第二章 直线和圆的方程 限时训练卷01-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线与圆的方程单元，覆盖直线垂直、圆的方程、轨迹方程等核心知识，通过基础巩固与能力提升的梯度设计，适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|直线垂直（题1）、圆的方程（题2）、倾斜角范围（题3）|结合真题情境，考查基础概念| |多选|3/18|直线方程（题9）、圆的性质（题10）|多选项设计，辨析易错点| |填空|3/15|距离最值（题12）、轨迹方程（题13）、多空题（题14）|动态问题，渗透模型意识| |解答|5/77|中线方程（题15）、直线过定点（题16）、外接圆（题17）、切线与轨迹（题18-19）|分层设问，综合考查推理与运算能力|

第二章 直线与圆的方程限时训练卷01 （限时120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二上·湖南株洲·期末）若直线与直线垂直，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于直线与垂直，故，解得． 2．（25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为方程表示圆，所以，解得或. 当时，方程化为，此时，方程不表示圆； 当时，方程化为，即，所得圆的圆心坐标为. 综上，圆心坐标为. 3．（2026高三·全国·专题练习）如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】由点和，得， 所以直线的一个方向向量为，所以直线的斜率， 所以，又，所以或． 4．（2026高二·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 5．（2026·广东佛山·模拟预测）已知直线与圆相交于点，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得圆心，半径. 过点作，垂足为，如图所示： 由题意可得. ，，，，得； 即圆心到直线的距离. ，解得. 6．（25-26高二上·重庆渝中·期末）与直线关于x轴对称的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由在直线上，则点在该直线关于x轴对称的直线上，即可确定所求的直线. 【详解】若在直线上，则点在该直线关于x轴对称的直线上， 显然在A中的直线上，但不在B、C、D中的直线上. 故选：A 7．（25-26高二下·海南·期末）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点在圆上，分析可得，要使四边形面积取到最大，只需取得最大值，根据点与圆的位置关系，分析计算，可求出，进而可得，计算即可得答案. 【详解】设圆的圆心为，则圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 所以点P到圆心C的最大距离为， 因为A为切点，所以， 所以， 所以四边形面积的最大值. 8．（2026·河南信阳·模拟预测）已知点到同一直线的距离分别为7，3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题化为由圆与圆相交，求参数范围即可. 【详解】以为圆心，7为半径的圆为， 以为圆心，3为半径的圆为， 若符合题设的直线恰有2条，即上述两圆相交，而， 所以，即，可得， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）以下四个命题表述正确的有（    ） A．直线l过点，且在轴上截距相等，则直线l的方程为 B．直线恒过定点 C．，“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件 D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是3 【答案】BC 【分析】对于A，注意到过原点直线满足在轴上截距相等，据此可判断选项正误； 对于B，将直线化为：，据此可得直线所过定点； 对于C，由直线垂直与直线一般式关系可判断选项正误； 对于D，由平行直线距离公式结合题意可得答案. 【详解】对于A，注意到当直线过原点且过点时，方程为： ，满足在轴上截距相等，则A选项错误； 对于B，将直线化为：，令，则直线过定点，故B正确； 对于C，直线与垂直需满足：，得或. 由可得两直线垂直，由或得不到，则是直线与直线垂直的充分不必要条件，故C正确； 对于D，因与平行，则， 则与距离，即为与的距离，为，故D错误. 故选：BC 10．（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）设点和均在上，圆心在直线上，则下列结论正确的是（   ） A．圆心为 B．半径为 C．一般方程为 D．点到直线距离为 【答案】AC 【分析】分析可知圆心在线段的中垂线上，将线段的中垂线方程与直线方程联立，可求出圆心的坐标，可判断A选项；利用两点间的距离公式求出圆的半径为，可判断B选项；写出圆的标准方程，并化为一般方程，可判断C选项；求出直线的方程，利用点到直线的距离公式可判断D选项. 【详解】对于A，因为点和均在上，则圆心在线段的中垂线上， 直线的斜率为，线段的中点为， 所以线段的中垂线方程为，即， 又因为圆心在直线上，联立，解得， 故圆心为，A对； 对于B，圆的半径为，B错； 对于C，圆的标准方程为，其一般方程为，C对； 对于D，直线的截距式方程为，化为一般方程为， 故点到直线的距离为，D错. 11．（25-26高二下·云南德宏·期末）已知直线，圆，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．对，直线与圆一定相交 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆上存在着4个点到直线的距离为 【答案】ABD 【分析】对于A，将圆一般方程化为标准方程，据此可得圆心坐标；对于B，注意到直线过定点，由定点与圆关系可判断选项正误；对于C，设直线到圆心距离为，求出的最大值，可得弦长最小值；对于D，计算出直线到圆心距离，结合图形可判断选项正误. 【详解】对于A：，从而圆心坐标为，故A正确； 对于B：，则直线过定点，又， 则定点在圆内，则过该定点直线一定与圆相交，故B正确； 对于C：设直线到圆心距离为，直线被圆所截弦长为，圆半径为.由AB分析可得，直线过定点且该点到圆心距离为， 当直线与定点和圆心连线垂直时，最大为，则直线被圆截得的最短弦长为，故C错误； 对于D：当时，直线到圆心距离为，如下图，设直线与圆交于，中点为， 连接并延长交圆于，由垂径定理可得.易得， 则在劣弧上存在两点到直线的距离为，在优弧上也存在两点到直线的距离为， 综上圆上存在着4个点到直线的距离为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（26-27高三上·上海·开学考试）已知直线: 和直线:，则曲线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值为__________． 【答案】 【分析】利用三角换元，把动点到直线和直线的距离之和表示为的函数，然后通过求解该函数的最小值即可求解. 【详解】图形如下所示，设，， 则到直线和直线的距离之和为 由辅助角公式， 所以当，即时有最小值. 13．（2026高二·全国·专题练习）已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，则弦的中点的轨迹方程为_____________． 【答案】（） 【分析】由题设直线恒过，若的中点为，结合圆的性质有，进而判断的轨迹，即可写出轨迹方程． 【详解】由恒过，且与圆相交于、， 而的圆心为，令的中点为，则， 若点不重合时，，点在以线段为直径的圆上，且， 若点重合时，点也在以线段为直径的圆上， 所以弦的中点的轨迹方程且． 14．（26-27高三·全国·一轮复习）在平面直角坐标系中，已知射线：，：，过点作直线分别交射线，于点A，B. （1）当的中点在直线上时，直线的方程为______． （2）当的面积取得最小值时，直线的方程为______． 【答案】 ； ． 【分析】（1）设，求出线段的中点坐标，根据题意列方程组求出a、b，求得直线的方程； （2）根据题意利用基本不等式求出面积的最小值时对应的点A、B的坐标，即可求出直线的方程； 【详解】（1）设，则线段的中点为； 所以，且， 分别化为：, 解得； 所以直线的方程为：，整理得； （2）设，，而， 又P在直线上，，即， ，当且仅当时等号成立， 此时直线的方程为，即． 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知，，，求（均写出一般式方程）： (1)边上的中线所在的直线方程； (2)过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； (3)边垂直平分线方程及点关于的对称点的坐标. 【答案】(1) (2) 或 (3)， 【分析】（1）先求出的中点坐标，再由点斜式方程即可求得中线所在直线方程； （2）依题意，分截距为与不为两种情况，截距为时，直接用点斜式即可求得直线方程；截距不为时，设截距式方程，代入点求出参数即得所求直线方程； （3）先求出边的垂直平分线的方程，再利用对称性列方程求解即得对称点的坐标. 【详解】（1）因，，，设中点为，则得，即， 则直线的方程为，即； （2）依题意，当截距为时，直线井过原点和点，则其方程为，即； 当截距不为时，依题意，可设直线，代入点，解得， 则得，即， 综上，的方程为或； （3）的中点，斜率为，则其垂直平分线的斜率为， 故有，即. 设关于的对称点，则中点在上且， 则，解得，，故. 16．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)若到直线的距离最大，求的值； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1)证明：由直线整理可得： ，即， 则由，即， 故直线过定点； (2) (3) 【分析】（1）要证明直线过定点，将直线方程转化，通过提出参数，令参数所乘的式子为0建立等式，求出定点坐标； （2）直线外一点到动直线的最大距离为这点与直线上定点的距离，当直线外的点与直线上定点的连线垂直于直线时，可求最大距离； （3）根据与坐标轴的交点坐标可得三角形面积公式，利用二次函数的最值求法得到面积取最小值时参数的值，从而得到直线方程． 【详解】（1）略 （2）当动直线满足定点与直线外点的连线垂直于时， 到直线的距离最大， 因为，则； 因为，故，解得； （3）由可得： 当时，；当时，； 因为直线与坐标轴交于正半轴，故 ，解得； 此时三角形面积为， 要使面积取最小值，只需取的最小值即可； 由可知， 当时，取最小值，此时面积取最小值， 此时直线方程为，即． 17．（25-26高二上·山东济宁·期中）已知点是的外接圆上的一个动点，且． (1)求线段的垂直平分线方程及的外接圆的标准方程； (2)若，为的中点，求动点的轨迹方程． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）求得，进而可求得线段的垂直平分线方程，由题意的外接圆的直径为，据此求解即可； （2）设，利用坐标表示出点坐标，代入外接圆的方程即可求得点的轨迹方程. 【详解】（1）由得中点为. 直线的斜率. 所以其垂直平分线的斜率. 所以线段的垂直平分线方程为，即. 因为外接圆半径，圆心为. 所以外接圆方程为. （2）设，又. 则. 由于在上，将其代入圆方程可得. 化简可得. 即所求的轨迹方程为.    18．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，圆． (1)若过点M的直线与圆C恰有一个交点，求直线的方程； (2)已知点在直线上，若直线与圆C相交于A，B两点，求弦的长． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）求出圆心与半径，当过点的直线斜率不存在时为，当过点的直线存在斜率k时，设，利用点到直线的距离转化求解直线的斜率，推出直线方程； （2）利用圆心到直线的距离，再应用圆的弦长公式列方程求解. 【详解】（1）由题意，圆心的坐标为，半径，且，即点在圆外， 当过点的直线斜率不存在时，直线为，显然与圆相切， 当过点的直线存在斜率k时，设，即， 由题意知，解得，直线l的方程为， 故过点M的圆的切线方程为或. （2）由于点在直线上，则， 解得，所以直线方程 则圆心到直线的距离为， 所以弦的长 19．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知圆，直线过点． (1)当直线与圆相切时，求直线的方程； (2)设是圆上的动点，为线段的中点． ①求点的轨迹方程； ②已知点，直线与的轨迹相交于，两点，当的面积取得最大值时，求直线的斜率． 【答案】(1)或 (2)①；② 【分析】（1）分直线的斜率存在和不存在，利用圆心到直线的距离等于圆的半径求直线斜率，进而可得切线方程. （2）①设点，，利用表示，再根据点在圆上可得的关系，即为点的轨迹方程. ②先根据的面积取得最大值确定圆心到直线的距离，再根据点到直线的距离公式列式，可求直线斜率的值. 【详解】（1）由圆，可得圆心，半径为， 若直线的斜率不存在，则， 圆心到直线的距离为半径，符合题意； 若直线的斜率存在，设切线方程为，则， 故，此时切线方程为， 综上，切线的方程为或． （2）①设点，， 由点是的中点和点， 得，所以， 因为在圆上运动，所以， 联立得， 化简得点的轨迹方程是； ②由题可知为的轨迹的圆心，设圆心到直线距离为， ，则， 当即时，的面积最大， 若直线的斜率不存在，则其方程为，此时点到直线的距离，因，故不符合题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：， ，解得． 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线与圆的方程限时训练卷01 （限时120分钟，分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高二上·湖南株洲·期末）若直线与直线垂直，则（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（2026高三·全国·专题练习）如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 4．（2026高二·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·广东佛山·模拟预测）已知直线与圆相交于点，，，则（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·重庆渝中·期末）与直线关于x轴对称的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·海南·期末）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（     ）． A． B． C． D． 8．（2026·河南信阳·模拟预测）已知点到同一直线的距离分别为7，3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）以下四个命题表述正确的有（    ） A．直线l过点，且在轴上截距相等，则直线l的方程为 B．直线恒过定点 C．，“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件 D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是3 10．（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）设点和均在上，圆心在直线上，则下列结论正确的是（   ） A．圆心为 B．半径为 C．一般方程为 D．点到直线距离为 11．（25-26高二下·云南德宏·期末）已知直线，圆，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．对，直线与圆一定相交 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆上存在着4个点到直线的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（26-27高三上·上海·开学考试）已知直线: 和直线:，则曲线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值为__________． 13．（2026高二·全国·专题练习）已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，则弦的中点的轨迹方程为_____________． 14．（26-27高三·全国·一轮复习）在平面直角坐标系中，已知射线：，：，过点作直线分别交射线，于点A，B. （1）当的中点在直线上时，直线的方程为______． （2）当的面积取得最小值时，直线的方程为______． 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知，，，求（均写出一般式方程）： (1)边上的中线所在的直线方程； (2)过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； (3)边垂直平分线方程及点关于的对称点的坐标. 16．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)若到直线的距离最大，求的值； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 17．（25-26高二上·山东济宁·期中）已知点是的外接圆上的一个动点，且． (1)求线段的垂直平分线方程及的外接圆的标准方程； (2)若，为的中点，求动点的轨迹方程． 18．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，圆． (1)若过点M的直线与圆C恰有一个交点，求直线的方程； (2)已知点在直线上，若直线与圆C相交于A，B两点，求弦的长． 19．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知圆，直线过点． (1)当直线与圆相切时，求直线的方程； (2)设是圆上的动点，为线段的中点． ①求点的轨迹方程； ②已知点，直线与的轨迹相交于，两点，当的面积取得最大值时，求直线的斜率． 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $