）由题意得解得.所以椭圆C的方程为. （Ⅱ）由得.设点M,N的坐标分别为，， 则，，，． 所以|MN|===. 由因为点A(2,0)到直线的距离， 所以△AMN的面积为. 由，解得. 18．如图，分别是椭圆：+=1（）的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，=60°． （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）已知△的面积为40，求a, b 的值． 【解析】（Ⅰ） （Ⅱ）设；则， 在中， ，面积： 19．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，且椭圆上的点到的距离的最大值为3． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）在椭圆上，是否存在点使得直线：与圆O： 相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及相对应的的面积；若不存在，请说明理由． 【解析】（Ⅰ）由，所以，设是椭圆上任意一点，则，所以， ， 所以，当时，有最大值，可得，所以， 故椭圆的方程为： （Ⅱ）存在点满足要求，使得面积最大． 假设直线与圆相交于不同两点, 则圆心到的距离，∴①， 因为在椭圆上，所以②，由①②得： ∵所以， 由②得代入上式得， 当且仅当，∴， 此时满足要求的点有四个．此时对应的的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $