第二章 直线和圆的方程 基础巩固卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 精选两年真题与阶段好题，覆盖直线与圆的方程基础，通过基础巩固与能力提升梯度设计，适配新授课学情，培养数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|圆的位置关系、直线平行距离|结合导学案与阶段检测，夯实基础概念| |多选|3/18|四点共圆、直线方程应用|设置多解情境，发展推理能力| |填空|3/15|直线平移与对称、公共弦问题|融入动态几何，培养几何直观| |解答|5/77|直线方程求法、圆的轨迹与弦长|整合高考一轮复习题，如弦长最值问题，提升数学思维与表达能力|

第二章 直线和圆的方程（基础巩固卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（【新教材精创】2.4.1 圆的标准方程 导学案-人教A版高中数学选择性必修第一册）点P(-2，-2)和圆x2+y2=4的位置关系是（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都不对 【答案】B 【解析】将点P的坐标代入圆的方程即可判断出点与圆的位置关系. 【详解】将点P的坐标代入圆的方程，则(-2)2+(-2)2=8>4，故点P在圆外. 故选:B. 【点睛】本题考查了点与圆位置关系的判断，属于基础题. 2．（25-26高二下·贵州黔东南·阶段检测）点在直线上，为原点，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用垂线段的性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】原点到直线的距离为， 根据垂线段的性质可知的最小值是， 故选：A 3．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）已知直线，相互平行，且，间的距离为，则a的值为（    ） A． B．6 C．或 D．6或-4 【答案】C 【分析】根据两平行直线之间的距离公式即可求出． 【详解】即，所以，间的距离为，解得或． 故选：C． 4．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程为（    ） A． B． C．=16 D． 【答案】B 【分析】根据两圆外切求圆的半径，即可求解. 【详解】由题意可知，两圆的圆心距为5，设圆的半径为， 因为两圆相外切，则，得， 所以圆的方程为. 故选：B 5．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交但不过圆心 B．过圆心 C．相切 D．相离 【答案】A 【分析】利用圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断. 【详解】因为圆心到直线的距离为， 又， 所以直线和圆相交但不过圆心， 故选A． 6．（25-26高二·全国·课后作业）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线和曲线方程在平面直角坐标系中画出图形，数形结合分析即可. 【详解】由题意，直线的方程可化为，所以直线恒过定点， ，可化为其表示以为圆心，半径为2的圆的一部分，如图： 当与该曲线相切时，圆心到直线的距离，解得. 设，则. 由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，则. 故选：C. 7．（25-26高二上·江西宜春·期中）以圆：与圆：相交的公共弦为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先两圆相减，求公共弦所在的直线方程，和圆心连线的方程联立求圆心，再根据弦长公式求半径，最后表示圆的方程. 【详解】∵圆与圆， ∴两圆相减可得公共弦方程为，即 又∵圆的圆心坐标为(−2,0),半径为； 圆的圆心坐标为(−1,−1)，半径为1， ∴的方程为 ∴联立可得公共弦为直径的圆的圆心坐标为(−1,−1)， ∵(−2,0)到公共弦的距离为：， ∴公共弦为直径的圆的半径为：， ∴公共弦为直径的圆的方程为 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是两圆相交时，两圆相减后的直线方程是两圆公共弦所在的直线方程. 8．（2026·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中， 记 为点 到直线 的距离， 则当 变化时， 的最大值与最小值之差为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】由直线方程得到其过定点，而可看成单位圆上的一点，故可将求点到直线之距转化为求圆心到直线之距，要使距离最大，需使直线，此时最大距离即圆心到点的距离再加上半径即得. 【详解】由直线 整理得，可知直线经过定点， 而由知，点可看成圆上的动点， 于是求点 到直线 的距离最值可通过求圆心到直线的距离得到.    如图知当直线与圆相交时， 到直线 的距离最小值为， 要使点到直线距离最大，需使圆心到直线距离最大， 又因直线过定点，故当且仅当时距离最大，（若直线与不垂直，则过点作直线的垂线段长必定比短） 此时，故点到直线距离的最大值为， 即的最大值与最小值之差为. 故选：D. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高二上·重庆万州·期中）若，，，四点共圆，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】AD 【分析】依题意设出圆的一般方程，代入坐标可得圆方程为，由点在圆上即可解得或. 【详解】根据题意可设圆方程为， 将点，，代入可得，解得； 即圆方程为， 又点在圆上，所以，整理得， 解得或. 故选：AD 10．（25-26高二上·全国·课后作业）经过点且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由题意可知，所求直线在两坐标轴上的截距相等或相反，且不经过原点，可设所求直线的方程为或，将点的坐标代入直线方程，求得参数的值，进而可求得所求直线的方程. 【详解】由题意可知，所求直线在两坐标轴上的截距相等或相反，且不经过原点. （1）若所求直线在两坐标轴上的截距相等且不经过原点，可设所求直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程，得，解得， 此时，所求直线的方程为； （2）若所求直线在两坐标轴上的截距相反且不经过原点，可设所求直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程，得，解得， 此时，所求直线的方程为. 综上所述，所求直线的方程为或. 故选：AC. 【点睛】本题参考了直线截距式方程的应用，考查计算能力，属于中等题. 11．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知直线与圆，下列说法正确的是（    ） A．所有圆均不经过点 B．若圆关于直线对称，则 C．若直线与圆相交于、，且，则 D．不存在圆与轴、轴均相切 【答案】ABD 【分析】A假设存在圆经过点，将代入圆的方程判断是否有解；B由在直线上，代入即可判断；C几何法先求到直线的距离，结合点线距离列方程求；D根据题设，假设存在圆与数轴相切，判断是否有解. 【详解】A：将代入，则， 所以，此时， 所以不存在值，使圆经过点，对； B：若圆关于直线对称，则在直线上， 所以，则，对； C：由题意，到直线的距离， 所以，则，可得或，错； D：若圆与轴、轴均相切，则，显然无解，即不存在这样的圆，对； 故选：ABD 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高二·全国·课后作业）在直线上找一点P，使它到原点的距离与到直线的距离相等，则点P的坐标为________． 【答案】或/或 【分析】设点P的坐标为，则由题意得，解之可得t值． 【详解】设点P的坐标为，则， 解之得． ∴点P的坐标为或． 故答案为：或 13．（2026·上海静安·一模）在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是________________. 【答案】6x－8y＋1＝0 【解析】根据平移得到l1：y＝k（x－3）＋5＋b和直线：y＝kx＋3－4k＋b，解得k＝，再根据对称解得b＝，计算得到答案. 【详解】由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b， 则直线l1：y＝k（x－3）＋5＋b，平移后的直线方程为y＝k（x－3－1）＋b＋5－2 即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝ ， ∴直线l的方程为y＝x＋b，直线l1为y＝x＋＋b 取直线l上的一点 ，则点P关于点（2，3）的对称点为 ， ，解得b＝. ∴直线l的方程是 ，即6x－8y＋1＝0. 故答案为：6x－8y＋1＝0 【点睛】本题考查了直线的平移和对称，意在考查学生对于直线知识的综合应用. 14．（25-26高二上·浙江衢州·期末）已知圆与圆交于，两点，且这两点平分圆的圆周，则圆半径最小时圆的方程为___. 【答案】 【分析】由已知可得圆的圆心在相交弦所在直线上，从而得到与的关系式，求出的最值，进而求得圆半径的最小值． 【详解】圆 圆心  半径为 圆 圆心 半径为2 圆与圆的相交弦所在直线方程为： . . . 两点平分圆的圆周，圆心在相交弦所在直线上 . . 当 时，b的最大值为-2， 圆的半径 圆的方程为 【点睛】求最值问题，最常用的方法就是利用函数来求．本题就是用二次函数求b的最值． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（第01讲直线的方程（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）求适合下列条件的直线的方程： (1)在轴上的截距为，倾斜角的正弦值是； (2)经过点，且在两坐标轴上的截距相等； 【答案】(1)或 (2)或． 【分析】（1）利用同角三角函数关系求得倾斜角的正切值，得到斜率，然后利用直线方程的斜截式得到； （2）分截距为0和不为0两种情况利用截距式求解. 【详解】（1）设直线的倾斜角为，则，则，直线的斜率． 又直线在轴上的截距是，由斜截式得直线方程为，即或． （2）设直线在，轴上的截距均为，若，即过点和． 则的方程为，即． 若，设的方程为．过点，．，的方程为． 综上可知，直线的方程为或． 16．（2026高三·全国·专题练习）一条直线经过点，并且分别满足下列条件，求直线方程： (1)倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (2)与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且的面积最小（O为坐标原点）． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，利用可得所求直线斜率，从而可用点斜式得到直线方程. （2）设直线方程为，将点代入得，利用基本不等式得，从而得到面积的最小值及此时的直线方程. 【详解】（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则，且，， 从而所求直线方程为，即． （2）设直线方程为，，， 代入，得，得， 当且仅当即时等号成立，从而， 此时直线方程为，即． 17．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线和. (1)若，求实数的值； (2)当时，求直线与之间的距离. 【答案】(1) 或 (2) 【详解】（1）因为，故，故或. （2）因为，故，即，故或， 若，则，，此时与重合， 故，故，即， 故直线与之间的距离. 18．（第03讲圆的方程（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的一般方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的一般方程，结合已知列方程求解的值，即可求得圆的一般方程； （2）由于圆与圆关于直线对称，根据点关于直线对称坐标特点求得的坐标，则得圆心，由对称可知半径不变，故可得圆的标准方程. 【详解】（1）设圆C的方程为，其圆心为， 已知圆的圆心在直线上，且圆过点，， 则，解得，即圆C的方程为； （2）由（1）得圆C的圆心，半径， 设圆的圆心坐标为，∵圆与圆C关于直线对称， 则有，解得，即. ∴圆的标准方程为. 19．（25-26高二上·上海虹口·期中）已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 (1)若直线恒过定点，求出点坐标； (2)求弦中点的轨迹方程； (3)相交弦长度的最小值及相应的的值． 【答案】(1) 定点的坐标为； (2) 弦中点的轨迹方程为（圆内部的部分）； (3) 弦长度的最小值为，对应的。 【分析】（1）分离参数求直线恒过定点； （2）利用垂径定理的垂直关系推导中点轨迹； （3）结合弦长公式与距离最值求最短弦长及对应参数. 【详解】（1） 对直线的方程变形：将整理为， 该式对任意实数恒成立，因此需满足，解得， 即定点的坐标为. （2）设弦的中点为，圆的圆心为，由垂径定理可得. 因为在直线上，直线恒过，故，即， 代入，得： ， 展开并配方得，该轨迹为圆内部的圆弧. （3）设圆心到直线的距离为，圆的半径， 由弦长公式得，因此最大时最小， 由于直线恒过定点，故，当且仅当时取最大值， 计算得，. 此时直线的斜率，由得，解得. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线和圆的方程（基础巩固卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（【新教材精创】2.4.1 圆的标准方程 导学案-人教A版高中数学选择性必修第一册）点P(-2，-2)和圆x2+y2=4的位置关系是（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都不对 2．（25-26高二下·贵州黔东南·阶段检测）点在直线上，为原点，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）已知直线，相互平行，且，间的距离为，则a的值为（    ） A． B．6 C．或 D．6或-4 4．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程为（    ） A． B． C．=16 D． 5．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交但不过圆心 B．过圆心 C．相切 D．相离 6．（25-26高二·全国·课后作业）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江西宜春·期中）以圆：与圆：相交的公共弦为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中， 记 为点 到直线 的距离， 则当 变化时， 的最大值与最小值之差为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高二上·重庆万州·期中）若，，，四点共圆，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．3 10．（25-26高二上·全国·课后作业）经过点且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程可以是（    ） A． B． C． D． 11．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知直线与圆，下列说法正确的是（    ） A．所有圆均不经过点 B．若圆关于直线对称，则 C．若直线与圆相交于、，且，则 D．不存在圆与轴、轴均相切 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高二·全国·课后作业）在直线上找一点P，使它到原点的距离与到直线的距离相等，则点P的坐标为________． 13．（2026·上海静安·一模）在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是________________. 14．（25-26高二上·浙江衢州·期末）已知圆与圆交于，两点，且这两点平分圆的圆周，则圆半径最小时圆的方程为___. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（第01讲直线的方程（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）求适合下列条件的直线的方程： (1)在轴上的截距为，倾斜角的正弦值是； (2)经过点，且在两坐标轴上的截距相等； 16．（2026高三·全国·专题练习）一条直线经过点，并且分别满足下列条件，求直线方程： (1)倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (2)与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且的面积最小（O为坐标原点）． 17．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线和. (1)若，求实数的值； (2)当时，求直线与之间的距离. 18．（第03讲圆的方程（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的一般方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程. 19．（25-26高二上·上海虹口·期中）已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 (1)若直线恒过定点，求出点坐标； (2)求弦中点的轨迹方程； (3)相交弦长度的最小值及相应的的值． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $